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第05讲 一元二次方程的根与系数的关系
【基础训练】
一、单选题
1．已知关于x的方程x2+5x+a=0有一个根为﹣2，则另一个根为（ ）
A．3 B．﹣7 C．7 D．﹣3
2．已知是方程的两根，则的值为（ ）
A．9 B．7 C．5 D．3
3．已知一元二次方程x2﹣kx﹣3＝0的一根为2，则另一个根为（ ）
A．1 B． C． D．
4．关于x的方程有一个根为，则另一个根为（ ）
A．5 B．2 C． D．
5．已知m，n是方程x2﹣2x﹣5＝0的两个不同的实数根，则m+n的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣5 D．5
6．设关于的方程的两个实数根为、，现给出三个结论：①；②；③则正确结论的个数是（ ）21cnjy.com
A． B． C． D．无法确定
7．已知方程的一个根是1，则它的另一个根是（ ）
A．1 B．2 C． D．
8．已知一元二次方程x2－8x＋c＝0有一个根为2，则另一个根为（ ）
A．10 B．6 C．8 D．－2
9．方程的两根之和为（ ）
A． B．5 C． D．1
10．已知α、β是一元二次方程x2+x﹣2＝0的两个实数根，则α+β的值是（ ）
A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3
11．若关于的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．若关于的方程，它的一根为3，则另一根为（ ）
A．3 B． C． D．
，．
13．方程x2﹣6x+5＝0的两个根之和为（ ）
A．﹣6 B．6 C．﹣5 D．5
14．下列方程中两个实数根的和等于2的方程是（ ）
A．2x2-4x+3=0 B．2x2-2x-3=0 C．2y2+4y-3=0 D．2t2-4t-3=021世纪教育网版权所有
15．若关于x的一元二次方程x2＋kx＋4k2－3＝0的两个实数根分别是x1，x2，且满足x1＋x2＝x1·x2，则k的值是()．www.21-cn-jy.com
A．－1或 B．－1 C． D．不存在
16．对于一元二次方程，则它根的情况为（ ）
A．没有实数根 B．两根之和是3
C．两根之积是 D．有两个不相等的实数根
17．若2＋，2－是关于x的方程x2＋mx＋n＝0的两个实数根，则m＋n的值为（ ）
A．－4 B．－3 C．3 D．5
18．已知一元二次方程的两根为，，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．5
19．设，是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
20．设m、n是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
21．若一元二次方程x2﹣8x＋3＝0的两个实数根分别是a、b，则关于x的一次函数y＝abx﹣a﹣b的图象一定不经过（ ）2·1·c·n·j·y
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
22．若，是一元二次方程的两根，则的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．5 D．﹣5
23．已知、是关于的方程的两根，下列结论中不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．方程必有一正根
24．关于x的一元二次方程x2＋4x＋c＝0有实数根，则c应满足的条件是（ ）
A．c≤4 B．c≥4 C．c＜4 D．c＞4
25．已知Rt的两条直角边的长度恰好是一元二次方程的两个实数根，那么的面积为（ ）
A．16 B．32 C． D．
26．已知关于的一元二次方程的一个根是2，则另一个根是（ ）
A． B． C．3 D．
27．关于x的一元二次方程的根的情况为（ ）
A．有两个同号实数根 B．有两个异号实数根 C．没有实数根 D．无法判断
28．如果x1，x2是两个不相等实数，且满足x12﹣2x1＝1，x22﹣2x2＝1，那么x12+x22等于（ ）
A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．6
29．关于方程x2＋2x﹣4＝0的根的情况，下列结论错误的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．两实数根的和为2
C．两实数根的差为 D．两实数根的积为﹣4
30．方程的两个根为x1，x2，则等于（ ）
A．1 B．-1 C．3 D．-3
31．已知、是方程的两个实数根，则的值是（ ）
A． B． C． D．
32．方程的两根之和为（ ）
A． B． C． D．
33．若方程的两个实数根分别为、，则等于
A．3 B． C． D．
34．已知关于x的一元二次方程有一个根是x1=3，则另一个根x2是（ ）
A．﹣5 B．﹣3 C．1 D．2
35．关于一元二次方程2x2﹣5x＝2的根的判定中，正确的是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
36．设，是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．9 B．－9 C．1 D．－1
37．已知a，b是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两根，则a+b﹣2ab等于（ ）
A．7 B．﹣5 C．﹣7 D．5
38．若是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．2020 B．2019 C．2018 D．2017
39．若m，n是一元二次方程x2＋3x－2＝0的两个根，则m＋n－mn的值为( )
A．1 B．3 C．－1 D．－5
40．关于x的一元二次方程x2＋ax－3＝0的一个根是x＝1，则另一个根是（ ）
A．3 B．－3 C．2 D．－2
二、填空题
41．已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值是_____．
42．已知关于的方程（）的两实数根为，，若，则______．
43．若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值是______．
44．已知方程的两个解分别为，，则______．
45．已知，是一元二次方程的两根，则______．
三、解答题
46．已知关于x的方程（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，该方程总有实数根；
（2）若该方程有两个实数根、，求的值．
47．（1）解方程；
（2）若以方程的两个根为横坐标、纵坐标的点恰有点在函数的图象上，求满足条件的k的值．
48．已知关于的方程，当为何值时，方程的两根相互为相反数？并求出此时方程的解．
49．已知关于的方程．
（1）求证：无论取何实数，此方程都有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两根互为相反数，求的值．
50．若关于x的一元二次方程有一个根是x=1，求b的值及方程的另一个根．
51．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，．
（1）求的取值范围；
（2）若，且为整数，求的值．
52．已知方程是关于的一元二次方程．
