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第05讲 一元二次方程的根与系数的关系
【提升训练】
一、单选题
1．已知，是方程的两根，则代数式的值是（ ）
A．-25 B．-24 C．35 D．36
【答案】D
【分析】
先根据已知可得，，a+b=3，然后再对变形，最后代入求解即可．
【详解】
解：∵已知，是方程的两根
∴，，a+b=3
∴=0+5+30+1=36．
故选D．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的解、根与系数的关系以及整式的变形，根据需要对整式灵活变形成为解答本题的关键．
2．已知方程的两根分别为，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据一元二次方程解的定义及根与系数的关系可得，，再代入通分计算即可求解．
【详解】
∵方程的两根分别为，，
∴，，
∴，
∴=====-1．
故选B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程解的定义及根与系数的关系，熟练运用一元二次方程解的定义及根与系数的关系是解决问题的关键．
3．定义新运算“”：对于任意实数a，b，都有，例如．若（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（ ）
A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
【答案】C
【分析】
根据新定义，得，转化成一元二次方程，利用根的判别式判断即可．
【详解】
∵，
∴，
∴变形为，
∴△＝
＝＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根，
故选C．
【点睛】
本题考查了新定义问题，一元二次方程根的判别式，准确理解新定义，灵活运用根的判别式是解题的关键．
4．设a、b是方程x2＋x－2021＝0的两个实数根，则a2+ab＋2a＋b的值是（ ）
A．2020 B．2021 C．-1 D．-2
【答案】C
【分析】
根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出a2+a=2021、a+b=-1、ab=-2021，将其代入则a2+b2+a+b中即可求出结论．
【详解】
解：∵a、b是方程x2＋x－2021＝0的两个实数根，
∴a2+a=2021、a+b=-1、ab=-2021，
∴a2+ab＋2a＋b= a2+ a+ab＋a＋b=2021-2021-1=-1．
故选：C．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程 ( http: / / www.21cnjy.com )的解，根据一元二次方程的解及根与系数的关系找出a2+a=2021、a+b=-1、ab=-2021是解题的关键．
5．已知，是一元二次方程两个根，则的值为（ ）
A． B．． C． D．
【答案】A
【分析】
根据根与系数的关系，，在原方程中找到一元二次方程的系数 a、b、c就可以求出的值即可．
【详解】
解：∵，是一元二次方程两个根，
∴由根与系数的关系得，，，
∴，
故选：A．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟悉相关性质是解题的关键．
6．已知关于x的方程x2+kx+2＝0的两个根为x1，x2，且，则k的值为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【分析】
根据根与系数关系列出方程求解即可．
【详解】
解：由题意知，x1+x2＝﹣k，x1 x2＝2．
则由得，
，即．
解得k＝4．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
7．已知、是关于的一元二次方程的两个根，若、、5为等腰三角形的边长，则的值为（ ）2-1-c-n-j-y
A．－4 B．8 C．－4或－8 D．4或－8
【答案】C
【分析】
利用根与系数的关系可求出a+b＝6，结 ( http: / / www.21cnjy.com )合等腰三角形的性质可得出a＝b＝3或a，b两数分别为1，5，再利用两根之积等于﹣n+1，即可求出n值．
【详解】
解：∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x﹣n+1＝0的两根，
∴a+b＝6，ab=﹣n+1，
又∵等腰三角形边长分别为a，b，5，
∴a＝b＝3或a，b两数分别为1，5．
当a＝b＝3时，﹣n+1＝3×3，解得：n＝﹣8；
当a，b两数分别为1，5时，﹣n+1＝1×5，解得：n＝﹣4．
故选：C．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系、三角形三边关系以及等腰三角形的性质，利用根与系数的关系结合等腰三角形的性质，求出a，b的值是解题的关键．
8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则x1x2的值是（ ）
A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．3
【答案】B
【分析】
直接根据根与系数的关系解答即可．
【详解】
解：∵x1、x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根，
∴x1x2=-3．
故选B．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-，x1 x2=．
9．关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，且，，则m的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
【答案】B
【分析】
根据方程有两个实数根列判别式求出m的取值范围，再根据，列式求出m的取值范围，即可得到答案．
【详解】
解：∵，
∴．
∵，
∴，
∴且．
故选：B．
【点睛】
此题考查根据一元二次方程根的 ( http: / / www.21cnjy.com )情况求字母的取值范围，一元二次方程根与系数的关系，正确掌握根的判别式的三种情况及根与系数的计算公式是解题的关键．
10．设a，b是方程 x2+x﹣2021＝0的两个实数根，则 a2+b2+a+b的值是（ ）
A．0 B．2020 C．4040 D．4042
【答案】D
【分析】
根据一元二次方程的解及根与系数的 ( http: / / www.21cnjy.com )关系可得出a+b=-1，ab=-2021，将其代入 a2+b2+a+b =（a+b）2+（a+b）-2ab中即可求出结论．
【详解】
解：∵a，b是方程x2+x-2020=0的两个实数根，
∴a+b=-1，ab=-2021
∴a2+b2+a+b =（a+b）2+（a+b）-2ab=1-1+4042=4042．
故选：D．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系找出a+b=-1，ab=-2021是解题的关键．
11．已知，是方程2+2x-3=0的两个根，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】
利用一元二次方程根与系数关系定理，具体化后，进行等量变形，代入化简即可．
【详解】
∵，是方程2+2x-3=0的两个根，
∴＋= -1
∴= - -1，
且2+2-3=0，
∴ (+1)=，
代入要求的式子中,得:
-
=-
=-
=
=.
