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课时13.3.2 等边三角形
等边三角形概念：三条边都相等的三角形，叫等边三角形。它是特殊的等腰三角形。
等边三角形性质和判定：
（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60 。
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形。
（3）有一个角是60 的等腰三角形是等边三角形。
（4）在直角三角形中，如果一个锐角等于30 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
（补充：
（1）三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离等。
（2）三角形三个边的中垂线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
（3）常用辅助线：①三线合一；②过中点做平行线[
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典例1．（2020·山西朔州市·八年级期末）如图所示，△ABC是等边三角形，且BD＝CE，∠1＝15°，则∠2的度数为（ ）21教育网
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A．15° B．30° C．45° D．60°
变式1-1．（2020·山东泰安市·八年级期末）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，则∠BED为（ ）21cnjy.com
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A．45° B．15° C．10° D．125°
变式1-2．（2019·寻乌县期末）三个等边三角形的摆放位置如图，若∠3＝60°，则∠1＋∠2的度数为（ ） www.21-cn-jy.com
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A．90° B．120° C．270° D．360°
变式1-3．（2020·金昌市八年级期中）如图，是等边的中线，点E在上，，则的度数为（ ）2·1·c·n·j·y
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A． B． C． D．
变式1-4．（2020·北京八年级期中） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，在△ABC中，∠B=∠C=60°，点D为AB边的中点，DE⊥BC于E， 若BE=1，则AC的长为（ ） 21·世纪*教育网
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A．2 B． C．4 D．
变式1-5（河南省安阳市期末）如图，若是等边三角形，，是边上的高，延长到E，使，则（ ）2-1-c-n-j-y
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A．7 B．8 C．9 D．10
变式1-6．（2020·黑 ( http: / / www.21cnjy.com )龙江鸡西市·八年级期末）如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为（ ）21*cnjy*com
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A．75° B．60° C．55° D．45°
典例2．（2020·焉耆回族自治县八年级期中 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，D、E、F分别是等边△ABC各边上的点，且AD=BE=CF，则△DEF的形状是（ ）．21教育名师原创作品
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A．等边三角形 B．腰和底边不相等的等腰三角形
C．直角三角形 D．不等边三角形
变式2-1．若的三条边长分别是、、，且则这个三角形是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
变式2-2．（2020·仙居县八年级期中）下列条件中，不能得到等边三角形的是( )
A．有两个内角是60°的三角形 B．三边都相等的三角形
C．有一个角是60°的等腰三角形 D．有两个外角相等的等腰三角形
变式2-3．（2020·广州市八年级 ( http: / / www.21cnjy.com )期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知∠AOD=120°，AB=2，则AC的长为( )
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A．2 B．4 C．6 D．8
变式2-4．（2020·甘肃白银市·八年级期中）如图，在△ABC中，下列条件能说明△ABC是等边三角形的是（ ）
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A．AB＝AC，∠B＝∠C B．AD⊥BC，BD＝CD
C．BC＝AC，∠B＝∠C D．AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD
典例3．（2020·重庆市八年级期中）已知直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，则斜边的长为（ ）
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
变式3-1．（2020·内蒙古八年级期末）菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（ ）
A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：1
变式3-2．（2020·内蒙古和林 ( http: / / www.21cnjy.com )格尔县八年级期中）如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB,若BE=2，则AE的长为（ ）
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A． B．1 C． D．2
变式3-3．（2020·山东济 ( http: / / www.21cnjy.com )宁市·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线交BC于D，DE是AB的垂直平分线，垂足为E，若BC=3，则DE的长为（ ）
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A．1 B．2 C．3 D．4
变式3-4．（2020·武川县八年级期中） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN=1，则BC的长为（ ）
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A．4 B．6 C． D．8
变式3-5．（2020·山东德州市· ( http: / / www.21cnjy.com )八年级期中）如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在AB上的点E处，已知BC=24，∠B=30°，则DE的长是（ ）21*cnjy*com
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A．12 B．10 C．8 D．6
变式3-6．（2020·湖南娄底市·八年级 ( http: / / www.21cnjy.com )期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠A＝30°，BD＝2，则AD的长度是( )【出处：21教育名师】
A．6 B．8 C．12 D．16
