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课时14.3 因式分解
因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
【因式分解的定义注意事项】
1.分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；
2.因式分解必须是恒等变形；
3.因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止．
因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．
因式分解的常用方法：
提公因式法
【提公因式法的注意事项】
1）定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数。
2）定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母。
3）定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂。
4）查结果：最后检查核实，应保证含有多项式的因式中再无公因式。
公式法
运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；
①平方差公式： a2－b2＝（a＋b）（a－b）
1 完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2
a2－2ab＋b2＝（a－b）2
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典例1．（2020·黑龙江哈尔滨市八年级期末）下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为( )21cnjy.com
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
试题提示：根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，利用排除法求解．
解：A、是多项式乘法，故A选项错误；
B、右边不是积的形式，x2﹣4x+4=（x﹣2）2，故B选项错误；
C、提公因式法，故C选项正确；
D、右边不是积的形式，故D选项错误；
故选C．
变式1-1．（2020·南昌市八年级期中）对于①，②，从左到右的变形，表述正确的是（ ）
A．都是因式分解 B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解
【答案】C
【提示】
根据因式分解的定义进行判断即可；
【详解】
①左边多项式，右边整式乘积形式，属于因式分解；
②左边整式乘积，右边多项式，属于整式乘法；
故答案选C．
【名师点拨】
本题主要考查了因式分解的定义理解，准确理解因式分解的定义是解题的关键．
变式1-2．（2020·合肥市八年级期末）若，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【提示】
直接利用多项式乘法运算法则得出p的值，进而得出n的值．
【详解】
解：∵，
∴（3x+2）（x+p）=3x2+（3p+2）x+2p=mx2-nx-2，
∴m=3，p=-1，3p+2=-n，
∴n=1，
故选B.
【名师点拨】
此题考查了因式分解的意义；关键是根据因式分解的意义求出p的值，是一道基础题．
变式1-3．（2020·泉州市八年级期中）下列因式分解错误的是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【提示】
根据公式特点判断，然后利用排除法求解．
【详解】
A、是平方差公式，故A选项正确；
B、是完全平方公式，故B选项正确；
C、是提公因式法，故C选项正确；
D、（x＋y）2＝x2＋2xy＋y2，故D选项错误；
故选D．
【名师点拨】
本题主要考查了对于学习过的两种分解因式的方法的记忆与理解，需熟练掌握．
典例2．（2020·山东临沂市·八年级期末）多项式12ab3c＋8a3b的公因式是( )
A．4ab2 B．4abc C．2ab2 D．4ab
【答案】D
【提示】
根据公因式定义，对各选项整理然后即可选出有公因式的项．
【详解】
，
4ab是公因式，
故答案选：D．
【名师点拨】
本题考查的是公因式的定义，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．在提公因式时千万别忘了“ 1”．www.21-cn-jy.com
变式2-1．（2020·庐阳市八年级期中）多项式与多项式的公因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
试题提示：把多项式分别进行因式分解，多项式 =m（x+1）（x-1），多项式=，因此可以求得它们的公因式为（x-1）．21·世纪*教育网
故选A
变式2-2．（2020·辽宁铁岭市·八年级期末）下列各式中，没有公因式的是（ ）
A．3x﹣2与6x2﹣4x B．ab﹣ac与ab﹣bc
C．2（a﹣b）2与3（b﹣a）3 D．mx﹣my与ny﹣nx
【答案】B
【提示】
根据公因式的定义逐一提示即可．
【详解】
解：A、6x2﹣4x＝2x（3x﹣2），3x﹣2与6x2﹣4x有公因式（3x﹣2），故本选项不符合题意；
B、ab﹣ac＝a（b﹣c）与ab﹣bc＝b（a﹣c）没有公因式，故本选项符合题意；
C、2（a﹣b）2与3（b﹣a）3有公因式（a﹣b）2，故本选项不符合题意；
D、mx﹣my＝m（x﹣y），ny﹣nx＝﹣n（x﹣y），mx﹣my与ny﹣nx有公因式（x﹣y），故本选项不符合题意．【来源：21cnj*y.co*m】
故选：B．
【名师点拨】
本题考查了公因式，熟悉因式分解是解题的关键．
变式2-3．（2020·金昌市八年级期中）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【提示】
根据平方差公式的特点即可求解.
【详解】
∵=（3y+2x）（3y-2x），可以用公式法因式分解；
B,C,D均不能用公式法因式分解
故选A.
