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课时13.3.1 等腰三角形
等腰三角形性质：
1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）
2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。（三线合一）
等腰三角形的判定：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）.
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典例1．（2021·安徽铜陵市·八年级期末） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB=AC，∠CAD=20°，则∠ACE的度数是（ ）21世纪教育网版权所有
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A．20° B．35° C．40° D．70°
【答案】B
【提示】
先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=（180°-∠CAB）=70°．再利用角平分线定义即可得出∠ACE=∠ACB=35°．
【详解】
∵AD是△ABC的中线，AB=AC，∠CAD=20°，
∴∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=（180°-∠CAB）=70°．
∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠ACE=∠ACB=35°．
故选B．
【名师点拨】
本题考查了等腰三角形的两个底角相等的 ( http: / / www.21cnjy.com )性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，求出∠ACB=70°是解题的关键．2·1·c·n·j·y
变式1-1．（2021·太原市八年级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且DA＝DC，BD＝BA，则∠B的大小为( )21·世纪*教育网
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A．40° B．36° C．30° D．25°
【答案】B
【提示】
根据AB＝AC可得∠B＝∠C，C ( http: / / www.21cnjy.com )D＝DA可得∠ADB＝2∠C＝2∠B，BA＝BD，可得∠BDA＝∠BAD＝2∠B，在△ABD中利用三角形内角和定理可求出∠B．
【详解】
解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵CD＝DA，
∴∠C＝∠DAC，
∵BA＝BD，
∴∠BDA＝∠BAD＝2∠C＝2∠B，
设∠B＝α，则∠BDA＝∠BAD＝2α，
又∵∠B＋∠BAD＋∠BDA＝180°，
∴α＋2α＋2α＝180°，
∴α＝36°，即∠B＝36°，
故选B．
【名师点拨】
本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理和方程思想的应用．
变式1-2．如图，ABC中，AB＝AC＝12，BC＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则CDE的周长为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
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A．11 B．17 C．18 D．16
【答案】B
【提示】
根据等腰三角形的性质得到BD=DC，根据三角形中位线定理求出DE，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【来源：21cnj*y.co*m】
【详解】
解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴，
∵点E为AC的中点，
∴，
∴△CDE的周长=CD+CE+DE=17，
故选：B．
【名师点拨】
本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
变式1-3．（2021· ( http: / / www.21cnjy.com )浙江八年级期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠CAB的角平分线，DE⊥AB于点E，若AB=6cm，则△DEB的周长是( )
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A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm
【答案】B
【提示】
根据角平分线的性质得到DC=DE，AC=AE，根据三角形的周长公式计算即可．
【详解】
∵AD是∠CAB的角平分线,DE⊥AB,∠C=90°，
∴DC=DE，AC=AE，
∴△DEB的周长=DE+BE+BD=BE+DC+BD=BE+BC=BE+AE=AB=6cm，
故选B.
【名师点拨】
此题考查角平分线的性质，等腰直角三角形，解题关键在于掌握计算公式.