（1）求证：对于任意实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是，求的值及方程的另一个根．
53．已知关于x的一元二次方程x2＋2x－k＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程有一个根为2，求方程的另一根．
54．已知关于x的方程x2+（2k﹣2）x+k2﹣1＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若x1，x2满足，求k的值．
55．已知P（a≠±b，ab≠0）
（1）化简P；
（2）若a、b是方程x2+（1）x0的两实根，求P的值．
56．已知关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程的两根x1，x2满足x12+x22＝16，求k的值．
57．如果，是一元二次方程的两根，那么有，．这是一元二次方程根与系数的关系，我们可以利用它来解题，例如：，是方程的两根，求的值．21·cn·jy·com
解法可以这样：
因为，，
所以．
请你根据以上解法解答下题：
设，是方程的两根，求：
（1）的值；
（2）的值．
58．关于x的一元二次方程－x＋p－1＝0有两实数根、．
（1）求p的取值范围；
（2）若p=0，求的值；
（3）若[2＋（1－）][2＋（1－）]＝9，求p的值．
59．已知关于的方程．
（1）不解方程，判断该方程根的情况；
（2）设方程的两实数根分别为、，若，试求m的值．
60．已知，是一元二次方程的两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使得等式成立？如果存在，请求出k的值，如果不存在，请说明理由．
61．已知关于的一元二次方程．
（1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）如果此方程有两个不相等的实数根，写出一个满足条件的的值，并求此时方程的根．
62．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0．
（1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根．
63．关于的方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）是否存在实数，使方程的两个实数根的倒数和等于？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
64．已知：平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣＝0的两个实数根．
（1）m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；
（2）若AB的长为2，那么 ABCD的周长是多少？
65．已知是方程的一个根，求方程的另一个根及c的值.
66．已知关于的一元二次方程.
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程两个根的绝对值相等，求此时的值.
67．已知关于x的方程x2＋ax＋a－1＝0.
（1）若方程有一个根为1，求a的值及该方程的另一个根；
（2）求证：不论a取何实数，该方程都有实数根．
68．已知x=﹣1是方程x2+mx﹣5=0的一个根，求m的值及方程的另一个根．
69．定义新运算：对于任意实数m， ( http: / / www.21cnjy.com )n都有m☆n＝m2n＋n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算. 例如：－3☆2＝(－3)2×2＋2＝20.根据以上知识解决问题：若2☆a的值小于0，请判断方程：2x2－bx＋a＝0的根的情况.21教育网
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第05讲 一元二次方程的根与系数的关系
【基础训练】
一、单选题
1．已知关于x的方程x2+5x+a=0有一个根为﹣2，则另一个根为（ ）
A．3 B．﹣7 C．7 D．﹣3
【答案】D
【分析】
首先根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后求解即可．
【详解】
由根与系数的关系可知，，
∵一个根为-2，
∴另一根为，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的根，掌握根与系数的关系是关键．
2．已知是方程的两根，则的值为（ ）
A．9 B．7 C．5 D．3
【答案】A
【分析】
利用 ，，解答即可.
【详解】
解：.∵是方程的两根，
∴，=7，
∴
∴
=2+7- +
=
=2+7
=9.
【点睛】
本题考查了根与系数的关系，掌握根与系数的关系是解题的关键.
3．已知一元二次方程x2﹣kx﹣3＝0的一根为2，则另一个根为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据根与系数的关系：求得即可．
【详解】
解：设方程的另一个根为，则根据题意，得2=-3，
解得，
故选：D．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系，牢记两根之积等于是解题的关键．
4．关于x的方程有一个根为，则另一个根为（ ）
A．5 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】
由题意可知，方程显然有两个实数根，故而结合韦达定理即根与系数的关系解答即可；
【详解】
由题知：关于的方程有一个根为﹣1，另一根为；
∴，
解得：，则另一根为5；
故选：A
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，重点在于熟练理解和掌握韦达定理的应用；
5．已知m，n是方程x2﹣2x﹣5＝0的两个不同的实数根，则m+n的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣5 D．5
【答案】B
【分析】
根据根与系数的关系即可得到．
【详解】
解：m，n是方程的两个实数根，
∴，
故选：．
【点睛】
本题主要考查了根与系数的关系，掌握根与系数的关系是解题的关键．
6．设关于的方程的两个实数根为、，现给出三个结论：①；②；③则正确结论的个数是（ ）21教育名师原创作品
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【分析】
根据一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式和完全平方公式进行判断即可.
【详解】
①∵方程 x2 (a+b)x+ab 1=0 中，△=（a+b）2﹣4（ab﹣1）=（a﹣b）2+4＞0，
∴x1≠x2；故①正确；
②∵x1x2=ab﹣1＜ab；故②正确；
③∵x1+x2=a+b，即（x1+x2）2=（a+b）2；
∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2
=（a+b）2﹣2ab+2=a2+b2+2＞a2+b2，
即x12+x22＞a2+b2；故③错误；
综上所述，正确的结论的个数是：2，
故选：B.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系， ( http: / / www.21cnjy.com )以及根的判别式，完全平方公式，解题的关键是，熟记根的判别式，两根之和，与两根之积，与各项系数之间的关系.
