中小学教育资源及组卷应用平台
课时14.2.1 平方差公式
平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2
【运用平方差公式注意事项】
1.对因式中各项的系数、符号要仔细观察、比较，不能误用公式．如：(a＋3b)(3a-b)，不能运用平方差公式．
2.公式中的字母a、b可以是一个数、一个单项式、一个多项式。所以，当这个字母表示一个负数、分式、多项式时，应加括号避免出现只把字母平方，而系数忘了平方的错误．
( http: / / www.21cnjy.com )
典例1．（2020·雷州市八年级期末）下列各式中不能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
变式1-1．（2020·绵阳市期末）下列各式：①(x-2y)(2y+x)；②(x-2y)(-x-2y)；③(-x-2y)(x+2y)；④(x-2y)(-x+2y).其中能用平方差公式计算的是（ ）21世纪教育网版权所有
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
变式1-2．（2020·甘州区八年级期末）如果x+y＝6，x2-y2=24，那么y-x的值为（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣6 D．6
变式1-3．（2020·重庆市八年级期末）计算的结果为（ ）
A． B．
C． D．
变式1-4．（2020·德州市八年级期中）的计算结果的个位数字是（ ）
A．8 B．6 C．2 D．0
变式1-5．（2020·叙州区八年级期中）形如的式子叫做二阶行列式，它的算法是：，则的运算结果是（ ）www.21-cn-jy.com
A． B． C．4 D．
变式1-6．（2020·南阳市八年级期末）为了应用乘法公式计算（x－2y＋1）（x＋2y－1），下列变形中正确的是 ( )2·1·c·n·j·y
A．[x－(2y＋1)]2 B．[x－（2y－1）][x＋(2y－1)]
C．[(x－2y)＋1][(x－2y)－1] D．[x＋(2y－1)]2
典例2．（2020·河北区八年级期末）如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的矩形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
( http: / / www.21cnjy.com )
A． B．
C． D．
变式2-1．（2020·成都市八年级期末）如图①，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b(b
( http: / / www.21cnjy.com )
A．a2＋b2＝(a＋b)(a－b)
B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
C．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
D．a2－b2＝(a＋b)(a－b)
变式2-2．（2020·南宁市八年级期末）从边长为的大正方形纸板中挖去一个边长为的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形(如图甲)，然后拼成一个平行四边形(如图乙)．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． B．
C． D．
变式2-3．（2020·赣州市期末）如图，长方形的长、宽分别为a、b，且a比b大5，面积为10，则a2b–ab2的值为( )21·cn·jy·com
( http: / / www.21cnjy.com )
A．60 B．50 C．25 D．15
变式2-4．（2021·武威市八年级期末）如下图所示，在边长为的正方形中，剪去一个边长为的小正方形（），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于、的恒等式为（ ）21教育网
( http: / / www.21cnjy.com )
A． B．
C． D．
1．（2021·辽宁葫芦岛市·八年级期末）下列代数式中能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021·南宁市八年级期末）若，，则的值是（ ）
A．-12 B．12 C．8 D．-8
3．（2021·和平区八年级期末）在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021·成都市期末）式子化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·石家庄市八年级期末）如图1，在长为，宽为b的长方形中去掉两个边长为a的小正方形得到图2．然后将图2中的阴影部分剪下，并将剪下的阴影部分从中间剪开，得到两个形状，大小完全相同的小长方形，将这两个小长方形与剩下的图形拼成如图3中的长方形，上述操作能够验证的等式是（ ）21cnjy.com
( http: / / www.21cnjy.com )
A． B．
C． D．
6．（2021·山东济宁市·八年级期末）···的个位数是（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·广西八年级期末）下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·珠海市八年级期末）计算得到（ ）
A． B． C． D．
9．（2021·衡水市八年级期末）三个连续奇数，若中间的一个为，则这三个连续奇数之积为（ ）www-2-1-cnjy-com
