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课时13.4 最短路径问题
1．下图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？（不写做法，保留作图痕迹）21世纪教育网版权所有
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2．如图，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径．
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3．如图，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客，然后送往河岸BC上，再回到P处，请画出旅游船的最短路径．21cnjy.com
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4．按要求作图
（1）已知线段和直线，画出线段关于直线的对称图形；
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（2）如图,牧马人从地出发,先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到处.请画出最短路径.
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5．如图，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客，然后将游客送往河岸BC上，再回到P处．请画出旅游船的最短路径（实际行走路径画实线，其它辅助线画虚线）
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6．如图所示的方格纸中，每个小方格的边长都是1，点A（﹣4，1）B（﹣3，3）C（﹣1，2）
（1）作△ABC关于y轴对称的△A′B′C′；
（2）在x轴上找出点P，使PA+PC最小，并直接写出P点的坐标．
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7．如图所示，已知点是锐角内一点，试分别在上确定两点，使三角形的周长最小，写出你作图的主要步骤并标明你确定的点．21·cn·jy·com
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8．某班举行文艺晚会，桌子摆成两条直线（），桌面上摆满了橘子，桌面上摆满了糖果，坐在C处的小明先拿橘子再拿糖果，然后回到座位，请你帮他设计路线，使其行走的总路程最短．（保留作图痕迹）www.21-cn-jy.com
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9．如图所示，P，Q为△ABC边上的两个定点，在BC上求作一点R，使△PQR的周长最小．
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10．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN周长最小，求∠AMN＋∠ANM的度数．2·1·c·n·j·y
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1．如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，EF是BC的垂直平分线，P是直线EF上的任意一点，则PA+PB的最小值是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
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A．3 B．4 C．5 D．6
2．如图，是等边三角形，是边上的高，E是的中点，P是上的一个动点，当与的和最小时，的度数是（ ）21·世纪*教育网
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A． B． C． D．
3．如图，等边△ABC的边长为4，AD是边BC上的中线，F是边AD上的动点，E是边AC上一点，若AE=2，则EF+CF取得最小值时，∠ECF的度数为（ ）
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A．15° B．22.5° C．30° D．45°
4．如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=15°,AB边的垂直平分线交AB于点E,交BC于点D,且BD=13 cm,则AC的长是( )www-2-1-cnjy-com
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A．13 cm B．6.5 cm
C．30 cm D．6cm
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，S△ABC＝60，AD⊥BC于点D，EF垂直平分AB，交AB于点E，AC于点F，在EF上确定一点P，使PB＋PD最小，则这个最小值为（ ）
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A．10 B．11
C．12 D．13
6．如图，直线L是一条河，P，Q是两个村庄．欲在L上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（ ）2-1-c-n-j-y
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． C．D． ( http: / / www.21cnjy.com )
7．如图，直线是一条河，、是两个新农村定居点．欲在上的某点处修建一个水泵站，直接向、两地供水．现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是（ ）21*cnjy*com
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A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com )C．D． ( http: / / www.21cnjy.com )
8．某平原有一条很直的小河和两个村庄，要在此小河边的某处修建一个水泵站向这两个村庄供水.某同学用直线（虚线）表示小河，两点表示村庄，线段（实线）表示铺设的管道，画出了如下四个示意图，则所需管道最短的是（）.【出处：21教育名师】
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com )
C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
9．如图，A、B是两个居民小区，快递公司准备在公路l上选取点P处建一个服务中心，使PA+PB最短．下面四种选址方案符合要求的是（ ）21教育网
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com )
C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
10．如图，在中，，，，是中点，垂直平分，交于点，交于点，在上确定一点，使最小，则这个最小值为( )
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A．10 B．11 C．12 D．13
11．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，EF垂直平分AB，点P为直线EF上一动点，则△APC周长的最小值为_____．【版权所有：21教育】
