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课时13.1.2 线段的垂直平分线的性质
概念：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）
性质：线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．21世纪教育网版权所有
三角形三边的垂直平分线的性质：三角形三边垂直平分线相交于一点，这点到三个顶点的距离相等。交点叫做三角形的外心。2·1·c·n·j·y
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典例1．（2020·涿州市八年级期中）如图，已知，以两点为圆心，大于的长为半径画圆，两弧相交于点，连接与相较于点，则的周长为（ ）21·世纪*教育网
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A．8 B．10 C．11 D．13
变式1-1．（2020·广西桂林市·八年级期中）到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（ ）2-1-c-n-j-y
A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点
变式1-2．（2020·浙江八年级期中 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD为（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
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A．50° B．70° C．75° D．80°
变式1-3．（2020·贵州安顺市·八年级期末）如图，AC=AD，BC=BD，则下列结果正确的是（ ）
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A．AB⊥CD B．OA=OB C．∠ACD=∠BDC D．∠ABC=∠CAB
变式1-4．（2020·安徽滁 ( http: / / www.21cnjy.com )州市·八年级期末）如图，在△ABC中，AC=4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为（ ）【出处：21教育名师】
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A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
典例2．（2020·长沙市八年级期中）如图，点E，F，G，Q，H在一条直线上，且，我们知道按如图所作的直线为线段的垂直平分线．下列说法正确的是（ ）．
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A．是线段的垂直平分线 B．是线段的垂直平分线
C．是线段的垂直平分线 D．是的垂直平分线
变式2-1．（2020·厦门市八 ( http: / / www.21cnjy.com )年级期中）对于问题：如图1，已知∠AOB，只用直尺和圆规判断∠AOB是否为直角？小意同学的方法如图2：在OA、OB上分别取C、D，以点C为圆心，CD长为半径画弧，交OB的反向延长线于点E，若测量得OE=OD，则∠AOB=90 .则小意同学判断的依据是（ ）21教育名师原创作品
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A．等角对等边 B．线段中垂线上的点到线段两段距离相等
C．垂线段最短 D．等腰三角形“三线合一”
变式2-2．（2020·富顺县八年级期中）已知△，找一个点使，则这个点应该是这个三角形（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．三边中线的交点 B．三内角平分线的交点
C．三条高线的交点 D．三边中垂线的交点
典例3．（2021·河北唐山市·八年级期末）如图，在中，垂直平分，与交于点下列结论正确的是（ ）
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A． B． C． D．
变式3-1．（2020·江西赣州市·八年级期末）在联欢会上，有、、三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（ ）
A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三边中垂线的交点 D．三边上高所在直线的交点
变式3-2．（2020·云南省昆 ( http: / / www.21cnjy.com )明市八年级期中）如图，有A、B、C三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）
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A．∠A、∠B两内角的平分线的交点处
B．AC、AB两边高线的交点处
C．AC、AB两边中线的交点处
D．AC、AB两边垂直平分线的交点处
变式3-3．（2020· ( http: / / www.21cnjy.com )湖北襄阳市·八年级期末）如图，地面上有三个洞口A、B、C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及到三个洞口（到A、B、C三个点的距离相等），尽快抓到老鼠，应该蹲守在（ ）www.21-cn-jy.com
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A．△ABC三边垂直平分线的交点
B．△ABC三条角平分线的交点
C．△ABC三条高所在直线的交点
D．△ABC三条中线的交点
典例4．（2020·四川达州市·八年级期 ( http: / / www.21cnjy.com )末）如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC＝BC，则下列选项正确的是（ ）21cnjy.com
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C．D． ( http: / / www.21cnjy.com )
变式4-1．（2020·广西柳州市·八年级期中）通过如下尺规作图，能确定点是边中点的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com )B． ( http: / / www.21cnjy.com )C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
变式4-2．（2020·厦门市八年级期中）如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．21*cnjy*com
步骤1:以C为圆心，CA为半径画弧①；
步骤2:以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D；
步骤3:连接AD，交BC延长线于点H.
