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第05讲 相似三角形判定定理的证明
【提升训练】
一、单选题
1．如图，已知点P是△ABC中边AC上的一点，联结BP，以下条件不能识别△ABP∽△ACB的是（ ）
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A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC
C．BC：BP=AC：AB D．AC：AB=AB：AP
【答案】C
【解析】
【分析】
由图可知∠A为两个三角形的公共角，再添加一组∠A的夹角边对应成比例，或者另一组对应角相等即可.
【详解】
解：添加∠ABP=∠C或∠APB=∠ ( http: / / www.21cnjy.com )ABC，均可满足两组对应角相等，使得△ABP∽△ACB；添加AC：AB=AB：AP，可满足一组对应角相等及夹角对应边成比例，使得△ABP∽△ACB.添加BC：BP=AC：AB后无法证明两个三角形相似.21*cnjy*com
故选择C.
【点睛】
本题考查了三角形相似的判定方法.
2．如图，中，点是斜边上一点，过点作一条任意直线，使所截得的三角形与相似，这样的直线可以作（ ）条．
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A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
过点D分别作与AC、BC平行的直线或作AB的垂线，即可得出结果．
【详解】
如图所示： ( http: / / www.21cnjy.com / )
过点D作AB的垂线，或作AC的垂线，或作BC的垂线共三条直线.
故选：C.
【点睛】
本题考查的是相似三角形，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键.
3．下列说法错误的是（ ）
A．有一个角等于的两个等腰三角形相似
B．有一个角等于的两个等腰三角形相似
C．有一个角等于的两个等腰三角形相似
D．有一个角等于的两个等腰三角形相似
【答案】D
【解析】
【分析】
首先根据题意可求得各等腰三角形的三个角的度数，然后根据有两组角对应相等的两个三角形相似，即可求得答案．
【详解】
A. 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形，故相似，本选项正确；
B. 有一个角等于100°的等腰三角形的三角分别为：100°,40°,40°，故相似，本选项正确；
C. 有一个角等于90°的等腰三角形的三角分别为：90°,45°,45°，故相似，本选项正确；
D. 有一个角等于30°的等腰三角形的三角分别为：30°,75°,75°或30°,30°,120°，故不一定相似，本选项错误.
故答案选D.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的判定.
4．如图，能使的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
已知一组角相等，则只要该角的两边对应成比例即可推出两三角形相似．
【详解】
∵∠C=∠C
当∠ADC ( http: / / www.21cnjy.com )=∠BAC或∠CAD=∠B或CD：AC=AC：BC或AC2=CD CB
∴当AC2=CD CB时，△ACD∽△BCA
故选B．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，解 ( http: / / www.21cnjy.com )题的关键是掌握三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．
5．下列说法正确的是（ ）
A．对角线相等且互相平分的四边形是菱形 B．对角线垂直且相等的四边形是正方形
C．两角分别相等的两个三角形相似 D．两边成比例且一角相等的两个三角形相似
【答案】C
【分析】
通过菱形的判定正方形的判定可判断A，B，根据相似三角形的判定可判断C，D．
【详解】
A．对角线垂直且互相平分的四边形是菱形．则A错误；
B.对角线垂直且相等的平行四边形四边形是正方形，则B错误；
C.两角分别相等的两个三角形相似，则C正确；
D.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．则D错误．
故选C．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，菱形的判定，正方形的判定，关键是熟练运用这些判定解决问题．
6．已知，在边上找一点，作，使，这样的点有（ ）
A．2个 B．3个 C．1个 D．无数个
【答案】D
【解析】
【分析】
平行于三角形的一边，其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.除线段上A、B两点外，有无数个这样的点.
【详解】
无数个，∵平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，AB边是由无数个点构成的，∴这样的点有无数个，故选D.
【点睛】
此题考查平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似的运用.
7．在边AB上有一点（点不与点、点重合），过点作直线截，使截得的三角形与相似，满足条件的直线共有（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
【答案】B
【分析】
点P在AB边上，根据相似三角形的判定方法进行分析，即可得到有几条这样的直线．
【详解】
( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )
满足条件的直线有3条，如图所示．
第一个，点P在边AB上，过点P作PD∥AC，根据平行于三角形的一边的直线与另一边相交，所构成的三角形与原三角形相似，得到△BPD∽△BAC；
第二个，点P在AB边上，过P作PD∥BC，根据平行于三角形的一边的直线与另一边相交，所构成的三角形与原三角形相似，得到△APD∽△ABC；
第三个，点P在边AB上，过点P作PD⊥AB，根据有两组角对应相等的两个三角形相似，得到△APD∽△ACB；
故选B．【版权所有：21教育】
【点睛】
本题考查了对相似三角形的判定方法，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定．
8．如图，在□ABCD中，点E在AD边上、EF∥CD，交对角线BD于点F，则下列结论中错误的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
A选项中，因为EF∥CD，CD∥AB，所以EF∥AB，所以，所以本选项正确；
B选项中，因为EF∥AB，所以△DEF∽△DAB，所以，所以本正确；
C选项中，因为EF∥AB，所以△DEF∽△DAB，所以，因为AB=CD，所以，所以本选项错误；
D选项中，因为EF∥AB，所以△DEF∽△DAB，所以，因为AB=CD，所以，所以本选项正确；
故选C.
9．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，且DE∥BC，AD=2，DB=3，△ADE的面是2，则四边形BCED的面积是（ ）
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A．4 B．8 C． D．
【答案】C
【解析】
解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∵AD=2，DB=3，∴，∴，∵△ADE的面积是2，∴△ABC的面积是12.5，∴四边形BCED的面积是12.5﹣2=10.5，故选C．
点睛：本题考查了相似三角形的判定和性质，注意：相似三角形的面积之比=相似比的平方．
10．如图，在的边上，过作直线（不与重合）截，使得所截三角形与原三角形相似，满足这样条件的直线最多有（ ）条．
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A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
根据相似三角形的判定方法可知：以AD为边 ( http: / / www.21cnjy.com )，作∠ADM=∠B或∠C即可得出△ADM∽△ABC或△ADM∽△ACB；同理以BC为边也可得出两种作法，因此满足条件的直线共有4条．
【详解】
解：如图：
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过D作直线DE∥BC，交AC于E；作DF∥AC，交BC于F；
过D作直线DG，交AC于G，使得∠ADG=∠C；同理可作直线DH，交BC于H，使得∠BDH=∠C；
因此符合条件的直线共有4条．
故选：B．
【点睛】
此题考查了相似三角形的判定：
①有两个对应角相等的三角形相似；
②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；
③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．
11．如图，A，C，E，G四点在同一直 ( http: / / www.21cnjy.com )线上，分别以线段AC，CE，EG为边在AG同侧作等边三角形△ABC，△CDE，△EFG，连接AF，分别交BC，DC，DE于点H，I，J，若AC=1，CE=2，EG=3，则△DIJ的面积是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据等边三角形的性质得到FG＝EG＝3，∠AGF＝∠FEG＝60°，根据三角形的内角和得到∠AFG＝90°，根据相似三角形的性质得到==，==，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】
∵AC＝1，CE＝2，EG＝3，
∴AG＝6，
∵△EFG是等边三角形，
∴FG＝EG＝3，∠AGF＝∠FEG＝60°，
∵AE＝EF＝3，
∴∠FAG＝∠AFE＝30°，
∴∠AFG＝90°，
∵△CDE是等边三角形，
∴∠DEC＝60°，
∴∠AJE＝90°，JE∥FG，
∴△AJE∽△AFG，
∴==，
∴EJ＝，
∵∠BCA＝∠DCE＝∠FEG＝60°，
∴∠BCD＝∠DEF＝60°，
∴∠ACI＝∠AEF＝120°，
∵∠IAC＝∠FAE，
∴△ACI∽△AEF，
∴==，
∴CI＝1，DI＝1，DJ＝，
∴IJ＝，
∴= DI IJ＝××．
故选：A．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键．21教育名师原创作品
12．如图，与的斜边相切于点，与直角边相交于点，且．已知，，，则的半径是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
延长AC交⊙O于F，连接FD．证明DF为 ( http: / / www.21cnjy.com )直径，FD⊥AD．利用△ADE∽△ABC求DE；利用△ADE∽△DFE求EF；利用勾股定理求DF．得解．
【详解】
延长AC交⊙O于F，连接FD，
∵∠C=90°，DE∥BC，
∴∠DEF=90°，
∴FD是圆的直径，
∵AB切⊙O于D，
∴FD⊥AB，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，即，
∴DE=4，
∵∠ADF=90°，DE⊥AF，
∴△ADE∽△DFE，
∴，即，
∴EF=4，
∴DF=，
∴半径为2，
故选D.