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12．已知，如图，在直线l的两侧有两点A、B在直线上画出点P，使PA+PB最短，画法：______．
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13．如图，等边△ABC中，BD⊥AC于点D，AD＝3.5cm，点P、Q分别为AB、AD上的两个定点且BP＝AQ＝2cm，若在BD上有一动点E使PE＋QE最短，则PE＋QE的最小值为_____cm21教育名师原创作品
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14．如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2，G，H分别是AF和CD的中点，P是GH上的动点，连接AP，BP，则AP＋BP的值最小时，BP与HG的夹角(锐角)度数为________．
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15．如图，在中，，，，是的垂直平分线，是直线上的任意一点，则的最小值是________．【来源：21cnj*y.co*m】
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典例及变式
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课时13.4 最短路径问题
1．下图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？（不写做法，保留作图痕迹）www.21-cn-jy.com
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【答案】见解析
【详解】
试题分析：作出A镇关于燃气管道的对称点A′，连接A′B，根据轴对称确定最短路线问题，A′B与燃气管道的交点即为所求的点P的位置．2·1·c·n·j·y
试题解析：作点A关于燃气管道的对称点A′，连接A′B交燃气管道于点P，即点P即为所求．
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2．如图，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径．
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【答案】见解析
【分析】
作出点A的关于草地的对称点，点B的关于河岸的对称点，连接两个对称点，交于草地于点Q，交河边于点P，连接AQ，BP，则AQ＋PQ＋BP是最短路线．21*cnjy*com
【详解】
如图所示AQ＋PQ＋BP为所求．
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【点睛】
本题主要考查对称线段的性质，轴对称的性质，轴对称 最短路线问题等知识点的理解和掌握，能正确画图和根据画图条件进行推理是解此题的关键．【来源：21cnj*y.co*m】
3．如图，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客，然后送往河岸BC上，再回到P处，请画出旅游船的最短路径．
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【答案】见解析
【解析】
试题分析：根据“两点之间线段最短”，和轴对称最短路径问题解答．
解：（1）两点之间，线段最短，连接PQ；
（2）作P关于BC的对称点P1，连接QP1，交BC于M，再连接MP．
最短路线P﹣﹣Q﹣﹣M﹣﹣P．
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考点：作图—应用与设计作图；轴对称-最短路线问题．
4．按要求作图
（1）已知线段和直线，画出线段关于直线的对称图形；
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（2）如图,牧马人从地出发,先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到处.请画出最短路径.
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【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.
【分析】
（1）分别作出点A、B关于直线l对称的点、，然后连接即可；
（2）根据将军饮马模型作对称点连线即可.
【详解】
解：（1）如图所示，分别作出点A、B关于直线l对称的点、，然后连接；
线段即为所求作图形.
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（2）解: 作出点的关于草地的对称点，点的关于河岸的对称点，连接两个对称点，交于草地于点，交河边于点，连接，，则是最短路线．
如图所示，为所求.
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【点睛】
本题主要考查对称线段的性质，轴对称的性质，轴对称最短路线问题等知识点的理解和掌握，能正确画图和掌握将军饮马模型并运用是解此题的关键．21cnjy.com
5．如图，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客，然后将游客送往河岸BC上，再回到P处．请画出旅游船的最短路径（实际行走路径画实线，其它辅助线画虚线）
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【答案】详见解析
【分析】
根据“两点之间线段最短”和轴对称最短路径问题解答．
【详解】
（1）两点之间，线段最短，连接PQ；
（2）作P关于BC的对称点P1，连接QP1，交BC于M，再连接MP，
最短路线P--Q--M--P．21·cn·jy·com
如图所示：
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【点睛】
本题考查了作图--应用与设计作图，熟悉轴对称最短路径问题是解题的关键．
6．如图所示的方格纸中，每个小方格的边长都是1，点A（﹣4，1）B（﹣3，3）C（﹣1，2）
（1）作△ABC关于y轴对称的△A′B′C′；
（2）在x轴上找出点P，使PA+PC最小，并直接写出P点的坐标．
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【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）分别作出点A、B、C关于y轴的对称点，再首尾顺次连接可得；
（2）作点A关于x轴的对称点A″，再连接A″C交x轴于点P．
【详解】
（1）如图所示，△A′B′C′即为所求；
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（2）作点A关于x轴的对称点A″，再连接A″C交x轴于点P，其坐标为（﹣3，0）．
【点睛】
本题主要考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是熟练掌握轴对称变换的定义和性质及最短路线问题．
7．如图所示，已知点是锐角内一点，试分别在上确定两点，使三角形的周长最小，写出你作图的主要步骤并标明你确定的点．【出处：21教育名师】
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【答案】见详解.
【分析】
要使三角形的周长最小，即A、B、C三点可转换到一条直线上，即作点A关于射线OM、ON的对称点P、Q，连结PQ，分别交OM、ON于点B、C，即为所求点.