下列叙述正确的是( )
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A．BH垂直平分线段AD B．AC平分∠BAD
C．S△ABC=BC AH D．AB=AD
变式4-3．（2020·深圳市八年级期中）如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若AD＝AC，∠A＝80°，则∠ACB的度数为（ ）
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A．65° B．70° C．75° D．80°
1．（2021·浙江八年级期末）如图，在中，点是的中点，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于，直线交于点，连接．若的周长为10，则的周长为（ ）【版权所有：21教育】
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A．13 B．14 C．15 D．16
2．（2021·长沙市八年级期末）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线交于点D，连接．若，，则的周长为（ ）21*cnjy*com
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A．8 B．10 C．12 D．9
3．（2021·重庆渝北区·八年级期末）以下尺规作图中，点为线段边上一点，一定能得到线段的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com )
C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
4．（2021·长沙市开福区八年级期末）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交于点，连接．若，，则的长为（ ）21教育网
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A．2 B．3 C．4 D．6
5．（2020·湖南长沙市期末）如图，在△ ( http: / / www.21cnjy.com )ABC中，AB的垂直平分线交BC于D，AC的中垂线交BC于E，∠DAE＝20°，则∠BAC的度数为（ ）
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A．70° B．80° C．90° D．100°
6．（2020·浙江金华市·八年级期中）如图，已知点A和直线MN，过点A用尺规作图画出直线MN的垂线，下列画法中错误的是（ ）www-2-1-cnjy-com
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com )
C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
7．（2020·河南驻马店市·八年级期中）如图，在中，，边上的垂直平分线分别交、于点、，若的周长是11，则（ ）
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A．28 B．18 C．10 D．7
8．（2020·湖北黄冈市·八年级期中） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为( )
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A．30° B．45° C．50° D．75°
9．（2020·浙江期末）如图，已知垂直平分，若，则四边形的周长是（ ）
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A． B． C． D．
10．（2020·广东深圳市·八年级期中）如图，ABC中，∠A=105 ，通过如图所示的尺规作图得到交点P，若∠ACP=30 ，则∠PBC=（ ）
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A．15 B．18 C．20 D．25
11．（2020·浙江八年级期末）如图，在中，是的中垂线，与的长度之比为，那么___________．21·cn·jy·com
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12．（2020·浙江杭州市·八年级期末）如图，中，，，分别为，的垂直平分线，如果，那么的周长为________．
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13．（2020·浙江八年级 ( http: / / www.21cnjy.com )期末）如图，在△ABC中，AB的中垂线DE交AC于点D，交AB于点E，已知BC=10，△BDC的周长为22，则AC=_______．
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14．（2020·哈尔滨市 ( http: / / www.21cnjy.com )八年级期中）如图，在△ABC中，直线l垂直平分BC，射线m平分∠ABC，且l与m相交于点P，若∠A＝60°，∠ACP＝24°，则∠ABP＝_____°．
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15．（2020·河南八年级期中）如图，在长方形中，由尺规作图的痕迹，可知的度数为________________．
16．（2020·浙江八年级期末）如图，中，．
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（1）请用尺规作边的垂直平分线，垂足为，交边于点；
（2）若的周长为13，求的周长．
17．（2020·静宁县八年级期末）如图，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D．求∠DBC的度数．
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教材知识链接
典例及变式
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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课时13.1.2 线段的垂直平分线的性质
概念：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）
性质：线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．21教育网
三角形三边的垂直平分线的性质：三角形三边垂直平分线相交于一点，这点到三个顶点的距离相等。交点叫做三角形的外心。2-1-c-n-j-y
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典例1．（2020·涿州市八年级期中）如图，已知，以两点为圆心，大于的长为半径画圆，两弧相交于点，连接与相较于点，则的周长为（ ）21*cnjy*com
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A．8 B．10 C．11 D．13