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【点睛】
本题考查了切线的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、圆周角定理等知识点，正确添加辅助线把半径转化到直角三角形中是解题的关键.
13．如图，已知和的面积相等，点在边上，交于点，，，则的长是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，易得△CDF与四边形AFEB的面积相等，再根据相似三角形的相似比求得它们的面积关系比，从而求DF的长．
【详解】
∵△ABC与△DEC的面积相等，
∴△CDF与四边形AFEB的面积相等，
∵AB∥DE，
∴△CEF∽△CBA，
∵EF=4，AB=6，
∴EF：AB=4：6=2：3，
∴△CEF和△CBA的面积比=4：9，
设△CEF的面积为4k，则四边形AFEB的面积=9k，
∵△CDF与四边形AFEB的面积相等，
∴S△CDF=5k，
∵△CDF与△CEF是同高不同底的三角形，
∴面积比等于底之比，
∴DF：EF=5k：4k，
∴DF=5，
故选C.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是会用割补法计算面积．
14．如图，是斜边上的高，，，则的长为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据射影定理，CD2=AD BD，求出AD,再求AB.
【详解】
根据射影定理，CD2=AD BD，
∴AD=9，
∴AB=AD+BD=13．
故选：D
【点睛】
本题考核知识点：相似三角形.解题关键点：理解相似三角形性质.
15．如图，在矩形ABCD中 ( http: / / www.21cnjy.com )，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，分析下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③S△AEF：S△CAB=1：4；④AF2=2EF2．其中正确的结论有（ ）
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A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解析】
【分析】
①根据四边形ABCD是矩形，BE⊥AC，可得∠ABC=∠AFB=90°，又∠BAF=∠CAB，于是△AEF∽△CAB，故①正确；
②根据点E是AD边的中点，以及AD∥BC，得出△AEF∽△CBF，根据相似三角形对应边成比例，可得CF=2AF，故②正确；
③根据△AEF∽△CBF得到EF与BF的比值，据此求出S△AEF=S△ABF，S△AEF=S△BCF，可得S△AEF：S△CAB=1：6，故③错误；
④根据AA可得△AEF∽△BAF，根据相似三角形的性质可得AF2=2EF2，故④正确．21世纪教育网版权所有
【详解】
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC=90°，
∴∠EAC=∠ACB，
∵BE⊥AC，
∴∠ABC=∠AFE=90°，
∴△AEF∽△CAB，故①正确；
∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴=，
∵AE=AD=BC，
∴=，
∴CF=2AF，故②正确；
∵△AEF∽△CBF，
∴EF：BF=1：2，
∴S△AEF=S△ABF，S△AEF=S△BCF，
∴S△AEF：S△CAB=1：6，故③错误；
∵△AEF∽△CAB，
∴∠AEF=∠BAF，
∵∠AFE=∠BFA=90°，
∴△AEF∽△BAF，
∴，
AF2=EF BF=2EF2，故④正确．
故选：B．21·cn·jy·com
【点睛】
本题属于四边形综合题，主要考查了相似三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算的综合应用，正确作出辅助线是解题的关键．解题时注意，相似三角形的对应边成比例．
16．如图，在，，，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
可以先根据∠ADB=∠CAB,∠B=∠B，所以△BAC∽△BDA,可的得出对应边成比例.
【详解】
由∠ADB=∠CAB,∠B=∠B，所以△BAC∽△BDA,所以,得到BC=，所以答案选择D项.
【点睛】
本题考查了相似三角形，了解相似三角形中对应边成比例是解决本题的关键.
17．如图，梯形中，，对角线、相交于，下面四个结论：
①②③④．其中结论始终正确的有（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】
根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行验证，从而得到最后答案．
【详解】
∵AB∥CD，
∴△AOB∽△COD（①正确），
∴S△DOC：S△BOA=( )2（③不正确），
∵△ABD与△ABC等高同底，
∴S△ABD=S△ABC，
∴S△ABD-S△AOB=S△ABC-S△AOB，
即S△AOD=S△BOC（④正确），
∴共有2个正确的，
故选B．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定：①如果两个 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似．相似三角形的对应边成比例，对应角相等．相似三角形的对应高、对应中线，对应角平分线的比等于相似比；相似三角形的周长比等于相似比；相似三角形的面积比等于相似比的平方．熟练掌握相似三角形的判定方法及性质是解题关键.
18．如图，已知与分别是等边三角形和等腰直角三角形，与分别是和的高，与交于点，，在同一条直线上，则下列说法不正确的是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设AB=BC=AC=2a，根据等边三角形的性质得出AD⊥BC，BD=DC=a，由勾股定理得AD=a，根据△DEF是等腰三角形得出FC⊥DE，DC=CE=DF=a，求出AD∥FC，推出△AGD∽△CGF，再逐个判断即可.
【详解】
A由分析知根据勾股定理得AD=，再由等腰三角形DEF,FC是高，得FC⊥DE，DC=CE=DF=a，AD∥FC，△AGD∽△CGF,正确
B∵△AGD∽△CGF,AD=a, FC=a，∴,正确,
C不能推出，错误
D∵△ADG∽△CDF, AD=a FC=a, ∴正确,所以答案选择C项.
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质和勾股定理的运用，求得△ADG∽△CDF是解决本题的关键.
19．如图，在平行四边形中，是上的一点，直线与的延长线交于点，并与交于点，下列式子中错误的是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由平行四边形的性质得出AB∥CD，AD∥BE，证明四边形AGCF是平行四边形，△BCG∽△BEA，△CEF∽△BEA，得出，，CF=AG，证出DF=BG，得出选项A、B正确；由平行线证出，得出，得出选项C正确，D不正确；即可得出结论．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BE，
∵CG∥AE，
∴四边形AGCF是平行四边形，△BCG∽△BEA，△CEF∽△BEA，
∴，，CF=AG，
∴DF=BG，，
∴选项A、B正确；
∵AD∥BE，
∴，
∴，
∴选项C正确，D不正确；
故选D．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质与判定、相似三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形相似得出比例式是解决问题的关键．
20．如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，其中∠ABC＝∠AED＝90°，CD与BE、AE分别交于点P、M．对于下列结论：①△CAM∽△DEM；②CD＝BE；③MP·MD＝MA·ME；④2CB2＝CP·CM．其中正确的是 ( )
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A．①② B．①②③ C．①②③④ D．①③④
【答案】C
【解析】
【分析】
①根据两个三角形的两角相等证明相似三角形；
②根据两个三角形的两边比值相等证明△BAE∽△CAD即可的CD与BE的比值；
③根据△BAE∽△CAD，得∠BEA=∠CDA，再根据△PME∽△AMD，
得MPMD=MAME；
④根据△PME∽△AMD ，得∠MPE=∠MAD=45°，再根据MPMD=MAME得△PMA∽△EMD，又因为∠APC=∠MAC=90°，∠ACP=∠MCA，所以△APC∽△MAC，则AC2=MCPC，再根据AC=BC，得2CB2=CPCM.