A． B． C． D．
10．（2021·昆明市八年级期末）能够用如图中已有图形的面积说明的等式是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．a（a+4）＝a2+4a B．（a+4）（a﹣4）＝a2﹣16
C．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4 D．（a+2） 2＝a2+4a+4
11．（2021·重庆市八年级期末）计算：______．
12．（2021·郑州市中原区八年级期中）计算=__________．
13．（2021成都市八年级期末）计算：_________．
14．（2021·湖南常德市·八年级期中）计算：______．
15．（2021·宁波市八年级期中）已知，，_____．
16．（2021·广东八年级期末）先化简，再求值：（x-3）（x+3）-（x2-2x+1），其中x＝．
17．（2021·广东清远市·八年级期中）计算下列各式：
（1）______；
（2）______；
（3）______；
（4）请你用简便方法计算下列式子：． ( http: / / www.21cnjy.com )
教材知识链接
典例及变式
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
课时14.2.1 平方差公式
平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2
【运用平方差公式注意事项】
1.对因式中各项的系数、符号要仔细观察、比较，不能误用公式．如：(a＋3b)(3a-b)，不能运用平方差公式．
2.公式中的字母a、b可以是一个数、一个单项式、一个多项式。所以，当这个字母表示一个负数、分式、多项式时，应加括号避免出现只把字母平方，而系数忘了平方的错误．
( http: / / www.21cnjy.com )
典例1．（2020·雷州市八年级期末）下列各式中不能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【提示】
根据公式（a+b）（a-b）=a2-b2的左边的形式，判断能否使用．
【详解】
解：A、由于两个括号中含x、y项的系数不相等，故不能使用平方差公式，故此选项正确；
B、两个括号中，含y项的符号相同，1的符号相反，故能使用平方差公式，故此选项错误；
C、两个括号中，含x项的符号相反，y项的符号相同，故能使用平方差公式，故此选项错误；
D、两个括号中，y相同，含2x的项的符号相反，故能使用平方差公式，故此选项错误；
故选A．21世纪教育网版权所有
【名师点拨】
本题考查了平方差公式．注意两个括号中一项符号相同，一项符号相反才能使用平方差公式．
变式1-1．（2020·绵阳市期末）下列各式：①(x-2y)(2y+x)；②(x-2y)(-x-2y)；③(-x-2y)(x+2y)；④(x-2y)(-x+2y).其中能用平方差公式计算的是（ ）21教育网
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
【答案】A
【详解】
试题提示：将4个算式进行变形，看那个算式符合（a+b）（a﹣b）的形式，由此即可得出结论．
解：①（x﹣2y）（2y+x）=（x﹣2y）（x+2y）=x2﹣4y2；
②（x﹣2y）（﹣x﹣2y）=﹣（x﹣2y）（x+2y）=4y2﹣x2；
③（﹣x﹣2y）（x+2y）=﹣（x+2y）（x+2y）=﹣（x+2y）2；
④（x﹣2y）（﹣x+2y）=﹣（x﹣2y）（x﹣2y）=﹣（x﹣2y）2；
∴能用平方差公式计算的是①②．
故选A．
点评：本题考查了平方差公式，解题的关键是将四个算式进行变形，再与平方差公式进行比对．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，牢记平分差公式是解题的关键．
变式1-2．（2020·甘州区八年级期末）如果x+y＝6，x2-y2=24，那么y-x的值为（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣6 D．6
【答案】A
【提示】
先变形为x2-y2=（x+y）（x-y），代入数值即可求解．
【详解】
解：∵x2-y2=（x+y）（x-y）=24，
∴6（x-y）=24，
∴x-y=4，
∴y-x=-4，
故选：A．
【名师点拨】
本题考查了平方差公式的应用，掌握公式是解题关键．
变式1-3．（2020·重庆市八年级期末）计算的结果为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【提示】
先给第一个括号内提取负号，再利用平方差公式计算．
【详解】
解：
=
=
=，
故选：B．
【名师点拨】
本题考查平方差公式．熟记平方差公式并能正确给原代数式正确变形是解题关键．
变式1-4．（2020·德州市八年级期中）的计算结果的个位数字是（ ）
A．8 B．6 C．2 D．0
【答案】D
【提示】
先将2变形为，再根据平方差公式求出结果，根据规律得出答案即可．
【详解】
解：
，，，，，，，，
的个位是以指数1到4为一个周期，幂的个位数字重复出现，
，故与的个位数字相同即为1，
∴的个位数字为0，
∴的个位数字是0．
故选：D．
【名师点拨】
本题考查了平方差公式的应用，能根据规律得出答案是解此题的关键．
变式1-5．（2020·叙州区八年级期中）形如的式子叫做二阶行列式，它的算法是：，则的运算结果是（ ）21cnjy.com
A． B． C．4 D．
【答案】A
【提示】
根据定义把二阶行列式表示成整式，然后再化简计算即可．
【详解】
解：由题意可得：
=
=
=a+4，
故答案为A．
【名师点拨】