【详解】
作法：（1）分别作点A关于射线OM、ON的对称点P、Q，
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（2）连结PQ，分别交OM、ON于点B、C.
则B、C就是所要求的点.
【点睛】
本题的解题关键是将三角形周长最短问题，转换成轴对称问题.
8．某班举行文艺晚会，桌子摆成两条直线（），桌面上摆满了橘子，桌面上摆满了糖果，坐在C处的小明先拿橘子再拿糖果，然后回到座位，请你帮他设计路线，使其行走的总路程最短．（保留作图痕迹）21*cnjy*com
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【答案】见解析
【分析】
作点C关于直线AO的对称点C′，点C关于直线OB的对称点D′，连接C′D′交AO于M，交OB于N，则路线CM-MN-NC即为所求．
【详解】
如图所示，小明的行走路线为，此时所走的总路程为的长，总路程最短．
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【点睛】
本题考查了轴对称-最短路线问题，作图-应用与设计作图，首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．解题的关键是利用了轴对称的性质，两点之间线段最短的性质求解．
9．如图所示，P，Q为△ABC边上的两个定点，在BC上求作一点R，使△PQR的周长最小．
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【答案】见解析
【详解】
试题分析：作出点P关于BC的对称点P′，连接QP′交BC于R，那么△PQR的周长最小
试题解析：(1)作点P关于BC所在直线的对称点P′，
(2)连接P′Q，交BC于点R，则点R就是所求作的点(如图所示)．
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10．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN周长最小，求∠AMN＋∠ANM的度数．
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【答案】∠AMN＋∠ANM＝120°.
【解析】
试题分析：根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″=∠HAA′=60°，进而得出∠AMN+∠ANM=2（∠AA′M+∠A″）即可得出答案．
试题解析：
作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，连接AM，AN，则A′A″即为△AMN的周长最小值．作DA延长线AH.
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∵∠DAB＝120°，
∴∠HAA′＝60°.
∴∠A′＋∠A″＝∠HAA′＝60°.
∵∠A′＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，且∠A′＋∠MAA′＝∠AMN，∠NAD＋∠A″＝∠ANM，
∴∠AMN＋∠ANM＝∠A′＋∠MAA′＋∠NAD＋∠A″＝2(∠A′＋∠A″)＝2×60°＝120°.
点睛：本题考查的是轴对称 最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出M，N的位置是解题关键．
1．如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，EF是BC的垂直平分线，P是直线EF上的任意一点，则PA+PB的最小值是（ ）
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A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】
根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C，故当点P-为EF和AC的交点时，AP+BP值最小为AC的长为4．
【详解】
解：如图：
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∵EF垂直平分BC，
∴B、C关于EF对称，
∴当AC交EF于P时，AP+BP的值最小，最小值等于AC的长为4，
故选：B.
【点睛】
本题考查轴对称——最短路线问题的应用.解决此题的关键是能根据轴对称的性质和两点之间线段最短找出P点的位置.