【名师点拨】
此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知平方差公式的特点.
典例3．（2020·河南八年级期中）下列分解因式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【提示】根据因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解即可求得答案．注意分解要彻底．
【详解】A. ，故A选项错误；
B. ，故B选项错误；
C. ，故C选项正确；
D. =（x-2）2，故D选项错误，
故选C.
【名师点拨】本题考查了提公因式法，公式法分解因式．注意因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解．注意分解要彻底． 21世纪教育网版权所有
变式3-1．（2020·山东八年级期末）将进行因式分解，正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【提示】
多项式有公因式，首先用提公因式法提公因式，提公因式后，得到多项式，再利用平方差公式进行分解．【出处：21教育名师】
【详解】
，
故选C．
【名师点拨】
此题主要考查了了提公因式法和平方差公式综合应用，解题关键在于因式分解时通常先提公因式，再利用公式，最后再尝试分组分解；【版权所有：21教育】
变式3-2．（2020·四川八年级期末）已知a、b、c是的三条边，且满足，则是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
【答案】C
【提示】
已知等式左边分解因式后，利用两数相乘积为0两因式中至少有一个为0得到a=b，即可确定出三角形形状．
【详解】
已知等式变形得：（a+b）（a-b）-c（a-b）=0，即（a-b）（a+b-c）=0，
∵a+b-c≠0，
∴a-b=0，即a=b，
则△ABC为等腰三角形．
故选C．
【名师点拨】
此题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
变式3-3．（2020·重庆市八年级期末）若，，则代数式的值是（ ）．
A．-6 B．-5 C．1 D．6
【答案】A
【提示】
由提公因式进行化简，然后把，代入计算，即可得到答案．
【详解】
解：∵，，
∴；
故选：A．
【名师点拨】
本题考查了提公因式法，以及求代数式的值，解题的关键是正确的把代数式进行化简．
典例4．（2020·集贤县八年级期末）下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是（ ）
A．a2﹣b2 B．﹣a2﹣b2 C．a2+b2 D．a2+2ab+b2
【答案】A
【提示】
根据平方差公式的结构特点，两个平方项，并且符号相反，对各选项提示判断后利用排除法求解．
【详解】
解：A、a2﹣b2符合平方差公式的特点，能用平方差公式进行因式分解；
B、﹣a2﹣b2两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解；
C、a2+b2两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解；
D、a2+2ab+b2是三项，不能用平方差公式进行因式分解．
故选：A．
【名师点拨】
本题考查了用平方差公式进行因式分解．熟记平方差公式的结构特点是解题的关键．平方差公式：．
变式4-1．（2020·唐山市八年级期末）因式分解的结果是（ ）
A．(x+8)(x+1) B．(x+2)(x-4)
C． D．
【答案】B
【详解】
试题提示：=（x﹣1+3）（x﹣1﹣3）=（x+2）（x﹣4）．故选B．
变式4-2．（2020·中山市八年级期末）下列多项式能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A．a2﹣1 B．a2+4 C．a2+2a+1 D．a2﹣4a﹣4
【答案】C
【提示】
根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，对各选项提示判断后利用排除法求解．21·cn·jy·com
【详解】
A. 不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故错误；
B. 不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故错误；
C.符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故正确；
D.，不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故错误.
故选C .
【名师点拨】
本题考查因式分解-运用公式法.
变式4-3．（2020·山东八年级期末）已知，，则M与N的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【提示】
利用完全平方公式把N-M变形，根据偶次方的非负性解答．
【详解】
解：N-M=（m2-3m）-（m-4）
=m2-3m-m+4
=m2-4m+4
=（m-2）2≥0，
∴N-M≥0，即M≤N，
故选：B．
【名师点拨】
本题考查的是完全平方公式的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．
变式4-4．（2020·内蒙古凉城县八年级期中）下列各式能用完全平方公式分解因式的有（ ）
①；②；③；④；⑤
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【提示】
完全平方式有两个，是a2+2ab+b2和a2-2ab+b2，根据以上式子判断即可．
【详解】
解：∵4x2-4xy-y2不是完全平方式，∴①错误；
∵是完全平方式，∴②正确；
∵是完全平方式，∴③正确；
∵不是完全平方式，∴④错误；
∵x2-8x+9不是完全平方式，∴⑤错误；【来源：21·世纪·教育·网】
故选：B．
【名师点拨】
本题考查了完全平方公式的应用，注意：完全平方式有两个，是a2+2ab+b2和a2-2ab+b2．
典例5．（2020·福建厦门市·八年级期末）下列四个多项式，可能是2x2＋mx－3 (m是整数)的因式的是21教育名师原创作品
A．x－2 B．2x＋3 C．x＋4 D．2x2－1
【答案】B
【提示】
将原式利用十字相乘分解因式即可得到答案.