本题考查整式乘法的混合运算，通过观察题目给出的运算法则，把所求解的算式根据运算法则展开是解题关键．
变式1-6．（2020·南阳市八年级期末）为了应用乘法公式计算（x－2y＋1）（x＋2y－1），下列变形中正确的是 ( )www-2-1-cnjy-com
A．[x－(2y＋1)]2 B．[x－（2y－1）][x＋(2y－1)]
C．[(x－2y)＋1][(x－2y)－1] D．[x＋(2y－1)]2
【答案】B
【详解】
提示：根据平方差公式的特点即可得出答案．
详解：（x﹣2y+1）（x+2y﹣1）=[x﹣（2y﹣1）][x+（2y﹣1）]
故选B．
名师点拨：本题考查了平方差公式的应用，主要考查学生的理解能力．
典例2．（2020·河北区八年级期末）如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的矩形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（ ）21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com )
A． B．
C． D．
【答案】D
【提示】
根据等积法可进行求解．
【详解】
解：由图可得：
；
故选D．
【名师点拨】
本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键．
变式2-1．（2020·成都市八年级期末）如图①，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b(b( http: / / www.21cnjy.com )
A．a2＋b2＝(a＋b)(a－b)
B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
C．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
D．a2－b2＝(a＋b)(a－b)
【答案】D
【提示】
根据左图中阴影部分的面积是a2-b2，右图中梯形的面积是（2a+2b）（a-b）=（a+b）（a-b），利用面积相等即可解答．【出处：21教育名师】
【详解】
∵左图中阴影部分的面积是a2-b2，右图中梯形的面积是（2a+2b）（a-b）=（a+b）（a-b），
∴a2-b2=（a+b）（a-b）．
故选D．【版权所有：21教育】
【名师点拨】
此题主要考查的是平方差公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．
变式2-2．（2020·南宁市八年级期末）从边长为的大正方形纸板中挖去一个边长为的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形(如图甲)，然后拼成一个平行四边形(如图乙)．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． B．
C． D．
【答案】A
【提示】
分别根据正方形及平行四边形的面积公式求得甲、乙中阴影部分的面积，从而得到可以验证成立的公式．
【详解】
由图1将小正方形一边向两方延长，得到两个梯形的高，两条高的和为a b，即平行四边形的高为a b，
∵两个图中的阴影部分的面积相等，即甲的面积＝a2 b2，乙的面积＝（a＋b）（a b）．
即：a2 b2＝（a＋b）（a b）．
所以验证成立的公式为：a2 b2＝（a＋b）（a b）．
故选：A．
【名师点拨】
本题主要考查了平方差公式，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．本题主要利用面积公式求证明a2 b2＝（a＋b）（a b）．21·世纪*教育网
变式2-3．（2020·赣州市期末）如图，长方形的长、宽分别为a、b，且a比b大5，面积为10，则a2b–ab2的值为( )21教育名师原创作品
( http: / / www.21cnjy.com )
A．60 B．50 C．25 D．15
【答案】B
【提示】
直接利用提取公因式法分解因式，进而得出把已知代入即可．
【详解】
由题意可得：a-b=5，ab=10，
则a2b-ab2=ab（a-b）=50．
故选B．
【名师点拨】
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确分解因式是解题关键．
变式2-4．（2021·武威市八年级期末）如下图所示，在边长为的正方形中，剪去一个边长为的小正方形（），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于、的恒等式为（ ）21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com )
A． B．
C． D．
【答案】C
【提示】
可分别在正方形和梯形中表示出阴影部分的面积，两式联立即可得到关于a、b的恒等式．
【详解】
解：正方形中，S阴影=a2-b2；
梯形中，S阴影=（2a+2b）（a-b）=（a+b）（a-b）；
故所得恒等式为：a2-b2=（a+b）（a-b）．
故选：C．
【名师点拨】
此题主要考查的是平方差公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．
1．（2021·辽宁葫芦岛市·八年级期末）下列代数式中能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【提示】
平方差公式为：（a+b）（a-b）=a2-b2，即一个数与另一个数的和乘以这个数与另一个数的差，等于相同数字的平方减去相反数字的平方．据此提示即可．21·cn·jy·com
【详解】