2．如图，是等边三角形，是边上的高，E是的中点，P是上的一个动点，当与的和最小时，的度数是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
连接BE，则BE的长度即为PE与PC和的最小值．再利用等边三角形的性质可得∠PBC=∠PCB=30°，即可解决问题；
【详解】
解：如连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴PC=PB，
∴PE+PC=PB+PE=BE，
即BE就是PE+PC的最小值，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BCE=60°，
∵BA=BC，AE=EC，
∴BE⊥AC，
∴∠BEC=90°，
∴∠EBC=30°，
∵PB=PC，
∴∠PCB=∠PBC=30°，
∴∠ECP=∠ACB-∠PCB=30°，
故选：A．
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【点睛】
本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．
3．如图，等边△ABC的边长为4，AD是边BC上的中线，F是边AD上的动点，E是边AC上一点，若AE=2，则EF+CF取得最小值时，∠ECF的度数为（ ）
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A．15° B．22.5° C．30° D．45°
【答案】C
【详解】
试题解析：过E作EM∥BC，交AD于N，
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∵AC=4，AE=2，
∴EC=2=AE，
∴AM=BM=2，
∴AM=AE，
∵AD是BC边上的中线，△ABC是等边三角形，
∴AD⊥BC，
∵EM∥BC，
∴AD⊥EM，
∵AM=AE，
∴E和M关于AD对称，
连接CM交AD于F，连接EF，
则此时EF+CF的值最小，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，AC=BC，
∵AM=BM，
∴∠ECF=∠ACB=30°，
故选C．
4．如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=15°,AB边的垂直平分线交AB于点E,交BC于点D,且BD=13 cm,则AC的长是( )21·世纪*教育网
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A．13 cm B．6.5 cm
C．30 cm D．6cm
【答案】B
【分析】
利用线段垂直平分线的性质得AD=BD，利用等腰三角形的性质得∠DAE=∠B=15°且AD=BD=13cm，再利用外角的性质得∠ADC=30°，解直角三角形即可得AC的值．
【详解】
解：∵AB边的垂直平分线交AB于E，交BC于D（已知）
∴AD=BD（线段垂直平分线的性质）
∴∠DAE=∠B=15°且AD=BD=13cm（等腰三角形的性质）
∴∠ADC=30°（外角性质）
∴
故选B．
【点睛】
本题主要考查了线段垂直平分线的性质和含30°角的直角三角形的性质等知识；得到∠ADC=30°是正确解答本题的关键．21教育网
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，S△ABC＝60，AD⊥BC于点D，EF垂直平分AB，交AB于点E，AC于点F，在EF上确定一点P，使PB＋PD最小，则这个最小值为（ ）
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A．10 B．11
C．12 D．13
【答案】C
【分析】
根据三角形的面积公式即可得到AD的长度，再由最短路径的问题可知PB＋PD的最小即为AD的长．
【详解】
∵
∴
∵EF垂直平分AB
∴点A，B关于直线EF对称
∴
∴，
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了最短路径问题，熟练掌握相关解题技巧及三角形的高计算方法是解决本题的关键.
6．如图，直线L是一条河，P，Q是两个村庄．欲在L上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（ ）【版权所有：21教育】
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． C．D． ( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】A
【分析】
利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离．
【详解】
作点P关于直线L的对称点P′，连接QP′交直线L于M．
根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短．
故选：A．
【点睛】
本题考查了最短路径的数学问题．这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”．由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别．21教育名师原创作品
7．如图，直线是一条河，、是两个新农村定居点．欲在上的某点处修建一个水泵站，直接向、两地供水．现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是（ ）
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A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com )C．D． ( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】D
【分析】
利用轴对称的性质，通过作对称点找到修建水泵站的位置．
【详解】
解：作点A关于直线l的对称点，然后连接与直线l交于一点，在这点修建水泵站，
根据轴对称的性质和连点之间线段最短的性质可以证明此事铺设的管道最短．
故选：D．
【点睛】
本题考查利用轴对称的性质找线段和最小的问题，解题的关键是掌握这个作图方法．
8．某平原有一条很直的小河和两个村庄，要在此小河边的某处修建一个水泵站向这两个村庄供水.某同学用直线（虚线）表示小河，两点表示村庄，线段（实线）表示铺设的管道，画出了如下四个示意图，则所需管道最短的是（）.
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com )
C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】C
【分析】
根据轴对称分析即可得到答案.
【详解】
根据题意，所需管道最短，应过点P或点Q作对称点，再连接另一点，与直线l的交点即为水泵站M，故选项A、B、D均错误，选项C正确，
故选：C.
【点睛】
此题考查最短路径问题，应作对称点，使三点的连线在同一直线上，这是此类问题的解题目标，把握此目标即可正确解题.