变式1-4．（2021·西藏日喀则市·八年级期末）已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（ ）
A．8或10 B．8 C．10 D．6或12
【答案】C
【详解】
试题提示：①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、4，∵2+2=4，∴不能组成三角形，
②2是底边时，三角形的三边分别为2、4、4，能组成三角形，周长=2+4+4=10，
综上所述，它的周长是10．故选C．
考点：1．等腰三角形的性质；2．三角形三边关系；3．分类讨论．
变式1-5．（2021·广东汕头市·八年级期末）等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长是（ ）
A．17 B．22 C．17或22 D．13
【答案】B
【提示】
题目给出等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．21教育网
【详解】
解：分两种情况：
当腰为4时，4＋4＜9，不能构成三角形；
当腰为9时，4＋9＞9，所以能构成三角形，周长是：9＋9＋4＝22．
故选B．
【名师点拨】
本题考查了等腰三角形的性质和三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形，这点非常重要，也是解题的关键．www.21-cn-jy.com
变式1-6．（2021·浙江绍兴市·八年级期末）等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是（ ）
A．55°，55° B．70°，40°或70°，55°
C．70°，40° D．55°，55°或70°，40°
【答案】D
【提示】
先根据等腰三角形的定义，分的内角为顶角和的内角为底角两种情况，再分别根据三角形的内角和定理即可得．
【详解】
（1）当的内角为这个等腰三角形的顶角
则另外两个内角均为底角，它们的度数为
（2）当的内角为这个等腰三角形的底角
则另两个内角一个为底角，一个为顶角
底角为，顶角为
综上，另外两个内角的度数分别是或
故选：D．
【名师点拨】
本题考查了等腰三角形的定义、三角形的内角和定理，根据等腰三角形的定义，正确分两种情况讨论是解题关键．
典例2．（2021·山东潍坊市期末）如图，在 ( http: / / www.21cnjy.com )平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝6，BE＝2，则平行四边形ABCD的周长是（ ）www-2-1-cnjy-com
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A．60 B．30 C．20 D．16
【答案】C
【提示】
根据角平分线的定义以及两直线平行，内错角 ( http: / / www.21cnjy.com )相等求出∠CDE=∠CED，再根据等角对等边的性质可得CE=CD，然后利用平行四边形对边相等求出CD、BC的长度，再求出 ABCD的周长．
【详解】
解：∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∵ ABCD中，AD∥BC，
∴∠ADE=∠CED，
∴∠CDE=∠CED，
∴CE=CD，
∵在 ABCD中，AD=6，BE=2，
∴AD=BC=6，
∴CE=BC-BE=6-2=4，
∴CD=AB=4，
∴ ABCD的周长=6+6+4+4=20．
故选：C．
【名师点拨】
本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等角对等边的性质，是基础题，准确识图并熟练掌握性质是解题的关键．
变式2-1．（2021·贵州遵义市·八年级期末）如图所示的正方形网格中，网格线的交点为格点，已知、是两个定格点，如果也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点的个数是（ ）
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A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
【答案】C
【提示】
分AB是腰长时，根据网格结 ( http: / / www.21cnjy.com )构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形，AB是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，AB垂直平分线上的格点都可以作为点C，然后相加即可得解．
【详解】
解：①AB为等腰△ABC底边时，符合条件的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
具体如图所示：
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故选：C．
【名师点拨】
本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握网格结构的特点是解题的关键，要注意分AB是腰长与底边两种情况讨论求解．
变式2-2．（2021· ( http: / / www.21cnjy.com )江苏盐城市·八年级期末）如图是由8个全等的矩形组成的大正方形，线段AB的端点都在小矩形的顶点上，如果点P是某个小矩形的顶点，连接PA、PB，那么使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是（ ）
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A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【提示】
根据等腰直角三角形的判定即可得到结论.
【详解】
如图所示，使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是3，故选B．
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【名师点拨】
本题主要考查等腰直角三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的性质和判定方法是解答的关键.
变式2-3．（2021·山东临沂市·八年级期末）如图，在中， //，和的平分线分别交于点、，若，，则的值为（ ）
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A．3 B．4 C．5 D．9
【答案】B
【提示】
根据平行线的性质和等腰三角形的判定证得EG＝EB，DF＝DC即可求得结果．
【详解】
解：∵ED∥BC，
∴∠DFB＝∠FBC，∠EGC＝∠GCB，
∵∠DBF＝∠FBC，∠ECG＝∠GCB，
∴∠DFB＝∠DBF，∠ECG＝∠EGC，
∴BD＝DF，CE＝GE，
∵FG＝2，ED＝6，
∴DB＋EC＝DF＋GE＝ED FG＝6 2＝4，
故选：B．
【名师点拨】
本题考查等腰三角形的判定和性质、角平分线的定义，平行线的性质等知识，解题的关键是等腰三角形的证明．
变式2-4．（2021· ( http: / / www.21cnjy.com )山东济南市·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点P在x轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（ ）
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A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【提示】
分为三种情况：①AP=OP，②AP=OA，③OA=OP，分别画出即可．
【详解】
如图，
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分OP=AP（1点），OA=AP（1点），OA=OP（2点）三种情况讨论.
∴以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有4个.
故选C.