【详解】
①在等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE中，∠CAB=∠EAD=45°，
所以∠CAM=90°，
又因为∠CMA=∠DME（对顶角），∠AED=∠CAM=90°，
所以△CAM∽△DEM，故①正确.
②在等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE中，∠CAB=∠EAD=45°，AC=AB，AD=AE，
所以∠CAB+∠CAE=∠EAD+∠CAE，即∠BAE=∠CAD，
又因为=，所以△BAE∽△CAD.
则CD=BE，故②正确.
③由②中△BAE∽△CAD，得∠BEA=∠CDA，
又因为∠BEA=∠AMD，所以△PME∽△AMD，
所以=，即MPMD=MAME，故③正确.
④，由③中△PME∽△AMD ，得∠MPE=∠MAD=45°，
因为MPMD=MAME，所以=，所以△PMA∽△EMD，
所以∠APM=∠DEM=90°，
因为∠APC=∠MAC=90°，∠ACP=∠MCA，
所以△APC∽△MAC，
所以=，即AC2=MCPC，
又因为AC=BC，
所以2CB2=CPCM，故④正确.
故答案选C.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的性质与运用.
21．如图，在矩形ABCD中，E是CD边的中点，且BE⊥AC于点F，连接DF，则下列结论错误的是（ ）
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A．△ADC∽△CFB B．AD=DF C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据相似三角形的判定方法和性质进行判断即可.
【详解】
∵BE⊥AC,
∴∠BCF+∠ACD=∠CAD+∠ACD，
∴∠CAD=∠BCF，
∴△ADC∽△CFB，故A选项正确；
如图,过D作DM∥BE交AC于N，交AB于M，
∵DE∥BM,BE∥DM, ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴四边形BMDE是平行四边形，
∴
∴BM=AM，
∴AN=NF，
∵BE⊥AC于点F,DM∥BE，
∴DN⊥AF，
∴DM垂直平分AF，
∴DF=DA，故B选项正确；
设CE=a，AD=b，则CD=2a，
由△ADC∽△CFB,可得
即
∴
∴，故C选项错误；
∵E是CD边的中点，
∴CE:AB=1:2，
又∵CE∥AB，
∴△CEF∽△ABF，
∴，故选D选项正确；
故选：C.
【点睛】
考查相似三角形的判定与性质，矩形的性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.相似三角形的面积比等于相似比的平方.21教育网
22．如图，与相交于点，．若，则为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由AD∥BC可证明△ADE∽△CBE，再由相似三角形的性质就可以得出结论.
【详解】
∵AD∥BC.
∴△ADE∽△CBE，
，
∵AE:EC=1:2
，
故选D.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定及相似三角形的面积之比等于相似比的平方的运用．解答本题求出两三角形相似是关健.
23．如图，已知是中的边上的一点，，的平分线交边于，交于，那么下列结论中错误的是（ ）
A．△BAC∽△BDA B．△BFA∽△BEC
C．△BDF∽△BEC D．△BDF∽△BAE
【答案】C
【分析】
根据相似三角形的判定，采用排除法，逐项分析判断．
【详解】
∵∠BAD=∠C，
∠B=∠B，
∴△BAC∽△BDA．故A正确．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴△BFA∽△BEC．故B正确．
∴∠BFA=∠BEC，
∴∠BFD=∠BEA，
∴△BDF∽△BAE．故D正确．
而不能证明△BDF∽△BEC，故C错误．
故选C．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边和对应角．
24．如图，中，交于点，，，，，则的长等于（ ）
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A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由，∠BDE=∠ADC可证明△BDE∽△ACD，根据相似三角形对应找到成比例找出对应边即可求出DC的长.21*cnjy*com
【详解】
∵，∠BDE=∠ADC，
∴△BDE∽△ACD，
∴DC：BD=AD：DE，
∵，，AB=AD+BD，
∴AD=4，BD=6，
∴DC== = ，
故选A.
【点睛】
本题考查相似三角形的判定与性质，根据相似三角形找出对应边是解题关键.
25．在梯形中，，，，两腰延长线交于点，过作的平行线，交、延长线于、，等于（ ）
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A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据已知可求得△MCD∽△MAB，从而求 ( http: / / www.21cnjy.com )出BM：BD的值，又由△BCD∽△BEM，从而根据相似三角形的边对应边成比例求得EM的值，进而求得EF的值．
【详解】
∵AB∥CD，
∴△MDC∽△MBA，
∴MC：MA=CD：AB=b：a，
∴BM：BD=a：（a-b）．
在△BEM中，∵DC∥FM，∴BD：BM=CD：EM，
∴EM= = ，
同理，EM=FM，所以EF=，
故选B.
【点睛】
本题主要考查平行线分线段成比例定理的理解及运用.
26．如图，矩形中，点是的中点，交于，，连交于，则等于（ ）
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A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
求出∠1即可.
【详解】
∵∠1+∠2=90°，∠EGC=90°，
∴∠EGA+∠2=90°，
∴∠EGA=∠1（为了方便此处写成∠1），
∴△EAG∽△GDC，即=，即=，
又∵∠EGC=∠D=90°，
∴△ECG∽△GCD，因此，∠ECG=∠GCD.
又∵BE=BC，
∴∠BCE=∠BEC，
∵AB∥CD，
∴∠BCE=∠ECD=45°，
∴∠1=22.5°，
∵G是AD的中点，
∴由矩形的对称性可知，∠ABG=∠1=22.5°，
∴∠BFC=∠ABG+∠BEC=∠1+∠BEC=22.5°+45°=67.5°.
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【点睛】
利用相似求角相等是解题的关键.
27．如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，∠ACD＝∠B，AD＝1，AC＝2，若△ADC的面积为0.8，则△BCD的面积为（ ）
A．0.8 B．1.6 C．2.4 D．3.2
【答案】C
【分析】
根据相似三角形的判定与性质，求出答案.
【详解】
∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴,∴，∴AB=4，∴=,∴S△ABC=3.2，∴S△BCD=S△ABC-S△ACD=3.2-0.8=2.4，故答案选C.
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定以及相似三角形的基本性质，解此题的要点在于知道S△ACD与S△ABC的关系.
28．如图，∠A=∠B=90°，AB=7， ( http: / / www.21cnjy.com )AD=2，BC=3，如果边AB上的点P使得以P，A，D为顶点的三角形和以P，B，C为顶点的三角形相似，则这样的P点共有几个（ ）
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A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】
根据相似三角形的判定与性质，当若点A，P，D分别与点B，C，P对应，与若点A，P，D分别与点B，P，C对应，分别分析得出AP的长度即可．
【详解】
若点A，P，D分别与点B，C，P对应，即△APD∽△BCP，
∴，
∴，
∴AP2 7AP＋6＝0，
∴AP＝1或AP＝6，
当AP＝1时，由BC＝3，AD＝2，BP＝6，
∴，
又∵∠A＝∠B＝90°，
∴△APD∽△BCP．
当AP＝6时，由BC＝3，AD＝2，BP＝1，
又∵∠A＝∠B＝90°，
∴△APD∽△BCP．
若点A，P，D分别与点B，P，C对应，即△APD∽△BPC．
∴，
∴，
∴AP＝．
检验：当AP＝时，∵BP＝，AD＝2，BC＝3，
∴，
又∵∠A＝∠B＝90°，
∴△APD∽△BPC．
因此，点P的位置有三处，即在线段AP的长为1、、6，
故选C．
【点睛】
本此题考查了相似三角形的判定和性质，根据P点不同位置进行分析，解题时要注意一题多解的情况，要注意别漏解是解题关键.
