课时15.1.2 分式的基本性质
分式的基本性质（基础）：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
字母表示：，，
其中A、B、C是整式，C0。
拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即
注意：在应用分式的基本性质时，要注意C0这个限制条件和隐含条件B0。
分式的约分
约分的定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去。
最简公式的定义：分子与分母没有公因式的分式。
分式约分步骤：
1）提分子、分母公因式
2）约去公因式
3）观察结果，是否是最简分式或整式。
注意：
1.约分前后分式的值要相等.
2.约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式.
3.约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式
分式的通分
通分的定义：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。
最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
分式通分的关键：确定最简公分母
确定分式的最简公分母的方法
1.因式分解
2.系数：各分式分母系数的最小公倍数；
3.字母：各分母的所有字母的最高次幂
4.多项式：各分母所有多项式因式的最高次幂
5.积
约分与通分的相同点：
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典例1．（2020·哈尔滨市八年级期末）分式可变形为( )
A． B．- C． D．
【答案】D
【提示】
根据分式的基本性质逐项进行判断即可.
【详解】
A. ≠，故A选项错误；
B. -=≠，故B选项错误；
C. =-，故C选项错误；
D. ==，故D选项正确，
故选D.
【名师点拨】
本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变．
变式1-1．（2020·山西临汾市期末）下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
A．≠ ，故A不成立；
B． = ，故B成立；
C．不能约分，故C错误；
D． ，故D不成立．
故选B．
变式1-2．（2020·平山县八年级期末）下列变形从左到右一定正确的是( )．
A． B． C． D．
【答案】C
【提示】
根据分式的基本性质依次计算各项后即可解答．
【详解】
选项A，根据分式的基本性质，分式的分子和分母都乘以或除以同一个不是0的整式，分式的值不变，分式的分子和分母都减去2不一定成立，选项A错误；
选项B，当c≠0时，等式才成立，即，选项B错误；
选项C，隐含着x≠0，由等式的右边分式的分子和分母都除以x，根据分式的基本性质得出，选项C正确；
选项D，当a=2，b=-3时，左边≠右边，选项D错误．
故选C．
【名师点拨】
本题考查了分式的基本性质的应用，主要检查学生能否正确运用性质进行变形，熟练运用分式的基本性质是解决问题的关键．
变式1-3．（2020·陕西汉中市·八年级期末）下列代数式变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【提示】
利用分式的基本性质对四个选项一一进行恒等变形，即可得出正确答案.
【详解】
解：A.，故本选项变形错误；
B. ，故本选项变形错误；
C.，故本选项变形错误；
D.，故本选项变形正确，
故选D.
【名师点拨】
本题考查了分式的基本性质.熟练应用分式的基本性质对分式进行约分和通分是解题的关键.
典例2．（2021·富顺县期末）分式中的x、y同时扩大2倍，则分式值（ ）
A．不变 B．是原来的2倍 C．是原来的4倍 D．是原来的
【答案】B
【详解】
试题解析：∵分式中的x，y同时扩大2倍，
∴分子扩大4倍，分母扩大2倍，
∴分式的值是原来的2倍．
故选B．
变式2-1．（2021·山东菏泽市·八年级期末）若把分式中的和同时扩大为原来的3倍，则分式的值（ ）
A．扩大到原来的3倍 B．扩大到原来的6倍
C．缩小为原来的 D．不变
【答案】D
【提示】
根据分式的基本性质即可求出答案．
【详解】
解：∵，
∴把分式中的和同时扩大为原来的3倍，则分式的值不变，
故选：D．
【名师点拨】
本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
变式2-2．（2021·武汉市期末）下列分式中，把x，y的值同时扩大2倍后，值不变的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【提示】
根据分式的基本性质即可求出答案．
【详解】
解：A、，故A的值有变化．
B、，故B的值有变化．
C、，故C的值不变．
D、，故D的值有变化．
故选：C．
【名师点拨】
本题考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
变式2-3．（2021·新乡市期末）若把分式中的x和y都扩大到原来的2倍，那么分式的值（ ）
A．不变 B．缩小2倍 C．扩大2倍 D．扩大4倍
【答案】D
【提示】
直接利用分式的性质化简得出答案．
【详解】
解：将分式中的x和y都扩大到原来的2倍得：
∴=×4，即分式的值扩大4倍
故选：D
【名师点拨】
此题主要考查了分式的基本性质，正确化简分式是解题关键．
典例2．（2021·山东菏泽市·八年级期末）下列四个分式中，是最简分式的是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【提示】
根据最简分式的概念，可把各分式因式分解后，看分子分母有没有公因式.