【名师点拨】
本题考查了等腰三角形的判定和坐标与图形的性质，主要考查学生的动手操作能力和理解能力，注意不要漏解．
典例3．（2021·重庆渝中区·八年级期末）尺规作图：已知等腰三角形底边长为a，底边上的高的长为h，如图所示．21cnjy.com
（1）求作这个等腰三角形；
（2）求作这个等腰三角形的一个底角的平分线．
要求：保留作图的痕迹，写出结论，但不要求写出作法．
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【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析
【提示】
（1）作BC＝a，进而作BC的垂直平分线M ( http: / / www.21cnjy.com )N，交BC于点D，以点D为圆心，h为半径画弧，交射线DM于点A，连接AB，AC，△ABC就是所求的三角形．
（2）利用尺规作∠ABC的平分线交AC于点E即可．
【详解】
解：（1）如图：①作线段BC＝a；
②作线段BC的垂直平分线MN，MN与BC交于点D；
③在MN上截取DA，使DA＝h；
④连AB，AC；
△ABC即为所求．
（2）如图射线BE即为所求．
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【名师点拨】
本题考查已知等腰三角形底边与高的等腰三角形的画法，角平分线的画法等知识，充分利用等腰三角形底边上的高与中线重合是解决本题的突破点．21*cnjy*com
变式3-1．（2021·浙江杭州市·八年级期末）已知和线段（如图），用直尺和圆规作等腰三角形，使顶角，底边上的高线．
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【答案】见解析
【提示】
根据等腰三角形的性质即可画图．
【详解】
解：如图所示，△ABC即为所求作的图形．
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【名师点拨】
本题考查了作图-复杂作图、等腰三角形的判定，解决本题的关键是准确画图．
变式3-2．（2021·山西临汾市期末）如图，在中，
（1）尺规作图：作的平分线；
（2）尺规作图：作线段的垂直平分线；（不写作法，保留作图痕迹）
（3）若与交于点，∠ACP=24°，求的度数.
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【答案】（1）见解析；（2）见解析（3）
【提示】
（1）利用基本作图作l1平分∠ABC； ( http: / / www.21cnjy.com )
（2）利用基本作图作l2垂直平分BC；
（3）设∠ABP的度数为x，利用角平分线的定义得∠ABP=∠CBP=x，则根据线段垂直平分线的性质得BP=CP，则∠PBC=∠PCB=x，然后根据三角形内角和得到60°+2x+x+24°=180°，再解方程求出x即可．
【详解】
（1）如图，l1为所作；
（2）如图，l2为所作； ( http: / / www.21cnjy.com )
（3）设∠ABP的度数为x
∵平分
∴ =x
又∵垂直平分
∴
∴
∴=x
又∵
又∵，
∴
即
【名师点拨】
本题考查了作图-复杂作图：复 ( http: / / www.21cnjy.com )杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
1．（2021·广东广州市·八年级期末）如图，把一张长方形的纸，按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC是（ ）
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A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【提示】
依据折叠即可得到AB＝AC，进而得出△ABC的形状．
【详解】
解：由题可得，AB与AC可重合，即AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形．
故选：C．
【名师点拨】
本题考查了剪纸问题，解决这 ( http: / / www.21cnjy.com )类问题要熟知轴对称图形的特点，关键是准确的找到对称轴．一般方法是动手操作，拿张纸按照题目的要求剪出图案，展开即可得到正确的图案．
2．（2021·浙江八年级期末）若等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底边为（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】A
【提示】
分4cm是底边和腰长两种情况讨论，再利用三角形的任意两边之和大于第三边判断是否能组成三角形．
【详解】
解：①4cm是底边时，腰长为×（16-4）=6，能组成三角形，
②4cm是腰长时，底边为16-2×4=8，
∵4+4=8，
∴不能组成三角形，
综上所述，该等腰三角形的底边长为4cm．
故选：A．
【名师点拨】
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的任意两边之和大于第三边的性质，难点在于分情况讨论．
3．（2021·浙江八年级期末）若等腰三角形的顶角为，则它腰上的高线与底边的夹角等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【提示】