29．如图，D为△ABC的边AB上一点，且∠ABC=∠ACD，AD=3 cm, AB=4 cm，则AC的长为（ ）
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A．2 cm B． cm
C．12 cm D．2 cm
【答案】D
【分析】
由题意易证△ACD∽△ABC，根据相似三角形的性质，可得，代入即可求出．
【详解】
∵在△ACD和△ABC中，
，
∴△ACD∽△ABC，
∴，
∵AD=3cm，AB=4cm，
∴AC==2cm，
故选D．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．
30．如图，，与相交于点，那么在下列比例式中，正确的是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据三角形的对应边成比例，找出对应边比则可．注意：对应角所对的边是对应边．
【详解】
∵AB∥CD，
∴∠A=∠D，∠B=∠C，∠AOB=∠COD，
∴△AOB∽△DOC，
∴AB：CD=OB：OC，
∴其它三项均不正确．
故选C．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和相似三角形的性质，对应边的比不要搞错．
二、填空题
31．在中，∠ACB=90°，AC>BC，O是边AB的中点，过点O的直线将分割成两个部分，若其中的一个部分与相似，则满足条件的直线共有____________条
【答案】3
【分析】
由于三角形ABC是直角三角形，所以必须保证直线l与三角形的任意一边能够形成直角三角形，进而再判定其是否相似．
【详解】
∵三角形ABC是直角三角形.
∴只有创造出一个直角时，才有可能满足题中相似的条件；
①当l∥BC时，可得三角形相似；
②当l∥AC时，亦可得三角形相似；
③当l⊥AB时，三角形也相似，
故满足题中的直线L共有3条.
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【点睛】
本题考查相似三角形的判定，对于没有图的 ( http: / / www.21cnjy.com )题可根据题意画出图形，通过图形得出小三角形与△ABC有一个角是公用角（也就是相等的）是解决此题的关键.
32．中，，，点在上，且，若要在上找一个点，使与相似，则__．
【答案】5或
【分析】
分两种情况讨论，由是公共角，当，即时，，当，即时，，可求的值．
【详解】
是公共角，
当，即时，
解得：
当，即时，
解得：
故答案为：5或
【点睛】
此题考查了相似三角形的判定．注意分类讨论思想的应用．
33．如图，在中，点在上，交于点，若，且，则_________．
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【答案】
【分析】
由四边形ABCD是平行四边形，可得 ( http: / / www.21cnjy.com )AB∥CD，AB=CD，继而可判定△BEF∽△DCF，根据相似三角形的对应边成比例，即可得BF：DF=BE：CD问题得解．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵AE：BE=4：3，
∴BE：AB=3：7，
∴BE：CD=3：7．
∵AB∥CD，
∴△BEF∽△DCF，
∴BF：DF=BE：CD=3：7，
即2：DF=3：7，
∴DF=．
故答案为．
【点睛】
此题考查了相似三角形的判定与性质与 ( http: / / www.21cnjy.com )平行四边形的性质．此题比较简单，解题的关键是根据题意判定△BEF∽△DCF，再利用相似三角形的对应边成比例的性质求解．
34．已知：如图，在中，点D在BC上，点E在AC上，DE与AB不平行添加一个条件______，使得∽，然后再加以证明．
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【答案】
【解析】
【分析】
由本题图形相似已经有一个公共角，再找一组对应角相等或公共角的两边对应成比例即可．
【详解】
解：添加条件为：，
理由：，
，
∽．
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
35．如图，在中，，，点P是AB边的中点，点Q是BC边上一个动点，当______时，与相似．
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【答案】1或4
【解析】
【分析】
直接利用∽或∽，分别得出答案．
【详解】
解：当∽时，
则，
，，点P是AB边的中点，
，
故，
解得：；
当∽时，
则，
，，点P是AB边的中点，
，
故，
解得：，
综上所述：当或4时，与相似．
故答案为：1或4．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，正确分类讨论是解题的关键．
三、解答题
36．如图，∠1=∠2=∠3,试找出图中两对相似三角形，并说明为什么
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【答案】△AFD∽△EFB，△ABC∽△ADE；理由见解析.
【分析】
根据两个三角形的两组角对应相等，那么这两个三角形互为相似三角形证明即可．
【详解】
解：△AFD∽△EFB，△ABC∽△ADE．
理由如下：∵∠2＝∠3，∠AFD＝∠EFB
∴△AFD∽△EFB，
∴∠B＝∠D．
∵∠1＝∠2，
∴ ，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴△ABC∽△ADE．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定定理，熟记判定定理，本题用到了两组角对应相等的两个三角形互为相似三角形．
37．如图，，求证：与相似.
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【答案】证明见解析
【分析】
两个三角形的若是有两组角相等，那么这两个三角形是相似三角形．根据题意可分别求出两组角相等，从而知道△ABC与△ADE相似．
【详解】
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，
即∠BAC=∠DAE，
又∵在△AHE和△DHC中，∠2=∠3，∠AHE=∠DHC
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∴∠C=∠E，
在△ABC和△ADE中
∵∠E=∠C，
∠BAC=∠DAE，
∴△ABC∽△ADE．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定定理，两个三角形的两组角对应相等，那么这两个个三角形互为相似三角形．
38．如图，已知E是的中线AD上一点，且.求证：.
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【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
根据三角形中线性质得，故，可进一步得.
【详解】
证明：∵AD是的中线，
∴.
∵，
∴，
即，
又∵，
∴.
【点睛】
考核知识点：相似三角形的判定.理解“两边成比例且夹角相等”的判定方法是关键.
39．在两个等腰三角形和中，、分别是顶角，试分别依据下列条件，判断是否相似？如果相似，请写出证明过程．
；
（或）
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）由等腰三角形的性质得出∠B ( http: / / www.21cnjy.com )=∠C，∠B′=∠C′，由顶角相等和三角形内角和定理得出∠B=∠C=∠B′=∠C′，即可得出△ABC∽△A′B′C′；
（2）由等腰三角形的性质得出∠B=∠C，∠B′=∠C′，再由∠B=∠B′（或∠C=∠C′），得出∠C=∠C′（或∠B=∠B′），即可得出结论．
【详解】
证明：∵和是等腰三角形，、分别是顶角，
∴，，
∵，，，
∴，
∴；∵和是等腰三角形，、分别是顶角，
∴，，
∵，
∴，
∴；
若，
同理可证：．
【点睛】
考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.