【答案】A
【提示】
利用基本作图得到MN垂直平分AB，利用线段垂直平分线的定义得到DA=DB，然后利用等线段代换得到△BDC的周长=AC+BC．
【详解】
由作法得MN垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴△BDC的周长=DB+DC+BC=DA+DC+BC=AC+BC=5+3=8．
故选A．
【名师点拨】
本题考查了作图-基本作图：熟 ( http: / / www.21cnjy.com )练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质．
变式1-1．（2020·广西桂林市·八年级期中）到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（ ）
A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点
【答案】D
【提示】
根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等解答即可．
【详解】
解：到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点，
故选择：D．
【名师点拨】
本题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
变式1-2．（2020·浙江八年级期中 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD为（ ）
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A．50° B．70° C．75° D．80°
【答案】B
【详解】
提示：根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC，根据等腰三角形的性质得到∠DAC=∠C，根据三角形内角和定理求出∠BAC，计算即可．
详解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA=DC，
∴∠DAC=∠C=25°，
∵∠B=60°，∠C=25°，
∴∠BAC=95°，
∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=70°，
故选B．
名师点拨：本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
变式1-3．（2020·贵州安顺市·八年级期末）如图，AC=AD，BC=BD，则下列结果正确的是（ ）
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A．AB⊥CD B．OA=OB C．∠ACD=∠BDC D．∠ABC=∠CAB
【答案】A
【提示】
根据线段垂直平分线的性质定理即可得到结论．
【详解】
∵AC=AD，
∴点A在线段CD的垂直平分线上，
∵BC=BD，
∴点B在线段CD的垂直平分线上，
∴AB垂直平分CD，
∴AB⊥CD，
故选A．
【名师点拨】
本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握其性质定理是解题的关键．
变式1-4．（2020·安徽滁州 ( http: / / www.21cnjy.com )市·八年级期末）如图，在△ABC中，AC=4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为（ ）
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A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【答案】C
【详解】
试题提示：∵MN是线段AB的垂直平分线， ( http: / / www.21cnjy.com )∴AN=BN，∵△BCN的周长是7cm，∴BN+NC+BC=7（cm），∴AN+NC+BC=7（cm），∵AN+NC=AC，∴AC+BC=7（cm），又∵AC=4cm，∴BC=7﹣4=3（cm）．故选C．
典例2．（2020·长沙市八年级期中）如图，点E，F，G，Q，H在一条直线上，且，我们知道按如图所作的直线为线段的垂直平分线．下列说法正确的是（ ）．
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A．是线段的垂直平分线 B．是线段的垂直平分线
C．是线段的垂直平分线 D．是的垂直平分线
【答案】A
【提示】
根据垂直平分线的定义判断即可．
【详解】
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∵为线段的垂直平分线,
∴FO=GO,
又∵EF=GH,
∴EO=HO,
∴是线段的垂直平分线,故A正确
由上可知EO≠QO,FO≠OH,故B、C错误
∵是直线并无垂直平分线，故D错误
故选：A．
【名师点拨】
本题考查垂直平分线的定义,关键在于牢记基础知识．
变式2-1．（2020·厦门市八年 ( http: / / www.21cnjy.com )级期中）对于问题：如图1，已知∠AOB，只用直尺和圆规判断∠AOB是否为直角？小意同学的方法如图2：在OA、OB上分别取C、D，以点C为圆心，CD长为半径画弧，交OB的反向延长线于点E，若测量得OE=OD，则∠AOB=90 .则小意同学判断的依据是（ ）21cnjy.com
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A．等角对等边 B．线段中垂线上的点到线段两段距离相等
C．垂线段最短 D．等腰三角形“三线合一”
【答案】B
【提示】
由垂直平分线的判定定理，即可得到答案．
【详解】
解：根据题意，
∵CD=CE，OE=OD，
∴AO是线段DE的垂直平分线，
∴∠AOB=90°；
则小意同学判断的依据是：线段中垂线上的点到线段两段距离相等；
故选：B．
【名师点拨】
本题考查了垂直平分线的判定定理，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的判定定理进行判断．
变式2-2．（2020·富顺县八年级期中）已知△，找一个点使，则这个点应该是这个三角形（ ）【版权所有：21教育】
A．三边中线的交点 B．三内角平分线的交点
C．三条高线的交点 D．三边中垂线的交点
【答案】D
【提示】
根据PA=PB，可知点P在AB的垂直平 ( http: / / www.21cnjy.com )分线上，根据PB=PC，可知点P在BC的垂直平分线上，根据PA=PC，可知点P在AC的垂直平分线上，问题得解．21教育名师原创作品
【详解】
解：∵PA=PB，
∴点P在AB的垂直平分线上，
∵PB=PC，
∴点P在BC的垂直平分线上，
∵PA=PC，
∴点P在AC的垂直平分线上，
∴点Ｐ是三角形三边垂直平分线即中垂线的交点．
故选：D
【名师点拨】
本题考查线段垂直平分线的判定，熟知线段垂直平分线的判定定理是解题关键．
典例3．（2021·河北唐山市·八年级期末）如图，在中，垂直平分，与交于点下列结论正确的是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】C
【提示】
由题意连接，并根据垂直平分线的性质进行提示求解即可.