变式3-7．（2020·山东 ( http: / / www.21cnjy.com )济南市·八年级期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AD⊥BC于D，BE是∠ABC的平分线，且交AD于P，如果AP＝2，则AD的长为（ ）
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A．2 B．3 C．4 D．6
1．（2021·山东九年级期末）如图，面积为1的等边三角形中，分别是，，的中点，则的面积是（ ）
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A．1 B． C． D．
2．（2021·河南三门峡市·八年级期末）下列三角形：
①有两个角等于60°；
②有一个角等于60°的等腰三角形；
③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；
④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．
其中是等边三角形的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④
3．（2021·广东阳江市·八年级期末）如图，在中，是斜边上的高，，那么的长为（ ）21·cn·jy·com
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A． B． C． D．
4．（2021·北京八年级期末）如图，点 ( http: / / www.21cnjy.com )P在∠AOB的平分线上， PC⊥OA于点C, ∠AOB=30°，点D在边OB上，且OD=DP=2．则线段PC的长度为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
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A．3 B．2 C．1 D．
5．（2021·河北八年级期末）如图所示，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，E为AD上一点，∠CED＝50°，则∠ABE等于（ ）www-2-1-cnjy-com
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A．10° B．15° C．20° D．25°
6．（2021·江西赣州 ( http: / / www.21cnjy.com )市·八年级期末）如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD平分∠CAB交BC于点D,E为AB上一点,连接DE,则下列说法错误的是( )21世纪教育网版权所有
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A．∠CAD=30° B．AD=BD C．BD=2CD D．CD=ED
7．（2021·浙江杭州市·八年级期 ( http: / / www.21cnjy.com )末）如图所示．在△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AB，交BC于点E，垂足为点D，BE=6cm，∠B=15°，则AC等于( )【来源：21cnj*y.co*m】
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8．（2021·郑州市八年级期中 ( http: / / www.21cnjy.com )）图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，AC=2，则S△ABE的值是（ ）【版权所有：21教育】
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A．4 B．5 C．6 D．8
9．（2021·上海浦东新 ( http: / / www.21cnjy.com )区期末）如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（ ）．
10．（2021·浙江湖州市·八年级期末）已知中，则的周长等于（ ）
A． B． C． D．
11．（2021·江苏无锡市·八年级期中）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E= 度． ( http: / / www.21cnjy.com )
12．（2021·青海西宁市· ( http: / / www.21cnjy.com )八年级期末）如图，在等边△ABC中，F是AB的中点，FE⊥AC于E；如果△ABC的边长是12，则AE=_____；
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13．（2021·河南周口市·七年级 ( http: / / www.21cnjy.com )期末）如图，有一个含有30°角的直角三角板，一顶点放在直尺的一条边上，若∠2＝65°，则∠1的度数是_____．
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14．（2021·黑龙江大庆市·九年级期末）如图，以为边，在的同侧分别作正五边形和等边，连接，则的度数是____________．
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15．（2021·枣庄市九年级期中）如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路（B，C为小路端点）和一棵小树（A为小树位置）测得的相关数据为：米，则________米．
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16．（2021·天津八年级期末）在等边三角形ABC中,点E在AB上,点D在CB的延长线上,且AE=BD,
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（1）当点E为AB的中点时,如图1,求证:EC=ED;
（2）当点E不是AB的中点时,如图2,过点E作EF//BC,求证:△AEF是等边三角形;
（3）在第(2)小题的条件下,EC与ED还相等吗,请说明理由.
17．（2021·甘肃八年级 ( http: / / www.21cnjy.com )期末）如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE=CD，DM⊥BC，垂足为M，求证：M是BE的中点．
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教材知识链接
典例及变式
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课时13.3.2 等边三角形
等边三角形概念：三条边都相等的三角形，叫等边三角形。它是特殊的等腰三角形。
等边三角形性质和判定：
（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60 。
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形。
（3）有一个角是60 的等腰三角形是等边三角形。
（4）在直角三角形中，如果一个锐角等于30 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
（补充：
（1）三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离等。
（2）三角形三个边的中垂线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
（3）常用辅助线：①三线合一；②过中点做平行线[
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典例1．（2020·山西朔州市·八年级期末）如图所示，△ABC是等边三角形，且BD＝CE，∠1＝15°，则∠2的度数为（ ）21教育网
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A．15° B．30° C．45° D．60°
【答案】D
【详解】
因为△ABC是等边三角形，所以∠ABD=∠BCE=60°，AB=BC.