故选B.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根与系数关系定理，方程根的定义，熟练运用定理，定义，用某根表示另一根后变形化简是解题的关键．
12．已知关于的方程的根为，，则的值是（ ）
A．-10 B．-7 C．-14 D．-2
【答案】C
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系分别求出b，c的值即可得到结论．
【详解】
解：∵关于的方程的根为，，
∴
∴，即b=-2，c=-12
∴．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=-，x1 x2=．
13．设，是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
【答案】C
【分析】
由一元二次方程根与系数的关系，得到，然后求出，然后代入计算，即可得到答案．
【详解】
解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，
∴
．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行解题．
14．已知关于的一元二次方程，当时，该方程解的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．没实数根
C．有两个相等的实数根 D．不能确定
【答案】A
【分析】
计算根的判别式，根据k的范围，判断判别式的属性，根据性质求解即可．
【详解】
解：∵一元二次方程，
∴△= =16+4k，
∵，
∴，
∴16+4k＞0，
∴△＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根，
故选A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，熟记公式，并根据字母范围确定判别式的属性是解题的关键．
15．一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根为x1，x2，则x12+3x2+x1x2+1的值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】A
【分析】
根据方程的根及根与系数的关系得到x12﹣3x1+1＝0，x1+x2=3，x1x2=1，将其代入代数式计算即可．
【详解】
解：由题意得x12﹣3x1+1＝0，x1+x2=3，x1x2=1，
∴x12+1=3x1，
∴x12+3x2+x1x2+1
=3x1+3x2+x1x2
=3（x1+x2）+ x1x2
=
=10，
故选：A．
【点睛】
此题考查一元二次方程的解，根与系数的关系式，求代数式的值，正确掌握根与系数的关系是解题的关键．
16．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B．且
C． D．且
【答案】B
【分析】
利用判别式大于零和二次项系数不为零求解即可．
【详解】
∵方程有两个不相等的实数根，
∴m≠0，且△＞0，
∴m≠0，且＞0，
∴且，
故选B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练运用判别式并保证二次项系数不能为零是解题的关键．
17．如果方程的两个根为，，那么的值为（ ）
A．7 B．6 C． D．0
【答案】A
【分析】
将代入方程，即可得，即可推出，再由韦达定理即可求出结果．
【详解】
将代入方程得：，即
∴．
∵、是方程的两个根，
∴，．
∴．
故选：A．
【点睛】
本题考查一元二次方程根与系数的关系以及代数式求值．熟知韦达定理公式是解答本题的关键．
18．一元二次方程的两根为、，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系求解即可．
【详解】
解：由一元二次方程根与系数的关系得：
= ==-2．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟记=，．
19．关于x的方程（a为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（ ）
A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根一个负根 D．无实数根
【答案】C
【分析】
先将方程整理为一般形式，计算，得到方程有两个不相等的实数根，再根据两根之积为负数即可求解．
【详解】
解：整理关于x的方程得
，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴方程了两个根一正一负．
故选：C
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数 ( http: / / www.21cnjy.com )的关系，熟知两个知识点是解题关键，注意在讨论一元二次方程根与系数的关系时首先要注意确保方程有实根．2·1·c·n·j·y
20．在下列方程中，有一个方程有两个实数根，且它们互为相反数，这个方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据题意一次项系数为0且△＞0判断即可．
【详解】
解：A、x-1=0是一次方程，方 ( http: / / www.21cnjy.com )程有一个实数根，故选项不合题意；
B、∵方程两根互为相反数和为0，一次项的系数为1，故选项不合题意；
C、∵△=0-4×1×（-1）=4＞0，且一次项系数为0，故此选项符合题意；
D、∵△=0-4×1×1=-4＜0，故此选项不合题意．
故选：C．【版权所有：21教育】
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=-，x1 x2=，也考查了一元二次方程的根的判别式．
21．已知a，b是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
A．81 B．61 C． D．
【答案】B
【分析】
根据题意将a，b代入方程得a ( http: / / www.21cnjy.com )2 2 a =10，b2 2b=10，由根与系数的关系得a+b=2，然后将上述等式变形代入所求的代数式中便可求解．
【详解】
∵a，b是一元二次方程x2 2x=10的两个根，
∴a2 2 a =10，b2 2b=10，a+b=2，
∴，，
∴
，
故答案为：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解和根与系数的关系，利用了整体代换的思想，属于常考题型．
22．若是方程的两个实数根，则代数式的值等于( )
A．2020 B．2019 C．2029 D．2028
【答案】D
【分析】
先根据一元二次方程的解的概念和根与系数的关系得出，，代入原式计算即可．
【详解】
解：∵， 是方程的两个实数根，
∴，
即，
由根与系数之间关系可知，
∴
=
=2020+
=2020+8
=2028．
所以选项D正确．
故答案为：D
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的解、根与系数之间的关系，本题解题的关键是将进行等量变形，并代入求解．
23．已知关于x的方程的两个根互为相反数，则a的值是（ ）
A．5 B．-3 C．5或-3 D．1
【答案】B
【分析】
利用根与系数的关系得出，进而求出即可，注意一元二次方程根的情况确定方法．
【详解】
解：∵关于x的方程的两个根互为相反数，
∴，
即：，
解得：或，
∵关于的方程为，
∴，即，
解得：，
∴不合题意舍去，
故，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了根与系数的关系以及根的判别式的应用，此题容易忽略根的判别式的应用．
24．设m、n是一元二次方程的两个根，则（ ）
A． B．1 C． D．17
【答案】B
【分析】
根据一元二次方程的根的定义、根与系数的关系即可得．
【详解】
由一元二次方程的根的定义得：，即，
由一元二次方程的根与系数的关系得：，
则，
，
，
，
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根的定义、根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．
25．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，那么称这样的方程为“邻根方程”．若关于的方程是常数，是“邻根方程”，令，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据“邻根方程”的定义求出，代入进行配方求出最大值即可．
【详解】
解：设、是方程是常数，的两根，
解得，，
∵原方程是“邻根方程”
∴或
∴当a=2时，t有最大值，最大值为4．
故选C.
【点睛】
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“邻根方程”的定义，本题属于中等题型．
26．关于x的方程（为常数）根的情况下，下列结论中正确的是（ ）
A．两个正根 B．两个负根
C．一个正根，一个负根 D．无实数根
【答案】C
【分析】
先将方程整理为一般形式，再根据根的判别式得出方程由两个不等的实数根，然后又根与系数的关系判断根的正负即可．
【详解】
解：，
整理得：，
∴，
∴方程有两个不等的实数根，
设方程两个根为、，
∵，
∴两个异号，而且负根的绝对值大．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系：，
27．等腰三角形的一边长是，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】C
【分析】
分类讨论：当3为等腰三角形的底边 ( http: / / www.21cnjy.com )，则方程有等根，所以△＝0，求解即可，于是根据根与系数的关系得两腰的和＝4，满足三角形三边的关系；当3为等腰三角形的腰，则x＝3为方程的解，把x＝3代入方程可计算出k的值即可．
【详解】
解：①当3为等腰三角形的底边，根据题意得△＝（-4）2 4k＝0，解得k＝4，
此时，两腰的和=x1+x2=4>3，满足三角形三边的关系，所以k＝4；
②当3为等腰三角形的腰，则x＝3为方程的解，把x＝3代入方程得9 12＋k＝0，解得k＝3；
综上，k的值为3或4，
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c ( http: / / www.21cnjy.com )＝0（a≠0）的解以及根与系数的关系等腰三角形的性质和三角形的三边关系，注意解得k的值之后要看三边能否组成三角形．
28．已知m，n是方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，则m2﹣2n+2015的值是（ ）
A．2021 B．2020 C．2019 D．2018
【答案】B
【分析】
根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得 ( http: / / www.21cnjy.com )出m2+2m＝1，m+n＝﹣2，将其代入m2﹣2n+2015＝（m2+2m）﹣2（m+n）+2015中即可求出结论．www.21-cn-jy.com
【详解】
解：∵m，n是方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，
∴m2+2m＝1，m+n＝﹣2，
∴m2﹣2n+2015＝（m2+2m）﹣2（m+n）+2015＝1+4+2015＝2020．
故选：B．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解及根与系数的关系，将要求的代数式合理变形是解题的关键．
29．已知，是方程的两根，则的值为（ ）
A．5 B．10 C．11 D．13
【答案】D
【分析】
先利用完全平方公式，得到，再利用一元二次方程根与系数关系：，即可求解．
【详解】
解：
故选：D．
【点睛】
此题主要考查完全平方公式的应用和一元二次方程根与系数关系，灵活运用完全平方公式和一元二次方程根与系数关系是解题关键．
30．下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
分别计算出每个方程的判别式即可判断．
【详解】
A、∵△=4-4×1×0=4＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；
B、∵△=16-4×1×（-1）=20＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；
C、∵△=25-4×3×2=1＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；
D、∵△=16-4×2×3=-8＜0，∴方程没有实数根，故本选项正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0 方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0 方程没有实数根．
31．已知，是一元二次方程的两个实数根且，则的值为（ ）．
A．0或1 B．0 C．1 D．
【答案】B
【分析】
根据韦达定理，可得出 ， ，再根据得出一个关于m的一元一次方程，解方程即可得出m的值.