9．如图，A、B是两个居民小区，快递公司准备在公路l上选取点P处建一个服务中心，使PA+PB最短．下面四种选址方案符合要求的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com )
C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】A
【分析】
根据轴对称的性质和线段的性质即可得到结论．
【详解】
解：根据题意得，在公路l上选取点P，使PA+PB最短．
则选项A 符合要求，
故选：A．
【点睛】
本题考查轴对称的性质的运用，最短路线问题数学模式的运用，也考查学生的作图能力，运用数学知识解决实际问题的能力．
10．如图，在中，，，，是中点，垂直平分，交于点，交于点，在上确定一点，使最小，则这个最小值为( )
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A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】C
【分析】
根据三角形的面积公式得到AD=12，由EF垂直平分AB，得到点A，B关于直线EF对称，于是得到AD的长为PB+PD的最小值，即可得到结论．
【详解】
∵AB=AC，BC=10，S△ABC=60，AD⊥BC于点D，
∴S△ABC= =60，
∴AD=12，
设AD与EF的交点为P，
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∵EF垂直平分AB，
∴点A，B关于直线EF对称，
∴PA=PB，
此时AD的长为PB+PD的最小值，
即PB+PD的最小值为12，
故选：C．
【点睛】
本题考查了轴对称-最短路线问题，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质的运用，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
11．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，EF垂直平分AB，点P为直线EF上一动点，则△APC周长的最小值为_____．
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【答案】7
【分析】
△APC周长，因为AC＝3，所以求出AP+CP的最小值即可求出△APC周长的最小值，根据题意知点关于直线EF的对称点为点B，故当点P与点E重合时，AP+CP的值最小，即可得到结论．
【详解】
∵直线EF垂直平分AB，
∴A，B关于直线EF对称，
设直线EF交BC于E，
∴当P和E重合时，AP+CP的值最小，最小值等于BC的长，
∴△APC周长的最小值，
故答案为：7．
【点睛】
本题考查了轴对称-最短路线问题的应用、垂直平分线的性质、三角形周长，解答本题的关键是准确找出P的位置．
12．已知，如图，在直线l的两侧有两点A、B在直线上画出点P，使PA+PB最短，画法：______．
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【答案】连接AB交直线l于P
【分析】
连接AB交直线l于P，根据两点之间线段最短可得AB为PA+PB的最小值，即可得答案．
【详解】
如图，连接AB，交直线l于P，
∵两点之间线段最短，
∴AB为PA+PB的最小值，
故答案为：连接AB交直线l于P
【点睛】
本题考查作图，熟练掌握两点之间线段最短是解题关键．
13．如图，等边△ABC中，BD⊥AC于点D，AD＝3.5cm，点P、Q分别为AB、AD上的两个定点且BP＝AQ＝2cm，若在BD上有一动点E使PE＋QE最短，则PE＋QE的最小值为_____cmwww-2-1-cnjy-com
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【答案】5
【分析】
过BD作P的对称点,连接P，Q，Q与BD交于一点E，再连接PE，根据轴对称的相关性质以及两点之间线段最短可以得出此时PE＋QE最小，并且等于Q，进一步利用全等三角形性质求解即可.
【详解】
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如图，过BD作P的对称点,连接P，Q，Q与BD交于一点E，再连接PE，此时PE＋QE最小.
∵与P关于BD对称，
∴PE=E，BP=B=2cm，
∴PE＋QE= Q，
又∵等边△ABC中，BD⊥AC于点D，AD＝3.5cm，
∴AC=BC=AB=7cm，
∵BP＝AQ＝2cm，
∴QC=5cm，
∵B=2cm，
∴C=5cm，
∴△Q C为等边三角形，
∴Q=5cm.
∴PE＋QE=5cm.
所以答案为5.
【点睛】
本题主要考查了利用对称求点之间距离的最小值以及等边三角形性质，熟练掌握相关概念是解题关键.
14．如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2，G，H分别是AF和CD的中点，P是GH上的动点，连接AP，BP，则AP＋BP的值最小时，BP与HG的夹角(锐角)度数为________．
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【答案】60°
【详解】
如图，因为点Ａ关于GH的对称点是F，所以连接BF交GH于点P，
则PA+PB=PF+PB=BF，
所以PA+PB的最小值是BF.
因为∠BAF=180°×(6-2)÷6=120°，AB=AF，
所以∠AFB=30°.
因为∠HGF=90°，
所以∠GPF=60°.
故答案为：60°.
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15．如图，在中，，，，是的垂直平分线，是直线上的任意一点，则的最小值是________．21世纪教育网版权所有
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【答案】4
【分析】
根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C，故当点P为AC与EF的交点时，AP+BP的最小值，依据AC的长度即可得到结【来源：21·世纪·教育·网】
【详解】
解：∵EF是BC中垂线，
∴点B关于直线EF的对称点为C，
当点P为AC与EF的交点时，PA+PB取得最小值，且PC=PB
∴最小值为PA+PC=AC=4，
故答案为：4．
【点睛】
本题考查垂直平分线的性质、最短距离问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称，根据两点之间线段最短解决最短问题．2-1-c-n-j-y
典例及变式
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