【详解】
是最简分式；==x+1，不是最简分式；=，不是最简分式；==a+b，不是最简分式.
故选A.
【名师点拨】
此题主要考查了最简分式的概念， 一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时叫最简分式，看分式的分子分母有没有能约分的公因式是解题关键.
变式3-1．（2021·山东聊城市·八年级期末）下列各式中最简分式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【提示】
根据最简分式的定义即可得出答案.
【详解】
A：，能化简不是最简分式，故选项A错误；
B：不能化简是最简分式，故选项B正确；
C：，能化简不是最简分式，故选项C错误；
D：，能化简不是最简分式，故选项D错误.
故答案选择B.
【名师点拨】
本题考查的是最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时叫最简分式.
变式3-2．（2021·江苏省江阴市期末）下列分式中，属于最简分式的个数是（ ）
①，②，③，④，⑤，⑥．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【提示】
根据最简分式的定义判断即可．
【详解】
解：①，③，④，⑤，可约分，不是最简分式；
②，⑥分子分母没有公因式，是最简分式，一共有二个；
故选：B．
【名师点拨】
本题考查了最简分式，解题关键是明确最简分式的定义，准确判断分子分母是否含有公因式．
变式3-3．（2021·北京大兴区·八年级期末）下列各分式中，最简分式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【提示】
分式的分子和分母没有公因式的分式即为最简分式，根据定义解答．
【详解】
A、=，故该项不是最简分式；
B、=-x-y，故该项不是最简分式；
C、分子分母没有公因式，故该项是最简分式；
D、=，故该项不是最简分式；
故选：C．
【名师点拨】
此题考查最简分式定义，化简分式，掌握方法将分式的化简是解题的关键．
典例4．（2021·江苏省江阴市八年级期中）下列约分计算结果正确的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【提示】
利用因式分解，确定分子，分母的公因式，后约分化简，计算即可．
【详解】
∵与a+b没有公因式，
∴无法计算，
∴的计算是错误的，
∴选项A不符合题意；
∵a+m与a+n没有公因式，
∴无法计算，
∴的计算是错误的；
∴选项B不符合题意；
∵-a+b= -(a+b)与a+b的公因式是a+b，
∴，
∴选项C符合题意；
∵，
∴的计算是错误的；
∴选项D不符合题意；
故选C．
【名师点拨】
本题考查了分式的化简，同底数幂的除法，熟练掌握化简计算的要领是解题的关键．
变式4-1．（2021·河北沧州市·八年级期末）已知，则的值是（ ）
A． B． C．2 D．-2
【答案】D
【提示】
先把已知的式子变形为，然后整体代入所求式子约分即得答案．
【详解】
解：∵，
∴，
∴．
故选：D．
【名师点拨】
本题考查了分式的通分与约分，属于常考题目，掌握解答的方法是关键．
变式4-2．（2021·北京市八年级期末）化简分式的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【提示】
先把分子因式分解，再约分即可．
【详解】
解：．
故选：B．
【名师点拨】
本题考查了分式的约分，解题关键是先把分子因式分解，再和分母约分．
变式4-3．（2021·邯郸市八年级期末）若，则内应填的式子是（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【提示】
根据题意得出= ，利用分式的性质求解即可．
【详解】
根据题意得出=
故选：A．
【名师点拨】
本题主要考查分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键．
典例5．（2021·湖北孝感市·八年级期末）分式与的最简公分母是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【提示】
根据最简公分母的定义即可得．
【详解】
解：与的分母分别为和，
分式与的最简公分母是，
故选B．
【名师点拨】
本题考查了最简公分母的定义，掌握定义是解题关键．确定最简公分母的方法：（1）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各分母数字系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里；（2）如果各分母都是多项式，就先将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母为底数的幂的因式都要取最高次幂．
变式5-1．（2020·河北保定市期末）下列各选项中，所求的最简公分母错误的是（ ）
A．与的最简公分母是6x B．与最简公分母是3a2b3c
C．与的最简公分母是 D．与的最简公分母是m2－n2
【答案】C
【解析】
A. 与的最简公分母是6x ，故正确；
B. 与最简公分母是3a2b3c，故正确；
C. 与的最简公分母是 ，故不正确；
D. 与的最简公分母是m2－n2，故正确；
故选C.