7．已知方程的一个根是1，则它的另一个根是（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【分析】
设方程的另一个根为x1，根据两根之积等于，即可得出关于x1的方程，解之即可得出结论．
【详解】
解：设方程的另一个根为x1，
根据题意得：1×x1=2，
则x1=2．
故选：B．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解以及解一元一次方程，牢记一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根之积等于是解题的关键．
8．已知一元二次方程x2－8x＋c＝0有一个根为2，则另一个根为（ ）
A．10 B．6 C．8 D．－2
【答案】B
【分析】
设方程的另一个根为t，利用两根之和为8得到2+t=8，然后解关于t的方程即可．
【详解】
解：设方程的另一个根为t，
根据题意得2+t=8，
解得t=6，
即方程的另一个根为6．
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．
9．方程的两根之和为（ ）
A． B．5 C． D．1
【答案】B
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系求解．
【详解】
解：由一元二次方程根与系数的关系可得：
一元二次方程的两根之和为：，
故选B．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键．
10．已知α、β是一元二次方程x2+x﹣2＝0的两个实数根，则α+β的值是（ ）
A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3
【答案】C
【分析】
根据韦达定理计算即可．
【详解】
即：∵α、β是一元二次方程x2+x﹣2＝0的两个实数根，
∴α+β==-1，
故选：C．
【点睛】
本题考查了韦达定理，掌握知识点是解题关键．
11．若关于的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
因为一元二次方程有实数根，所以 ，即可解得．
【详解】
∵一元二次方程有实数根
∴
解得
故选B
【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式，掌握方程根的个数与根的判别式之间关系是解题关键．
12．若关于的方程，它的一根为3，则另一根为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【分析】
设方程的另一根为t，根据根与系数的关系得到3+t=2，然后解关于t的一次方程即可．
【详解】
设方程的另一根为t，
根据题意得：3+t=2，
解得：t=-1，
即方程的另一根为-1．
故选：C．21教育网
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系：是一元二次方程的两根时，，．
13．方程x2﹣6x+5＝0的两个根之和为（ ）
A．﹣6 B．6 C．﹣5 D．5
【答案】B
【分析】
根据根与系数的关系得出方程的两根之和为，即可得出选项．
【详解】
解：方程x2﹣6x+5＝0的两个根之和为6，
故选：B．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系，解决问题的关键是熟练正确理解题意，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系.
14．下列方程中两个实数根的和等于2的方程是（ ）
A．2x2-4x+3=0 B．2x2-2x-3=0 C．2y2+4y-3=0 D．2t2-4t-3=0
【答案】D
【详解】
A中，由△=(-4)2-4×2×3=-8<0,故方程无实数根，故A错误；
B中，△=(-2)2-4×2×(-3)=28>0，则x1+x2=1；
C中，△=42-4×2×(-3)=40>0, 则x1+x2=-2；
D中△=(-4)2-4×2×(-3)=40>0，则x1+x2=2.
故选D.
点睛：根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-，x1x2=．
15．若关于x的一元二次方程x2＋kx＋4k2－3＝0的两个实数根分别是x1，x2，且满足x1＋x2＝x1·x2，则k的值是()．
A．－1或 B．－1 C． D．不存在
【答案】C
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系及x1+x2=x1x2，得出关于k的方程，解方程并用根的判别式检验得出k的值即可．
【详解】
解：由根与系数的关系，得x1+x2=-k，
因为x1x2=4k2-3，又x1+x2=x1x2，
所以-k=4k2-3，即4k2+k-3=0，
解得k=或-1，
因为△≥0时，所以k2-4（4k2-3）≥0，
解得： ≤k≤，故k=-1舍去，
∴k=．
故选C．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根与系数关系的应用，属于基础题，关键不要忘记利用根的判别式进行检验．
16．对于一元二次方程，则它根的情况为（ ）
A．没有实数根 B．两根之和是3
C．两根之积是 D．有两个不相等的实数根
【答案】A
【分析】
先找出，再利用根的判别式判断根的情况即可．
【详解】
解：
∵
∴
∴这个一元二次方程没有实数根，故A正确、D错误．
∵，故C错误．
，故B错误．
故选：A．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的情况、根的判别式、根与系数的关系、熟练掌握<0，一元二次方程没有实数根是关键．
17．若2＋，2－是关于x的方程x2＋mx＋n＝0的两个实数根，则m＋n的值为（ ）
A．－4 B．－3 C．3 D．5
【答案】B
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系可求解m、n的值，然后问题可求解．
【详解】
解：由题意得：
，
∴；
故选B．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
18．已知一元二次方程的两根为，，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．5
【答案】A
【分析】
根据一元二次方程根的定义，得，结合根与系数的关系，得+=3，进而即可求解．
【详解】
解：∵一元二次方程的两根为，，
∴，即：，+=3，
∴=-2(+)=-1-2×3=-7．
故选A．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根的定义以及根与系数的关系，熟练掌握（a≠0）的两根为，，则+=，=，是解题的关键．
19．设，是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【答案】B
【分析】
由题意根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出，将其代入中即可得出答案．
【详解】
解：∵，是方程的两个实数根，
∴，
∴=2022-1=2021．
故选：B．
【点睛】
本题考查根与系数的关系以及一元二次方程的解，根据一元二次方程的解及根与系数的关系找出是解题的关键．21*cnjy*com
20．设m、n是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
【答案】C
【分析】