因为BD＝CE，所以△ABD≌△BCE，所以∠1=∠CBE.
因为∠CBE+∠ABE=60°，所以∠1+∠ABE=60°.
因为∠2=∠1+∠ABE，所以∠2=60°.
故选D.
变式1-1．（2020·山东泰安市·八年级期末）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，则∠BED为（ ）21·世纪*教育网
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A．45° B．15° C．10° D．125°
【答案】A
【提示】
由等边三角形的性质可得，进而可得，又因为，结合等腰三角形的性质，易得的大小，进而可求出的度数.2-1-c-n-j-y
【详解】
是等边三角形，
，，
四边形是正方形，
，，
，，
，
.
故选：.
【名师点拨】
本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出的度数，难度适中.【出处：21教育名师】
变式1-2．（2019·寻乌县期末）三个等边三角形的摆放位置如图，若∠3＝60°，则∠1＋∠2的度数为（ ）
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A．90° B．120° C．270° D．360°
【答案】B
【提示】
先根据图中是三个等边三角形可知三角形各内角等于60°，用∠1，∠2，∠3表示出△ABC各角的度数，再根据三角形内角和定理即可得出结论．
【详解】
∵图中是三个等边三角形，∠3=60°，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )∠ABC=180°-60°-60°=60°，∠ACB=180°-60°-∠2=120°-∠2，
∠BAC=180°-60°-∠1=120°-∠1，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，
∴60°+（120°-∠2）+（120°-∠1）=180°，
∴∠1+∠2=120°．
故选B.
【名师点拨】
考查的是等边三角形的性质，熟知等边三角形各内角均等于60°是解答此题的关键．
变式1-3．（2020·金昌市八年级期中）如图，是等边的中线，点E在上，，则的度数为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】D
【提示】
由等边三角形三线合一即可求出，．再由等腰三角形的性质可求出，最后即可求出．
【详解】
∵是等边三角形，且AD为中线．
∴，，
∵，
∴，
∴．
故选：D．
【名师点拨】
本题考查等边三角形和等腰三角形的性质．掌握等边三角形三线合一是解答本题的关键．
变式1-4．（2020·北京八年级期中） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，在△ABC中，∠B=∠C=60°，点D为AB边的中点，DE⊥BC于E， 若BE=1，则AC的长为（ ）
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A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【详解】
解：∵∠B=60°，DE⊥BC，
∴BD=2 ( http: / / www.21cnjy.com )BE=2，
∵D为AB边的中点，
∴AB=2BD=4，
∵∠B=∠C=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AC=AB=4，
故选：C．
变式1-5（河南省安阳市期末）如图，若是等边三角形，，是边上的高，延长到E，使，则（ ）
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A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【提示】
因为△ABC是等边三角形，所以∠ABC=∠ACB=60°，BD是AC边上的高，则∠DBC=30°，AD=CD=AC，再由题中条件CE=CD，即可求得BE．
【详解】
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC=6，
∵BD是AC边上的高，
∴AD=CD=AC=3，∠DBC=∠ABC=30°，
∵CE=CD，
∴CE=AC=3，
∴BE=BC+CE=6+3=9．
故选：C．
【名师点拨】
本题考查了等腰三角形的性质及等边三角形的性质，考查了学生综合运用数学知识的能力，得到AD=CD=AC是正确解答本题的关键．
变式1-6．（2020·黑龙江鸡 ( http: / / www.21cnjy.com )西市·八年级期末）如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为（ ）
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A．75° B．60° C．55° D．45°
【答案】B
【提示】
由正方形的性质和等边三角形的性质得出∠ ( http: / / www.21cnjy.com )BAE＝150°，AB＝AE，由等腰三角形的性质和内角和得出∠ABE＝∠AEB＝15°，再运用三角形的外角性质即可得出结果．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∠BAF＝45°，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠DAE＝60°，AD＝AE，
∴∠BAE＝90°＋60°＝150°，AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB＝（180° 150°）＝15°，
∴∠BFC＝∠BAF＋∠ABE＝45°＋15°＝60°；
故选：B．
【名师点拨】
本题考查了正方形的性质、等边 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质；熟练掌握正方形和等边三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
典例2．（2020·焉耆回族自治 ( http: / / www.21cnjy.com )县八年级期中）如图，D、E、F分别是等边△ABC各边上的点，且AD=BE=CF，则△DEF的形状是（ ）．
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A．等边三角形 B．腰和底边不相等的等腰三角形
C．直角三角形 D．不等边三角形
【答案】A
【提示】
根据等边△ABC中AD=BE=CF，证得△ADF≌△BED≌△CFE即可得出：△DEF是等边三角形．21世纪教育网版权所有
【详解】
∵△ABC为等边三角形，且AD=BE=CF，
∴AE=BF=CD，
又∵∠A=∠B=∠C=60°，
∴△ADE≌△BEF≌△CFD（SAS），
∴DF=ED=EF，
∴△DEF是等边三角形，
故选A.
