2021-2022学年 北师大版九年级上册第二章一元二次方程检测卷 (word版含解析)

2021-2022学年度北师大版九年级上册《一元二次方程》检测卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.关于 的方程 是一元二次方程，则（ ）
A. B. C. D. ≥0
2.有下列关于x的方程：①ax2+bx+c=0，②3x（x﹣4）=0，③x2+y﹣3=0，④ +x=2，⑤x3﹣3x+8=0，⑥ x2﹣5x+7=0，⑦（x﹣2）（x+5）=x2﹣1．其中是一元二次方程的有（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3.已知a ， b是方程x2+x﹣3=0的两个实数根，则a2﹣b+2020的值是（ ）
A. 2024 B. 2022 C. 2021 D. 2020
4.方程x2﹣3x+2=0的最小一个根的倒数是（　　）
A. 1 B. 2 C. D. 4
5.若关于x的一元二次方程 有两个实数根 ， ，则下列说法正确的是（　　）
A. a的值可以是0 B. C. D. ， 都是正数
6.已知一元二次方程x2﹣4x+3=0两根为x1、x2 ， 则x1 x2=（　　）
A. 4 B. 3 C. ﹣4 D. ﹣3
7.把一元二次方程 化为一般形式，正确的是( )
A. B. C. D.
8.某公司2018年缴税70万元，2020年缴税90万元，求该公司这两年缴税的年平均增长率．若设该公司这两年缴税的年平均增长率为x，根据题意，可得方程（ ）
A. 70x2=90 B. 70（1+x）2=90 C. 70（1+x）=90 D. 70+70（1+x）+70（1+x）2=90
9.用配方法解方程x2+2x-8=0，下列配方结果正确的是（　　）
A. （x+1）2=7 B. （x+1）2=9 C. （x-1）2=7 D. （x-1）2=9
10.若α、β是方程x2+2x﹣2007=0的两个实数根，则α2+3α+β的值（　　）
A. 2007 B. 2005 C. ﹣2007 D. 4010
二、填空题（每小题4分，共28分）
11.方程 的解是 ．
12.当m=________时，关于x的方程 是一元二次方程．
13.已知x1 ， x2是方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根，则x1+x2＝________．
14.一元二次方程（x+1）（3x-2）=10的一般形式是 。
15.已知关于x的方程 有两个不相等的实数根，则a的取值范围是________.
16.一元二次方程 的解是________.
17.方程x2-2|x+4|-27=0的所有根的和为 ．
三、解答题（一）（每小题6分，共18分）
18.解方程：4x2-3x-1=0
19.已知方程 是一元二次方程，求 的值.
20.根据扬州市某风景区的旅游信息， 公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社 元. 公司参加这次旅游的员工有多少人？
扬州市某风景区旅游信息表
旅游人数 收费标准
不超过 人 人均收费 元
超过 人 每增加 人，人均收费降低 元，但人均收费不低于 元
四、解答题（二）（每小题8分，共24分）
21.如图，在一张矩形的床单四周绣上宽度相等的花边，剩下部分面积为1.6m2 ， 已知床单的长是2m，宽是1.4m，求花边的宽度．
22.某小区有一块长21米，宽8米的矩形空地，如图所示．社区计划在其中修建两块完全相同的矩形绿地，并且两块绿地之间及四周都留有宽度为x米的人行通道．如果这两块绿地的面积之和为60平方米，人行通道的宽度应是多少米？
23.先化简，再求值：（+2﹣x）÷ ， 其中x满足x2﹣4x+3=0．
五、解答题（三）（每小题10分，共20分）
24.“低碳生活，绿色出行”,2017年1月,某公司向深圳市场新投放共享单车640辆.