【详解】
解：连接
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则．
，
.
故选：C.
【名师点拨】
本题考查垂直平分线相关，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键.
变式3-1．（2020·江西赣州市·八年级期末）在联欢会上，有、、三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（ ）
A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三边中垂线的交点 D．三边上高所在直线的交点
【答案】C
【提示】
根据垂直平分线的性质即可得出结论．
【详解】
解：为使游戏公平，凳子应到点A、B、C的距离相等
根据线段垂直平分线的性质，则凳子应放的最适当的位置是在的三边中垂线的交点
故选C．
【名师点拨】
此题考查的是线段垂直平分线性质的应用，掌握垂直平分线的性质是解题关键．
变式3-2．（2020·云南省昆明市八年级 ( http: / / www.21cnjy.com )期中）如图，有A、B、C三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）
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A．∠A、∠B两内角的平分线的交点处
B．AC、AB两边高线的交点处
C．AC、AB两边中线的交点处
D．AC、AB两边垂直平分线的交点处
【答案】D
【提示】
根据线段垂直平分线的性质即可得出答案．
【详解】
解：根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，超市应建在AC、AB两边垂直平分线的交点处，
故选：D．
【名师点拨】
本题考查了线段垂直平分线性质，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
变式3-3．（2020·湖北 ( http: / / www.21cnjy.com )襄阳市·八年级期末）如图，地面上有三个洞口A、B、C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及到三个洞口（到A、B、C三个点的距离相等），尽快抓到老鼠，应该蹲守在（ ）2·1·c·n·j·y
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A．△ABC三边垂直平分线的交点
B．△ABC三条角平分线的交点
C．△ABC三条高所在直线的交点
D．△ABC三条中线的交点
【答案】A
【提示】
根据题意，知猫应该到三个洞口的距离相等，则此点就是三角形三边垂直平分线的交点．
【详解】
解：∵三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，
∴猫应该蹲守在△ABC三边垂直平分线的交点处．
故选A．
【名师点拨】
本题考查线段垂直平分线的性质，掌握三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等是本题的解题关键．
典例4．（2020·四川达 ( http: / / www.21cnjy.com )州市·八年级期末）如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC＝BC，则下列选项正确的是（ ）21·世纪*教育网
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【答案】B
【详解】
由PB+PC=BC和PA+PC=BC易得PA=PB，根据线段垂直平分线定理的逆定理可得点P在AB的垂直平分线上，于是可判断D选项正确．
故选B．
变式4-1．（2020·广西柳州市·八年级期中）通过如下尺规作图，能确定点是边中点的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com )B． ( http: / / www.21cnjy.com )C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】A
【提示】
作线段的垂直平分线可得线段的中点．
【详解】
作线段的垂直平分线可得线段的中点．
由此可知：选项A符合条件，
故选A．
【名师点拨】
本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图．
变式4-2．（2020·厦门市八年级期中）如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．
步骤1:以C为圆心，CA为半径画弧①；
步骤2:以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D；
步骤3:连接AD，交BC延长线于点H.