【名师点拨】
考点：本题主要考查了等边三角形的判定与性质和全等三角形判定；根据已知得出△ADE≌△BEF≌△CFD是解答此题的关键．【来源：21·世纪·教育·网】
变式2-1．若的三条边长分别是、、，且则这个三角形是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【提示】
根据非负性质求出a,b,c的关系,即可判断．
【详解】
∵,
∴a=b,b=c,
∴a=b=c,
∴△ABC为等边三角形．
故选B．
【名师点拨】
本题考查平方和绝对值的非负性,等边三角形的判定,关键在于利用非负性解出三边关系．
变式2-2．（2020·仙居县八年级期中）下列条件中，不能得到等边三角形的是( )
A．有两个内角是60°的三角形 B．三边都相等的三角形
C．有一个角是60°的等腰三角形 D．有两个外角相等的等腰三角形
【答案】D
【提示】
根据等边三角形的定义可知：满足三边相等、有一内角为60°且两边相等或有两个内角为60°中任意一个条件的三角形都是等边三角形．【来源：21cnj*y.co*m】
【详解】
A选项：两个内角为60°，因为三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形的内角和为180°，可知另一个内角也为60°，故该三角形为等边三角形；故本选项不符合题意；
B选项：三边都相等的三角形是等边三角形；故本选项不符合题意；
C选项：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；故本选项不符合题意；
D选项：两个外角相等说明该三角形中两个内角相等，而等腰三角形的两个底角是相等的，故不能确定该三角形是等边三角形．故本选项符合题意；
故选D．
【名师点拨】
考查了等边三角形的判定：①由定义判 ( http: / / www.21cnjy.com )定：三条边都相等的三角形是等边三角形；②判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形③判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
变式2-3．（2020·广州市八年 ( http: / / www.21cnjy.com )级期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知∠AOD=120°，AB=2，则AC的长为( )
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A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【提示】
已知四边形ABCD是矩形，∠AOD= ( http: / / www.21cnjy.com )120°，AB=2，根据矩形的性质可证得△AOB是等边三角形，则OA=OB=AB=2，AC=2OA=4．【版权所有：21教育】
【详解】
∵四边形ABCD是矩形
∴AC=BD，OA=OC，OB=OD
∴OA=OB
∵∠AOD=120°
∴∠AOB=60°
∴△AOB是等边三角形
∴OA=OB=AB=2
∴AC=2OA=4
故选：B
【名师点拨】
本题考查了矩形的基本性质，等边三角形的判定和性质．
变式2-4．（2020·甘肃白银市·八年级期中）如图，在△ABC中，下列条件能说明△ABC是等边三角形的是（ ）
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A．AB＝AC，∠B＝∠C B．AD⊥BC，BD＝CD
C．BC＝AC，∠B＝∠C D．AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD
【答案】C
【提示】
根据等边三角形的判定判断即可．
【详解】
解：A、AB=AC，∠B=∠C，只能说明△ ( http: / / www.21cnjy.com )ABC是等腰三角形，错误；
B、AD⊥BC，BD=CD，只能说明△ABC是等腰三角形，错误；
C、BC=AC，∠B=∠C，则∠BAC=∠B=∠C，能说明△ABC是等边三角形，正确；
D、AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，只能说明△ABC是等腰三角形，错误；
故选：C．
【名师点拨】
此题考查等边三角形的判定，关键是根据等边三角形的判定方法解答．
典例3．（2020·重庆市八年级期中）已知直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，则斜边的长为（ ）
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
【答案】B
【详解】
由题意可知，在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，所以斜边=2×2=4cm.
变式3-1．（2020·内蒙古八年级期末）菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（ ）
A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：1
【答案】C
【提示】
菱形的性质；含30度角的直角三角形的性质.