由于m、n是方程x2+x-20 ( http: / / www.21cnjy.com )21=0的两个实数根，根据根与系数的关系可以得到m+n=-1，并且m2+m-2021=0，然后把m2+2m+n可以变为m2+m+m+n，把前面的值代入即可求出结果．
【详解】
解：∵m、n是方程x2+x-2021=0的 ( http: / / www.21cnjy.com )两个实数根，
∴m+n=-1，且m2+m-2021=0，
∴m2+m=2021，
∴m2+2m+n=m2+m+m+n=2021-1=2020．
故选C．
【点睛】
本题主要考查了根与系数的关系，代数式求值，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
21．若一元二次方程x2﹣8x＋3＝0的两个实数根分别是a、b，则关于x的一次函数y＝abx﹣a﹣b的图象一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】
根据根与系数的关系可得出a ( http: / / www.21cnjy.com )+b=8、ab=3，再结合一次函数图象与系数的关系，即可找出一次函数y=abx-a-b的图象经过的象限，此题得解．
【详解】
解：∵方程x2-8x+3=0的两个实数根分别是a、b，
∴a+b=8、ab=3，
则一次函数的解析式为y=3x-8，
∴该一次函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，
故选：B．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系以及一次函 ( http: / / www.21cnjy.com )数图象与系数的关系，利用根与系数的关系结合一次函数图象与系数的关系，找出一次函数图象经过的象限是解题的关键．
22．若，是一元二次方程的两根，则的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．5 D．﹣5
【答案】B
【分析】
直接根据根与系数的关系得出、的值，再代入计算即可．
【详解】
解：∵，是一元二次方程的两根，
∴；．
则．
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系，关键是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，，，．
23．已知、是关于的方程的两根，下列结论中不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．方程必有一正根
【答案】B
【分析】
由题意利用一元二次方程根与系数的关系，得出结论．
【详解】
解：∵、是关于的方程的两根，
∴，，，
∴，方程必有一正根，
故选B．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握，，是解题的关键，属于基础题．
24．关于x的一元二次方程x2＋4x＋c＝0有实数根，则c应满足的条件是（ ）
A．c≤4 B．c≥4 C．c＜4 D．c＞4
【答案】A
【分析】
由一元二次方程x2＋4x＋c＝0有实数根，利用一元二次方程的根的判别式列不等式，再解不等式即可得到答案．
【详解】
解：根据题意＝42﹣4c≥0，解得c≤4．
故选：A．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
25．已知Rt的两条直角边的长度恰好是一元二次方程的两个实数根，那么的面积为（ ）
A．16 B．32 C． D．
【答案】A
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系，可得，进而即可求解．
【详解】
解：设一元二次方程的两个实数根分别是：，
∴，
∵Rt的两条直角边的长度恰好是一元二次方程的两个实数根，
∴的面积=32÷2=16．
故选A．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握（a≠0）的两个实数根，满足，是解题的关键．
26．已知关于的一元二次方程的一个根是2，则另一个根是（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【分析】
根据一元二次方程根与系数关系直接求解即可．
【详解】
解：关于的一元二次方程的一个根是2，设另一个根是，
，
，
故选：A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数关系，解题关键是明确一元二次方程两根之积等于常数项除以二次项系数的商．
27．关于x的一元二次方程的根的情况为（ ）
A．有两个同号实数根 B．有两个异号实数根 C．没有实数根 D．无法判断
【答案】B
【分析】
根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解．
【详解】
解：由关于x的一元二次方程可得：，
∴，
∵，
∴，
设方程的两个根为，则根据韦达定理可得，
∴一元二次方程有两个异号实数根，
故选B．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．
28．如果x1，x2是两个不相等实数，且满足x12﹣2x1＝1，x22﹣2x2＝1，那么x12+x22等于（ ）
A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．6
【答案】D
【分析】
由已知得出x1，x2是方程x2 ( http: / / www.21cnjy.com )-2x-1=0的两个不相等的实数根，据此知x1+x2=2，x1x2=-1，将其代入x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2计算即可．
【详解】
解：∵x1，x2是两个不相等实数，且满足x12-2x1=1，x22-2x2=1，
∴x1，x2是方程x2-2x-1=0的两个不相等的实数根，
则x1+x2=2，x1x2=-1，
∴x12+x22
=（x1+x2）2-2x1x2
=22-2×（-1）
=4+2
=6，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=-p，x1x2=q．
29．关于方程x2＋2x﹣4＝0的根的情况，下列结论错误的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．两实数根的和为2
C．两实数根的差为 D．两实数根的积为﹣4
【答案】B
【分析】
根据根与系数的关系和根的判别式进行解答．
【详解】
解：、△，则该方程有两个不相等的实数根．故本选项不符合题意．
、设方程的两个跟为，，则，故本选项符合题意．
、设方程的两个为，，
则，
故本选项不符合题意．
、设方程的两个根为，，则，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了根与系数的关系和根的判别式，熟悉相关性质是解题的关键．
30．方程的两个根为x1，x2，则等于（ ）
A．1 B．-1 C．3 D．-3
【答案】A
【分析】
根据根与系数关系直接而计算即可．
【详解】
解：∵的两个根为x1，x2，
∴=．
故选：A
【点睛】
本题主要考查根与系数关系，牢记公式是解题的关键．
31．已知、是方程的两个实数根，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据方程解的概念得到，即，然后将原式变形为，从而代入，并结合一元二次方程根与系数的关系求解
【详解】
解：∵、是方程的两个实数根
∴，
即
由
将代入，
原式=
=
=
=
=
=
=
故选：C
【点睛】