40．在中，，翻折，使点落在斜边上某一点处，折痕为（点、分别在边、上）
当时，若与相似（如图），求的长；
当点是的中点时（如图），与相似吗？请说明理由．
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【答案】（1）；（2），理由见解析
【解析】
【分析】
（1）如图1，连接CD，由已知条件得到△ ( http: / / www.21cnjy.com )ABC是等腰直角三角形由于△CEF与△ABC相似，于是得到△CEF也是等腰直角三角形求得∠CEF=∠A=45°，于是得到EF∥AB，由轴对称的性质等等EF⊥CD，求出CD⊥AB，根据直角三角形的性质即可得到结论；
（2）如图2，连接CD，与EF交于点Q，根据直角三角形的性质得到CD=DB=AB，于是得到∠DCB=∠B，由轴对称的性质得到∠CQF=∠DQF=90°，推出∠DCB+∠CFE=90°，由于∠B+∠A=90°，于是得到∠CFE=∠A，即可得到结论．2-1-c-n-j-y
【详解】
如图，连接，
∵，
∴是等腰直角三角形
又∵与相似，
∴也是等腰直角三角形
∴，
∴，
由轴对称的性质知：，
∴，
又∵，
∴点是的中点，
∴；
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当点是的中点时，与相似，
理由如下：如图，连接，与交于点，
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∵是的中线，
∴，
∴，
由轴对称的性质可知，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴．
【点睛】
本题主要考查了折叠的性质，勾股定理和相似三角形的判定与性质，难度适中．运用分类讨论及数形结合思想是解题的关键．
41．如图，、是两个全等的等腰直角三角形，．
若将的顶点放在上（如图），、分别与、相交于点、．求证：；
若使的顶点与顶点重合（如图），、与相交于点、．试问与还相似吗？为什么？
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【答案】（1）见解析；（2）与相似．理由见解析
【解析】
【分析】
（1）如图1，先根据等腰直角三角形的性 ( http: / / www.21cnjy.com )质得∠B=∠C=∠DPE=45°，再利用平角定义得到∠BPG+∠CPF=135°，利用三角形内角和定理得到∠BPG+∠BGP=135°，根据等量代换得∠BGP=∠CPF，加上∠B=∠C，于是根据有两组角对应相等的两个三角形相似即可得到结论；21cnjy.com
（2）如图2，由于∠B=∠C= ( http: / / www.21cnjy.com )∠DPE=45°，利用三角形外角性质得∠BGP=∠C+∠CPG=45°+∠CAG，而∠CPF=45°+∠CAG，所以∠AGP=∠CPF，加上∠B=∠C，于是可判断△PBG∽△FCP．
【详解】
证明：如图，
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∵、是两个全等的等腰直角三角形，
∴，
∴，
在中，∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
解：与相似．理由如下：
如图，∵、是两个全等的等腰直角三角形，
∴，
∵，
，
∴，
∵，
∴．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了等腰直角三角形的性质．
42．已知如图所示，AF⊥BC，CE⊥AB，垂足分别是F、E，试证明：
（1）△BAF∽△BCE．
（2）△BEF∽△BCA．
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【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析
【分析】
（1）根据两角相等，两个三角形相似即可得出结论；
（2）根据（1）得到△BAF∽△BC ( http: / / www.21cnjy.com )E，再由相似三角形的对应边成比例，得到BF：BE=BA：BC，由两边对应成比例，夹角相等两个三角形相似，即可得出结论．
【详解】
（1）∵AF⊥BC，CE⊥AB，∴∠AFB=∠CEB=90°．
∵∠B=∠B，∴△BAF∽△BCE；
（2）∵△BAF∽△BCE，∴BF：BE=BA：BC．
∵∠B=∠B，∴△BEF∽△BCA．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
43．在中，，，点在边上，．
求证：；
求的长．
【答案】（1）见解析；（2）．
【分析】
（1）证明∠B=∠C=36°；结合∠BAD=36°，得到△BAD∽△BCA．
（2）证明BD=AD（设为λ）；证明DC=AC=6；由△BAD∽△BCA，得到＝，即＝，求出λ=，即可解决问题.
【详解】
解：∵，，
∴；
∵，
∴．
∵，
∴（设为）；
∵，，
∴，；
∵，
∴，即，
解得：，
即的长．
【点睛】
该题主要考查了相似三角形的判定及其性质、等腰 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形的判定等几何知识点及其应用问题；解题的关键是牢固掌握相似三角形的判定及其性质、等腰三角形的判定等几何知识点.
44．如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且BD＝CE，AD与BE相交于点F．
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(1) 求证：△AEF与△ABE相似；
(2)试说明：BD2＝AD·DF．
【答案】详见解析
【解析】
【分析】
⑴根据等边三角形的性质,利用SAS证得△ABD≌△BCE;由△ABD≌△BCE得∠BAD=∠CBE,又∠ABC=∠BAC,可证∠ABE=∠EAF,又∠AEF=∠BEA,由此可以证明△AEF∽△BEA.
⑵由△ABD≌△BCE得∠BAD=∠FBD,又∠BDF=∠ADB,由此可以证明△BDF∽△ADB,然后可以得到=,即BD2＝AD·DF．
【详解】
⑴ ∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC,∠ABD=∠BCE,
又∵BD=CE,
∴△ABD≌△BCE,
∴∠BAD=∠CBE,
又∠ABC=∠BAC,
∴∠ABE=∠EAF,
又∵∠AEF=∠BEA,
∴△AEF∽△BEA.
⑵由(1)得:∠BAD=∠FBD,
又∵∠BDF=∠ADB,
∴△BDF∽△ADB,
∴=,
即BD2＝AD·DF．
【点睛】
本题考查了等边三角形与相似三角形的相关知识点，解题的关键是熟练的掌握等边三角形的性质和相似三角形判定与性质的相关知识.
45．已知矩形ABCD的一条边A ( http: / / www.21cnjy.com )D＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．如图，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．
（1）求证：；
（2）若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长．
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【答案】(1)详见解析；（2）10.
【分析】
①只需证明两对对应角分别相等可得两个三角形相似；故.
②根据相似三角形的性质求出PC长以及AP与OP的关系，然后在Rt△PCO中运用勾股定理求出OP长，从而求出AB长．
【详解】
①∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC,DC=AB,∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°.
由折叠可得：AP=AB，PO=BO，∠PAO=∠BAO，∠APO=∠B.
∴∠APO=90°.
∴∠APD=90° ∠CPO=∠POC.
∵∠D=∠C，∠APD=∠POC.
∴△OCP∽△PDA.
∴.
②∵△OCP与△PDA的面积比为1:4，
∴OCPD=OPPA=CPDA=14 √=12.
∴PD=2OC，PA=2OP，DA=2CP.
∵AD=8，
∴CP=4，BC=8.
设OP=x，则OB=x，CO=8 x.
在△PCO中，
∵∠C=90 ，CP=4，OP=x，CO=8 x，
∴x2=(8 x)2+42.
解得：x=5.
∴AB=AP=2OP=10.
∴边AB的长为10.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质以及翻转变换，解题的关键是熟练的掌握相似三角形与翻转变换的相关知识.
46．如图，在 ABCD中，对角线AC、BD交于点O，M为AD中点，连接OM、CM，且CM交BD于点N，ND=1．
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（1）证明：△MNO～△CND；
（2）求BD的长．
【答案】（1）详见解析；（2）3.