先根据三角形内角和定理求出底角的度数，再利用直角三角形两锐角互余即可求出．
【详解】
解：根据题意，底角=（180°-α）=90°-，
∴夹角为90°-（90°-）=．
故选：D．
【名师点拨】
本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理和直角三角形的两锐角互余；本题的结论可以记住，提示别的问题时可直接应用．【出处：21教育名师】
4．有下列说法：①等腰三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形的腰相等；②等腰三角形的两底角相等，③等腰三角形的中线、高线和角平分线互相重合； ④等腰三角形两底角的平分线相等；⑤等腰三角形的腰一定大于腰上的高线其中正确的有（ ）个21教育名师原创作品
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【提示】
根据等腰三角形的性质分别判断即可．
【详解】
解：①等腰三角形的腰相等，故正确；
②等腰三角形的两底角相等，故正确；
③等腰三角形的顶角的平分线，底边上的高，底边上的中线互相重合，故错误；
④等腰三角形两底角的平分线相等，故正确；
⑤等腰三角形的腰一定大于或等于腰上的高线，故错误；
故选：C．
【名师点拨】
本题考查了等腰三角形性质，解题的关键是了解等腰三角形的性质，难度不大．
5．（2021·浙江杭州市·八年级期末）若等腰三角形中有两边长分别为3和7，则这个三角形的周长为（ ）
A．17 B．13 C．10或13 D．13或17
【答案】A
【提示】
求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰 ( http: / / www.21cnjy.com )与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为3和7，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】
解：（1）若3为腰长，7为底边长，
由于3+3＜7，则三角形不存在；
（2）若7为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．
所以这个三角形的周长为7+7+3=17．
故选：A．
【名师点拨】
本题考查了等腰三角形的性质和三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
6．（2021·河南驻马店市·八年级期末）若实数，满足，则以，的值为边长的等腰三角形的周长为（ ）【版权所有：21教育】
A．20 B．l6 C．20或16 D．20或12
【答案】A
【提示】
根据非负数的性质求出x、y，再分情况讨论求解．
【详解】
解：根据题意得，x-4=0，y-8=0，
解得x=4，y=8，
①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、8，
∵4+4=8，
∴不能组成三角形；
②4是底边时，三角形的三边分别为4、8、8，
能组成三角形，
周长=8+8+4=20．
综上所述，等腰三角形的周长是20．
故选：A．
【名师点拨】
本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论．
7．（2021·四川绵阳市·八年级期末）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的.借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动，若，则的度数是（ ）
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A．60° B．65° C．75° D．80°
【答案】D
【提示】
根据OC=CD=DE，可得∠O=∠ ( http: / / www.21cnjy.com )ODC，∠DCE=∠DEC，根据三角形的外角性质可知∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC据三角形的外角性质即可求出∠ODC数，进而求出∠CDE的度数．
【详解】
∵，
∴，，
设，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
解得：，
.
故答案为D.
【名师点拨】
本题考查等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键．
8．（2021·内蒙古呼伦贝尔市 ( http: / / www.21cnjy.com )期末）已知等腰△ABC的周长为18cm，BC＝8cm，若△ABC与△A′B′C′全等，则△A′B′C′的腰长等于（ ）2-1-c-n-j-y
A．8cm B．2cm或8cm C．5cm D．8cm或5cm
【答案】D
【详解】
提示：因为BC是腰是底不确定，因而有两种 ( http: / / www.21cnjy.com )可能，当BC是底时，△ABC的腰长是5cm，当BC是腰时，腰长就是8cm，且均能构成三角形，因为△A′B′C′与△ABC全等，所以△A′B′C′的腰长也有两种相同的情况：8cm或5cm．
详解：分为两种情况：当BC是底时，△ABC的腰长是5cm，
∵△ABC与△A′B′C′全等，
∴△A′B′C′的腰长也是5cm；
当BC是腰时，腰长就是8cm，且均能构成三角形，
