课时15.1.1 从分数到分式
分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，A为分子，B为分母。
与分式有关的条件：
要求 表示
分式有意义 分母≠0
分式无意义 分母=0
分式值为0 分子为0且分母不为0
分式值为正或大于0 分子分母同号 A>0,B>0A<0,B<0
分式值为负或小于0 分子分母异号 ①A>0,B<0②A<0,B>0
分式值为1 分子分母值相等 A=B
分式值为-1 分子分母值互为相反数 A+B=0
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典例1．（2020·正定县八年级期中）下列式子中是分式的是( )
A． B． C． D．
变式1-1．（2020·湖南岳阳市·八年级期中）对于式子：其中是分式是
A．①②③④⑤ B．①③④⑤ C．①④⑤ D．②③
变式1-2．（2020·聊城市八年级期中）下列各式中，，，，，，，分式的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
典例2．（2020·寻乌县期末）式子有意义，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≥-1 B．a≠2 C．a≥-1且a≠2 D．a＞2
变式2-1．（2020·山东临沂市·八年级期末）若代数式有意义，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式2-2．（2020·吉林松原市期末）式子有意义的x的取值范围是（ ）
A．且x≠1 B．x≠1 C． D．且x≠1
变式2-3．（2020·乌兰察布市八年级期中）下列分式中一定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
典例3．（2020·山东潍坊市·八年级期中）要使分式无意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式3-1．（2020·洛阳市八年级期末）下列说法错误的是（ ）
A．当时，分式有意义 B．当时，分式无意义
C．不论取何值，分式都有意义 D．当时，分式的值为0
变式3-2．（2020·河北保定市·八年级期末）式子的值不可能等于( )
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
变式3-3．（2020·河北邢台市·八年级期末）若使某个分式无意义，则这个分式可以是（ ）
A． B． C． D．
典例4．（2020·深圳市南山区八年级期中）若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．±1
变式4-1．（2020·昌乐县八年级期中）如果分式的值为0，那么的值为（ ）
A．-1 B．1 C．-1或1 D．1或0
变式4-2．（2020·湖南岳阳市·八年级期中）若分式的值为0，则（ ）
A． B． C． D．
1．（2021·广东深圳市·八年级期末）若分式有意义，则x满足的条件是（ ）
A．x＝0 B．x≠0 C．x＝5 D．x≠5
2．（2021·陕西咸阳市·八年级期末）当时，下列分式没有意义的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·山东济宁市八年级期末）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·大连市八年级期末）使分式在实数范围内有意义，则实数m的取值范围是（ ）
A．m≠1 B．m≠3 C．m≠3且m≠1 D．m＝1
5．（2021·成都市八年级期末）下列各式中：，，，，，，其中分式的个数有（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．（2021·烟台市八年级期末）若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．-2 B．0 C．2 D．±2
7．（2021·南通市八年级期末）当时，下列分式没有意义的是（ ）
8．（2021·陕西宝鸡市·八年级期末）若分式值为0，则x的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
9．（2021·襄樊市八年级期中）若分式的值为零，则的值为（ ）
A．-3 B．-1 C．3 D．
10．（2021·南昌市期末）已知分式的值是正数，那么x的取值范围是（ ）
A．x＞0 B．x＞-4
C．x≠0 D．x＞-4且x≠0
11．（2021·江苏扬州市·八年级期中）使分式的值为0，这时x=_____．
12．（2021·广东深圳市·八年级期末）若分式的值为0，则x的值为_______.