【解析】
分析：（1）由四边形ABCD为平行四边形，为AC中点，M为AD中点，根据中位线的性质得到ＯＭ∥ＣＤ，即可证得：
（2）由可得到根据即可求出，根据平行四边形的性质，即可确定出BD的长；
详解：（1）证明：□中为AC中点，
M为AD中点，
ＯＭ∥ＣＤ，
（2）由（1）知，，
．
四边形为平行四边形，
点睛：考查平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质等，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
47．已知，如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，点A、C的坐标分别为A(﹣3，0)，C(1，0)，tan∠BAC=．
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(1)求点B的坐标；
(2)在x轴上找一点D，连接BD使得△ABD与△ABC相似(不包括全等)，并求点D的坐标．
【答案】(1) B点坐标为（1，3）;(2) D（，0）
【分析】
（1）根据点A、C的坐标求出AC的长度，再根据tan∠BAC＝求出BC的长度，然后即可写出点B的坐标；
（2）过点B作BD⊥AB，交x轴于点D，D点为所求．又tan∠ADB＝tan∠ABC＝，CD＝BC÷tan∠ADB＝3÷＝，可求OD＝OC＋CD＝，所以D（，0）．
【详解】
（1）∵点A（﹣3，0），C（1，0），
∴AC=4，
则BC=tan∠BAC×AC=×4=3，
∴B点坐标为（1，3），
（2）如图，过点B作BD⊥AB，交x轴于点D，
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在Rt△ABC和Rt△ADB中，
∵∠BAC=∠DAB，
∴Rt△ABC∽Rt△ADB，
∴D点为所求，
又tan∠ADB=tan∠ABC=，
∴CD=BC÷tan∠ADB=3÷=，
∴OD=OC+CD=，
∴D（，0）．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，坐标与图形性质．难度适中．根据条件判定△ABC∽△ADB是解决第二小题的关键．
48．如图，已知△ABC中，AB=20，BC=14，AC=12，△ADE与△ACB相似，∠AED=∠B，DE=5．求AD，AE的长．
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【答案】
【分析】
根据题意△ADE与△ACB相似，再利用相似三角形的性质：对应边的比值相等即可求出AD，AE．
【详解】
∵△ADE与△ACB相似，
∠AED=∠B，∠A=∠A，
∴，
∴
∴AD=
∵
∴
∴AE= .
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的性质与应用.
49．如图，在△ABC和△ADE中，，点B、D、E在一条直线上，求证：△ABD∽△ACE．
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【答案】证明见解析；
【分析】
根据三边对应成比例的两个三角形相似可判定△ABC∽△ADE，根据相似三角形的性质可得∠BAC=∠DAE，即可得∠BAD=∠CAE，再由可得，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似即可判定△ABD∽△ACE．
【详解】
∵在△ABC和△ADE中，,
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
∵，
∴，
∴△ABD∽△ACE．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定方法是解决本题的关键．
50．如图所示，已知：点在的边上，连接，，，，求的长．
【答案】
【解析】
【分析】
根据有两组角对应相等的两个三角形相似判定△ACD∽△ABC，再根据对应边对应成比例从而求出AB的值，进而求出BD的长即可.
【详解】
∵，．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定和性质，两角对应相等，两三角形相似；两三角形相似，对应边成比例，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键.
51．为内一点，过点作，，分别平行于，，（如图所示）．
求证：;
．
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【答案】(1)见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
由，，可证明△PIF∽△CAB，进而可知，同理可知，即可得出结论；（2）仿照（1）的证明方法即可得出结论；
【详解】
∵，，，
∴可得，
∴，
同理，
．
仿可得，，
∴．
【点睛】
本题主要考查了平行线分线段成比例的性质，能够利用其性质通过线段之间的转化得出结论是解题关键.
52．已知D、E分别是△ABC的AB、AC上的点，∠ADE=∠C,AB=9,AD=3,AC=6.求EC的长.
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【答案】
【解析】
【分析】
先根据∠ADE=∠C，∠A=∠A，可证△ADE～△ACB，然后根据相似三角形的性质列比例式求解即可.
【详解】
∵∠ADE=∠C，∠A=∠A，
∴△ADE～△ACB，
∴，
∵AB=9,AD=3,AC=6，
∴，
∴AE=,
∴EC=AC-AE=6-=.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判 ( http: / / www.21cnjy.com )定与性质，相似三角形的判定方法有：①对应角相等、对应边成比例；②平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形和原三角形相似；③两角对应相等，两个三角形相似；④两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似；⑤三边对应成比例，两个三角形相似.
53．如图,⊙O 是直角△ABC 的外接圆, ( http: / / www.21cnjy.com )∠ABC=90 ，AB=12，BC=5， 弦 BD=BA，BE 垂直 DC 的延长线于点 E，
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求证：∠BCA=∠BAD.
（2）求证：△ABC∽△DEB
（3）求 DE 的长．
【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3) DE=
【解析】
【分析】
根据题意之间角的关系进行转化可证明∠BC ( http: / / www.21cnjy.com )A=∠BAD，再根据三角形相似的判定定理证明△ABC∽△DEB，再根据第二问中结论可直接求得第三问.
【详解】
(1)证明：∵BD=BA，∴∠B ( http: / / www.21cnjy.com )DA=∠BAD，∵∠BCA=∠BDA，∴∠BCA=∠BAD； (2)∵∠ABC=90 ，AB=12，BC=5，
∴AC==13，
∵∠BDE=∠CAB，而∠BED=∠CBA=90 ，∴△BED∽△CBA，
（3）∵△BED∽△CBA
∴,即，∴DE=
【点睛】
本题考查了圆的位置关系和圆的计算，掌握圆的相关性质和掌握三角形相似的判定是解决此题的关键.
54．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，若S△ADE=16cm2，S△EFC=49cm2， 求①，②S△ABC．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）；（2）121
【分析】
利用平行求相似三角形，再根据相似三角形的性质，对应求解.
【详解】
①∵DE∥BC，EF∥AB；
∴∠ADE=∠ABC, ∠AED=∠ACF；∴ΔADE∽ΔABC；
∠ABC=∠EFC, ∠EFC=∠ADE；∴ΔADE∽ΔEFC；
∴S△ADE：S△EFC =(BC：EF) =16:49, BC：EF=4：7；
∵DE∥BC，EF∥AB；
∴四边形DEFB为平行四边形，DE=BF；
∴= .
②∵ΔADE∽ΔABC，= ；
∴S△ADE：S△ABC=（4:11） =16：121；
∵S△ADE=16cm2；
∴S△ABC E=121 cm2．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的性质和利用平行求相似三角形，熟练掌握这两点是解题的关键.
55．如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连结CP并延长，交AD于E，交BA的延长线于点F．
试问：（1）图中△APD与哪个三角形全等？并说明理由．
（2）求证：PA2=PE PF．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）（2）见解析
【解析】
试题分析：（1）由菱形的性质可知：又因为所以≌
（2）首先证明从而得到，故
试题解析：（1）≌
理由：理由：∵四边形ABCD为菱形，
∴∠CDP=∠ADP，DC=AD.
在△APD和△CPD中,
∴≌
（2）∵≌
∴∠DCP=∠DAP，PC=PA.
∵，
∴∠DCP=∠AFP.
∴∠DAP=∠AFP.
又∵∠FPA=∠APE，
∴△EPA∽△APE.
∴，
即
56．如图， ，试说明：∠ABD=∠EBC．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】证明见解析.
【分析】
先根据三边对应成比例,两三角形相似可 ( http: / / www.21cnjy.com )判定△ABC∽△DBE,再根据相似三角形对应角相等可得: ∠ABC＝∠DBE,然后根据角的和差关系可得∠ABC－∠DBC＝∠DBE－∠DBC,继而可证: ∠ABD＝∠CBE.
【详解】
∵,
∴△ABC∽△DBE,
∴∠ABC＝∠DBE,
∴∠ABC－∠DBC＝∠DBE－∠DBC,
即∠ABD＝∠CBE.
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定和性质,解决本题的关键是要熟练掌握相似三角形的判定和性质.
57．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是CA，AB，BC的中点，求证：△ABC∽△FDE.
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】证明见解析.
【分析】
根据三角形中位线的判定可得:DE,DF,EF,是△ABC的中位线,然后根据中位线的性质可得:,最后根据三边对应成比例,两三角形相似可判定△ABC∽△FDE.
【详解】
∵点D,E,F分别是CA,AB,BC的中点,
∴,
∴△ABC∽△FDE.