【详解】
如图所示，根据已知可得到菱形的边长为2cm，从而可得到高所对的角为30°，相邻的角为150°，则该菱形两邻角度数比为5：1，故选C.
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变式3-2．（2020·内 ( http: / / www.21cnjy.com )蒙古和林格尔县八年级期中）如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB,若BE=2，则AE的长为（ ）
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A． B．1 C． D．2
【答案】B
【详解】
∵BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，
∴∠B＝∠ECD，BE＝CE，∠BDE＝∠CDE＝90o,
又∵∠B=30°，BE=2,
∴∠ECD=30°,CE=2,DE= =1,
又∵CE平分∠ACB，
∴∠ECD＝∠ACE＝30°，
∴∠ACB＝60°，
又∵在△ABC中，∠B=30°，
∴∠BAC＝90°，
在Rt△ACE，CE＝2，∠ACE＝30°，
∴AE＝＝1；
故选B．
变式3-3．（2020·山 ( http: / / www.21cnjy.com )东济宁市·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线交BC于D，DE是AB的垂直平分线，垂足为E，若BC=3，则DE的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】
试题提示：由角平分线和线段垂直平分线的性质可求得∠B=∠CAD=∠DAB=30°，∵DE垂直平分AB，
∴DA=DB，∴∠B=∠DAB，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠DAB， ∵∠C=90°，∴3∠CAD=90°，
∴∠CAD=30°， ∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，CD⊥AC， ∴CD=DE=BD， ∵BC=3， ∴CD=DE=1
变式3-4．（2020·武川县八 ( http: / / www.21cnjy.com )年级期中）如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN=1，则BC的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．4 B．6 C． D．8
【答案】B
【详解】
提示：根据题意，可以求得∠B的度数，然后根据解直角三角形的知识可以求得NC的长，从而可以求得BC的长．
详解：∵在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，
∴∠AMN=∠NMC=∠B，∠NCM=∠BCM=∠NMC，
∴∠ACB=2∠B，NM=NC，
∴∠B=30°，
∵AN=1，
∴MN=2，
∴AC=AN+NC=3，
∴BC=6，
故选B．
名师点拨：本题考查30°角的直角三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
变式3-5．（2020·山东德 ( http: / / www.21cnjy.com )州市·八年级期中）如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在AB上的点E处，已知BC=24，∠B=30°，则DE的长是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．12 B．10 C．8 D．6
【答案】C
【提示】
由折叠的性质可知；DC=DE，∠DEA=∠C ( http: / / www.21cnjy.com )=90°，在Rt△BED中，∠B=30°，故此BD=2ED，从而得到BC=3BC，于是可求得DE=8．
【详解】
解：由折叠的性质可知；DC=DE，∠DEA=∠C=90°，
( http: / / www.21cnjy.com )
∵∠BED+∠DEA=180° ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴∠BED=90°．
又∵∠B=30°，
∴BD=2DE．
∴BC=3ED=24．
∴DE=8．
故答案为8．
【名师点拨】
本题考查的是翻折的性质、含30°锐角的直角三角形的性质，根据题意得出BC=3DE是解题的关键．
变式3-6．（2020·湖南娄底市 ( http: / / www.21cnjy.com )·八年级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠A＝30°，BD＝2，则AD的长度是( )
A．6 B．8 C．12 D．16
【答案】A
【提示】
根据同角的余角相等求出∠ ( http: / / www.21cnjy.com )BCD=∠A=30°，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BC、AB的长，然后根据AD=AB-BD计算即可得解．2·1·c·n·j·y
【详解】
解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠BCD+∠ACD=90°，∠A+∠ACD=90°，
∴∠BCD=∠A=30°，
∵BD=2，
∴BC=2BD=4，AB=2BC=2×4=8，
∴AD=AB-BD=8-2=6．
故选A．
【名师点拨】
本题考查直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，同角的余角相等的性质，熟记性质是解题关键．
变式3-7．（2020·山 ( http: / / www.21cnjy.com )东济南市·八年级期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AD⊥BC于D，BE是∠ABC的平分线，且交AD于P，如果AP＝2，则AD的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】B
【提示】
先利用三角形内角和和角平分线定义计算出∠BAD＝30°，∠ABP＝∠DBP＝30°，则PB＝PA＝2，再利用含30度的直角三角形三边的关系得到PD＝PB＝1，然后计算AP+PD即可．
【详解】
解：∵∠BAC＝90°，∠C＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵AD⊥BC，
∴∠BAD＝30°，
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABP＝∠DBP＝30°，
∴PB＝PA＝2，
在Rt△PBD中，PD＝PB＝1，
∴AD＝AP+PD＝2+1＝3
故选：B．
【名师点拨】
本题考查直角三角形的性质和角平分线的性质，掌握30°角直角三角形斜边和直角边的关系为解题关键
1．（2021·山东九年级期末）如图，面积为1的等边三角形中，分别是，，的中点，则的面积是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．1 B． C． D．
【答案】D
【提示】
根据题意可以判断四个小三角形是全等三角形,即可判断一个的面积是．
【详解】
∵分别是，，的中点,且△ABC是等边三角形,
∴△ADF≌△DBE≌△FEC≌△DFE,
∴△DEF的面积是．
故选D．
【名师点拨】
本题考查等边三角形的性质及全等,关键在于熟练掌握等边三角形的特殊性质．
2．（2021·河南三门峡市·八年级期末）下列三角形：
①有两个角等于60°；
②有一个角等于60°的等腰三角形；
③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；
④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．
其中是等边三角形的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④
【答案】D
【提示】
直接根据等边二角形的判定方法进行判断.