【详解】
∵，是一元二次方程的两个实数根，
∴ ， ，
∵
∴m=0．
故选B.
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，得出 ，的值是解题的关键.
32．一元二次方程根的情况是（ ）
A．无实数根 B．有两个正根
C．有一个正根，一个负根 D．有两个负根
【答案】B
【分析】
先直接计算根的判别式，然后根据判别式的意义判断根的情况，再根据根与系数的关系判断根的正负性即可得到答案；
【详解】
解：一元二次方程的判别式为：
，
∴方程有两个实数根，
设两个实数根为： ，
根据根于系数的关系得到：，，
故均为正数，
因此方程有两个正根，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac以及根与系数的关系，，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．
33．若一元二次方程的两个根分别为，则的值为（ ）
A．-4 B．-2 C．0 D．1
【答案】B
【分析】
根据一元二次方程根的情况可得，，代入求解即可．
【详解】
∵一元二次方程的两个根分别为
∴，
∴
故答案为：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的问题，掌握一元二次方程根与系数的关系、韦达定理是解题的关键．
34．设，是方程的两根，则的值是（ ）
A．0 B．1 C．2000 D．4000000
【答案】D
【分析】
由已知方程的系数可得两根的关系（根据韦达定理或者叫根与系数的关系），再将所求代数式变形可求得代数式结果.
【详解】
解：
∵，是方程的两个实数根
∴
∴
故选D.
【点睛】
（1）将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法.
（2）二次函数为的两个不同实数根：，满足.
35．关于x的一元二次方程的两实数根分别为、，且，则m的值为（ ）
A． B． C． D．0
【答案】A
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2=4，代入代数式计算即可．
【详解】
解：∵x1+x2=4，
∴x1+3x2=x1+x2+2x2=4+2x2=5，
∴x2=，
把x2=代入x2-4x+m=0得：（）2-4×+m=0，
解得：m=，
故选A．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2=-，x1 x2=是解题的关键．21·世纪*教育网
36．若一元二次方程的两根为，，则的值是（ ）
A．4 B．2 C．1 D．﹣2
【答案】A
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系即可求解.
【详解】
根据题意得，，
所以．
故选A．
【点睛】
此题主要考查根与系数的关系，解题的关键是熟知根与系数的性质.
37．若是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．﹣2 B．6 C．﹣4 D．4
【答案】A
【分析】
利用根与系数的关系可得出x1+x2=-1、x1 x2=-3，，将代数式进行转化后，再代入数据即可得出结论．
【详解】
解：是一元二次方程的两个实数根，
，，，
故选．
【点睛】
本题考查了方程的解、根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，则.
38．已知等腰三角形的三边长分别为，且a、b是关于的一元二次方程的两根，则的值是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】A
【分析】
分三种情况讨论，①当a=4时，②当b=4时，③当a=b时；结合韦达定理即可求解；
【详解】
解：当时，，
是关于的一元二次方程的两根，
，
不符合；
当时，，
是关于的一元二次方程的两根，
，
不符合；
当时，
是关于的一元二次方程的两根，
，
，
，
；
故选A．
【点睛】
本题考查一元二次方程根与系数的关系；根据等腰三角形的性质进行分类讨论，结合韦达定理和三角形三边关系进行解题是关键．21·cn·jy·com
39．已知，是方程的两个实数根，则的值是( )
A．2023 B．2021 C．2020 D．2019
【答案】A
【分析】
根据题意可知b=3-b2，a+ ( http: / / www.21cnjy.com )b=-1，ab=-3，所求式子化为a2-b+2019=a2-3+b2+2019=（a+b）2-2ab+2016即可求解.
【详解】
，是方程的两个实数根，
∴，，，
∴；
故选A．
【点睛】
本题考查一元二次方程的根与系数的关系；根据根与系数的关系将所求式子进行化简代入是解题的关键．
40．关于x的一元二次方程有两个实数根，，则k的值（ ）
A．0或2 B．-2或2 C．-2 D．2
【答案】D
【分析】
将化简可得，，
利用韦达定理，，解得，k＝±2，由题意可知△＞0，
可得k＝2符合题意.
【详解】
解：由韦达定理，得：
＝k－1，,
由，得：
，
即，
所以，,
化简，得：，
解得：k＝±2，
因为关于x的一元二次方程有两个实数根，
所以，△＝＝〉0，
k＝－2不符合，
所以，k＝2
故选D.
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握并灵活运用是解题的关键.