下列叙述正确的是( )
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A．BH垂直平分线段AD B．AC平分∠BAD
C．S△ABC=BC AH D．AB=AD
【答案】A
【详解】
解：如图连接CD、BD，
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∵CA=CD，BA=BD，
∴点C、点B在线段AD的垂直平分线上，
∴直线BC是线段AD的垂直平分线，
故A正确．
B、错误．CA不一定平分∠BDA．
C、错误．应该是S△ABC= BC AH．
D、错误．根据条件AB不一定等于AD．
故选A．
变式4-3．（2020·深圳市八年级期中）如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若AD＝AC，∠A＝80°，则∠ACB的度数为（ ）
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A．65° B．70° C．75° D．80°
【答案】C
【提示】
根据作图过程可得DM是BC的 ( http: / / www.21cnjy.com )垂直平分线，所以DC=DB，所以∠B=∠DCB，再根据AD=AC，∠A=80°，可得∠ADC=50°，进而求出∠ACB的度数．
【详解】
解：根据作图过程可知： DM是BC的垂直平分线，
∴DC=DB，
∴∠B=∠DCB，
∴∠ADC=∠B+∠DCB=2∠DCB，
∵AD=AC，∠A=80°，
∴∠ADC=∠ACD=
∴∠DCB=∠ADC=25°，
∴∠ACB=∠DCB+∠ACD=25°+50°=75°．
∴∠ACB的度数为75°．
故选：C．
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【名师点拨】
本题考查了作图-基本作图，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质．
1．（2021·浙江八年级期末）如图，在中，点是的中点，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于，直线交于点，连接．若的周长为10，则的周长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】D
【提示】
△ABE的周长为AB+AE+BE=10，根据DE是线段AC的垂直平分线，得AE=EC，得到AB+BC=10，AC=2AD=6，计算周长即可
【详解】
∵ED是线段AC的垂直平分线，
( http: / / www.21cnjy.com )
∴AE=EC，
∵△ABE的周长为AB+AE+BE=10，
∴AB+BC=10，
∵AC=2AD=6，
∴△ABC的周长为AB+BC+AC=10+6=16，
故选D
【名师点拨】
本题考查了线段的垂直平分线，三角形的周长，灵活运用线段垂直平分线的性质实施线段的等量代换是解题的关键．21·cn·jy·com
2．（2021·长沙市八年级期末）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线交于点D，连接．若，，则的周长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．8 B．10 C．12 D．9
【答案】B
【提示】
根据线段垂直平分线的性质即可得到BD=CD，即可得到的周长．
【详解】
解：由作图知，MN是线段BC的垂直平分线，
∴BD=CD，
∴AD+BD=AD+CD=AC=6
∵AB=4，
∴的周长=AB+BD+AD=AB+AC=4+6=10，
故选：B．
【名师点拨】
本题考查了基本作图以及线段垂直平分线的性质，解决问题的关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
3．（2021·重庆渝北区·八年级期末）以下尺规作图中，点为线段边上一点，一定能得到线段的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com )
C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】D
【提示】
点D到点A、点B的距离相等可知点D在线段AB的垂直平分线上，据此可得答案．
【详解】
解：∵点D到点A、点B的距离AD=BD，
∴点D在线段AB的垂直平分线上，
故选择：D．
【名师点拨】
本题主要考查作图 复杂作图，解题的关键是掌握线段中垂线的性质与尺规作图．
4．（2021·长沙市开福区八年级期末）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交于点，连接．若，，则的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【提示】
由作图可知， M N是线段BC的垂直平分线，据此可得解．
【详解】
解：由作图可知， M N是线段BC的垂直平分线，
∴BD=CD=AC-AD=6-2=4，
故选：C
【名师点拨】
本题考查了线段垂直平分线的性质，灵活的利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等这一性质添加辅助线是解题的关键．
5．（2020·湖南长沙市 ( http: / / www.21cnjy.com )期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交BC于D，AC的中垂线交BC于E，∠DAE＝20°，则∠BAC的度数为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．70° B．80° C．90° D．100°
【答案】D
【提示】
先根据垂直平分线的特点得出∠B=∠DAB， ( http: / / www.21cnjy.com )∠C=∠EAC，然后根据△ABC的内角和及∠DAE的大小，可推导出∠DAB+∠EAC的大小，从而得出∠BAC的大小．www.21-cn-jy.com
【详解】