13．（2021·宿迁市八年级期末）当x＝_________时，分式的值为0．
14．（2021·郑州市八年级期中）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是__________．
15．（2021·苏州市八年级期中）若分式的值为0，则x的值是________
16．（2021·山东烟台市·八年级期中）为何值时，分式的值为正数？
17．（2020·江西省宜春市八年级期中）已知分式，回答下列问题．
（1）若分式无意义，求x的取值范围；
（2）若分式的值是零，求x的值；
（3）若分式的值是正数，求x的取值范围．
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典例及变式课时15.1.1 从分数到分式
分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，A为分子，B为分母。
与分式有关的条件：
要求 表示
分式有意义 分母≠0
分式无意义 分母=0
分式值为0 分子为0且分母不为0
分式值为正或大于0 分子分母同号 A>0,B>0A<0,B<0
分式值为负或小于0 分子分母异号 ①A>0,B<0②A<0,B>0
分式值为1 分子分母值相等 A=B
分式值为-1 分子分母值互为相反数 A+B=0
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典例1．（2020·正定县八年级期中）下列式子中是分式的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
、、的分母中不含有字母，属于整式，的分母中含有字母，属于分式．
故选C．
变式1-1．（2020·湖南岳阳市·八年级期中）对于式子：其中是分式是
A．①②③④⑤ B．①③④⑤ C．①④⑤ D．②③
【答案】C
【提示】
判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【详解】
解：中，
分母含有字母，是分式，
故选C．
【名师点拨】
本题主要考查分式的定义．在解答此题时要注意分式是形式定义，只要是分母中含有未知数的式子即为分式．
变式1-2．（2020·聊城市八年级期中）下列各式中，，，，，，，分式的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【提示】
根据分式的意义可以得到解答．
【详解】
解：分式是指分母中含有字母的代数式，根据这个定义，是分式，
中分母内的字母表示一个常数，因此不是分式，
中分母中没有字母，因此不是分式，
是等式，不是分式，
故答案为B．
【名师点拨】
本题考查分式的意义，正确理解分式意义是解题关键．
典例2．（2020·寻乌县期末）式子有意义，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≥-1 B．a≠2 C．a≥-1且a≠2 D．a＞2
【答案】C
【提示】
根据被开方数大于等于0,分母不等于0列式计算即可.
【详解】
解：由题意得，
解得，a≥-1且a≠2，
故答案为：C.
【名师点拨】
本题考查的知识点是根据分式有意义的条件确定字母的取值范围，属于基础题目，比较容易掌握.
变式2-1．（2020·山东临沂市·八年级期末）若代数式有意义，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【提示】
分式有意义的条件是分母不为．
【详解】
代数式有意义，
，
故选D．
【名师点拨】
本题运用了分式有意义的条件知识点，关键要知道分母不为是分式有意义的条件．
变式2-2．（2020·吉林松原市期末）式子有意义的x的取值范围是（ ）
A．且x≠1 B．x≠1 C． D．且x≠1
【答案】A
【详解】
根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须且．故选A．
变式2-3．（2020·乌兰察布市八年级期中）下列分式中一定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【提示】
根据分式有意义的条件是分母不等于零进行提示即可．
【详解】
A、当时，分式无意义，故此选项错误；
B、当时，分式无意义，故此选项错误；
C、为任何实数时，分式一定有意义，故此选项正确；
D、当时，分式无意义，故此选项错误；
故选：C．
【名师点拨】
本题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．
典例3．（2020·山东潍坊市·八年级期中）要使分式无意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【提示】
根据分式无意义，分母等于0列方程求解即可．
【详解】
∵分式无意义，
∴x+2=0，
解得x=-2．
故选A．
【名师点拨】
本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：
（1）分式无意义 分母为零；（2）分式有意义 分母不为零；（3）分式值为零 分子为零且分母不为零．
变式3-1．（2020·洛阳市八年级期末）下列说法错误的是（ ）
A．当时，分式有意义 B．当时，分式无意义
C．不论取何值，分式都有意义 D．当时，分式的值为0
【答案】C
【提示】
分母不为0时，分式有意义，分母为0时，分式无意义，分子等于0，分母不为0时分式值为0，由此判断即可.
【详解】
解：A选项当，即时，分式有意义，故A正确；
B选项当，即时，分式无意义，故B正确；
C选项当，即时，分式有意义，故C错误；
D选项当，且即时，分式的值为0，故D正确.
故选C.
【名师点拨】
本题主要考查了分式有意义、无意义、值为0的条件，熟练掌握分式的分母不为0是确定分式有意义的关键.
变式3-2．（2020·河北保定市·八年级期末）式子的值不可能等于( )
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【答案】C
【提示】
根据分式的加减运算，对式子进行化简，然后根据分式有意义，即可得出答案.
【详解】
解：
= ，
分式的值不能为0，因为只有a=b=c时，分母才为0，此时分式没意义，
故选：C．
【名师点拨】
本题主要考察了分式的加减运算以及分式有意义的定义，解题的关键是分式的加减运算要正确进行通分，以及注意分式的分母不能为零.