二、填空题
41．设是关于x的方程的两个根，且，则_______．
【答案】2
【分析】
先利用根与系数的关系中两根之和等于3，求出该方程的两个根，再利用两根之积得到k的值即可．
【详解】
解：由根与系数的关系可得：，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴;
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数之间的关系，解决本题的关键是牢记公式，即对于一元二次方程，其两根之和为 ，两根之积为．
42．已知、是方程的两个实数根，则代数式______．
【答案】
【分析】
利用韦达定理可得出，，再通过代入移项可得到，分别代入运算即可．
【详解】
解：∵，和是方程的两个根
∴，，
∴
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了韦达定理，代数式的运算，熟练掌握韦达定理公式是解题的关键．
43．已知关于的一元二次方程有两个不等的实数根，．若，则的值为______．
【答案】2
【分析】
根据根的判别式先求出“△”的值，再根据根与系数的关系得出x1+x2=2（m+2），x1 x2=，变形后代入，即可求出答案．
【详解】
解：∵，且，
∴，且，
∵是方程有两个实数根，
∴，，
∵，
∴，即，
整理得：，
解得：．
∵，且，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键．
44．若方程的一个根是3，那么另一个根是_______
【答案】2
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系直接计算即可
【详解】
解：∵，
∴
∵方程的一个根是3
∴
故答案为：2
【点睛】
本题考查一元二次方程根与系数的关系，正确使用是关键
45．已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是__________．
【答案】9
【分析】
可表示为，由根与系数的关系即可求得结果．
【详解】
根据根与系数的关系得：，
∴=
故答案为：9．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关键是把用两根和与两根的积的代数式表示出来．
三、解答题
46．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）若该方程的两个根都是符号相同的整数，求整数m的值．
【答案】（1）；（2）1
【分析】
（1）直接利用根的判别式即可求解；
（2）根据韦达定理可得，，得到，根据两个根和m都是整数，进行分类讨论即可求解．
【详解】
解：（1）∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得；
（2）设该方程的两个根为、，
∵该方程的两个根都是符号相同的整数，
∴，，
∴，
∴m的值为1或2，
当时，方程两个根为、；
当时，方程两个根与不是整数；
∴m的值为1．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式、韦达定理，掌握上述知识点是解题的关键．
47．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，．
（1）求的取值范围：
（2）若，求的值．
【答案】（1）k>3；（2）8
【分析】
（1）根据一元二次方程有两个不相等实数根则判别式为正，即可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可求得k的取值范围；
（2）根据一元二次方程的根与系数的关系，把表示为两根的和与两根的积的代数式，得到关于k的方程，解方程即可求得k．
【详解】
（1）由题意，得：
解不等式，得：k>3
即当k>3时，方程有两个不相等的实数根
（2）由一元二次方程根与系数的关系，得：，
∵，
∴
解得：，
由（1）知，方程有两个不相等的实数解，则k>3，故k=-2不合题意，舍去
所以k=8
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，（2）问中有两个k的值，要注意验证，也就是说千万不要忽略方程有实数解这个前提．
48．甲、乙两人同解方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为
（1）求a，b的值；
（2）若关于x的一元二次方程两实数根为，，且满足，求实数m的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）将代入方程②求出b的值，将代入方程①求得a的值，即可得出答案，
（2）再将a，b的值代入中，再利用根与系数的关系得到方程组，解出两个根，即可得出m的值．
【详解】
解：（1）根据题意得解得
（2）当时，一元二次方程化为，
由根与系数关系得，
联成方程组得，解得
【点睛】
本题主要考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解和解二元一次方程组，一元二次方程以及根与系数的关系，正确理解题意是解题的关键．
49．已知关于x的一元二次方程x2－2x＋4－k＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若x13x2＋x1x23＝－48，求k的值．
【答案】（1）k＞3；（2）k=8．
【分析】
（1）令根的判别式大于0求解即可；
（2）变形后利用根与系数的关系求解即可．
【详解】
解：（1）依题意可知：△＞0，
即（-2）2-4（4-k）＞0，
∴k＞3；
（2）依题意可知：x1+x2=2，x1x2=4-k，
∵x13x2＋x1x23＝－48，
∴x1x2[（x1+x2）2-2x1x2]=－48，
整理得：k2－6k－16=0，
∴k1=8，k2=－2，
又∵k＞3，
∴k2=－2舍去只取k=8，
∴k的值8．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，以及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式，以及根与系数的关系是解答本题的关键．
50．关于的方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围：
（2）是否存在实数，使方程的两个实数根的倒数和等于1？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）且；（2）不存在，理由见解析
【分析】
（1）根据一元二次方程根的判别式、一元二次方程的定义计算即可；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系列出方程，解方程即可．
【详解】
解：（1）由题知，方程有两个不等实数根，所以，
，
解得且，
所以的取值范围是且；
（2）设方程的两个实数根为，，且倒数和等于1，
即，所以，
因为，，
所以，即，
解得：，
经检验是方程的根，
由（1）知的取值范围是：且，则不符合题意，
所以不存在这样的值使方程的两个实数根的倒数和等于1．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，，．21教育网
51．已知关于的方程有两个实数根、．
（1）求的取值范围
（2）若、满足等式，求的值．
【答案】（1）且；（2）-1．
【分析】
（1）根据一元二次方程成立的条件及根的判别式列不等式组计算求解；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系列方程求解．
【详解】
解：（1）∵关于的方程有两个实数根、
∴，解得：且
（2）由题意可得：，
由（1）可得，∴
∴
，
∴
解得：（不合题意舍去），
∴k的值为-1．
【点睛】
本题考查一元二次方程成立的条件以及一元二次方程的根与判别式和根与系数的关系，掌握相关概念正确计算是解题关键．
52．已知，是一元二次方程的两个实数根．
（1）求的取值范围；
（2）是否存在实数，使得等式成立 如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）存在满足条件的．
【分析】
（1）根据方程的系数，结合一元二次方程根的情况，得到根的判别式，转化为解关于的一元一次不等式，即可；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，即韦达定理，得到关于的方程，解之即可．
【详解】
（1）依题意得：，
，解得．
（2）依题意得：，
，即，
，解得，，
又，
存在满足条件的．
【点睛】
本题考查一元二次方程根与系数的 ( http: / / www.21cnjy.com )关系、一元二次方程根的判别式，涉及一元一次不等式、一元二次方程的解法等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．21*cnjy*com
53．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）如果符合条件的最大整数k是关于y的一元二次方程的一个根，求该方程的另一个根．
【答案】（1）k＜4且k≠2；（2）-1
【分析】
（1）根据题意可得根的判别式△＞0，列出不等式求解即可；
（2）根据k的最大值为3，根据题意先求出m的值，然后解一元二次方程即可求得答案．
【详解】
解：（1）由该一元二次方程有两个不相等的实数根得
且△
解得：k < 4
由二次项系数不为0得
，即；
∴；
（2）由题意的，
把y = 3 代入得
，
解得：；
把带入得
，
解得：，
∴该方程另一根；
【点睛】
本题考查根与系数的关系、根的判别式，解答本题的关键是明确题意，利用一元二次方程的知识解答．