如下图
( http: / / www.21cnjy.com )
∵DM是线段AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴∠B＝∠DAB，
同理∠C＝∠EAC，
∵∠B+∠DAB+∠C+∠EAC+∠DAE＝180°，
∵∠DAE=20°
∴∠DAB+∠EAC＝80°，
∴∠BAC＝100°，
故选：D．
【名师点拨】
本题考查垂直平分线的性质，解题关键是利用整体思想，得出∠DAB+∠EAC＝80°．
6．（2020·浙江金华市·八年级期中）如图，已知点A和直线MN，过点A用尺规作图画出直线MN的垂线，下列画法中错误的是（ ）21*cnjy*com
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com )
C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】A
【提示】
根据经过直线外一点作已知直线的方法即可判断．
【详解】
解：已知点A和直线MN，过点A用尺规作图画出直线MN的垂线，
画法正确的是B、C、D选项，不符合题意．
A选项错误，符合题意；
故选：A．
【名师点拨】
本题考查了作图基本作图，解决本题的关键是掌握经过一点作已知直线的垂线的方法．
7．（2020·河南驻马店市·八年级期中）如图，在中，，边上的垂直平分线分别交、于点、，若的周长是11，则（ ）21世纪教育网版权所有
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A．28 B．18 C．10 D．7
【答案】D
【提示】
利用垂直平分线的性质和已知的三角形的周长计算即可．
【详解】
解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴BE=EC，
∴AB=EB+AE=CE+EA，
又∵△ACE的周长为11，，
故AB=11-4=7，
故选：D．
【名师点拨】
本题考查线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
8．（2020·湖北黄冈市·八年级期中）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A．30° B．45° C．50° D．75°
【答案】B
【详解】
试题解析：∵AB=AC，∠A=30°，∴∠A ( http: / / www.21cnjy.com )BC=∠ACB=75°，∵AB的垂直平分线交AC于D，∴AD=BD，∴∠A=∠ABD=30°，∴∠BDC=60°，∴∠CBD=180°﹣75°﹣60°=45°．故选B．
9．（2020·浙江期末）如图，已知垂直平分，若，则四边形的周长是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． B． C． D．
【答案】A
【提示】
由于CD垂直平分AB，所以AC=BC，AD=BD，而AC=3cm，AD=5cm，由此即可求出四边形ADBC的周长．
【详解】
解：∵CD垂直平分AB，若AC=3cm，AD=5cm，
∴AC=BC=3cm，AD=BD=5cm，
∴四边形ADBC的周长为AD+AC+BD+BC=16cm．
故选A．
【名师点拨】
此题主要考查线段的垂直平分线的性质，利用了线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等解题是解答本题的关键．【来源：21cnj*y.co*m】
10．（2020·广东深圳市·八年级期中）如图，ABC中，∠A=105 ，通过如图所示的尺规作图得到交点P，若∠ACP=30 ，则∠PBC=（ ）
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A．15 B．18 C．20 D．25
【答案】A
【提示】
设∠PBC=x，利用角平分线的定义得到∠ ( http: / / www.21cnjy.com )ABC=2∠PBC=2x，利用线段垂直平分线的性质得到PB=PC，则∠PCB=∠PBC=x，然后根据三角形内角和定理可计算出x的值．
【详解】
解：由作图痕迹可知BP平分∠ABC，点P在线段BC的垂直平分线上，
设∠PBC=x，
∵PB平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠PBC=2x，
∵PB=PC，
∴∠PCB=∠PBC=x，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，
∴2x+x+30°+105°=180°，解得x=15°．
即∠PBC的度数为15°．
故选：A．
【名师点拨】
此题主要考查了线段的垂直平分线的性质和三角形内角和定理，熟练掌握线段的垂直平分线的性质是解答此题的关键．
11．（2020·浙江八年级期末）如图，在中，是的中垂线，与的长度之比为，那么___________．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】3
【提示】
根据垂直平分线的性质得到AD= ( http: / / www.21cnjy.com )BD，再根据AD和CD之比，设AD=BD=3x，CD=2x，又由CD=BC-BD=5-3x，可得方程，解之可得BD．
【详解】
解：∵DE垂直平分AB，
∴AD=BD，
∵AD：CD=3：2，
设AD=BD=3x，CD=2x，
则CD=5-3x，
∴5-3x=2x，
解得：x=1，
∴BD=3，
故答案为：3．
【名师点拨】
本题考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质得到AD=BD是解题的关键．
12．（2020·浙江杭州市·八年级期末）如图，中，，，分别为，的垂直平分线，如果，那么的周长为________．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】12
【提示】
由EF，MN分别为AB，AC的垂直平分线，可得AF=BF，AN=CN，即可得△FAN的周长等于BC．【来源：21·世纪·教育·网】