解：A、两个括号内的数字完全相同，不符合平方差公式，故不符合题意；
B、两个括号内的相同数字是2x，相反数字是（-y）与y，故可用平方差公式计算，该选项符合题意；
C、没有完全相同的数字，也没有完全相反的数字，故不符合题意；
D、两个括号内只有相同项，没有相反项，故不符合题意．
故选：B．
【名师点拨】
本题考查了对平方差公式的识别，掌握平方差公式的实质是解题的关键．
2．（2021·南宁市八年级期末）若，，则的值是（ ）
A．-12 B．12 C．8 D．-8
【答案】A
【提示】
利用平方差公式分解，再整体代入求解即可．
【详解】
∵， ，
则，，
∴．
故选：A．
【名师点拨】
本题考查了平方差公式的应用，解此题的关键是能把变成，用了整体代入思想．
3．（2021·和平区八年级期末）在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【提示】
根据平方差公式的特点，两个数的和乘以这两个数的差，对各选项提示判断后利用排除法求解．
【详解】
解：A、不存在相同的项，故本选项错误；
B、不存在相同的项，故本选项错误；
C、存在相同的项和相反的项，正确；
D、不存在相同的项，故本选项错误．
故选：C．
【名师点拨】
本题考查了平方差公式，熟记公式结构特征是解题的关键．
4．（2021·成都市期末）式子化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【提示】
利用添项法，构造平方差公式计算即可．
【详解】
设S=，
∴（2—1）S=（2—1）
∴S=
=
=
=，
故选C．
【名师点拨】
本题考查了平方差公式的应用，善于观察题目的特点，通过添项构造连续的平方差公式使用条件是解题的关键．
5．（2021·石家庄市八年级期末）如图1，在长为，宽为b的长方形中去掉两个边长为a的小正方形得到图2．然后将图2中的阴影部分剪下，并将剪下的阴影部分从中间剪开，得到两个形状，大小完全相同的小长方形，将这两个小长方形与剩下的图形拼成如图3中的长方形，上述操作能够验证的等式是（ ）www.21-cn-jy.com
( http: / / www.21cnjy.com )
A． B．
C． D．
【答案】B
【提示】
根据图1易得去掉两个边长为a的小正方形的面积为，然后根据图3可得新的长方形的面积为，进而问题可求解．2·1·c·n·j·y
【详解】
解：由图1得：去掉两个边长为a的小正方形的面积为，
由图3得：新的长方形的面积为，
∴能够验证的等式为；
故选B．
【名师点拨】
本题主要考查乘法公式与图形的关系，熟练掌握乘法公式是解题的关键．
6．（2021·山东济宁市·八年级期末）···的个位数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【提示】
原式中的3变形为22-1，反复利用平方差公式计算即可得到结果．
【详解】
解：3（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1=（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1
=（24-1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1…=264-1+1=264，
∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，…，
∴个位上数字以2，4，8，6为循环节循环，
∵64÷4=16，
∴264个位上数字为6，即原式个位上数字为6．
故选：C．2-1-c-n-j-y
【名师点拨】
本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
7．（2021·广西八年级期末）下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【提示】
根据平方差公式的定义，分别进行判断，即可得到答案．
【详解】
解：，满足平方差公式，故A符合题意；
，不满足平方差公式，故B不符合题意；
，不满足平方差公式，故C不符合题意；
，不满足平方差公式，故D不符合题意；
故选：A．
【名师点拨】
本题考查了平方差公式的定义，解题的关键是掌握平方差公式进行判断．
8．（2021·珠海市八年级期末）计算得到（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【提示】
利用平方差公式求解即可．
【详解】
解：
，
故选：C．
【名师点拨】
此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题关键．
9．（2021·衡水市八年级期末）三个连续奇数，若中间的一个为，则这三个连续奇数之积为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A． B． C． D．
【答案】B
【提示】
n前一个奇数应为，后一个奇数，列出代数式，进行运算即可求解．
【详解】
∵n前一个奇数应为，后一个奇数
∴三个连续奇数之积为：
故选：B．
【名师点拨】
本题考查了平方差公式以及整式的乘法，熟记并灵活应用平方差公式是解决本题的关键．
10．（2021·昆明市八年级期末）能够用如图中已有图形的面积说明的等式是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．a（a+4）＝a2+4a B．（a+4）（a﹣4）＝a2﹣16
C．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4 D．（a+2） 2＝a2+4a+4
【答案】C
【提示】
根据图形中各个部分的面积之间的关系得出答案.