54．已知m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两 ( http: / / www.21cnjy.com )个根，是否存在实数a使﹣（m+n）（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7）的值等于8？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．21*cnjy*com
【答案】存在，a＝-6
【分析】
根据方程的解的定义得出m2-2m=1，n2-2n=1，m+n=2，再整体代入即可得出a的值．
【详解】
解：存在，理由如下：
∵m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，
∴m2﹣2m＝1，n2﹣2n＝1，m+n＝2，
∴﹣（m+n）（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7）
＝﹣（m+n）[7（m2﹣2m）+a][3（n2﹣2n）﹣7]
＝﹣2×（7+a）（3﹣7）
＝8（7+a），
由8（7+a）＝8得a＝﹣6，
∴存在实数a＝﹣6，使﹣（m+n）（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7）的值等于8．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解、根与系数的关系，解题的关键是得出m2-2m=1，n2-2n=1，m+n=2，注意解题中的整体代入思想．【出处：21教育名师】
55．已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1＝0．
（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）若已知方程的一个根为﹣2，求方程的另一个根以及m的值．
【答案】（1）见解析；（2）方程的另一根为，m的值为
【分析】
（1）由△＝（m+3）2﹣4×1×（m+1）＝（m+1）2+4＞0可得答案；
（2）设方程的另外一根为a，根据一元二次方程根与系数的关系得出，解之即可得出答案．
【详解】
（1）证明：∵△＝（m+3）2﹣4×1×（m+1）
＝m2+6m+9﹣4m﹣4
＝m2+2m+1+4
＝（m+1）2+4＞0，
∴无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程的另外一根为a，
根据题意，得：，
解得：，
所以方程的另一根为，m的值为．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程根的判别式与一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识解决一元二次方程根的问题是解题的关键．【来源：21·世纪·教育·网】
56．已知，关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根是负数，求的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）求出方程的判别式的值，利用配方法得出，根据判别式的意义即可证明；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得出，解不等式求得的取值范围即可．
【详解】
（1）证明：，
无论为何值，方程总有两个实数根；
（2）∵，
∴ ，
∴ ，，
方程有一个根是负数，
，
解得，．
的取值范围为．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系的应用，熟记一元二次方程的求根公式是解题的关键．
57．已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根是1，求方程的另一个根．
【答案】（1）证明见解析；（2）该方程的另一个根式-3．
【分析】
（1）判断即可证明；
（2）根据韦达定理即可得出另一根．
【详解】
解：（1），
∵，
∴，
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程的另一个根为x，则
，解得，
故该方程的另一个根式-3．
【点睛】
本题考查根的判别式和根与系数关系．（1）中掌握的正负与一元二次方程之间的关系是解题关键；（2）熟记韦达定理是解题关键．
58．已知关于x的方程x2（2a+2）xa220的两根是一个矩形两邻边的长．
（1）a取何值时，方程有两个实数根；
（2）当矩形的对角线长为时，求a的值；
（3）当a为何值时，矩形变为正方形？
【答案】（1）；（2）1；（3）
【分析】
（1）根据根的判别式找出 =8a4，结合方程有两个实数根即可得出关于a的一元一次不等式，解不等式即可得出a的取值范围；
（2）由根与系数的关系即可得出x1+x22a2， x1x2a22，再根据x12x2210即可得出关于a的一元二次方程，解方程即可求出a的值，结合（1）的结论即可确定a值；21世纪教育网版权所有
（3）当矩形变为正方形时，方程的两根相等，即 =8a4=0，解方程即可得出a的值．
【详解】
解：（1） [- (2a+2)]241（ a2+2）8a4，
∵方程有两个实数根，
∴ ≥0
即 8a4≥0，
解得：a≥；
（2）设方程的两个根为x1、x2，则x1x22a2， x1x2a22，
∵ 矩形的对角线长为，
∴ x12x2210，
即x12x22(x1x2)22x1x2(2a2)22(a22)10，
整理得：2a28a100，
解得：a11，a25(舍去) ，
因此，当矩形的对角线长为时，a的值是1．
（3）当矩形变为正方形时，方程有两个相等的实数根，
∴ 8a40，
解得：a=．
【点睛】
本题考查了根的判别式、根与系数的关系、矩形 ( http: / / www.21cnjy.com )的性质、勾股定理、以及正方形的性质，解题的关键是：（1）根据根的判别式得出关于a的一元一次不等式；（2）结合根与系数的关系得出关于a的一元二次方程；（3）结合正方形的性质得出关于a的一元一次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式找出方程（或不等式）是关键．
59．关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程的两根x1，x2满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝6，求k的值．
【答案】(1)k≤1．(2)k的值是﹣4．
【分析】
(1)由方程有实数根结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出结论．
(2)根据一元二次方程的 ( http: / / www.21cnjy.com )根与系数的关系可以得到x1+x2＝﹣2（k﹣1），x1x2＝k2﹣1，再将它们代入（x1﹣1）（x2﹣1）＝6，即可求出k的值．
【详解】
解：(1)∵关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有实数根，
∴△＝[2（k﹣1）]2﹣4（k2﹣1）＝﹣8k+8≥0，
解得：k≤1．
∴k的取值范围为：k≤1．
(2)由根与系数关系得：x1+x2＝﹣2（k﹣1），x1x2＝k2﹣1，
所以（x1﹣1）（x2﹣1）＝x1x2﹣（x1+x2）+1＝k2﹣1+2（k﹣1）+1＝6．
解得k1＝2（舍去）或k2＝﹣4．
故k的值是﹣4．
【点睛】
此题主要考查了根与系数的关系，解题关键是熟练运用根与系数关系列出方程或不等式．
60．关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若，是该方程的两根，且满足两根的平方和等于3，求m的值．
【答案】（1）见解析；（2）或
【分析】
（1）根据跟的判别式时一元二次方程有两个不相等的实根证明即可；
（2）由已知可得，将其变形为，再根据韦达定理即可得到关于一元二次方程，则可解得的值．
【详解】
解：（1）由题：
=，
，
方程总有两个不相等的实根；
（2）由题知，
由韦达定理： ，，
，
，
解得：，，
故或．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系；掌握好关于一元二次方程的基础知识，能将正确变形是解决本题的关键．
61．已知是方程的两根，求：
（1）（x1+3）（x2+3）的值；
（2）的值．
【答案】（1）23；（2）2．
【分析】
（1）由根与系数的关系，得到x1+x2=4，x1 x2=2，然后把式子进行化简，即可得到答案；
（2）由根与系数的关系，把式子进行化简，即可得到答案；
【详解】
解：∵是方程的两根，
∴，，
（1）；
（2）．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是正确求出x1+x2=4，x1 x2=2，从而进行解题．
62．关于的一元二次方程的一个根是，另一个根．
（1）求、的值；
（2）若直线经过点，，求直线的解析式；
（3）在平面直角坐标系中画出直线的图象，是轴上一动点，是否存在点，使是直角三角形，若存在，写出点坐标，并说明理由．
【答案】（1），；（2）；（3）或，理由见解析．
【分析】
（1）将方程的一个根代入方程求得n,然后根据韦达定理求得m即可；
（2）设的解析式，直接将两点代入求解即可；
（3）分两种情况进行讨论：①是斜边；②是直角边，画图进行分析．
【详解】
解：（1）当时，方程为，解得，
，一元二次方程为的另一个根．
，
（2）设直线的解析式为，
直线经过点，，
，
解得，，
直线的解析式：；
（3）
( http: / / www.21cnjy.com / )
第一种：是斜边，，
，
当点与原点重合时，，
当点的坐标为，是直角三角形．
第二种：设是直角边，显然，则点为直角顶点，即，
线段在第一象限，
这时点在轴负半轴．
设的坐标为，
，，
，，，
，
，
．
，
，
解得，
当点的坐标为，是直角三角形，
综上，的坐标为或．
【点睛】
本题考察了一元二次方程，一次函数的运用，韦达定理，掌握分类讨论的思想是解决本题的关键．
63．已知关于的一元二次方程．