本题考查一元二次方程的解的概念及一元二次方程的根与系数的关系，理解概念正确对原式进行变形计算是解题关键．2·1·c·n·j·y
32．方程的两根之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
直接根据一元二次方程根与系数的关系求解．
【详解】
解：若方程的两根为x1，x2，
所以x1＋x2＝5．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1＋x2＝ ，x1 x2＝．21*cnjy*com
33．若方程的两个实数根分别为、，则等于
A．3 B． C． D．
【答案】D
【分析】
直接由根与系数的关系公式求解即可．
【详解】
∵一元二次方程有解时，两根之和，
∴对于原方程，，
故选：D．
【点睛】
本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟记基本结论并灵活运用是解题关键．
34．已知关于x的一元二次方程有一个根是x1=3，则另一个根x2是（ ）
A．﹣5 B．﹣3 C．1 D．2
【答案】C
【分析】
利用根与系数的关系即可求出另一根．
【详解】
解：∵方程有一个根是x1=3，另一个根x2，
∴3+x2==4，即x2=1，
即方程另一根x2是1．
故选：C．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关键是解本题的关键．
35．关于一元二次方程2x2﹣5x＝2的根的判定中，正确的是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】B
【分析】
先把方程化为再计算＞ 从而可得答案．
【详解】
解：
＞
原方程有两个不相等的实数根．
故选：
【点睛】
本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
36．设，是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．9 B．－9 C．1 D．－1
【答案】A
【分析】
先根据根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算即可求解．
【详解】
解：根据题意得：，，
所以．
故选：A．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
37．已知a，b是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两根，则a+b﹣2ab等于（ ）
A．7 B．﹣5 C．﹣7 D．5
【答案】D
【分析】
根据一元二次方程的根与系数的关系求得、的值，然后将其代入所求的代数式并求值．
【详解】
解：∵a，b是一元二次方程的两个根，
∴由韦达定理，得，，
∴．
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若方程的两根分别为，，则，，熟记基本结论是解题关键．www.21-cn-jy.com
38．若是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．2020 B．2019 C．2018 D．2017
【答案】D
【分析】
根据方程的解的定义及韦达定理得出，，据此代入原式=计算可得．
【详解】
解：∵是一元二次方程的两个实数根，
∴，，
，
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，解题的关键是掌握韦达定理及整体代入思想的运用．
39．若m，n是一元二次方程x2＋3x－2＝0的两个根，则m＋n－mn的值为( )
A．1 B．3 C．－1 D．－5
【答案】C
【分析】
由韦达定理得出m＋n和mn的值，再代入计算可得答案．
【详解】
解：∵m，n是一元二次方程x2＋3x－2＝0的两个根，
∴m＋n＝ 3，mn＝ 2，
则m＋n mn＝ 3 （ 2）＝-1，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，x1＋x2＝ ，x1x2＝．www-2-1-cnjy-com
40．关于x的一元二次方程x2＋ax－3＝0的一个根是x＝1，则另一个根是（ ）
A．3 B．－3 C．2 D．－2
【答案】B
【分析】
根据根与系数的关系计算即可；
【详解】
∵一元二次方程x2＋ax－3＝0的一个根是x＝1，
∴，
∴；
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，准确计算是解题的关键．
二、填空题
41．已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值是_____．
【答案】
【分析】
根据一元二次方程的根与系数的关系计算．
【详解】
解：由题意可得：，
∴=，
故答案为：．
【点睛】
此题考查一元二次方程的根与系数的关系，熟记根与系数的关系是解题的关键．
42．已知关于的方程（）的两实数根为，，若，则______．
【答案】
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系可求出以及，然后根据条件变形代入求解即可．
【详解】
由题意，，，
∵，
∴，
即：，
解得：，
故答案为：．
【点睛】
本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟记基本公式，并灵活进行变形是解题关键．
43．若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值是______．
【答案】-3．
【分析】
先根据一元二次方程的解的定义得到，则，根据根与系数的关系得出，再将其代入整理后的代数式计算即可．21世纪教育网版权所有
【详解】
解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根，
∴，
∴，
∴
=
=1+2×（-2）
=-3
故答案为：-3．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，，也考查了一元二次方程的解．【来源：21cnj*y.co*m】
44．已知方程的两个解分别为，，则______．
【答案】24
【分析】
根据根的系数的关系得到，，再把原式因式分解即可代入求解．
【详解】
∵方程的两个解分别为，，
∴，，
∴．
故答案为：24．
【点睛】
此题主要考查代数式求值，解题的关键是熟知一元二次方程根的系数的关系．
45．已知，是一元二次方程的两根，则______．
【答案】1
【分析】
直接利用根与系数的关系求解即可．
【详解】
解：∵，是一元二次方程的两根，
∴，，
∴．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，若是方程()的两根，则，．
三、解答题
46．已知关于x的方程（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，该方程总有实数根；
（2）若该方程有两个实数根、，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）-1
【分析】
（1）分两种情况讨论．①当m=0时 ( http: / / www.21cnjy.com )，方程为x-1=0求出方程的解x=1；②当m≠0，则得到一个一元二次方程，求出方程的根的判别式△=(m+1)2得出不论m为何实数，△≥0成立，即可得到答案；
（2）由根与系数的关系得出“x1+x2=，x1 x2=”，整体代入即可得出结论．
【详解】
（1）证明：分两种情况讨论．
①当m=0时，方程为-x-1=0，