【详解】
如图，由题意得，长方形③与长方形②的面积相等，正方形④的面积为2×2＝4，
于是有S①+S②＝（a+2）（a﹣2）＝S①+S③＝（S①+S③+S④）﹣S④＝S正方形﹣S④＝a2﹣4，
所以（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4，
故选：C．
( http: / / www.21cnjy.com )
【名师点拨】
本题考查平方差公式的几何背景，理解图形中各个部分面积之间的关系是得出答案关键．
11．（2021·重庆市八年级期末）计算：______．
【答案】2
【提示】
利用平方差公式计算．
【详解】
故答案为：2
【名师点拨】
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质和平方差公式是解决问题的关键．
12．（2021·郑州市中原区八年级期中）计算=__________．
【答案】7
【提示】
根据平方差公式，得=，计算即可
【详解】
解：∵=
=10×0.7
=7，
故答案为：7．
【名师点拨】
本题考查了平方差公式，灵活运用平方差公式计算两个数的差是解题的关键．
13．（2021成都市八年级期末）计算：_________．
【答案】9999
【提示】
根据平方差公式即可进行简便计算．
【详解】
（100-1）×（100+1）=1002-12=10000-1=9999
故答案为：9999．
【名师点拨】
此题主要考查平方差公式的运用，解题的关键是熟知平方差公式的特点．
14．（2021·湖南常德市·八年级期中）计算：______．
【答案】
【提示】
原式利用平方差公式计算即可得到答案；
【详解】
原式= ，
故答案为： ．
【名师点拨】
本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键；
15．（2021·宁波市八年级期中）已知，，_____．
【答案】；
【提示】
根据平方差公式化简，代入求值即可；
【详解】
，
∵，，
∴原式；
故答案是．
【名师点拨】
本题主要考查了代数式求值，准确利用平方差公式是解题的关键．
16．（2021·广东八年级期末）先化简，再求值：（x-3）（x+3）-（x2-2x+1），其中x＝．
【答案】2x-10，-9
【提示】
首先利用平方差进行计算，再去括号合并同类项，化简后，再代入x的值计算即可．
【详解】
（x-3）（x+3）-（x2-2x+1）
＝x2-9-x2+2x-1
＝2x-10，
当x＝时，原式＝2×-10＝1-10＝-9．
【名师点拨】
此题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是掌握整式的乘法公式，即可完成求解．
17．（2021·广东清远市·八年级期中）计算下列各式：
（1）______；
（2）______；
（3）______；
（4）请你用简便方法计算下列式子：．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【提示】
（1）根据平方差公式，即可求解；
（2）根据平方差公式，即可求解；
（3）根据平方差公式，即可求解；
（4）根据平方差公式，即可求解．
【详解】
解：（1）
=
，
故答案是：；
（2）
=
=
=，
故答案是：；
（3）
=
=
=，
故答案是：；
（4）
=
=
=．
【名师点拨】
本题主要考查有理数的混合运算，掌握平方差公式进行简便计算，是解题的关键．
( http: / / www.21cnjy.com )
教材知识链接
典例及变式
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)