（1）当方程有两个不相等的实数根时，求的取值范围；
（2）若方程有一根为1，求的值并求出方程的另一根．
【答案】（1）；（2）；方程另一个根为2
【分析】
（1）根据根的判别式大于0时方程有两个不相等的实根建立不等式即可得解；
（2）将代入原方程解出m的值，再将m的值代入原方程即可得解．
【详解】
解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴．
（2）∵方程有一根为1，
∴将代入原方程中，得
，
解这个方程，得．
把代入原方程中，得，
解得，．
即方程的另一根为2．
【点睛】
本题考查了通过根的判别式确定一元二次方程解的情况、一元二次方程解的特征；解决本题关键在于掌握好一元二次方程根的判别式
64．已知关于x的一元二次方程有实数根．
（1）求的取值范围；
（2）如果方程的两个实数根为、，且，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）3＜．
【分析】
（1）由一元二次方程有实数根，得到△≥0即≥0，解不等式即可；
（2）先利用根与系数关系定理，得+=6，=2m+1，代入，求得m的一个范围，最后联立根的判别式确定范围即可．
【详解】
（1）∵一元二次方程有实数根，
∴△≥0即≥0，
∴9-2m-1≥0，
解得：
（2）∵一元二次方程的两个实数根为、，
∴+=6，=2m+1，
∵，
∴6+2（2m+1）＞20，
解得m＞3，
∵，
∴的取值范围是3＜．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数关系定理，结合具体方程将根与系数关系定理具体化，整体代入计算是解题的关键．
65．已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：对于任意实数a，方程恒有两个实数根
（2）设，是该方程的两个根，若，求a的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】
（1）证明一元二次方程的根的判别式△=b ( http: / / www.21cnjy.com )2-4ac＞0即可；
（2）根据一元二次方程的根与系数的关系得到，两根之和与两根之积，把|x1|+|x2|=4变形成与两根之和与两根之积有关的式子，代入两根之和与两根之积，求得a的值．【来源：21cnj*y.co*m】
【详解】
（1）∵，
∴，
∴对于任意实数a，方程恒有两个实数根．
（2）由韦达定理得：
∴，
∴，
∴．
又∵，
∴，
解得：．
【点睛】
（1）一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
①△＞0 方程有两个不相等的实数根；
②△=0 方程有两个相等的实数根；
③△＜0 方程没有实数根．
（2）一元二次方程根与系数的关系：
66．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根的积为2，求的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）由方程有两个不相等的实数根，结合根的判别式即可得出△，解之即可得出的取值范围；
（2）由根与系数的关系结合该方程的两个实数根的积为2，即可得出，解之即可求出值．
【详解】
解：（1）方程有两个不相等的实数根，
△，
解得：．
（2）设方程的两个根分别为、，
根据题意得：，
解得：．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）熟练掌握“当△时，方程有两个不相等的实数根”；（2）牢记两根之积等于．
67．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，．
（1）求的取值范围；
（2）若为满足条件的负整数，写出的值，并求出的值．
【答案】（1）；（2）-1，1．
【分析】
（1）根据根的判别式即可求出答案．
（2）根据a的范围可确定a的值，然后根据根与系数的关系即可求出答案．
【详解】
解：（1）∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴△，
．
（2）由（1）可知：，且a为负整数，
，
．
【点睛】
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用根的判别式以及根与系数的关系，本题属于基础题型．
68．已知关于的一元二次方程的两个根分别为，，利用一元二次方程的求根公式，可得利用上述结论来解答下列问题：
（1）已知的两个根为，，则 ， ；
（2）若，为的两个根，且，，则 ， ；
（3）已知关于的一元二次方程有两个实数根，，若，求的值．
【答案】（1）；；（2）；4；（3）3．
【分析】
（1）由韦达定理直接得出m＋n，mn的值即可；
（2）由韦达定理可得： x1+x2=k 1， x1x2=2 k，结合，，即可求解；
（3）由韦达定理可得： x1+ ( http: / / www.21cnjy.com )x2=k 1， x1x2=2 k，将它们代入变形后的一元二次方程，得到关于k的一元二次方程，解方程求出k的值，并根据根的判别式对一元二次方程的实数根的情况进行判断，不合题意的k值舍去即可．
【详解】
解：（1）一元二次方程的两个根为，，
，．
故答案为：；．
（2），为的两个根，且，，
，．
故答案为：；4．
（3）关于的一元二次方程有两个实数根，，
，．
，即，
，
整理，得：，
，
，．
当时，原方程为，
△，
符合题意；
当时，原方程为，
△，
不符合题意，舍去．
的值为3．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的解法、韦达定理以及根的判别式，熟记公式并整体代入是解题关键．
69．已知x=2是方程的一个根，求：
（1）m的值；
（2）的值．
【答案】（1）2；（2）
【分析】
（1）由x=2是方程的一个根，把x=2代入即可得到关于m的一元一次方程，求之即可；
（2）将m=2代入得到关于x的一元二次方程，根据根与系数的关系求出两根之和与两根之积，将所求的式子通分并利用同分母分式的加法法则计算，将求出的两根之和与两根之积代入计算即可．
【详解】
解：（1）把x=2代入，得
，
解得m=2
（2）将m=2代入，得
，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解，解一 ( http: / / www.21cnjy.com )元一次方程，分式的加法，以及根与系数的关系．方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键，
70．已知关于的一元二次方程为．
（1）当时，不解方程，判断方程根的情况；
（2）在（1）的条件下，若，求解这个方程．
【答案】（1）有两个不相等的实数根；（2），
【分析】
（1）根据关于x的一元二次方程的根的判别式△=b2-4ac的符号来判定该方程的根的情况；
（2）由已知条件列出关于m的方程，通过解该方程即可求得m的值．
【详解】
解：（1）把代入方程，得．
∵根的判别式为，
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）当时，方程为．∴．
．
∴，．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系 ( http: / / www.21cnjy.com )、根的判别式．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
71．已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m=0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围．
（2）若x1，x2是方程的两根，且x12+x22=12，求m的值．
【答案】（1）；（2）-2
【分析】
（1）根据根的判别式大于零求解即可；
（2）先求出x1+x2=-2m，x1 ( http: / / www.21cnjy.com )·x2=m2+m，然后把x12+x22=12变形为(x1+x2)2-2x1x2=12，再把x1+x2=-2m，x1·x2=m2+m代入求解即可；
【详解】
解：（1）∵此方程有两个不相等的实数根，
∴b2-4ac>0 ，即4m2-4(m2+m)＞0，
∴m<0；
（2）x1+x2=-2m，x1·x2=m2+m，
∵x12+x22=12，
∴(x1+x2)2-2x1x2=12，
∴m=3或m=-2，
由（1）可知m<0，故m=3舍去,
∴m=-2．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式，以及根与系数的关系，若x1，x2为方程的两个根，则x1，x2与系数的关系式：，．
72．关于x的一元二次方程x2+2（m-1）+m2-1=0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求实数m的取值范围；
（2）是否存在实数m，使得x12+x22=16+x1x2成立？如果存在，求出m的值；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）m<1；（2）存在，m=-1
【分析】
（1）由一元二次方程有两个不相等的实数根列得，解不等式即可；
（2）利用根与系数的关系得到=2-2m，，代入x12+x22=16+x1x2中求出m的值，根据（1）中m的取值范围确定m的值.21cnjy.com
【详解】
（1）∵一元二次方程x2+2（m-1）+m2-1=0有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
解得m<1；
（2）存在，
∵一元二次方程x2+2（m-1）+m2-1=0有两个不相等的实数根x1，x2，
∴=2-2m，，
若x12+x22=16+x1x2，则，
∴ ，
解得m=-1或m=9，
∵m<1，
∴m=9舍去，
即m=-1.