变式3-3．（2020·河北邢台市·八年级期末）若使某个分式无意义，则这个分式可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【提示】
根据分式无意义分母为零即可判断．
【详解】
A、当x＝ 1时，分母2x＋1＝ 1≠0，所以分式有意义；故本选项不符合题意；
B、当x＝ 1时，分母x＋1＝0，所以分式无意义；故本选项符合题意；
C、当x＝ 1时，分母x-1=-2≠0，所以分式有意义；故本选项不符合题意；
D、当x＝ 1时，分母2x+1＝-1≠0，所以分式有意义；故本选项不符合题意；
故选：B．
【名师点拨】
本题考查了分式有(无)意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义 分母为零；（2）分式有意义 分母不为零；（3）分式值为零 分子为零且分母不为零．
典例4．（2020·深圳市南山区八年级期中）若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．±1
【答案】B
【提示】根据分式值为0的条件，分子为0分母不为0列式进行计算即可得.
【详解】∵分式的值为零，
∴，
解得：x=1，
故选B．
【名师点拨】本题考查了分式值为0的条件，熟知分式值为0的条件是分子为0分母不为0是解题的关键.
变式4-1．（2020·昌乐县八年级期中）如果分式的值为0，那么的值为（ ）
A．-1 B．1 C．-1或1 D．1或0
【答案】B
【提示】
根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
【详解】
根据题意，得
|x|-1=0且x+1≠0，
解得，x=1．
故选B．
【名师点拨】
本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
变式4-2．（2020·湖南岳阳市·八年级期中）若分式的值为0，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【提示】
根据分式的值为0的条件,列式求解即可.分式的值为0的条件是：（1）分子等于0；（2）分母不为0.两个条件需同时具备，缺一不可.据此可以解答本题.
【详解】
解：由题意得：
解得：x=1
故答案为B
【名师点拨】
本题考查了分式的值为0的条件，即：（1）分子等于0；（2）分母不为0.两个条件需同时具备，缺一不可.据此可以解答本题.
1．（2021·广东深圳市·八年级期末）若分式有意义，则x满足的条件是（ ）
A．x＝0 B．x≠0 C．x＝5 D．x≠5
【答案】D
【提示】
根据分式有意义的条件即分母不为零即可．
【详解】
解：∵分式有意义，
∴x﹣5≠0，
∴x≠5，
故选：D．
【名师点拨】
本题主要考查分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不为零．
2．（2021·陕西咸阳市·八年级期末）当时，下列分式没有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【提示】
根据分式无意义的条件进行判断即可．
【详解】
解：当时，，此时分式没有意义；
故选：C．
【名师点拨】
本题考查了分式无意义的条件，解题关键是明确分式无意义的条件，准确进行判断．
3．（2021·山东济宁市八年级期末）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【提示】
由，设 则 再代入分式求值即可.
【详解】
解： ，设
故选：
【名师点拨】
本题考查的是分式的值，掌握设辅助参数的方法求解分式的值是解题的关键.
4．（2021·大连市八年级期末）使分式在实数范围内有意义，则实数m的取值范围是（ ）
A．m≠1 B．m≠3 C．m≠3且m≠1 D．m＝1
【答案】B
【提示】
利用分式有意义的条件可得m﹣3≠0，再解不等式即可．
【详解】
解：由题意得：m﹣3≠0，
解得：m≠3，
故选：B．
【名师点拨】
此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．
5．（2021·成都市八年级期末）下列各式中：，，，，，，其中分式的个数有（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【提示】
根据分式的定义与为整式，，且中含有字母，形如的式子称为分式），故分式有，共4个．
【详解】
解：与为整式、且中含有字母，形如的式子叫作分式，
是分式．
故选：B．
【名师点拨】
本题主要考查分式的定义，熟练掌握分式的定义是解决本题的关键．
6．（2021·烟台市八年级期末）若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．-2 B．0 C．2 D．±2
【答案】C
【详解】
由题意可知：，
解得：x=2，
故选C.
7．（2021·南通市八年级期末）当时，下列分式没有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【提示】
由分式有意义的条件分母不能为零判断即可.
【详解】
,当x=1时,分母为零,分式无意义.
故选B.
【名师点拨】
本题考查分式有意义的条件,关键在于牢记有意义条件.