【详解】
解：∵EF，MN分别为AB，AC的垂直平分线，
∴AF=BF，AN=CN，
∴△FAN的周长为：AF+FN+AN=BF+FN+CN=BC=12cm，
故答案为：12．
【名师点拨】
此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．
13．（2020·浙江八年级期 ( http: / / www.21cnjy.com )末）如图，在△ABC中，AB的中垂线DE交AC于点D，交AB于点E，已知BC=10，△BDC的周长为22，则AC=_______．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】12
【提示】
根据线段的垂直平分线的性质得到DB＝DA，根据三角形的周长公式计算即可．
【详解】
解：∵DE是AB的中垂线，
∴DB＝DA，
∵△BDC的周长为22，
∴BC+BD+CD＝22，即BC+CD+DA＝BC+CA＝22，
∴AC＝22﹣10＝12，
故答案为：12．
【名师点拨】
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
14．（2020·哈尔滨市八年级期中）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，在△ABC中，直线l垂直平分BC，射线m平分∠ABC，且l与m相交于点P，若∠A＝60°，∠ACP＝24°，则∠ABP＝_____°．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】32
【提示】
根据角平分线定义求出∠A ( http: / / www.21cnjy.com )BP＝∠CBP，根据线段的垂直平分线性质得出BP＝CP，根据等腰三角形的性质得到∠CBP＝∠BCP，根据三角形内角和定理得出方程3∠ABP+24°+60°＝180°，解方程得到答案．
【详解】
解：∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠CBP，
∵直线l是线段BC的垂直平分线，
∴BP＝CP，
∴∠CBP＝∠BCP，
∴∠ABP＝∠CBP＝∠BCP，
∵∠A+∠ACB+∠ABC＝180°，∠A＝60°，∠ACP＝24°，
∴3∠ABP+24°+60°＝180°，
解得：∠ABP＝32°，
故答案为：32．
【名师点拨】
本题考查角平分线的定义和垂直平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的定义和垂直平分线的性质．
15．（2020·河南八年级期中）如图，在长方形中，由尺规作图的痕迹，可知的度数为________________．【出处：21教育名师】
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【答案】55°
【提示】
根据尺规作图的痕迹，作了AC的垂直平 ( http: / / www.21cnjy.com )分线和∠DAC的平分线，先根据矩形的性质和平行线的性质得到∠DAC的度数，再利用角平分线和互余计算出∠α的对顶角的度数，然后根据对顶角的性质得到∠α的度数．
【详解】
解：根据尺规作图的痕迹，MN垂直平分AC，AE平分∠DAC，
∵在矩形ABCD中，AD∥BC
∴∠DAC=∠ACB=70°
∴∠AEN=
∴∠α的度数为55°
故答案为：55°
( http: / / www.21cnjy.com )
【名师点拨】
本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五 ( http: / / www.21cnjy.com )种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了矩形的性质．
16．（2020·浙江八年级期末）如图，中，．
( http: / / www.21cnjy.com )
（1）请用尺规作边的垂直平分线，垂足为，交边于点；
（2）若的周长为13，求的周长．
【答案】（1）见解析；（2）19
【提示】
（1）分别以A、C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧交于两点，过两点画直线，交AC边于点D，交BC边于点E；
（2）由已知条件，利用线段的垂直平分线的性质，得到线段相等，结合△ABE的周长，进行线段的等量代换可得答案．
【详解】
解：（1）如图所示，DE即为所求；
（2）连接AE，
∵DE垂直平分AC，
∴AE=CE，
∵△ABE的周长为13，
即AB+BE+AE=13，
∴AB+BE+CE=AB+BC=13，又AC=6，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=13+6=19．
( http: / / www.21cnjy.com )
【名师点拨】
此题主要考查了线段垂直平分线的作法和性质，解题时注意：线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．www-2-1-cnjy-com
17．（2020·静宁县八年级期末）如图，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D．求∠DBC的度数．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】30°．
【提示】
先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠ABC及∠ACB的度数，再根据线段垂直平分线的性质求出∠ABD的度数即可进行解答．
【详解】
解：∵，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴．
【名师点拨】
本题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
教材知识链接
典例及变式
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