【详解】
解：①有两个角等于60° ( http: / / www.21cnjy.com )的三角形为等边三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形为等边三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形为等边三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形等边三角形.www.21-cn-jy.com
故选D.
【名师点拨】
本题考查了等边三角形的判定：三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角
3．（2021·广东阳江市·八年级期末）如图，在中，是斜边上的高，，那么的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． B． C． D．
【答案】C
【提示】
根据∠ACB=90°，∠A=30°，CD是斜边上的高，利用互余关系求∠BCD=30°，DB=2，可求BC，在Rt△ABC中，再利用含30°的直角三角形的性质求AB，再用线段的差求AD．
【详解】
解：Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠B=90°-∠A=90°-30°=60°，
CD是斜边上的高，
∴∠CDB=90°，
∴∠BCD=90°-∠B=30°，
∴BC=2BD＝4，
同理，AB=2BC=8，
AD=AB-BD=8-2=6，
故选：C．
【名师点拨】
本题考查了含30°的直角三角形的性质，准确运用在直角三角形中，30°角所对直角边等于斜边的一半是解题关键．21cnjy.com
4．（2021·北京八年级 ( http: / / www.21cnjy.com )期末）如图，点P在∠AOB的平分线上， PC⊥OA于点C, ∠AOB=30°，点D在边OB上，且OD=DP=2．则线段PC的长度为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．3 B．2 C．1 D．
【答案】C
【提示】
过点P作PE⊥OB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PE=PC，再根据直角三角形30°所对的边等于斜边的一半可得．
【详解】
解：如图，过点P作PE⊥OB于E，
( http: / / www.21cnjy.com )
∵∠AOB=30°,点P在∠AOB的平分线上，
∴∠AOP=∠POB=15°，
∵OD=DP=2，
∴∠OPD=∠POB=15°，
∴∠PDE=30°，
∴PE=PD=1，
∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PE⊥OB，
∴PC=PE=1，
故选：C．
【名师点拨】
此题考查的是角平分线的性质和直角三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形30°所对的边等于斜边的一半的应用、等腰三角形的性质，掌握角平分线上的点到角的两边距离相等和直角三角形30°所对的边是斜边的一半是解题关键．
5．（2021·河北八年级期末）如图所示，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，E为AD上一点，∠CED＝50°，则∠ABE等于（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．10° B．15° C．20° D．25°
【答案】C
【提示】
先判断出AD是BC的垂直平分线，进而求出∠ECB=40°=∠EBC，即可得出结论．
【详解】
解：∵等边三角形ABC中，AD⊥B ( http: / / www.21cnjy.com )C，
∴BD=CD，即：AD是BC的垂直平分线，
∵点E在AD上，
∴BE=CE，
∴∠EBC=∠ECB，
∵∠CED=50°，
∴∠ECB=40°=∠EBC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∴∠ABE=∠ABC-∠EBC=20°，
故选C．
【名师点拨】
本题考查等边三角形的性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，求出∠ECB是解题关键．
6．（2021·江西赣州 ( http: / / www.21cnjy.com )市·八年级期末）如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD平分∠CAB交BC于点D,E为AB上一点,连接DE,则下列说法错误的是( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A．∠CAD=30° B．AD=BD C．BD=2CD D．CD=ED
【答案】D
【详解】
试题提示：在△ABC中，
∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠BAD=30°，
∴∠CAD=∠BAD=∠B，
∴AD=BD，AD=2CD，
∴BD=2CD，
根据已知不能推出CD=DE，
只有D错误，选项A、B、C的答案都正确．
故选D．