（1）若1月份到4月份新投放单车数量的月平均增长率相同，3月份新投放共享单车1000辆.请问该公司4月份在深圳市新投放共享单车多少辆？
（2）考虑到自行车市场需求不断增加,某商城准备用不超过70000元的资金再购进A，B两种规格的自行车100辆，已知A型的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车进价为1000元/辆，售价为1300元/辆。假设所进车辆全部售完，为了使利润最大，该商城应如何进货？
25.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=﹣x+b与坐标轴交于C，D两点，直线AB与坐标轴交于A，B两点，线段OA，OC的长是方程x2﹣3x+2=0的两个根（OA＞OC）．
（1）求点A，C的坐标；
（2）直线AB与直线CD交于点E，若点E是线段AB的中点，反比例函数y= （k≠0）的图象的一个分支经过点E，求k的值；
（3）在（2）的条件下，点M在直线CD上，坐标平面内是否存在点N，使以点B，E，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.【答案】 A
【解析】【解答】要使ax2 3x+2=0是一元二次方程，必须保证a≠0.
故答案为：A.
【分析】由一元二次方程的定义可得a≠0.
2.【答案】 A
【解析】【解答】解：一元二次方程有②⑥，共2个，
故选A．
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
3.【答案】 A
【解析】【解答】解：∵a，b是方程x2+x-3=0的两个实数根，
∴a2+a-3=0，a+b= 1，
可得a2=3-a，
代入a2-b+2020=3-a-b+2020=2023-（a+b）=2023-（-1）=2024．
故答案为：A．
【分析】把根代入得到关于a的二次式，变形得到一次式代入所求式子，再由根与系数关系得到a与b的和代入，即可得到结果．
4.【答案】 A
【解析】【解答】解：x2﹣3x+2=0，
（x﹣1）（x﹣2）=0，
x﹣1=0或x﹣2=0，
x1=1或x2=2，
所以方程x2﹣3x+2=0的最小一个根的倒数是1，
故选A．
【分析】此题需先求出方程x2﹣3x+2=0的根，再求出最小的一个根的倒数即可．
5.【答案】 D
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程 有两个实数根，
∴
∴ ，故A错
∵关于x的一元二次方程 有两个实数根 ，
∴ ，故B,C不符合题意；
∵
∴ 同为正数，故D符合题意
故答案为：D
【分析】根据一元二次方程的定义及根与系数的关系逐一判断即可.
6.【答案】 B
【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2﹣4x+3=0两根为x1、x2 ，
∴x1x2==3，
故选：B．
v【分析】利用根与系数的关系求出x1 x2=的值即可．
7.【答案】 D
【解析】【解答】由 得
故答案为：D
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），首先把方程左边的两式相乘，再移项使方程右边变为0，然后合并同类项即可．
8.【答案】 B
【解析】【解答】解：若该公司这两年缴税的年平均增长率为x，
则2019年缴税70（1+x），2020年缴税70（1+x）2 ，
根据题意，得：70（1+x）2=90．
故选：B．
【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设该公司这两年缴税的年平均增长率为x，首先表示出2013年的缴税额，然后表示出2014年的缴税额，即可列出方程．
9.【答案】 B
【解析】【解答】方程x2+2x-8=0，
移项得：x2+2x=8，
配方得：x2+2x+1=9，即（x+1）2=9，
故选B
【分析】方程常数项移到右边，两边加上1变形即可得到结果．此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
10.【答案】 B
【解析】【解答】解：∵α、β是方程x2+2x﹣2007=0的两个实数根，
∴α+β=﹣2，α2+2α﹣2007=0，即α2+2α=2007，
则α2+3α+β=α2+2α+α+β
=2007﹣2
=2005，
故选：B．
【分析】根据方程的解的概念及根与系数的关系得α+β=﹣2、α2+2α=2007，整体代入到α2+3α+β=α2+2α+α+β可得．
二、填空题（每小题4分，共28分）
11.【答案】 0；-2
【解析】【解答】解： ，
或 ，
所以 ， ，
故答案为0，-2．
【分析】本题应对方程进行变形，提取公因式x ， 将原式化为两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题．
12.【答案】 –2
【解析】【解答】由 得 ，
又∵ ，
∴. ，
∴. .