【点睛】
此题考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系式，解一元二次方程，正确计算是解题的关键.
73．已知关于的方程（为实数，且）的两根为，．
（1）若，求的值
（2）若，都是整数，求的值
【答案】（1）（2）1或 或 或
【分析】
（1）将代入，得，先根据判别式判断实数根的个数，然后根据韦达定理写出，，对原式进行变形即可求解；
（2）根据韦达定理写出，与k的关系，联立获得方程，根据，都是整数分情况讨论即可求解．
【详解】
（1）若，则方程为
由韦达定理可得，
（2）设
由韦达定理可得 ①
②
①+②得
，都是整数
或 或 或
代入①可得或 或 或
经检验，这些值均能使方程有实根
的值为1或 或 或
故答案为（1）（2）1或 或 或．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，和韦达定理，即一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握本部分的公式是本题的关键．
74．已知、是关于的一元二次方程的两实数根．
（1）若，求n的值；
（2）已知等腰三角形的一边长为7，若、恰好是△另外两边的长，求这个三角形的周长．
【答案】（1）6；（2）17.
【分析】
（1）根据根与系数的关系得，，接着利用，解得,根据判别式的意义b2-4ac≥0可得n≥2，于是可得n的值；
（2）分类讨论：若7为底，即时，根据判别式得到n=2，方程化为，解得，根据三角形三边的关系，n=2舍去；若7为腰，即时，把x=7代入方程得49-14(n+1)+n2+5=0，解得，当时，=10，解得，则三角形的周长为3+7+7=17；当时，由根与系数的关系得=22，解得，根据三角形的三边关系，舍去．
【详解】
解：（1）由题意得：，
∴
解得：
∵、是关于的一元二次方程的两实数根，
∴得：
∴
（2）①当7为底，即时，则，
即
解得
把n=2代入方程得
∴
∵3+3＜7（舍去）
②当7为腰，，即时，将x = 7 代入方程得49-14(n+1)+n2+5=0，
解得
当时，=22，
解得，
∴三角形的周长为3+7+7=17；
当时，=10，
解得
∵7+7＜15（舍去）
综上，三角形的周长为17．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的解，根的判别式等知识．牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．www-2-1-cnjy-com
75．已知x1、x2是关于x的﹣元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根．
（1）求a的取值范围；
（2）若（x1+1）（x2+1）是负整数，求实数a的整数值．
【答案】（1）a≥0且a≠6;（2）a的值为7、8、9或12．
【分析】
（1）根据一元二次方程的定义及一元二次方程的解与判别式之间的关系解答即可；
（2）根据根与系数的关系可得x1+x2=﹣ ，x1x2= ，由（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=﹣ 是是负整数，即可得是正整数．根据a是整数，即可求得a的值2．21教育名师原创作品
【详解】
（1）∵原方程有两实数根，
∴，
∴a≥0且a≠6．
（2）∵x1、x2是关于x的一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根，
∴x1+x2=﹣，x1x2=，
∴（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=﹣+1=﹣．
∵（x1+1）（x2+1）是负整数，
∴﹣是负整数，即是正整数．
∵a是整数，
∴a﹣6的值为1、2、3或6，
∴a的值为7、8、9或12．
【点睛】
本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能根据根的判别式和根与系数的关系得出关于a的不等式是解此题的关键．
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第05讲 一元二次方程的根与系数的关系
【提升训练】
一、单选题
1．已知，是方程的两根，则代数式的值是（ ）
A．-25 B．-24 C．35 D．36
2．已知方程的两根分别为，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．定义新运算“”：对于任意实数a，b，都有，例如．若（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（ ）
A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
4．设a、b是方程x2＋x－2021＝0的两个实数根，则a2+ab＋2a＋b的值是（ ）
A．2020 B．2021 C．-1 D．-2
5．已知，是一元二次方程两个根，则的值为（ ）
A． B．． C． D．
6．已知关于x的方程x2+kx+2＝0的两个根为x1，x2，且，则k的值为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．8
7．已知、是关于的一元二次方程的两个根，若、、5为等腰三角形的边长，则的值为（ ）21世纪教育网版权所有
A．－4 B．8 C．－4或－8 D．4或－8
8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则x1x2的值是（ ）
A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．3
9．关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，且，，则m的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
10．设a，b是方程 x2+x﹣2021＝0的两个实数根，则 a2+b2+a+b的值是（ ）
A．0 B．2020 C．4040 D．4042
11．已知，是方程2+2x-3=0的两个根，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．
12．已知关于的方程的根为，，则的值是（ ）
A．-10 B．-7 C．-14 D．-2
13．设，是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
14．已知关于的一元二次方程，当时，该方程解的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．没实数根
C．有两个相等的实数根 D．不能确定
15．一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根为x1，x2，则x12+3x2+x1x2+1的值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
16．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B．且
C． D．且
17．如果方程的两个根为，，那么的值为（ ）
A．7 B．6 C． D．0
18．一元二次方程的两根为、，则的值是（ ）
A． B． C． D．
19．关于x的方程（a为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（ ）
A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根一个负根 D．无实数根
20．在下列方程中，有一个方程有两个实数根，且它们互为相反数，这个方程是（ ）
A． B． C． D．
21．已知a，b是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
A．81 B．61 C． D．
22．若是方程的两个实数根，则代数式的值等于( )
A．2020 B．2019 C．2029 D．2028
23．已知关于x的方程的两个根互为相反数，则a的值是（ ）
A．5 B．-3 C．5或-3 D．1
24．设m、n是一元二次方程的两个根，则（ ）
A． B．1 C． D．17
25．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，那么称这样的方程为“邻根方程”．若关于的方程是常数，是“邻根方程”，令，则的最大值为（ ）21教育网
A． B． C． D．
26．关于x的方程（为常数）根的情况下，下列结论中正确的是（ ）
A．两个正根 B．两个负根
C．一个正根，一个负根 D．无实数根
27．等腰三角形的一边长是，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．