∵△A′B′C′与△ABC全等，
∴△A′B′C′的腰长也等于8cm，
即△A′B′C′的腰长为8cm或5cm，
故选D．
名师点拨：本题考查了全等三角形的性质和等腰三角形的性质的应用，用了分类讨论思想．
9．（2021·山东德州市·八年级期末）如图，△ABC中，AD⊥BC，D为BC的中点，以下结论：
（1）△ABD≌△ACD；（2）AB＝AC；（3）∠B＝∠C；（4）AD是△ABC的一条角平分线．其中正确的有（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【提示】
根据等腰三角形的三线合一及全等三角形的判定即可得出答案．
【详解】
AD⊥BC，D为BC的中点，
,（2）正确；
，（3）正确；
AD是△ABC的一条角平分线，（4）正确；
在△ABD和△ACD中
△ABD≌△ACD，（1）正确
故选D．
【名师点拨】
本题考查了全等三角形的判定定理及等腰三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
10．（2021·山西吕梁市·八年 ( http: / / www.21cnjy.com )级期末）如图，在等腰三角形ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A=36°，AB=AC=a，BC=b，则CD=（ ）21·cn·jy·com
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A． B． C．a-b D．b-a
【答案】C
【提示】
根据等腰三角形的性质和判定得出BD=BC=AD，进而解答即可．
【详解】
解：∵在等腰△ABC中，BD为∠A ( http: / / www.21cnjy.com )BC的平分线，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=2∠ABD=72°，
∴∠ABD=36°=∠A，
∴BD=AD，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=72°=∠C，
∴BD=BC，
∵AB=AC=a，BC=b，
∴CD=AC-AD=a-b，
故选：C．
【名师点拨】
此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的性质和判定得出BD=BC=AD解答．
11．（2021·浙江八年级期末）已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则等腰三角形的周长是_____．
【答案】15
【提示】
分腰为3和腰为6两种情况考虑，先根据三角形的三边关系确定三角形是否存在，再根据三角形的周长公式求值即可．
【详解】
解：当腰为3时，3+3=6，
∴3 ( http: / / www.21cnjy.com )、3、6不能组成三角形；
当腰为6时，3+6=9＞6，
∴3、6、6能组成三角形，
该三角形的周长为=3+6+6=15．
故答案为：15．
【名师点拨】
本题考查了等腰三角形的性质以及三角形三边关系，由三角形三边关系确定三角形的三条边长为解题的关键．
12．（2021·陕西宝鸡市·八年级期末）如图，在正五边形ABCDE中，DM是边CD的延长线，连接BD，则∠BDM的度数是_____．
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【答案】144°．
【提示】
根据正五边形的性质和内角和为540°，求得每个内角的度数为108°，再结合等腰三角形和邻补角的定义即可解答．
【详解】
解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠C＝＝108°，BC＝DC，
∴∠BDC＝＝36°，
∴∠BDM＝180°﹣36°＝144°，
故答案为：144°．
【名师点拨】
本题考查了正五边形的性质，正多边形的内角，等腰三角形的性质和邻补角的定义，求出正五边形的内角是解题关键．
13．（2021·浙江八年级期中）在等腰ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，则∠A的大小为________．
【答案】
【提示】
根据等腰三角形两底角相等可求∠C，再根据三角形内角和为180°列式进行计算即可得解．
【详解】
解：∵AB=AC，∠B=50°，
∴∠C=∠B=50°，
∴∠A=180°-2×50°=80°．
故答案为：80°．
【名师点拨】
本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形两底角相等的性质．
14．（2021·黑龙江鸡西市·八年级期末）如图，在中，，点在上，且，则_____度．
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【答案】36
【提示】
设∠A=x，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求得答案．
【详解】
设∠A=x．
∵AD=BD，
∴∠ABD=∠A=x；
∵BD=BC，
∴∠BCD=∠BDC=∠ABD+∠A=2x；
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠BCD=2x，
∴∠DBC=x；
∵x+2x+2x=180°，
∴x=36°，
∴∠A=36°，
故答案为36.