故答案为：-2.
【分析】一元二次方程必须满足四个条件：①未知数的最高次数是2；②二次项的系数不为0；③是整式方程，④含有一个未知数.根据①②两点即可得到m满足的条件，求解可得m的值.
13.【答案】
【解析】【解答】解：x1+x2＝﹣ ＝ ．
故答案为 ．
【分析】直接利用根与系数的关系求解．
14.【答案】
【解析】【解答】∵一元二次方程（x+1）（3x-2）=10可化为3x2-2x+3x-2=10，
∴化为一元二次方程的一般形式为3x2+x-12=0．
【分析】先把一元二次方程（x+1）（3x-2）=10的各项相乘，再按二次项，一次项，常数项的顺序进行排列即可．
15.【答案】 a＜2且a≠0
【解析】【解答】解：根据题意，得： ，且 ，解得： 且 .
故答案为： 且 .
【分析】由题意可知方程根的判别式△＞0，于是可得关于a的不等式，解不等式即可求出a的范围，再结合二次项系数不为0即得答案.
16.【答案】 ，
【解析】【解答】解：对方程x2-6x=0进行因式分解可得x(x-6)=0，
∴x=0或x-6=0，
∴x1=0，x2=6.
故答案为：x1=0，x2=6.
【分析】首先对原方程进行因式分解可得x(x-6)=0，然后可得两个关于x的一元一次方程，求解即可.
17.【答案】 6-2
【解析】【解答】解：①当x＞-4时；原方程可化为x2-2x-35=0，解得x=-5或7，舍去-5；
②当x＜-4时；原方程可化为x2+2x-19=0，解得x=-1±2 ，舍去正号；
∴两根为7和-1-2 ，
∴7+（-1-2 ）=6-2 ．
故答案为：6-2
【分析】由绝对值的性质可知，分x＞-4和x＜-4两种情况求解。
①当x＞-4时；原方程化为一般形式，再根据公式即可求解；
②当x＜-4时；原方程化为一般形式，再根据公式即可求解。
三、解答题（一）（每小题6分，共18分）
18.【答案】 解： 4x2-3x-1=0
(4x+1)(x-1)=0
解得：x1=,x2=1．
【解析】【分析】运用十字相乘法,将式子分解因式即可．
19.【答案】 解：由题意，得
解|m|-2=2得m=±4，
当m=4时，m+4=8≠0，
当m=-4时，m+4=0不符合题意的要舍去，
∴m的值为4.
【解析】【分析】由一元二次方程的概念可得m+4≠0且|m|-2=2，求解可得m的值.
20.【答案】 解：设参加这次旅游的员工有x人.
∵30×80=2400＜2800，∴x＞30.
根据题意得：x[80﹣（x﹣30）]=2800，解得：x1=40，x2=70.
当x=40时，80﹣（x﹣30）=70＞55，当x=70时，80﹣（x﹣30）=40＜55，舍去.
答：A公司参加这次旅游的员工有40人.
【解析】【分析】设参加这次旅游的员工有x人，由30×80=2400＜2800可得出x＞30，根据总价=单价×人数，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论.
四、解答题（二）（每小题8分，共24分）
21.【答案】 解：设花边的宽度为xm，依题意得(2－2x)(1.4－2x)＝1.6，解得x1＝1.5，x2＝0.2.∵2－2x＞0，1.4－2x＞0，∴x＜0.7，∴x＝0.2.答：花边的宽度为0.2m.