考点：1.含30度角的直角三角形2.角平分线的性质3.等腰三角形的判定与性质．
7．（2021·浙江杭州市·八 ( http: / / www.21cnjy.com )年级期末）如图所示．在△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AB，交BC于点E，垂足为点D，BE=6cm，∠B=15°，则AC等于( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm
【答案】D
【提示】
根据三角形内角和定理求出∠BA ( http: / / www.21cnjy.com )C，根据线段垂直平分性质求出BE=AE=6cm，求出∠EAB=∠B=15°，即可求出∠EAC，根据含30°角的直角三角形性质求出即可．
【详解】
∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°
∴∠BAC=90°-15°=75°
∵DE垂直平分AB，BE=6cm
∴BE=AE=6cm，
∴∠EAB=∠B=15°
∴∠EAC=75°-15°=60°
∵∠C=90°
∴∠AEC=30°
∴AC=AE=×6cm=3cm
故选：D
【名师点拨】
本题考查了三角形内角和定理，线段垂直平分线性 ( http: / / www.21cnjy.com )质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半．21·cn·jy·com
8．（2021·郑州市八年级期中）图，在△ ( http: / / www.21cnjy.com )ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，AC=2，则S△ABE的值是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】A
【提示】
由垂直平分线的性质，得AE=BE，然后求出∠AEC=30°，则求出AE=4，由三角形的面积公式，即可求出答案．
【详解】
解：根据题意，
∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴∠EAD=∠B=15°，
∴∠AEC=15°+15°=30°，
∵在△ACE中，∠ACE=90°，
∴AE=2AC=2×2=4，
∴BE=4，
∴S△ABE=；
故选：A．
【名师点拨】
本题考查了垂直平分线的性质，30度直角三角形的性质，三角形的外角性质，解题的关键是熟练所学的知识，正确的进行解题．
9．（2021·上海浦东新区期末 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（ ）．
A．6米; B．9米; C．12米; D．15米.
【答案】B
【提示】
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出折断部分的长度，再加上离地面的距离就是折断前树的高度．
【详解】
解：如图，根据题意BC=3米，
∵∠BAC ( http: / / www.21cnjy.com )=30°，∠ACB=90°，
∴AB=2BC=2×3=6米，
∴BC+AB=3+6=9（米）．
故选B
【点进】
本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，比较简单，熟记性质是解题的关键．
10．（2021·浙江湖州市·八年级期末）已知中，则的周长等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【提示】
判断为等边三角形即可求出其周长．
【详解】
根据题意可知为等边三角形，
∴的三条边相等且等于3，
∴的周长为．
故选：D．
【名师点拨】
本题考查等边三角形的判定和性质．掌握等边三角形的判定条件是解答本题的关键．
11．（2021·江苏无锡市·八年级期中）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E= 度． ( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】：
【提示】
根据等边三角形三个角相等，可知∠ACB=60°，根据等腰三角形底角相等即可得出∠E的度数．
【详解】
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，∠ACD=120°，
∵CG=CD，
∴∠CDG=30°，∠FDE=150°，
∵DF=DE，
∴∠E=15°．
故答案为15．
【名师点拨】
本题考查等腰三角形的性质，熟练运用等边对等角是关键.
12．（2021·青海西宁市·八年级期末） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，在等边△ABC中，F是AB的中点，FE⊥AC于E；如果△ABC的边长是12，则AE=_____；www-2-1-cnjy-com
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】3；
【提示】
根据等边三角形的性质及EF⊥AC，可推出AE=AF=AB=3．
【详解】
∵等边△ABC
∴∠A=60°
∵EF⊥AC
∴∠AFE=30°
∴AE=AF=AB=3，故答案为3.