∴x=-1，
∴方程有实数根；
②当m≠0，△=(m-1)2-4m(-1)=m2-2m+1+4m=m2+2m+1=(m+1)2≥0，21·cn·jy·com
∴方程恒有实数根；
因此，不论m为何值，该方程总有实数根；
（2）解：∵x1，x2是方程的两个实数根，
∴x1+x2=-，x1 x2=-，
∴x1+x2+x1x2=--=-1．
【点睛】
本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）分类讨论；（2）结合根与系数的关系找出x1+x2=，x1 x2=．本题属于基础题，难度不大．【版权所有：21教育】
47．（1）解方程；
（2）若以方程的两个根为横坐标、纵坐标的点恰有点在函数的图象上，求满足条件的k的值．
【答案】（1），；（2）
【分析】
（1）利用公式法求解；
（2）根据“x1、x2为横坐标、纵坐标的点（ ( http: / / www.21cnjy.com )x1，x2）恰有点在函数y=x+6的图象上”，得到x1和x2的关系式，根据根与系数的关系，列出关于k的方程，解之，结合（1）中k得取值范围，即可得到答案．
【详解】
解：（1），
∵a=1，b=-1，c=-1，
∴，
∴，
∴，；
（2）根据题意得：
x2=x1+6，x2-x1=6，
整理得：（x1+x2）2-4x1x2=36，
∴x1+x2=2（k-3），x1x2=k2-4k-1，
则4（k-3）2-4（k2-4k-1）=36，
整理得：-2k+1=0，
解得：k=（符合题意），
即满足条件的k的值为．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，一元二次方程的解，根与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是正确掌握根与系数的关系和代入法．
48．已知关于的方程，当为何值时，方程的两根相互为相反数？并求出此时方程的解．
【答案】m=-2；
【分析】
先由两根互为相反数得出两根之和为0，即，据此可得的值，代入方程，求变形方程的根即可．
【详解】
解：∵关于的方程两根相互为相反数，
∴，
解得 ，
∴方程变形为，
解得．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系定理，一元二次方程的解法，熟练掌握根与系数关系定理，灵活选择方法求方程的根是解题的关键．
49．已知关于的方程．
（1）求证：无论取何实数，此方程都有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两根互为相反数，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）-2
【分析】
（1）计算出判别式的值得到△=5m2+28＞0，于是利用判别式的意义可得到结论；
（2）根据根与系数的关系得到m+2=0，解得m=-2．
【详解】
解：（1）证明：∵△=b2-4ac=（m+2）2+4（m2-m+6）=5m2+28＞0，
∴无论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根；
（2）解：∵方程的两根互为相反数，
∴两根之和为0
∴m+2=0，
解得m=-2．
【点睛】
本题考查的是根与系数的关系，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac的关系是解答此题的关键．
50．若关于x的一元二次方程有一个根是x=1，求b的值及方程的另一个根．
【答案】b的值为3，方程另一根为x=2．
【分析】
将x=1代入方程x2﹣bx+2=0得到b的值，再根据根与系数的关系求出另一根．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程x2﹣bx+2=0有一个根是x=1，
∴1﹣b+2=0，
解得：b=3，
把b=3代入方程得：x2﹣3x+2=0，
设另一根为m，可得1+m=3，
解得：m=2，
则b的值为3，方程另一根为x=2．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，记牢公式并灵活运用是解题关键．
51．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，．
（1）求的取值范围；
（2）若，且为整数，求的值．
【答案】（1）；（2）m=-1或m=0
【分析】
（1）根据根的判别式，可得到关于m的不等式，则可求得m的取值范围；
（2）由根与系数的关系，用m表示出两根积、求两根和，由已知条件可得到关于m的不等式，则可求得m的取值范围，再求其值即可．【来源：21·世纪·教育·网】
【详解】
解：（1）由题可得，
方程有两个不相等的实数根，
即．解得
（2）由根与系数的关系可得
，．
即，解得
由（1）可得
又为整数，
或
【点睛】
本题主要考查根与系数的关系及根的判别式，利用根的判别式求得m的取值范围是解题的关键，注意方程根的定义的运用．21cnjy.com
52．已知方程是关于的一元二次方程．
（1）求证：对于任意实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是，求的值及方程的另一个根．
【答案】（1）见解析；（2）的值为，方程的另一个根为
【分析】
（1）直接计算原方程根的判别式，结合非负性证明即可；
（2）方程的另一个根为，则结合条件运用“韦达定理”分别建立等式求解即可．
【详解】
解：（1），
，
，
∴对于任意实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程的另一个根为，根据题意得：
，解得：．
∴的值为，方程的另一个根为．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，以及方程的解，熟练掌握根的判别式和根与系数的关系是解题关键．
53．已知关于x的一元二次方程x2＋2x－k＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程有一个根为2，求方程的另一根．
【答案】（1）k＞－1；（2）
【分析】
（1）由一元二次方程x2＋2x－k＝0有两个不相等的实数根，可得：4－4×1×（－k）＞0，再解不等式可得答案；
（2）由方程有一个根为2，设方程的另一根 根据根与系数的关系可得：再解方程可得答案．
【详解】
解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴△＞0，即4－4×1×（－k）＞0，
＞
∴k＞－1；
（2） 方程有一个根为2，设方程的另一根
所以可方程的另一根为
【点睛】
本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键．
54．已知关于x的方程x2+（2k﹣2）x+k2﹣1＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若x1，x2满足，求k的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）由关于x的方程x2+（2k﹣2）x+k2﹣1＝0有两个实数根，可得，再列不等式，解不等式即可得到答案；
（2）由根与系数的关键可得：再代入解方程并检验即可得到答案．
【详解】
解：（1） 关于x的方程x2+（2k﹣2）x+k2﹣1＝0有两个实数根x1，x2，
，
（2）由根与系数的关系可得：
或，
不合题意，舍去，取
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的解法，一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键．