【详解】
解：根据2x2+mx-3的常数项是-3，利用十字相乘法将2x2+mx-3分解．
2x2+mx-3（m是整数）的因式的是2x+3；21*cnjy*com
故选：B.
【名师点拨】
此题考查因式分解，根据二次项和常数项将多项式分解因式是解题的关键.
变式5-1．（2020·山东济宁市期末）下列各式中，计算结果是的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
试题提示:利用十字相乘法进行计算即可.
原式=（x－2）（x＋9）
故选D.
考点：十字相乘法因式分解.
变式5-2．（2020·中山市八年级期中）若（x+2）是多项式4x2+5x+m的一个因式，则m等于（ ）
A．–6 B．6 C．–9 D．9
【答案】A
【提示】
根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，一个因式（x+2），可得另一个因式，即可得答案．
【详解】
解：∵4x2+5x+m＝（x+2）（4x+n）=4x2+(8+n)x+2n
∴8+n=5,m=2n
∴n=-3,m=-6
故选A．
【名师点拨】
本题考查因式分解的意义，解题的关键是由十字相乘法因式分解，由因式分解得出m的值．
变式5-3．（2020·道里区八年级期中）如果x2+ kx＋6＝(x＋2)(x＋3)，则k＝( )
A．1 B．2 C．3 D．5
【答案】D
【提示】
由，从而可得：于是可得：，从而可得答案．
【详解】
解：，
故选．
【名师点拨】
本题考查的是因式分解与整式的乘法，掌握因式分解与整式乘法是解题的关键．
变式5-4．（2020·南昌市八年级期末）因式分解，甲看错了a的值，分解的结果是，乙看错了b的值，分解的结果为，那么分解因式正确的结果为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【提示】
根据甲看错了a的值，将分解的结果展开，能求出正确的b的值，乙看错了b的值，可以求出a的值，再因式分解即可得到答案．
【详解】
解：∵甲看错了a的值
∴b是正确的
∵=
∴b=-6
∵乙看错了b的值
∴a是正确的
∵=
∴a=-1
∴=
故选：B．
【名师点拨】
本题主要考查了因式分解，熟练因式分解以及计算是解决本题的关键．
1．（2021·成都市八年级期中）把多项式x2+ax+b分解因式，得(x+1)(x-3)，则a、b的值分别是（ ）
A．a=2，b=3 B．a=-2，b=-3
C．a=-2，b=3 D．a=2，b=-3
【答案】B
【详解】
提示：根据整式的乘法，先还原多项式，然后对应求出a、b即可.
详解：（x+1）（x-3）
=x2-3x+x-3
=x2-2x-3
所以a=2，b=-3，
故选B．
名师点拨：此题主要考查了整式的乘法和因式分解的关系，利用它们之间的互逆运算的关系是解题关键.
2．（2021·广东深圳市八年级期中）248﹣1能被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（ ）www-2-1-cnjy-com
A．61和63 B．63和65 C．65和67 D．64和67
【答案】B
【提示】
248﹣1＝（224+1）（224﹣1）＝（224+1）（212+1）（212﹣1）＝（224+1）（212+1）（26+1）（26﹣1）＝（224+1）（212+1）（26+1）（23+1）（23﹣1），即可求解．
【详解】
解：248﹣1＝（224+1）（224﹣1）＝（224+1）（212+1）（212﹣1）
＝（224+1）（212+1）（26+1）（26﹣1）
＝（224+1）（212+1）（26+1）（23+1）（23﹣1）
＝（224+1）（212+1）×65×63，
故选：B．
【名师点拨】
此题考察多项式的因式分解，将248﹣1利用平方差公式因式分解得到（224+1）（212+1）×65×63，即可得到答案2·1·c·n·j·y
3．（2021·德州市八年级期末）下列因式分解正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【提示】
利用提公因式法分解因式和平方差公式以及完全平方公式进行分解即可得到答案．
【详解】
A、，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，故此选项正确；
D、，故此选项错误．
故选：C．
【名师点拨】
此题主要考查了公式法和提公因式法分解因式，关键是注意口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．2-1-c-n-j-y
4．（2021·重庆市八年级期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【提示】
根据因式分解的定义进行判断可得答案.