【名师点拨】
本题考查了等边三角形的性质的应用及含30度角的直角三角形的性质，关键是熟练掌握这些性质．
13．（2021·河南周口市·七年级 ( http: / / www.21cnjy.com )期末）如图，有一个含有30°角的直角三角板，一顶点放在直尺的一条边上，若∠2＝65°，则∠1的度数是_____．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】25°
【提示】
延长EF交BC于点G，根据题意及直角三角形的性质可直接进行求解．
【详解】
解：如图，延长EF交BC于点G，
( http: / / www.21cnjy.com )
∵直尺，
∴AD∥BC，
∴∠2＝∠3＝65°，
又∵30°角的直角三角板，
∴∠1＝90°﹣65°＝25°．
故答案为：25°．
【名师点拨】
本题主要考查平行线的性质及直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
14．（2021·黑龙江大庆市·九年级期末）如图，以为边，在的同侧分别作正五边形和等边，连接，则的度数是____________．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】66°
【提示】
由是正五边形可得AB=AE以及∠EAB的度数，由△ABF是等边三角形可得AB=AF以及∠FAB的度数，进而可得AE=AF以及∠EAF的度数，进一步即可根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出答案．21*cnjy*com
【详解】
解：∵五边形是正五边形，
∴AB=AE，∠EAB=108°，
∵△ABF是等边三角形，
∴AB=AF，∠FAB=60°，
∴AE=AF，∠EAF=108°－60°=48°，
∴∠EFA=．
故答案为：66°．
【名师点拨】
本题考查了正多边形的内角问 ( http: / / www.21cnjy.com )题、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．
15．（2021·枣庄市九年级期中）如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路（B，C为小路端点）和一棵小树（A为小树位置）测得的相关数据为：米，则________米．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】48
【提示】
先说明△ABC是等边三角形，然后根据等边三角形的性质即可解答．
【详解】
解：∵
∴∠BAC=180°-60°-60°=60°
∴∠BAC=∠ABC=∠BCA=60°
∴△ABC是等边三角形
∴AC=BC=48米．
故答案为48．
( http: / / www.21cnjy.com )
【名师点拨】
本题考查了等边三角形的判定和性质，证得△ABC是等边三角形是解答本题的关键．
16．（2021·天津八年级期末）在等边三角形ABC中,点E在AB上,点D在CB的延长线上,且AE=BD,
( http: / / www.21cnjy.com )
（1）当点E为AB的中点时,如图1,求证:EC=ED;
（2）当点E不是AB的中点时,如图2,过点E作EF//BC,求证:△AEF是等边三角形;
（3）在第(2)小题的条件下,EC与ED还相等吗,请说明理由.
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3），见解析.
【提示】
（1）根据等边三角形三线合一的性质可得∠ECB=30°，∠ABC=60°，根据AE=EB=BD，可得∠ECB=∠ACB=30°，∠EDB=∠DEB=∠ACB=30°，根据等角对等边即可证得结论；
（2）根据平行线的性质证得∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠C=60°，即可证得结论；
（3）先求得BE=FC，然后证得△DBE≌△EFC即可.
【详解】
（1）如图1，在等边△ABC中，AB=BC=AC，
∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，
∵AE=EB=BD，
∴∠ECB=∠ACB=30°，∠EDB=∠DEB=∠ACB=30°，
∴∠EDB=∠ECB，
∴EC=ED；
（2）如图2，
( http: / / www.21cnjy.com )
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠C=60°，
∴△AEF为等边三角形；
（3）EC=ED；
理由：∵∠AEF=∠ABC=60°，
∴∠EFC=∠DBE=120°，
∵AB=AC，AE=AF，
∴AB-AE=AC-AF，即BE=FC，
在△DBE和△EFC中，
，
∴△DBE≌△EFC（SAS），
∴ED=EC．
【名师点拨】
本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握性质和定理是解题的关键．
17．（2021·甘肃八年级 ( http: / / www.21cnjy.com )期末）如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE=CD，DM⊥BC，垂足为M，求证：M是BE的中点．21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】证明见解析.
【提示】
要证是的中点，根据题意可知，证明为等腰三角形，利用等腰三角形的高和中线向重合即可得证．
【详解】
证明：连接，
( http: / / www.21cnjy.com )
在等边，且是的中点，
，，
，
，
，
，
，
，为等腰三角形，
又，
是的中点．
【名师点拨】
本题考查了等腰三角形顶角平分线、底边上的中线和高三线合一的性质以及等边三角形每个内角为的知识．辅助线的作出是正确解答本题的关键．21教育名师原创作品
教材知识链接
典例及变式
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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