55．已知P（a≠±b，ab≠0）
（1）化简P；
（2）若a、b是方程x2+（1）x0的两实根，求P的值．
【答案】（1）P＝﹣3ab；（2）P＝﹣3．
【分析】
（1）先把括号里分式变成同分母的运算，再把除法变成乘法，再算乘法即可；
（2）根据根与系数的关系得出ab，代入求出即可．
【详解】
解：（1）P＝（） ab（a+b）
ab（a+b）
ab
＝﹣3ab；
（2）∵a、b是方程x2+（1）x0的两实根，
∴ab，
∴P＝﹣3ab＝﹣3．
【点睛】
本题考查了分式的混合运算和求值，根与系数的关系等知识点，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．2-1-c-n-j-y
56．已知关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程的两根x1，x2满足x12+x22＝16，求k的值．
【答案】（1）k＜1；（2）k＝﹣1．
【分析】
（1）根据方程的系数结合根的判别式＞0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围；
（2）根据根与系数的关系及x12+x22＝16，即可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出k值，再结合（1）的结论即可确定k的值．
【详解】
解：（1）∵a＝1，b＝2（k﹣1），c＝k2﹣1，
∴＝b2﹣4ac＞0，即[2（k﹣1）]2﹣4×1×（k2﹣1）＞0，
∴k＜1．
（2）∵关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0的两根为x1，x2，
∴x1+x2＝﹣2（k﹣1），x1x2＝k2﹣1．
∵x12+x22＝16，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝16，即[﹣2（k﹣1）]2﹣2（k2﹣1）＝16，
整理，得：k2﹣4k﹣5＝0，
解得：k1＝5，k2＝﹣1．
又∵k＜1，
∴k＝﹣1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系、根的判别式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
57．如果，是一元二次方程的两根，那么有，．这是一元二次方程根与系数的关系，我们可以利用它来解题，例如：，是方程的两根，求的值．
解法可以这样：
因为，，
所以．
请你根据以上解法解答下题：
设，是方程的两根，求：
（1）的值；
（2）的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）由根与系数的关系可得x1+x2=，x1x2=，将其代入到 中，求出结果即可；
（2）将x1+x2=，x1x2=代入到（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2即可得．
【详解】
（1）根据题意，可得x1+x2=，x1x2=，
∴；
（2）(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=．
【点睛】
本题考查根与系数的关系，解题关键是运用一元二次方程的两根为x1，x2，则有x1+x2= ，x1 x2=．
58．关于x的一元二次方程－x＋p－1＝0有两实数根、．
（1）求p的取值范围；
（2）若p=0，求的值；
（3）若[2＋（1－）][2＋（1－）]＝9，求p的值．
【答案】（1）；（2）-3；（3）-4．
【分析】
（1）一元二次方程有实数根，根据判别式的公式代入即可求p的取值范围；
（2）将p=0代入－x＋p－1＝0化简，再根据根与系数的关系得出与之间的关系，进一步可求得的值，代入即可求解；
（3）将等式变形，结合四个等式：，，代入求p，结果要根据p的取值范围进行检验．
【详解】
（1）x的一元二次方程－x＋p－1＝0有两实数根
即
解得：
p的取值范围为：；
（2）将p=0代入－x＋p－1＝0，
即－x－1＝0
，
（3）由[2＋（1－）][2＋（1－）]＝9，得
、为一元二次方程－x＋p－1＝0有两实数根
，
即
或
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根的判别式的运用，根与系数关系的运用以及等式变形的能力．
59．已知关于的方程．
（1）不解方程，判断该方程根的情况；
（2）设方程的两实数根分别为、，若，试求m的值．
【答案】（1）方程有两个不相等的实数根；（2）
【分析】
（1）根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系可求解．
【详解】
解：（1）由题意得：
∵b2-4ac=9+4m2＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两实数根分别为、，则有：，
∴，解得：，
把代入方程得：，
解得：．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根的判别式及韦达定理，熟练掌握一元二次方程根的判别式及韦达定理是解题的关键．
60．已知，是一元二次方程的两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使得等式成立？如果存在，请求出k的值，如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根据方程的系数结合≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围；
（2）根据根与系数的关系可得出x1＋x2＝2，x1x2＝k＋2，结合，即可得出关于k的方程，解之即可得出k值，再结合（1）即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵一元二次方程有两个实数根，
∴
解得；
（2）由一元二次方程根与系数关系，
∵，
∴
即，解得．
又由（1）知：，
∴．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系结合，找出关于k的方程．
61．已知关于的一元二次方程．
（1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）如果此方程有两个不相等的实数根，写出一个满足条件的的值，并求此时方程的根．
【答案】（1）证明见详解；（2），x1=0，x2=-1（答案不唯一）．
【分析】
（1）根据判别式的值，可判断方程总有两个的实数根；
（2）令，方程化为，然后利用因式分解法解方程即可．
【详解】
（1）证明：∵，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：如果此方程有两个不相等的实数根时，
即：，
∴
∴当时，方程化为，
解得x1=0，x2=-1．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系： ( http: / / www.21cnjy.com )一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．
62．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0．
（1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根．
【答案】（1）见解析；（2）a=，x1=﹣
【分析】
（1）根据根的判别式即可求解；