28．已知m，n是方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，则m2﹣2n+2015的值是（ ）
A．2021 B．2020 C．2019 D．2018
29．已知，是方程的两根，则的值为（ ）
A．5 B．10 C．11 D．13
30．下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）．
A． B．
C． D．
31．已知，是一元二次方程的两个实数根且，则的值为（ ）．
A．0或1 B．0 C．1 D．
32．一元二次方程根的情况是（ ）
A．无实数根 B．有两个正根
C．有一个正根，一个负根 D．有两个负根
33．若一元二次方程的两个根分别为，则的值为（ ）
A．-4 B．-2 C．0 D．1
34．设，是方程的两根，则的值是（ ）
A．0 B．1 C．2000 D．4000000
35．关于x的一元二次方程的两实数根分别为、，且，则m的值为（ ）
A． B． C． D．0
36．若一元二次方程的两根为，，则的值是（ ）
A．4 B．2 C．1 D．﹣2
37．若是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．﹣2 B．6 C．﹣4 D．4
38．已知等腰三角形的三边长分别为，且a、b是关于的一元二次方程的两根，则的值是（ ）
A． B． C．或 D．或
39．已知，是方程的两个实数根，则的值是( )
A．2023 B．2021 C．2020 D．2019
40．关于x的一元二次方程有两个实数根，，则k的值（ ）
A．0或2 B．-2或2 C．-2 D．2
二、填空题
41．设是关于x的方程的两个根，且，则_______．
42．已知、是方程的两个实数根，则代数式______．
43．已知关于的一元二次方程有两个不等的实数根，．若，则的值为______．
44．若方程的一个根是3，那么另一个根是_______
45．已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是__________．
三、解答题
46．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）若该方程的两个根都是符号相同的整数，求整数m的值．
47．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，．
（1）求的取值范围：
（2）若，求的值．
48．甲、乙两人同解方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为21cnjy.com
（1）求a，b的值；
（2）若关于x的一元二次方程两实数根为，，且满足，求实数m的值．
49．已知关于x的一元二次方程x2－2x＋4－k＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若x13x2＋x1x23＝－48，求k的值．
50．关于的方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围：
（2）是否存在实数，使方程的两个实数根的倒数和等于1？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
51．已知关于的方程有两个实数根、．
（1）求的取值范围
（2）若、满足等式，求的值．
【答案】（1）且；（2）-1．
52．已知，是一元二次方程的两个实数根．
（1）求的取值范围；
（2）是否存在实数，使得等式成立 如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．
53．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）如果符合条件的最大整数k是关于y的一元二次方程的一个根，求该方程的另一个根．
54．已知m，n是方程x2﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )2x﹣1＝0的两个根，是否存在实数a使﹣（m+n）（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7）的值等于8？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．21·cn·jy·com
55．已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1＝0．
（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）若已知方程的一个根为﹣2，求方程的另一个根以及m的值．
56．已知，关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根是负数，求的取值范围．
57．已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根是1，求方程的另一个根．
58．已知关于x的方程x2（2a+2）xa220的两根是一个矩形两邻边的长．
（1）a取何值时，方程有两个实数根；
（2）当矩形的对角线长为时，求a的值；
（3）当a为何值时，矩形变为正方形？
59．关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程的两根x1，x2满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝6，求k的值．
60．关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若，是该方程的两根，且满足两根的平方和等于3，求m的值．
61．已知是方程的两根，求：
（1）（x1+3）（x2+3）的值；
（2）的值．
62．关于的一元二次方程的一个根是，另一个根．
（1）求、的值；
（2）若直线经过点，，求直线的解析式；
（3）在平面直角坐标系中画出直线的图象，是轴上一动点，是否存在点，使是直角三角形，若存在，写出点坐标，并说明理由．www.21-cn-jy.com
63．已知关于的一元二次方程．
（1）当方程有两个不相等的实数根时，求的取值范围；
（2）若方程有一根为1，求的值并求出方程的另一根．
64．已知关于x的一元二次方程有实数根．
（1）求的取值范围；
（2）如果方程的两个实数根为、，且，求的取值范围．
65．已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：对于任意实数a，方程恒有两个实数根
（2）设，是该方程的两个根，若，求a的值．
66．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根的积为2，求的值．
67．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，．
（1）求的取值范围；
（2）若为满足条件的负整数，写出的值，并求出的值．
68．已知关于的一元二次方程的两个根分别为，，利用一元二次方程的求根公式，可得利用上述结论来解答下列问题：2·1·c·n·j·y
（1）已知的两个根为，，则 ， ；
（2）若，为的两个根，且，，则 ， ；
（3）已知关于的一元二次方程有两个实数根，，若，求的值．
69．已知x=2是方程的一个根，求：
（1）m的值；
（2）的值．
70．已知关于的一元二次方程为．
（1）当时，不解方程，判断方程根的情况；
（2）在（1）的条件下，若，求解这个方程．
71．已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m=0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围．
（2）若x1，x2是方程的两根，且x12+x22=12，求m的值．
72．关于x的一元二次方程x2+2（m-1）+m2-1=0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求实数m的取值范围；
（2）是否存在实数m，使得x12+x22=16+x1x2成立？如果存在，求出m的值；如果不存在，请说明理由．
73．已知关于的方程（为实数，且）的两根为，．
（1）若，求的值
（2）若，都是整数，求的值
74．已知、是关于的一元二次方程的两实数根．
（1）若，求n的值；
（2）已知等腰三角形的一边长为7，若、恰好是△另外两边的长，求这个三角形的周长．
75．已知x1、x2是关于x的﹣元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根．
（1）求a的取值范围；
（2）若（x1+1）（x2+1）是负整数，求实数a的整数值．
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