【详解】
解：根据因式分解就是把一个多项式变形成几个整式的积的形式,
B,D都不是乘积的形式，C含有分式，A符合因式分解的意义,故是因式分解,
故选：A.
【名师点拨】
本题主要考查因式分解的定义：因式分解就是把一个多项式变形成几个整式的积的形式.
5．（2021·西藏达孜县八年级期末）下列从左到右的变形中是因式分解的有( )
①x2﹣y2﹣1=(x+y)(x﹣y)﹣1；
②x3+x=x(x2+1)；
③(x﹣y)2=x2﹣2xy+y2；
④x2﹣9y2=(x+3y)(x﹣3y).
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【提示】
根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
【详解】
①没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故①不是因式分解；
②把一个多项式转化成几个整式积的形式，故②是因式分解；
③整式的乘法，故③不是因式分解；
④把一个多项式转化成几个整式积的形式，故④是因式分解；
故选B
【名师点拨】
本题考查了因式分解，把一个多项式转化成几个整式积的形式是解题关键．
6．（2021·山东八年级期末）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【提示】
根据平方差公式的特点提示即可．
【详解】
解：A、不能运用平方差公式分解，故此选项错误；
B、不能运用平方差公式分解，故此选项错误：
C、能运用平方差公式分解，故此选项正确：
D、不能运用平方差公式分解，故此选项错误；
故答案为C．
【名师点拨】
本题考查了平方差公式和因式分解，运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式、两项都能写成平方的形式且符号相反．
7．（2021·广东潮州市·八年级期末）分解因式时，应提取的公因式是
A．3xy B． C． D．
【答案】D
【提示】
分别找出系数的最大公约数和相同字母的最低指数次幂，即可确定公因式．
【详解】
解：6x3y2-3x2y3=3x2y2（2x-y），
因此6x3y2-3x2y3的公因式是3x2y2．
故选D.
【名师点拨】
本题主要考查公因式的确定，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的.
8．（2021·黑龙江八年级期末）已知xy＝﹣3，x+y＝2，则代数式x2y+xy2的值是（ ）
A．﹣6 B．6 C．﹣5 D．﹣1
【答案】A
【提示】
将原式提取公因式xy,进而将已知代入求出即可.
【详解】
解: xy＝﹣3，x+y＝2,
x2y+xy2= xy (x+y)=-32=-6.
故答案：A.
【名师点拨】
此题主要考查了提取公因式法分解因式,正确找出公因式是解题关键.
9．（2021·和平区八年级期末）多项式中，各项的公因式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【提示】
分别对系数、字母a、字母b、字母c逐个提示即可得到答案．
【详解】
解：由题意可得：
系数的公因式为4，字母a的公因式为，字母b的公因式为b，, 字母c无公因式，
所以各项的公因式是．
故选：C．
【名师点拨】
本题考查了求多项式的公因式，解题的关键是掌握求多项式公因式的方法．
10．（2020菏泽市期末）若因式分解，则a的值是（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】C
【提示】
根据因式分解的定义可直接进行求解．
【详解】
解：由可得：，
∴，
∴；
故选C．
【名师点拨】
本题主要考查因式分解的定义，熟练掌握因式分解是解题的关键．
11．（2021·云南玉溪市·八年级期末）分解因式：=______．
【答案】x（x+2）（x﹣2）．
【详解】
试题提示：==x（x+2）（x﹣2）．故答案为x（x+2）（x﹣2）．
考点：提公因式法与公式法的综合运用；因式分解．
12．（2021·云南八年级期末）因式分解：__________．
【答案】
【提示】
先提取公因式a，再利用公式法继续分解．
【详解】
解：，
故答案为：．
【名师点拨】
本题考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正确应用公式是解题的关键．在分解因式时，要注意分解彻底．
13．（2021·呼和浩特市八年级期末）若a+b＝4，a﹣b＝1，则（a+1）2﹣（b﹣1）2的值为_____．
【答案】12
【提示】
对所求代数式运用平方差公式进行因式分解，然后整体代入求值．
【详解】
解：∵a+b＝4，a﹣b＝1，
∴（a+1）2﹣（b﹣1）2
＝（a+1+b﹣1）（a+1﹣b+1）
＝（a+b）（a﹣b+2）
＝4×（1+2）
＝12．
故答案是：12．
【名师点拨】
本题考查了公式法分解因式，属于基础题，熟练掌握平方差公式的结构特征即可解答．
14．（2021·内蒙古八年级期末）分解因式：x3﹣16x＝______．
【答案】x（x+4）（x–4）.