（2）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0，求出a，再利用根与系数的关系求出方程的另一根．
【详解】
解：（1）∵△=a2﹣4（a﹣2）=a2﹣4a+8=a2﹣4a+4+4=（a﹣2）2+4≥0，
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
（2）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0
得1+a+a﹣2=0，
解得a=；
∴方程为x2+x﹣=0，
即2x2+x﹣3=0，
设另一根为x1，则1×x1==﹣，
∴另一根x1=﹣．
【点睛】
此题主要考查一元二次方程根的求解，解题的关键是熟知根的判别式与根与系数的关系．
63．关于的方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）是否存在实数，使方程的两个实数根的倒数和等于？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）且；（2）不存在．理由见解析．
【分析】
(1)根据一元二次方程的定义和根的判别式得到m≠0且，然后求出两个不等式的公共部分即可；
(2)假设存在实数k使方程的两个实数根的倒数和等于2，利用根与系数的关系得出,，利用两个实数根的倒数和等于2，得出方程的解，结合m的取值范围判定即可．【出处：21教育名师】
【详解】
关于的方程有两个不相等的实数根，
解得且
假设存在实数，使方程两实数根据倒数和为
设方程的两根为
，
，
即，解得，
由(1)知且
不存在实数使方程两根的倒数和为
【点睛】
本题考查了根的判别式和根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=，x1x2=．21·世纪*教育网
64．已知：平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣＝0的两个实数根．
（1）m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；
（2）若AB的长为2，那么 ABCD的周长是多少？
【答案】（1）当m为1时，四边形ABCD是菱形，边长是；（2） ABCD的周长是5．
【分析】
（1）根据菱形的性质可得出AB＝AD， ( http: / / www.21cnjy.com )结合根的判别式，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，将其代入原方程，解之即可得出菱形的边长；
（2）将x＝2代入原方程可 ( http: / / www.21cnjy.com )求出m的值，将m的值代入原方程结合根与系数的关系可求出方程的另一根AD的长，再根据平行四边形的周长公式即可求出 ABCD的周长．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD．
又∵AB、AD的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣＝0的两个实数根，
∴△＝（﹣m）2﹣4×（﹣）＝（m﹣1）2＝0，
∴m＝1，
∴当m为1时，四边形ABCD是菱形．
当m＝1时，原方程为x2﹣x+＝0，即（x﹣）2＝0，
解得：x1＝x2＝，
∴菱形ABCD的边长是．
（2）把x＝2代入原方程，得：4﹣2m+﹣＝0，
解得：m＝．
将m＝代入原方程，得：x2﹣x+1＝0，
∴方程的另一根AD＝1÷2＝，
∴ ABCD的周长是2×（2+）＝5．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系、根的判别 ( http: / / www.21cnjy.com )式、平行四边形的性质以及菱形的判定与性质，解题的关键是：（1）根据菱形的性质结合根的判别式，找出关于m的一元二次方程；（2）根据根与系数的关系结合方程的一根求出方程的另一根．
65．已知是方程的一个根，求方程的另一个根及c的值.
【答案】该方程的另一个根为：，c的值为1.
【分析】
设出方程另一根，利用根与系数的关系建立方程求解即可得出结论．
【详解】
解：设方程的另一根为m，
∵是方程x2-4x+c=0的一个根，
∴，
解得
将代入得.
所以该方程的另一个根为：，c的值为1.
【点睛】
本题考查一元二次方程的根和根与系数关系. 若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根，则.
66．已知关于的一元二次方程.
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程两个根的绝对值相等，求此时的值.
【答案】（1）见解析；（2）或-1.
【分析】
（1）先求出判别式△的值，再对“△”利用完 ( http: / / www.21cnjy.com )全平方公式变形即可证明；
（2）根据求根公式得出x1=m+2，x2=1，再由方程两个根的绝对值相等即可求出m的值．
【详解】
解：（1）∵，
∴方程总有两个实数根；
（2）∵，
∴，.
∵方程两个根的绝对值相等，
∴.
∴或-1.
【点睛】
本题考查的是根的判别式及一元二次方程的解的定义，在解答（2）时得到方程的两个根是解题的关键．
67．已知关于x的方程x2＋ax＋a－1＝0.
（1）若方程有一个根为1，求a的值及该方程的另一个根；
（2）求证：不论a取何实数，该方程都有实数根．
【答案】（1）a＝0，x2＝－1；（2）见解析.
【分析】
（1）将x=1代入方程x2＋ax ( http: / / www.21cnjy.com )＋a－1＝0得到a的值，再根据根与系数的关系求出另一根；（2）写出根的判别式，配方后得到完全平方式，进行解答．
【详解】
（1）因为x＝1是方程x2＋ax＋a－1＝0的解，
所以把x＝1代入方程x2＋ax＋a－1＝0得，
1＋a＋a－1＝0，解得a＝0
∵ x1＋x2＝－a，∴ 1＋x2＝0，∴ x2＝－1
（2）∵ △=a2－4（a－1）＝a2－4a＋4＝（a－2）2≥0，
∴无论a为何值，此方程都有实数根.
【点睛】
本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根的判别式等知识，熟记“两根之和等于- ，两根之积等于 ”是解题的关键．
68．已知x=﹣1是方程x2+mx﹣5=0的一个根，求m的值及方程的另一个根．
【答案】m=﹣4， 另一根是5．
【详解】
试题分析：先根据方程的根的定义：方程的根就是使方程左右两边相等的未知数的值，把代入方程即可得到关于m的方程，求得m的值，然后代入原方程，最后再解方程即可.
试题解析：由题意得，解得
则原方程可化为，解得，
所以另一个根为-5．
考点：1.方程的根的定义；2.解一元二次方程
69．定义新运算：对于任意实数m，n都有 ( http: / / www.21cnjy.com )m☆n＝m2n＋n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算. 例如：－3☆2＝(－3)2×2＋2＝20.根据以上知识解决问题：若2☆a的值小于0，请判断方程：2x2－bx＋a＝0的根的情况.
【答案】方程2x2－bx＋a＝0有两个不相等的实数根.
【详解】
试题分析：根据2☆a的值小于0结合新运算可得出关于a的一元一次不等式，解不等式可得出a的取值范围，再由根的判别式得出△=，结合a的取值范围即可得知△的正负，由此即可得出结论．
试题解析：∵2☆a的值小于0，∴＜0，解得：a＜0．
在方程中，△=≥﹣8a＞0，∴方程有两个不相等的实数根．
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