8．（2021·陕西宝鸡市·八年级期末）若分式值为0，则x的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】A
【提示】
要使分式的值为0，必须分式分子的值为0并且分母的值不为0，据此解答即可．
【详解】
解：根据题意得，，
解得：x=1，
故选：A．
【名师点拨】
要注意分母的值一定不能为0，分母的值是0时分式没有意义．
9．（2021·襄樊市八年级期中）若分式的值为零，则的值为（ ）
A．-3 B．-1 C．3 D．
【答案】A
【提示】
根据分式的值为零的条件即可求出答案．
【详解】
解：由题意可知：
解得：x=-3，
故选：A．
【名师点拨】
本题考查分式的值，解题的关键是熟练运用分式的值为零的条件．
10．（2021·南昌市期末）已知分式的值是正数，那么x的取值范围是（ ）
A．x＞0 B．x＞-4
C．x≠0 D．x＞-4且x≠0
【答案】D
【提示】
若的值是正数，只有在分子分母同号下才能成立，即x＋4＞0，且x≠0，因而能求出x的取值范围．
【详解】
解：∵＞0，
∴x＋4＞0，x≠0，
∴x＞ 4且x≠0．
故选：D．
【名师点拨】
本题考查分式值的正负性问题，若对于分式（b≠0）＞0时，说明分子分母同号；分式（b≠0）＜0时，分子分母异号，也考查了解一元一次不等式．
11．（2021·江苏扬州市·八年级期中）使分式的值为0，这时x=_____．
【答案】1
【详解】
试题提示：根据题意可知这是分式方程， ＝0，然后根据分式方程的解法分解因式后约分可得x-1=0，解之得x=1，经检验可知x=1是分式方程的解.
答案为1.
12．（2021·广东深圳市·八年级期末）若分式的值为0，则x的值为_______.
【答案】-3
【提示】
根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
【详解】
解：根据题意得：，
解得：x=-3．
故答案为：-3.
【名师点拨】
若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
13．（2021·宿迁市八年级期末）当x＝_________时，分式的值为0．
【答案】2
【提示】
直接利用分式的值为零则分子为零，分母不为零，进而得出答案．
【详解】
∵分式的值为0，
∴x2-4=0，x+2≠0，
解得：x=2．
故答案为2．
【名师点拨】
此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握相关性质是解题关键．
14．（2021·郑州市八年级期中）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是__________．
【答案】
【提示】
由分式有意义的条件可得答案．
【详解】
解：由题意得：
故答案为：
【名师点拨】
本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键．
15．（2021·苏州市八年级期中）若分式的值为0，则x的值是________
【答案】x=-1
【提示】
根据题意可得，然后进行求解即可．
【详解】
解：由题意可得：
，解得：；
故答案为．
【名师点拨】
本题主要考查分式为零的条件，熟练掌握分式为零的条件是解题的关键．
16．（2021·山东烟台市·八年级期中）为何值时，分式的值为正数？
【答案】且
【提示】
分式的值为正数，则分子，分母同号，分母为正数，且不等于0，则分子需要大于0，解不等式即可判断的取值.
【详解】
分母
分母不为0，则：
要使分式的值为正数，
则
解得：且.
【名师点拨】
本题主要考查根据题意列不等式.列不等式的关键是分清题目中的数量关系,找出其中的不等关系,从而列出不等式,求解不等式即可使问题得解.
17．（2020·江西省宜春市八年级期中）已知分式，回答下列问题．
（1）若分式无意义，求x的取值范围；
（2）若分式的值是零，求x的值；
（3）若分式的值是正数，求x的取值范围．
【答案】（1）x＝；（2）x＝1；（3）＜x＜1．
【提示】
（1）分式无意义，分母值为零，进而可得2﹣3x＝0，再解即可；
（2）分式值为零，分子为零，分母不为零，进而可得x﹣1＝0，且2﹣3x≠0，再解即可；
（3）分式值为正数，则分子分母同号，进而可得两个不等式组，再解即可．
【详解】
解：（1）由题意得：2﹣3x＝0，
解得：x＝；
（2）由题意得：x﹣1＝0，且2﹣3x≠0，
解得：x＝1；
（3）由题意得：①，
此不等式组无解；
②，
解得：＜x＜1．
∴分式的值是正数时，＜x＜1．
【名师点拨】
此题主要考查了分式无意义、分式值为零、分式值为正，关键是掌握各种情况下，分式所应具备的条件．
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典例及变式