【点睛】
本题主要考查三角形中位线的判定和性质,相似三角形的判定,解决本题的关键是要熟练掌握中位线的判定和性质,相似三角形的判定.【来源：21·世纪·教育·网】
58．如图，等边三角形的边长为，点为上的一点，点为上的一点，连结、，．
( http: / / www.21cnjy.com / )
求证：①；②；
若，求和的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）CD=．
【解析】
【分析】
（1）①由△ABC为等边三角形，易得∠ ( http: / / www.21cnjy.com )B=∠C=60°，又∠APD=60°，由外角性质可得∠DPC=∠PAB，利用相似三角形的判定定理（AA）可得△ABP∽△PCD；21·世纪*教育网
②由∠PAC=∠DAP，∠C=∠APD=60°，由相似三角形的判定定理（AA定理）可得△ADP∽△APC，利用相似三角形的性质可得结论；www-2-1-cnjy-com
（2）由AB=BC=3，PC=2，得到BP=1，由△ABP∽△PCD，利用相似三角形的性质可得，易得CD，可得AD，再利用AP2=AD AC，可得AP．【出处：21教育名师】
【详解】
（1）①在等边三角形△ACB中，∠B=∠C=60°．
∵∠APD=60°，∠APC=∠PAB+∠B，∴∠DPC=∠PAB，∴△ABP∽△PCD；
②∵∠PAC=∠DAP，∠C=∠APD=60°，∴△ADP∽△APC，∴，∴AP2=AD AC；
（2）∵AB=BC=3，PC=2，∴BP=1．
∵△ABP∽△PCD，∴，∴CD==，∴AD=3﹣=．
∵AC=3，AD=，AP2=AD AC，∴AP=．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，由条件证得△ABP∽△PCD，△ADP∽△APC是解答此题的关键．
59．如图，在中，、分别是、上的点，，，，的角平分线交于点，交于点．
( http: / / www.21cnjy.com / )
请你直接写出图中所有的相似三角形；
求与的比．
【答案】，，；．
【解析】
【分析】
（1）可得到三组三角形相似；
（2）先利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似证明△ADE∽△ACB，则∠ADG=∠C，再利用有两组角对应相等的两个三角形相似证明△ADG∽△ACF，然后利用相似三角形的性质和比例的性质求的值．2·1·c·n·j·y
【详解】
（1）△ADG∽△ACF，△AGE∽△AFB，△ADE∽△ACB；
（2）∵===，∴=．
又∵∠DAE=∠CAB，∴△ADE∽△ACB，∴∠ADG=∠C．
∵AF为角平分线，∴∠DAG=∠FAE
∴△ADG∽△ACF，∴==，∴=2．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质．熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
60．如图，中，，，矩形的边在线段上，、分别在、上，设为
（1）写出矩形PQED面积与的函数关系式；
（2）连PE，当∥时，求矩形面积.
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由条件可证明△BPD≌△CQE，可得BP＝CQ＝x，则PQ＝DE＝6 2x，过A作AF垂直BC，交BC于点F，则可求得AF＝4，BF＝3，利用平行可得，可用x表示出PD，则可表示出y和x的关系式；
（2）当DE∥AB时，可得DE＝BP＝PQ，即x＝6 2x，求得x＝2，代入上式可求得矩形PQED的面积．
【详解】
（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，且DP＝QE，∠BPD＝∠EQC＝90°，
在△BPD和△CQE中，
，
∴△BPD≌△CQE（AAS），
∴BP＝CQ＝x，
∴PQ＝BC BP CQ＝6 2x，
如图，过A作AF⊥BC，交BC于点F，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵AB＝AC＝5，BC＝6，
∴BF＝3，可求得AF＝4，
又∵PD∥AF，
∴，即，
∴PD＝，
∴y＝PD PQ＝ （6 2x）＝ x2＋8x；
（2）当PE∥AB时，且DE∥BP，
∴四边形BDEP为平行四边形，
∴DE＝BP＝x，
又∵DE＝PQ＝6 2x，
∴x＝6 2x，
解得x＝2，
∴y＝ ×22＋8×2＝，
即矩形PQED的面积为．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定 ( http: / / www.21cnjy.com )和性质及全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和平行四边形的性质．在（1）中利用x表示出PD的长、在（2）中得到DE＝BP是解题的关键．【来源：21cnj*y.co*m】
61．如图，正方形的边长为，点是边的中点，将沿翻折得到，延长交边于点，则，求出此时的值；
如图，矩形中，，，点是边的中点，同样将沿翻折得到，延长交边于点．
①证明：；
②若点恰是边的中点，求的值；
③若与相似，求的值．
( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】 ；①见解析；②，③．
【解析】
【分析】
（1）首先设DG为x，则由正方形的性质即可求得BG与CG的值，利用勾股定理构造方程，解方程即可求得DG的值；
（2）①首先连接EG，由△FBE是由△ABE翻折得到的，利用HL，即可求得Rt△EFG≌Rt△EDG，则可证得DG=FG；
②由G是CD的中点，得到DG与CG的值，在Rt△BCG中，利用勾股定理即可求得AD的长；
③由平行线与翻折变换的性质，易得：∠ABE=∠CGB，又由相似三角形的性质与三角函数的性质，即可求得AD的值．
【详解】
解：设为，
由题意得：，，
由勾股定理得：，
有：，
解得：．
∴；①证明：连接，
∵是由翻折得到的，
∴，，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴；
②解：若是的中点，则，
在中，，
∴．
③解：由题意，
∴．
∵是由翻折得到的，
∴，
∴．
∴若与相似，则必有．
在中，，
∴．
【点睛】
此题考查了翻折变换的性质，相似三角形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题综合性很强，注意数形结合与方程思想的应用．www.21-cn-jy.com
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第05讲 相似三角形判定定理的证明
【提升训练】
一、单选题
1．如图，已知点P是△ABC中边AC上的一点，联结BP，以下条件不能识别△ABP∽△ACB的是（ ）
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A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC
C．BC：BP=AC：AB D．AC：AB=AB：AP
2．如图，中，点是斜边上一点，过点作一条任意直线，使所截得的三角形与相似，这样的直线可以作（ ）条．21cnjy.com
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A．1 B．2 C．3 D．4
3．下列说法错误的是（ ）
A．有一个角等于的两个等腰三角形相似
B．有一个角等于的两个等腰三角形相似
C．有一个角等于的两个等腰三角形相似
D．有一个角等于的两个等腰三角形相似
4．如图，能使的条件是（ ）
A． B． C． D．
5．下列说法正确的是（ ）
A．对角线相等且互相平分的四边形是菱形 B．对角线垂直且相等的四边形是正方形
C．两角分别相等的两个三角形相似 D．两边成比例且一角相等的两个三角形相似
6．已知，在边上找一点，作，使，这样的点有（ ）
A．2个 B．3个 C．1个 D．无数个
7．在边AB上有一点（点不与点、点重合），过点作直线截，使截得的三角形与相似，满足条件的直线共有（ ）www.21-cn-jy.com
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
8．如图，在□ABCD中，点E在AD边上、EF∥CD，交对角线BD于点F，则下列结论中错误的是( )
A． B． C． D．
9．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，且DE∥BC，AD=2，DB=3，△ADE的面是2，则四边形BCED的面积是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
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A．4 B．8 C． D．
10．如图，在的边上，过作直线（不与重合）截，使得所截三角形与原三角形相似，满足这样条件的直线最多有（ ）条．www-2-1-cnjy-com
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A．5 B．4 C．3 D．2
11．如图，A，C，E，G四点在同一直线上， ( http: / / www.21cnjy.com )分别以线段AC，CE，EG为边在AG同侧作等边三角形△ABC，△CDE，△EFG，连接AF，分别交BC，DC，DE于点H，I，J，若AC=1，CE=2，EG=3，则△DIJ的面积是（ ）2-1-c-n-j-y
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
12．如图，与的斜边相切于点，与直角边相交于点，且．已知，，，则的半径是（ ）21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
13．如图，已知和的面积相等，点在边上，交于点，，，则的长是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
14．如图，是斜边上的高，，，则的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
15．如图，在矩形ABC ( http: / / www.21cnjy.com )D中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，分析下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③S△AEF：S△CAB=1：4；④AF2=2EF2．其中正确的结论有（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
16．如图，在，，，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
17．如图，梯形中，，对角线、相交于，下面四个结论：
①②③④．其中结论始终正确的有（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
18．如图，已知与分别是等边三角形和等腰直角三角形，与分别是和的高，与交于点，，在同一条直线上，则下列说法不正确的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
19．如图，在平行四边形中，是上的一点，直线与的延长线交于点，并与交于点，下列式子中错误的是（ ）21·世纪*教育网