变式5-2．（2020·广东广州市·八年级期末）分式，，的最简公分母是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【提示】
根据题意利用求最简公分母的技巧进行提示判定答案.
【详解】
解：分式，，的最简公分母是.
故选D.
【名师点拨】
本题考查最简公分母相关，熟练掌握利用求最简公分母的技巧进行提示是解题的关键.
变式5-3．（2020·四川成都市八年级期中）式子：的最简公分母是（ ）
A．24x2y2xy B．24 x2y2 C．12 x2y2 D．6 x2y2
【答案】C
【提示】
分母都是单项式，根据最简公分母的求法：系数取最大系数，不同字母取最高次幂，将它们相乘即可求得．
【详解】
式子：的最简公分母是：12 x2y2．
故选：C．
【名师点拨】
本题考查最简公分母的定义与求法．
典例6．（2020·湖北武汉市期末）把通分，下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【提示】
根据分式通分的方法即可求解．
【详解】
把通分，最简公分母为，
故
故选B．
【名师点拨】
此题主要考查分式通分，解题的关键是熟知分式通分的方法．
变式6-1．（2020·湖北武汉市·八年级期末）式子的值不可能为( )
A． B．0 C．1 D．3
【答案】B
【提示】
首先根据分式的基本性质，将分式进行通分，然后提示式子的分子部分进行判断即可.
【详解】
解：原式
根据分式有意义的条件，可知、b、c均不能为0
∴
∴
故选B
【名师点拨】
本题考查了分式的基本性质，解决本题的关键是熟练掌握分式通分的方法和技巧.
变式6-2．（2020·湖南株洲市期末）下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【提示】
根据分式的运算，分别对各选项进行运算，A选项左边进行通分，可知错误，B选项只有分子分母具有相同的因式才可以约分，故B错误，C选项分母可以提公因式a，再约分，可知是正确的，D选项，a前面的负号放分式前面时，分母都得变号，故D错误，所以可以解决本题．
【详解】
解：A选项，等式左边通分可得：，不等于右边，故A错误；
B选项，分子分母具有相同的因式才可以约分，故B错误；
C选项，，故C正确；
D选项，，故D错误．
故选C．
【名师点拨】
本题主要考查了分式的运算，熟悉分式的通分以及约分的重要法则是解决本题的关键．
变式6-3．（2021·河北唐山市·八年级期末）下列计算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【提示】
A. 分子分母同时扩大10倍，分式的值不变；
B.除以一个分式，转化为乘以这个分式的倒数，继而解题；
C.分子分母互为相反数，其商为-1；
D.先通分，再计算分式的加法．
【详解】
A. ，故A正确，不符合题意；
B. ，故B正确，不符合题意；
C. ，故C正确，不符合题意；
D. ，故D错误，符合题意，
故选：D．
【名师点拨】
本题考查分式的基本性质、分式的混合运算等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
1．（2020·山东德州市·八年级期末）若代数式有意义，则x的取值范围是( )
A．x＞﹣1且x≠1 B．x≥﹣1 C．x≠1 D．x≥﹣1且x≠1
【答案】D
【提示】
此题需要注意分式的分母不等于零，二次根式的被开方数是非负数．
【详解】
依题意，得
x+1≥0且x-1≠0，
解得 x≥-1且x≠1．
故选D．
【名师点拨】
本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
2．（2020·山东烟台市期末）分式可变形为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【提示】
根据分式的性质逐项进行化简即可，注意负号的作用．
【详解】
故选项A、B、C均错误，选项D正确，
故选：D．
【名师点拨】
本题考查分式的性质，涉及带负号的化简，是基础考点，亦是易错点，掌握相关知识是解题关键．
3．（2020·天水市八年级期末）下列分式中，不是最简分式的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【提示】
最简分式的标准是分子,分母中不含有公因式,不能再约分.判断的方法是把分子,分母分解因式,观察互为相反数的因式,这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而约分.
【详解】
最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
解：A、是最简分式，不符合题意;
B、不是最简分式，符合题意;
C、是最简分式，不符合题意;
D、是最简分式，不符合题意;
故选：B.