【名师点拨】
本题考查了等腰三角形的性质，涉及了等边对等角、三角形外角的性质，三角形的内角和定理，通过三角形内角和定理列方程求解是正确解答本题的关键．
15．（2021·江苏扬州市·八年级期末）等腰三角形的一个内角是，则它的顶角度数是_______________．
【答案】20度或80度
【提示】
先分情况讨论：80°是等腰三角形的底角或80°是等腰三角形的顶角，再根据三角形的内角和定理进行计算．
【详解】
当80°是等腰三角形的顶角时，则顶角就是80°；
当80°是等腰三角形的底角时，则顶角是180° 80°×2＝20°．
故答案为：80°或20°．
【名师点拨】
本题考查了等腰三角形的性质及 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形的内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
16．（2021·河南洛阳市·八年级期末）如图，∠A=∠B，AE=BE，点D在AC边上，∠1=∠2，AE和BD相交于点O．21*cnjy*com
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（1）求证：△AEC≌△BED；
（2）若∠1=42°，求∠BDE的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）69°．
【提示】
（1）根据全等三角形的判定即可判断△AEC≌△BED；
（2）由（1）可知：EC=ED，∠C=∠BDE，根据等腰三角形的性质即可知∠C的度数，从而可求出∠BDE的度数．
【详解】
（1）∵AE和BD相交于点O，∴∠AOD=∠BOE．
在△AOD和△BOE中，
∵∠A=∠B，∴∠BEO=∠2．
又∵∠1=∠2，∴∠1=∠BEO，∴∠AEC=∠BED．
在△AEC和△BED中，
∵，∴△AEC≌△BED（ASA）．
（2）∵△AEC≌△BED，∴EC=ED，∠C=∠BDE．
在△EDC中，∵EC=ED，∠1=42°，∴∠C=∠EDC=（180°-42°）÷2=69°，∴∠BDE=∠C=69°．
【名师点拨】
本题考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用全等三角形的性质与判定，本题属于中等题型．
17．（2021·河南平顶山市·八年级期中）如图，在中，，点、、 分别在、、边上，且， ．
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（1）求证：是等腰三角形；
（2）当时，求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）．
【提示】
（1）根据条件可以得出，就可以得出进而得出结论；
（2）由（1）的结论就可以得出，由等腰三角形的性质就可以得出，就可以得出，就有，进而得出结论．
【详解】
（1）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
（2）∵，
∴，，
∵，
∴．
∴，
∴，
∴．
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【名师点拨】
本题考查了等腰三角形的性质的运用，三角形内角和定理的运用，平角的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
教材知识链接
典例及变式
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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课时13.3.1 等腰三角形
等腰三角形性质：
1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）
2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。（三线合一）
等腰三角形的判定：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）.
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典例1．（2021·安徽 ( http: / / www.21cnjy.com )铜陵市·八年级期末）如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB=AC，∠CAD=20°，则∠ACE的度数是（ ）21世纪教育网版权所有
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A．20° B．35° C．40° D．70°
变式1-1．（2021·太原市八年级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且DA＝DC，BD＝BA，则∠B的大小为( )21教育网
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A．40° B．36° C．30° D．25°
变式1-2．如图，ABC中，AB＝AC＝12，BC＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则CDE的周长为（ ）21·cn·jy·com
( http: / / www.21cnjy.com )
A．11 B．17 C．18 D．16
变式1-3．（2021·浙江八年级期 ( http: / / www.21cnjy.com )末）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠CAB的角平分线，DE⊥AB于点E，若AB=6cm，则△DEB的周长是( ) 2·1·c·n·j·y
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A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm
变式1-4．（2021·西藏日喀则市·八年级期末）已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．8或10 B．8 C．10 D．6或12
变式1-5．（2021·广东汕头市·八年级期末）等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长是（ ）2-1-c-n-j-y
A．17 B．22 C．17或22 D．13
变式1-6．（2021·浙江绍兴市·八年级期末）等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是（ ）【版权所有：21教育】
A．55°，55° B．70°，40°或70°，55°
C．70°，40° D．55°，55°或70°，40°
典例2．（2021·山东潍坊市期末）如图，在 ( http: / / www.21cnjy.com )平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝6，BE＝2，则平行四边形ABCD的周长是（ ）
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A．60 B．30 C．20 D．16
变式2-1．（2021·贵州遵义市·八年级期末）如图所示的正方形网格中，网格线的交点为格点，已知、是两个定格点，如果也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点的个数是（ ）
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A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
变式2-2．（2021· ( http: / / www.21cnjy.com )江苏盐城市·八年级期末）如图是由8个全等的矩形组成的大正方形，线段AB的端点都在小矩形的顶点上，如果点P是某个小矩形的顶点，连接PA、PB，那么使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是（ ）21·世纪*教育网
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A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
变式2-3．（2021·山东临沂市·八年级期末）如图，在中， //，和的平分线分别交于点、，若，，则的值为（ ）
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A．3 B．4 C．5 D．9
变式2-4．（2021·山东济南市·八年 ( http: / / www.21cnjy.com )级期末）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点P在x轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（ ）
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A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
典例3．（2021·重庆渝中区·八年级期末）尺规作图：已知等腰三角形底边长为a，底边上的高的长为h，如图所示．
（1）求作这个等腰三角形；
（2）求作这个等腰三角形的一个底角的平分线．
要求：保留作图的痕迹，写出结论，但不要求写出作法．
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变式3-1．（2021·浙江杭州市·八年级期末）已知和线段（如图），用直尺和圆规作等腰三角形，使顶角，底边上的高线．
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变式3-2．（2021·山西临汾市期末）如图，在中，
（1）尺规作图：作的平分线；
（2）尺规作图：作线段的垂直平分线；（不写作法，保留作图痕迹）
（3）若与交于点，∠ACP=24°，求的度数.