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A． B． C． D．
20．如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，其中∠ABC＝∠AED＝90°，CD与BE、AE分别交于点P、M．对于下列结论：①△CAM∽△DEM；②CD＝BE；③MP·MD＝MA·ME；④2CB2＝CP·CM．其中正确的是 ( )
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A．①② B．①②③ C．①②③④ D．①③④
21．如图，在矩形ABCD中，E是CD边的中点，且BE⊥AC于点F，连接DF，则下列结论错误的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．△ADC∽△CFB B．AD=DF C． D．
22．如图，与相交于点，．若，则为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
23．如图，已知是中的边上的一点，，的平分线交边于，交于，那么下列结论中错误的是（ ）21·cn·jy·com
A．△BAC∽△BDA B．△BFA∽△BEC
C．△BDF∽△BEC D．△BDF∽△BAE
24．如图，中，交于点，，，，，则的长等于（ ）
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A． B． C． D．
25．在梯形中，，，，两腰延长线交于点，过作的平行线，交、延长线于、，等于（ ）21教育网
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A． B． C． D．
26．如图，矩形中，点是的中点，交于，，连交于，则等于（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
27．如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，∠ACD＝∠B，AD＝1，AC＝2，若△ADC的面积为0.8，则△BCD的面积为（ ）【出处：21教育名师】
A．0.8 B．1.6 C．2.4 D．3.2
28．如图，∠A=∠B=90 ( http: / / www.21cnjy.com )°，AB=7，AD=2，BC=3，如果边AB上的点P使得以P，A，D为顶点的三角形和以P，B，C为顶点的三角形相似，则这样的P点共有几个（ ）【版权所有：21教育】
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A．1 B．2 C．3 D．4
29．如图，D为△ABC的边AB上一点，且∠ABC=∠ACD，AD=3 cm, AB=4 cm，则AC的长为（ ）
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A．2 cm B． cm
C．12 cm D．2 cm
30．如图，，与相交于点，那么在下列比例式中，正确的是（ ）
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A． B． C． D．
二、填空题
31．在中，∠ACB=90°，AC>BC，O是边AB的中点，过点O的直线将分割成两个部分，若其中的一个部分与相似，则满足条件的直线共有____________条21世纪教育网版权所有
32．中，，，点在上，且，若要在上找一个点，使与相似，则__．
33．如图，在中，点在上，交于点，若，且，则_________．
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34．已知：如图，在中，点D在BC上，点E在AC上，DE与AB不平行添加一个条件______，使得∽，然后再加以证明．【来源：21cnj*y.co*m】
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35．如图，在中，，，点P是AB边的中点，点Q是BC边上一个动点，当______时，与相似．21教育名师原创作品
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三、解答题
36．如图，∠1=∠2=∠3,试找出图中两对相似三角形，并说明为什么
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37．如图，，求证：与相似.
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38．如图，已知E是的中线AD上一点，且.求证：.
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39．在两个等腰三角形和中，、分别是顶角，试分别依据下列条件，判断是否相似？如果相似，请写出证明过程．
；
（或）
40．在中，，翻折，使点落在斜边上某一点处，折痕为（点、分别在边、上）
当时，若与相似（如图），求的长；
当点是的中点时（如图），与相似吗？请说明理由．
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41．如图，、是两个全等的等腰直角三角形，．
若将的顶点放在上（如图），、分别与、相交于点、．求证：；
若使的顶点与顶点重合（如图），、与相交于点、．试问与还相似吗？为什么？
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42．已知如图所示，AF⊥BC，CE⊥AB，垂足分别是F、E，试证明：
（1）△BAF∽△BCE．
（2）△BEF∽△BCA．
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43．在中，，，点在边上，．
求证：；
求的长．
44．如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且BD＝CE，AD与BE相交于点F．
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(1) 求证：△AEF与△ABE相似；
(2)试说明：BD2＝AD·DF．
45．已知矩形ABCD的一条边AD＝ ( http: / / www.21cnjy.com )8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．如图，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．21*cnjy*com
（1）求证：；
（2）若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长．
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46．如图，在 ABCD中，对角线AC、BD交于点O，M为AD中点，连接OM、CM，且CM交BD于点N，ND=1．
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（1）证明：△MNO～△CND；
（2）求BD的长．
47．已知，如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，点A、C的坐标分别为A(﹣3，0)，C(1，0)，tan∠BAC=．
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(1)求点B的坐标；
(2)在x轴上找一点D，连接BD使得△ABD与△ABC相似(不包括全等)，并求点D的坐标．
48．如图，已知△ABC中，AB=20，BC=14，AC=12，△ADE与△ACB相似，∠AED=∠B，DE=5．求AD，AE的长．2·1·c·n·j·y
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49．如图，在△ABC和△ADE中，，点B、D、E在一条直线上，求证：△ABD∽△ACE．
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50．如图所示，已知：点在的边上，连接，，，，求的长．
51．为内一点，过点作，，分别平行于，，（如图所示）．
求证：;
．
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52．已知D、E分别是△ABC的AB、AC上的点，∠ADE=∠C,AB=9,AD=3,AC=6.求EC的长.
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53．如图,⊙O 是直角△ABC ( http: / / www.21cnjy.com )的外接圆,∠ABC=90 ，AB=12，BC=5， 弦 BD=BA，BE 垂直 DC 的延长线于点 E，
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（1）求证：∠BCA=∠BAD.
（2）求证：△ABC∽△DEB
（3）求 DE 的长．
54．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，若S△ADE=16cm2，S△EFC=49cm2， 求①，②S△ABC．
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55．如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连结CP并延长，交AD于E，交BA的延长线于点F．
试问：（1）图中△APD与哪个三角形全等？并说明理由．
（2）求证：PA2=PE PF．
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56．如图， ，试说明：∠ABD=∠EBC．
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57．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是CA，AB，BC的中点，求证：△ABC∽△FDE.
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58．如图，等边三角形的边长为，点为上的一点，点为上的一点，连结、，．
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求证：①；②；
若，求和的长．
59．如图，在中，、分别是、上的点，，，，的角平分线交于点，交于点．
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请你直接写出图中所有的相似三角形；
求与的比．
60．如图，中，，，矩形的边在线段上，、分别在、上，设为
（1）写出矩形PQED面积与的函数关系式；
（2）连PE，当∥时，求矩形面积.
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61．如图，正方形的边长为，点是边的中点，将沿翻折得到，延长交边于点，则，求出此时的值；
如图，矩形中，，，点是边的中点，同样将沿翻折得到，延长交边于点．
①证明：；
②若点恰是边的中点，求的值；
③若与相似，求的值．
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