【名师点拨】
本题主要考查了分式化简中最简分式的判断.
4．（2021·山东淄博市·八年级期末）若，则下列分式化简正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【提示】
根据a≠b，可以判断各个选项中的式子是否正确，从而可以解答本题．
【详解】
∵a≠b，
∴，选项A错误；
，选项B错误；
，选项C错误；
，选项D正确；
故选：D．
【名师点拨】
本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．
5．（2021·日照市八年级期末）下列分式，，，中，最简分式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【提示】
根据最简分式的定义（分式的分子和分母除1以外没有其它的公因式，叫最简分式）逐个判断即可．
【详解】
解：，故原式不是最简分式；
是最简分式，
是最简分式，
，故原式不是最简分式，
最简分式有2个
故选：B
【名师点拨】
本题考查了最简分式的定义，能熟记最简分式的定义是解此题的关键．
6．（2021·衡水市期末）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【提示】
分母因式分解，再约分即可．
【详解】
解：，
故选：A．
【名师点拨】
本题考查了分式的约分，解题关键是把多项式因式分解，然后熟练运用分式基本性质进行约分．
7．（2021·德州市八年级期末）关于分式，下列说法正确的是（ ）
A．分子、分母中的m、n均扩大2倍，分式的值也扩大2倍
B．分子、分母的中m扩大2倍，n不变，分式的值扩大2倍
C．分子、分母的中n扩大2倍，m不变，分式的值不变
D．分子、分母中的m、n均扩大2倍，分式的值不变
【答案】D
【提示】
根据分式的基本性质即可求出答案．
【详解】
解：A、，故分子、分母中的m、n均扩大2倍，分式的值不变，故该说法不符合题意；
B、，故分子、分母的中m扩大2倍，n不变，分式的值没有扩大2倍，故该说法不符合题意；
C、，故分子、分母的中n扩大2倍，m不变，分式的值发生变化，故该说法不符合题意；
D、，故分子、分母中的m、n均扩大2倍，分式的值不变，此说法正确，符合题意；
故选：D．
【名师点拨】
本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
8．（2021·北京市八年级期末）根据分式的基本性质，分式可变形为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【提示】
根据分式的基本性质，分子、分母同时乘以-1即可得答案．
【详解】
==，
故选：C．
【名师点拨】
本题考查分式的基本性质，分式的分子、分母同时乘以（或除以）一个不为0的数或式子，分式的值不变；熟记性质是解题关键．
9．（2021·云南玉溪市·八年级期末）下列式子从左至右变形不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【提示】
根据分式的基本性质对各个选项进行判断．
【详解】
解：A、，正确，不符合题意；
B、，分子、分母都乘以-1，值不变，正确，不符合题意；
C、，此选项符合题意；
D、，分子、分母都乘以3，值不变，正确，不符合题意；
故选：C．
【名师点拨】
本题考查分式的基本性质，解题的关键是正确理解分式的基本性质，本题属于基础题型．
10．（2021·南京市八年级期中）已知M表示一个整式，若是最简分式，则M可以是（ ）
A．7 B．8x C． D．y2
【答案】D
【提示】
直接利用约分的法则，对选项依次判断．
【详解】
解：A、当时，是整式，不符合题意，故A错误；
B、当时，分子分母可以约分，不符合题意，故B错误；
C、当时，分子分母可以约分，不符合题意，故C错误；
D、当时，分子分母不可以约分，符合题意，故D正确；
故选：D．
【名师点拨】
本题考查了约分的方法，解题的关键是：掌握约分的相关方法，分式的分子与分母同时除以它们的公因式；分式的分子、分母都是多项式时得先因式分解，再约分．
11．（2021·天津市八年级期末）已知﹣＝3，则分式的值为_____．
【答案】
【提示】
由已知条件可知xy≠0，根据分式的基本性质，先将分式的分子、分母同时除以xy，再把代入即可．
【详解】
解：∵
∴x≠0，y≠0，
∴xy≠0．
故答案为．
【名师点拨】
本题主要考查了分式的基本性质及求分式的值的方法，把作为一个整体代入，可使运算简便．
12．（2021·广东深圳市八年级期中）化简得_____．
【答案】.
【详解】
试题提示：原式=.