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1．（2021·广东广州市·八年级期末）如图，把一张长方形的纸，按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC是（ ）21cnjy.com
( http: / / www.21cnjy.com )
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
2．（2021·浙江八年级期末）若等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底边为（ ）www-2-1-cnjy-com
A． B． C．或 D．
3．（2021·浙江八年级期末）若等腰三角形的顶角为，则它腰上的高线与底边的夹角等于（ ）
A． B． C． D．
4．有下列说法：①等腰三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )的腰相等；②等腰三角形的两底角相等，③等腰三角形的中线、高线和角平分线互相重合； ④等腰三角形两底角的平分线相等；⑤等腰三角形的腰一定大于腰上的高线其中正确的有（ ）个【来源：21cnj*y.co*m】
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2021·浙江杭州市·八年级期末）若等腰三角形中有两边长分别为3和7，则这个三角形的周长为（ ）21*cnjy*com
A．17 B．13 C．10或13 D．13或17
6．（2021·河南驻马店市·八年级期末）若实数，满足，则以，的值为边长的等腰三角形的周长为（ ）www.21-cn-jy.com
A．20 B．l6 C．20或16 D．20或12
7．（2021·四川绵阳市·八年级期末）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的.借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动，若，则的度数是（ ）【出处：21教育名师】
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A．60° B．65° C．75° D．80°
8．（2021·内蒙古呼伦贝尔 ( http: / / www.21cnjy.com )市期末）已知等腰△ABC的周长为18cm，BC＝8cm，若△ABC与△A′B′C′全等，则△A′B′C′的腰长等于（ ）
A．8cm B．2cm或8cm C．5cm D．8cm或5cm
9．（2021·山东德州市·八年级期末）如图，△ABC中，AD⊥BC，D为BC的中点，以下结论：
（1）△ABD≌△ACD；（2）AB＝AC；（3）∠B＝∠C；（4）AD是△ABC的一条角平分线．其中正确的有（ ）21*cnjy*com
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2021·山西吕梁市·八年级期末 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，在等腰三角形ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A=36°，AB=AC=a，BC=b，则CD=（ ）
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A． B． C．a-b D．b-a
11．（2021·浙江八年级期末）已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则等腰三角形的周长是_____．21教育名师原创作品
12．（2021·陕西宝鸡市·八年级期末）如图，在正五边形ABCDE中，DM是边CD的延长线，连接BD，则∠BDM的度数是_____．
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13．（2021·浙江八年级期中）在等腰ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，则∠A的大小为________．
14．（2021·黑龙江鸡西市·八年级期末）如图，在中，，点在上，且，则_____度．
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15．（2021·江苏扬州市·八年级期末）等腰三角形的一个内角是，则它的顶角度数是_______________．
16．（2021·河南洛阳市·八年级期末）如图，∠A=∠B，AE=BE，点D在AC边上，∠1=∠2，AE和BD相交于点O．
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（1）求证：△AEC≌△BED；
（2）若∠1=42°，求∠BDE的度数．
17．（2021·河南平顶山市·八年级期中）如图，在中，，点、、 分别在、、边上，且， ．
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（1）求证：是等腰三角形；
（2）当时，求的度数．
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