【解析】【分析】设花边的宽度为xm，表示出新的矩形的长和宽，利用新矩形的面积=1.6，建立方程，解方程即可解答。
22.【答案】 解：根据题意，得 ．
整理得 ．
解得 ， ．
∵ 不符合题意，舍去，
∴ ．
答：人行通道的宽度是2米．
【解析】【分析】根据题意列方程为 ( 21 3 x ) ( 8 2 x ) = 60 ，然后解二元一次方程，解得x1=2 ， x2=9，因为 x8，所以x=9不符合题意，舍去，即人行通道的宽度是2米。
23.【答案】 【解答】解：原式=÷= = ， 解方程x2﹣4x+3=0得，（x﹣1）（x﹣3）=0，x1=1，x2=3．当x=1时，原式无意义；当x=3时，原式== ．
【解析】【分析】通分相加，因式分解后将除法转化为乘法，再将方程的解代入化简后的分式解答．
五、解答题（三）（每小题10分，共20分）
24.【答案】 （1）解：设平均增长率为x，根据题意得：
640=1000;
解得：x=0.25=25%或x=-2.25(舍去）；
∴四月份的销量为：1000（1+25%）=1250（辆）；
答：新投放的共享单车1250辆。
（2）解：设购进A型车y辆，则购进B型车100-y辆；根据题意可得：
500y+1000(100-y)≤70000;
解得：y≥60;
∴利润W=（700-500）y+(1300-1000)(100-y)
=200y+300(100-y)
=-100y+30000
∵-100＜0,
∴W随着x的增大而减小；
∴当y=60时，利润最大=-100×60+30000=2400（元）；
答：为使利润最大，该商城应购进60辆A型车和40辆B型车。
【解析】【分析】（1）根据1月和3月的销售量求得月平均增长率，然后求出4月份的销量即可。
（2）设购进A型车y辆，则购进B型车100-y辆;根据题意可得：500y+1000(100-y)≤70000;求出答案即可。
25.【答案】 （1）解：x2﹣3x+2=(x﹣1)(x﹣2)=0，
∴x1=1，x2=2，
∵OA＞OC，
∴OA=2，OC=1，
∴A（﹣2，0），C（1，0）
（2）解：将C（1，0）代入y=﹣x+b中，
得：0=﹣1+b，解得：b=1，
∴直线CD的解析式为y=﹣x+1．
∵点E为线段AB的中点，A（﹣2，0），B的横坐标为0，
∴点E的横坐标为﹣1．
∵点E为直线CD上一点，
∴E（﹣1，2）．
将点E（﹣1，2）代入y= （k≠0）中，得：2= ，
解得：k=﹣2．
（3）解：假设存在，
设点M的坐标为（m，﹣m+1），
以点B，E，M，N为顶点的四边形是菱形分两种情况（如图所示）：
①以线段BE为边时，∵E（﹣1，2），A（﹣2，0），E为线段AB的中点，
∴B（0，4），
∴BE= AB= ．
∵四边形BEMN为菱形，
∴EM= =BE= ，
解得：m1= ，m2=
∴M（ ，2+ ）或（ ，2﹣ ），
∵B（0，4），E（﹣1，2），
∴N（﹣ ，4+ ）或（ ，4﹣ ）；
②以线段BE为对角线时，MB=ME，
∴ ，
解得：m3=﹣ ，
∴M（﹣ ， ），
∵B（0，4），E（﹣1，2），
∴N（0﹣1+ ，4+2﹣ ），即（ ， ）．
综上可得：坐标平面内存在点N，使以点B，E，M，N为顶点的四边形是菱形，点N的坐标为（﹣ ，4+ ）、（ ，4﹣ ）或（ ， ）
(
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
) (
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
) (
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
【解析】【分析】（1）通过解方程x2﹣3x+2=0，可得OA、OC的长，再结合A、C两点的位置即可写出A、C坐标；
（2）根据（1）中C的坐标可求出直线CD解析式，再根据线段AB两端点的横坐标可知中点E的横坐标，结合直线CD的解析式即可求出点E坐标，从而求出反比例函数中的k值；
（3）设出点M的坐标，分线段BE是菱形边和对角线两种情况，利用菱形的四边都相等及对角线垂直平分的性质，借助两点间距离公式即可列方程求解。 (
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