13．（2021·北京房山区·八年级期末）依据流程图计算需要经历的路径是_____（只填写序号），输出的运算结果是_____．
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【答案】②③
【提示】
根据化简分式的步骤：先把分式化成同分母分式，再把分母相减，分子不变，即可得出答案．
【详解】
解：∵＝＝，
∴依据流程图计算需要经历的路径是②③；输出的运算结果是；
故答案为：②③；．
【名师点拨】
本题考查化简分式，利用到平方差公式，解题的关键是掌握化简分式的步骤．
14．（2021·北京石景山区·八年级期末）将分式约分可得____，依据为_____．
【答案】 分式的分子和分母同时除以一个不为0的整式，分式的值不变
【提示】
根据分式的基本性质即可求解．
【详解】
解：分式的分子和分母同时除以 进行约分，可得，
故答案为：；分式的分子和分母同时除以一个不为0的整式，分式的值不变．
【名师点拨】
本题考查分式的约分，掌握分式的基本性质是解题的关键．
15．（2021·辽宁阜新市·八年级期末）若分式的的值为5，则x、y扩大2倍后，这个分式的值为_____．
【答案】5．
【提示】
用2x，2y分别代替原式中的x，y，再根据分式的基本性质进行化简，观察分式的变化即可．
【详解】
根据题意，得新的分式为．
故答案为：5．
【名师点拨】
此题考查了分式的基本性质．分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．
16．（2020·广东深圳市期末）若x为整数，且的值也为整数，则所有符合条件的x的值之和．
【答案】14
【提示】
先约分，再根据x为整数，且的值也为整数，得出的值，检验后可得答案．
【详解】
解：
为整数，为整数，
的值为：
原分式有意义，则
的值为：
则所有符合条件的x的值之和为
【名师点拨】
本题考查的是分式的值为整数，分式的基本性质，掌握分式的值的特点是解题的关键．
17．（2020·竹溪县八年级期末）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．
（1）下列分式：①；②；③；④．其中是“和谐分式”的是 （填写序号即可）；
（2）若a为正整数，且为“和谐分式”，请写出a的值 ；
（3）在分式运算中，我们也会用到判断和谐分式时所需要的知识，请你用所学知识，化简
【答案】（1）分式是和谐分式，故答案为：②；（2） （3）
【提示】
（1）根据题意可以判断题目中的各个小题哪个是和谐分式，从而可以解答本题；
（2）根据和谐分式的定义可以得到a的值；
（3）根据题意和和谐分式的定义可以解答本题．
【详解】
解：（1）②分式，不可约分，
∴分式是和谐分式，
故答案为：②；
（2）∵分式 为和谐分式，且a为整数，
∴
【名师点拨】
本题考查约分，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用和谐分式的定义解答．
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教材知识链接
典例及变式课时15.1.2 分式的基本性质
分式的基本性质（基础）：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
字母表示：，，
其中A、B、C是整式，C0。
拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即
注意：在应用分式的基本性质时，要注意C0这个限制条件和隐含条件B0。
分式的约分
约分的定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去。
最简公式的定义：分子与分母没有公因式的分式。
分式约分步骤：
1）提分子、分母公因式
2）约去公因式
3）观察结果，是否是最简分式或整式。
注意：
1.约分前后分式的值要相等.
2.约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式.