【详解】
先提取x，再把x2和16=42分别写成完全平方的形式，再利用平方差公式进行因式分解即可．
解：原式=x（x2﹣16）=x（x+4）（x﹣4），
故答案为x（x+4）（x﹣4）．
15．（2021·锡林浩特市八年级期末）若m+n=3，则2m2+4mn+2n2-6的值为________．
【答案】12
【详解】
原式=2（m2+2mn+n2）-6，
=2（m+n）2-6，
=2×9-6，
=12．
16．（2021·山东八年级期末）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x2+2xy+2y2+2y+1=0，求2x+y的值；
（2）已知a﹣b=4，ab+c2﹣6c+13=0，求a+b+c的值．
【答案】(1)1；(2)3．
【提示】
（1）根据题意，可以将题目中的式子化为材料中的形式，从而可以得到x、y的值，从而可以得到2x+y的值；（2）根据a-b=4，ab+c2-6c+13=0，可以得到a、b、c的值，从而可以得到a+b+c的值．21教育网
【详解】
解：(1)∵x2+2xy+2y2+2y+1=0，
∴(x2+2xy+y2)+(y2+2y+1)=0，
∴(x+y)2+(y+1)2=0，
∴x+y=0，y+1=0，
解得，x=1，y= 1，
∴2x+y=2×1+( 1)=1；
(2)∵a b=4，
∴a=b+4，
∴将a=b+4代入ab+c2 6c+13=0，得
b2+4b+c2 6c+13=0，
∴(b2+4b+4)+(c2 6c+9)=0，
∴(b+2)2+(c 3)2=0，
∴b+2=0，c 3=0，
解得，b= 2，c=3，
∴a=b+4= 2+4=2，
∴a+b+c=2 2+3=3．
【名师点拨】
此题考查了因式分解方法的应用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题.此题解答的关键是要明确：用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分.21*cnjy*com
17．（2021·安徽铜陵市·八年级期末）分解因式：
(1)； (2)
【答案】（1）；（2）.
【提示】
（1）先提公因式，然后利用完全平方公式分解因式即可；
（2）直接利用平方差公式分解因式，即可得到答案.
【详解】
解：（1）
；
（2）
.
【名师点拨】
本题考查了分解因式，灵活运用提公因式法和公式法进行分解因式是解题的关键.
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典例及变式
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课时14.3 因式分解
因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
【因式分解的定义注意事项】
1.分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；
2.因式分解必须是恒等变形；
3.因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止．
因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．
因式分解的常用方法：
提公因式法
【提公因式法的注意事项】
1）定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数。
2）定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母。
3）定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂。
4）查结果：最后检查核实，应保证含有多项式的因式中再无公因式。
公式法
运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；
①平方差公式： a2－b2＝（a＋b）（a－b）
1 完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2
a2－2ab＋b2＝（a－b）2
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典例1．（2020·黑龙江哈尔滨市八年级期末）下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为( )21教育网
A． B．
C． D．
变式1-1．（2020·南昌市八年级期中）对于①，②，从左到右的变形，表述正确的是（ ）
A．都是因式分解 B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解
变式1-2．（2020·合肥市八年级期末）若，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式1-3．（2020·泉州市八年级期中）下列因式分解错误的是( )
A． B．
C． D．
典例2．（2020·山东临沂市·八年级期末）多项式12ab3c＋8a3b的公因式是( )
A．4ab2 B．4abc C．2ab2 D．4ab
变式2-1．（2020·庐阳市八年级期中）多项式与多项式的公因式是（ ）
A． B． C． D．
变式2-2．（2020·辽宁铁岭市·八年级期末）下列各式中，没有公因式的是（ ）
A．3x﹣2与6x2﹣4x B．ab﹣ac与ab﹣bc
C．2（a﹣b）2与3（b﹣a）3 D．mx﹣my与ny﹣nx
变式2-3．（2020·金昌市八年级期中）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是( )