3.约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式
分式的通分
通分的定义：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。
最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
分式通分的关键：确定最简公分母
确定分式的最简公分母的方法
1.因式分解
2.系数：各分式分母系数的最小公倍数；
3.字母：各分母的所有字母的最高次幂
4.多项式：各分母所有多项式因式的最高次幂
5.积
约分与通分的相同点：
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典例1．（2020·哈尔滨市八年级期末）分式可变形为( )
A． B．- C． D．
变式1-1．（2020·山西临汾市期末）下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
变式1-3．（2020·陕西汉中市·八年级期末）下列代数式变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
典例2．（2021·富顺县期末）分式中的x、y同时扩大2倍，则分式值（ ）
A．不变 B．是原来的2倍 C．是原来的4倍 D．是原来的
变式2-1．（2021·山东菏泽市·八年级期末）若把分式中的和同时扩大为原来的3倍，则分式的值（ ）
A．扩大到原来的3倍 B．扩大到原来的6倍
C．缩小为原来的 D．不变
变式2-2．（2021·武汉市期末）下列分式中，把x，y的值同时扩大2倍后，值不变的是（ ）
A． B． C． D．
变式2-3．（2021·新乡市期末）若把分式中的x和y都扩大到原来的2倍，那么分式的值（ ）
A．不变 B．缩小2倍 C．扩大2倍 D．扩大4倍
典例3．（2021·山东菏泽市·八年级期末）下列四个分式中，是最简分式的是( )
A． B． C． D．
变式3-1．（2021·山东聊城市·八年级期末）下列各式中最简分式是（ ）
A． B． C． D．
变式3-2．（2021·江苏省江阴市期末）下列分式中，属于最简分式的个数是（ ）
①，②，③，④，⑤，⑥．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式3-3．（2021·北京大兴区·八年级期末）下列各分式中，最简分式是（ ）
A． B． C． D．
典例4．（2021·江苏省江阴市八年级期中）下列约分计算结果正确的是 （ ）
A． B． C． D．
变式4-1．（2021·河北沧州市·八年级期末）已知，则的值是（ ）
A． B． C．2 D．-2
变式4-2．（2021·北京市八年级期末）化简分式的结果是（ ）
A． B． C． D．
变式4-3．（2021·邯郸市八年级期末）若，则内应填的式子是（ ）
A． B． C．3 D．
典例5．（2021·湖北孝感市·八年级期末）分式与的最简公分母是（ ）
A． B． C． D．
变式5-1．（2020·河北保定市期末）下列各选项中，所求的最简公分母错误的是（ ）
A．与的最简公分母是6x B．与最简公分母是3a2b3c
C．与的最简公分母是 D．与的最简公分母是m2－n2
变式5-2．（2020·广东广州市·八年级期末）分式，，的最简公分母是（ ）
A． B． C． D．
变式5-3．（2020·四川成都市八年级期中）式子：的最简公分母是（ ）
A．24x2y2xy B．24 x2y2 C．12 x2y2 D．6 x2y2
典例6．（2020·湖北武汉市期末）把通分，下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
变式6-1．（2020·湖北武汉市·八年级期末）式子的值不可能为( )
A． B．0 C．1 D．3
变式6-2．（2020·湖南株洲市期末）下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
变式6-3．（2021·河北唐山市·八年级期末）下列计算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
1．（2020·山东德州市·八年级期末）若代数式有意义，则x的取值范围是( )
A．x＞﹣1且x≠1 B．x≥﹣1 C．x≠1 D．x≥﹣1且x≠1
2．（2020·山东烟台市期末）分式可变形为（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·天水市八年级期末）下列分式中，不是最简分式的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021·山东淄博市·八年级期末）若，则下列分式化简正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·日照市八年级期末）下列分式，，，中，最简分式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2021·衡水市期末）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·德州市八年级期末）关于分式，下列说法正确的是（ ）
A．分子、分母中的m、n均扩大2倍，分式的值也扩大2倍
B．分子、分母的中m扩大2倍，n不变，分式的值扩大2倍
C．分子、分母的中n扩大2倍，m不变，分式的值不变
D．分子、分母中的m、n均扩大2倍，分式的值不变
8．（2021·北京市八年级期末）根据分式的基本性质，分式可变形为（ ）
A． B． C． D．
9．（2021·云南玉溪市·八年级期末）下列式子从左至右变形不正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2021·南京市八年级期中）已知M表示一个整式，若是最简分式，则M可以是（ ）
A．7 B．8x C． D．y2
11．（2021·天津市八年级期末）已知﹣＝3，则分式的值为_____．
12．（2021·广东深圳市八年级期中）化简得_____．
13．（2021·北京房山区·八年级期末）依据流程图计算需要经历的路径是_____（只填写序号），输出的运算结果是_____．
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14．（2021·北京石景山区·八年级期末）将分式约分可得____，依据为_____．
15．（2021·辽宁阜新市·八年级期末）若分式的的值为5，则x、y扩大2倍后，这个分式的值为_____．
16．（2020·广东深圳市期末）若x为整数，且的值也为整数，则所有符合条件的x的值之和．
17．（2020·竹溪县八年级期末）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．
（1）下列分式：①；②；③；④．其中是“和谐分式”的是 （填写序号即可）；
（2）若a为正整数，且为“和谐分式”，请写出a的值 ；
（3）在分式运算中，我们也会用到判断和谐分式时所需要的知识，请你用所学知识，化简
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教材知识链接
典例及变式