A． B． C． D．
典例3．（2020·河南八年级期中）下列分解因式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
变式3-1．（2020·山东八年级期末）将进行因式分解，正确的是( )
A． B．
C． D．
变式3-2．（2020·四川八年级期末）已知a、b、c是的三条边，且满足，则是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
变式3-3．（2020·重庆市八年级期末）若，，则代数式的值是（ ）．
A．-6 B．-5 C．1 D．6
典例4．（2020·集贤县八年级期末）下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是（ ）
A．a2﹣b2 B．﹣a2﹣b2 C．a2+b2 D．a2+2ab+b2
变式4-1．（2020·唐山市八年级期末）因式分解的结果是（ ）
A．(x+8)(x+1) B．(x+2)(x-4)
C． D．
变式4-2．（2020·中山市八年级期末）下列多项式能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A．a2﹣1 B．a2+4 C．a2+2a+1 D．a2﹣4a﹣4
变式4-3．（2020·山东八年级期末）已知，，则M与N的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
变式4-4．（2020·内蒙古凉城县八年级期中）下列各式能用完全平方公式分解因式的有（ ）
①；②；③；④；⑤
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
典例5．（2020·福建厦门市·八年级期末）下列四个多项式，可能是2x2＋mx－3 (m是整数)的因式的是21cnjy.com
A．x－2 B．2x＋3 C．x＋4 D．2x2－1
变式5-1．（2020·山东济宁市期末）下列各式中，计算结果是的是（ ）
A． B． C． D．
变式5-2．（2020·中山市八年级期中）若（x+2）是多项式4x2+5x+m的一个因式，则m等于（ ）21·cn·jy·com
A．–6 B．6 C．–9 D．9
变式5-3．（2020·道里区八年级期中）如果x2+ kx＋6＝(x＋2)(x＋3)，则k＝( )
A．1 B．2 C．3 D．5
变式5-4．（2020·南昌市八年级期末）因式分解，甲看错了a的值，分解的结果是，乙看错了b的值，分解的结果为，那么分解因式正确的结果为（ ）．21世纪教育网版权所有
A． B．
C． D．
1．（2021·成都市八年级期中）把多项式x2+ax+b分解因式，得(x+1)(x-3)，则a、b的值分别是（ ）www.21-cn-jy.com
A．a=2，b=3 B．a=-2，b=-3
C．a=-2，b=3 D．a=2，b=-3
2．（2021·广东深圳市八年级期中）248﹣1能被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（ ）2·1·c·n·j·y
A．61和63 B．63和65 C．65和67 D．64和67
3．（2021·德州市八年级期末）下列因式分解正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2021·重庆市八年级期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2021·西藏达孜县八年级期末）下列从左到右的变形中是因式分解的有( )
①x2﹣y2﹣1=(x+y)(x﹣y)﹣1；
②x3+x=x(x2+1)；
③(x﹣y)2=x2﹣2xy+y2；
④x2﹣9y2=(x+3y)(x﹣3y).
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2021·山东八年级期末）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·广东潮州市·八年级期末）分解因式时，应提取的公因式是
A．3xy B． C． D．
8．（2021·黑龙江八年级期末）已知xy＝﹣3，x+y＝2，则代数式x2y+xy2的值是（ ）
A．﹣6 B．6 C．﹣5 D．﹣1
9．（2021·和平区八年级期末）多项式中，各项的公因式是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2020菏泽市期末）若因式分解，则a的值是（ ）
A． B． C．2 D．4
11．（2021·云南玉溪市·八年级期末）分解因式：=______．
12．（2021·云南八年级期末）因式分解：__________．
13．（2021·呼和浩特市八年级期末）若a+b＝4，a﹣b＝1，则（a+1）2﹣（b﹣1）2的值为_____．
14．（2021·内蒙古八年级期末）分解因式：x3﹣16x＝______．
15．（2021·锡林浩特市八年级期末）若m+n=3，则2m2+4mn+2n2-6的值为________．
16．（2021·山东八年级期末）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x2+2xy+2y2+2y+1=0，求2x+y的值；
（2）已知a﹣b=4，ab+c2﹣6c+13=0，求a+b+c的值．
17．（2021·安徽铜陵市·八年级期末）分解因式：
(1)； (2) ( http: / / www.21cnjy.com )
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