请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
2021 年“山东学情”高二 10 月联合考试 19、（12分）
数学（A 版）答题卡
姓名:___________________
班级:___________________ 贴 条 形 码 区
准考证
号
1. 考生答题前,先将条形码贴在条形码区,并将本人班 级、姓名、考号填写在相应位
置。
2. 答题时,必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔书写;选择题填涂时,必须用 2B 铅笔
注 按图示 规范填涂。 正确填涂
意 3. 严格按照题号在答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在草稿纸、试卷填涂
上答题无效。 18、（12分）
事 4. 保持答题卡清洁完整,严禁折叠,严禁在答题卡上做任何标记,严禁使用涂改液、修样例 错误填涂
项 正纸和修正带。
5. 若考生未按上述要求填写答题,影响评分结果,后果自负。
选择题（1-8 题单选，9-12题多选，每题 5分，共 60 分）
1 6 11
2 7 12
3 8
4 9
5 10
填空题(每题 5分，共 20分)
13、______________________14、________________________
15、______________________16、__________（2分）___________
17、（10分）
第 1 页 共 6 页 第 2 页 共 6 页 第 3 页 共 6 页
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
20、（12分） 21、（12分） 22、（12分）
第 4 页 共 6 页 第 5 页 共 6 页 第 6 页 共 6 页2021 年“山东学情”高二 10 月联合考试
数学试题（A 卷）参考答案
1．B 2．D 3．A 4.C 5.B 6.C 7．D 8．C
9.BD 10.BC 11．CD 12.ABD
3 3 3 3 3 3 3 5 10 2
13. ( , , )或(- ,- ,- ) 14. 2 2, 15. ， 16. 、
3 3 3 3 3 3 5 4 4
17. （1） 2,0,0 ；（2）m n 2．
解： AB (2,0, 4),CD (m,m n,n 1)
因为 AB / /CD，故存在实数 ( 0) ，使得 AB CD，即
(2,0, 4) (m,m n,n 1) ........2分
2 m 2
故 0 (m n) ,解得 m 1 ........4分
4 (n 1)
n 1
点D的坐标为 2,0,0 ........5分
（2）因为CD与平面 ABC垂直，所以CD AB,CD AC，
又CD (m,m n,n 1), AB (2,0, 4), AC (2, 1,0) ........7分
CD AB 0 2m 4(n 1) 0
所以 即 ........9分
CD AC 0
2m (m n) 0
解得m n 2．........10分
3 14 1 7
18. (1) , (2)k , (3)k
14 2 13
解：(1)由题意，
m 1 4 16 21,
n 1 1 4 6,......2分
m n 1 ( 1) 2 1 4 2 3 14
cos m,n ;......4分
m n 21 6 14
(2)易知km n k 1,2k 1,4k 2 m 2n 1,4,8 ,......6分
km n // m 2n
答案第 1 页，总 5 页
k 1 2k 1 4k 2 1
,解得k ;......8分
1 4 8 2
(3) km n m 2n , km n m 2n 0,......10分
即(k 1) ( 1) (2k 1) 4 (4k 2) 8 0,
7
解得k .......12分
13
19.证明： 1 如图，以A为原点，以AB, AD, AP分别为x轴，y轴，z轴的正方向
建立空间直角坐标系 A xyz ，........2分
设 AB 2a，BC 2b，PA 2c，
则 A(0, 0，0) ，B(2a,0，0) ，C(2a, 2b，0) ，D(0, 2b，0) ， P(0, 0，2c)，
E 为 AB的中点，F 为 PC的中点， E(a,0，0) ，F(a, b，c)，
EF (0,b,c)，...4分
AP 0,0,2c ， AD (0, 2b，0) ，........5分
1 1
EF AP AD........7分 EF, AP, AD共面.........8分
2 2
(2). AB (2a,0,0), EF (0,b,c)............9分
AB EF 2a 0 0 b 0 c 0............11分
AB EF, AB EF.............12分
20.解：（1）证明：连结 AC 交 BD于点O，因为 ABCD为菱形，故 AC BD，
又因为侧棱 AA1 底面 ABCD，........1分
所以以O为原点建立空间直角坐标系，如图所示........2分
设OB a，OA b ，DD1 c ，则B(0,a,0)，D1(0, a,c) ，
1 2
E(b,0, c), F( b,0, c)
3 3
1 1
所以BE (b, a, c), FD1 (b, a, c)....4分
3 3
所以BE FD ，故BE / /FD1，所以 B ，F ，D1 ， E 四点共面；........6分 1
（2）因为 AB 4, BAD 600
2
，所以B 0,2,0 , D 0, 2,0 , D1 0, 2,c , F 2 3,0, c
3
设平面BB1D1 的法向量为m (x, y, z)，BD 0, 4,0 , DD1 0,0,c
m BD 0 4 = 0
则有 ，即 { ......8分，
m DD 0
= 0
1
答案第 2 页，总 5 页
2
令 x 1，故m (1,0,0)，又FB 2 3,2, c ......10分
3
FB m
所以点F 到平面BDD1 的距离为
2 3
2 3 ......12分
m 1
21.（1）证明：连接B1C ，与BC1相交于O，连接OD，∵四边形BCC1B1是矩形，∴O是B1C
的中点，又 D是 AC的中点，∴OD//AB1，.....3分
∵ AB1 平面BDC1 ，OD 平面BDC1 ，∴ AB1 //平面BDC1 ；.....4分
（2）以C1为原点，C1A1,C1C,C1B1所在的直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空
间直角坐标系，如图所示.....6分
则C1 0,0,0 ，B 0,3, 2 ，C 0,3,0 ， A 2,3,0 ，D 1,3,0
设m x, y, z 是平面BDC1 的一个法向量，
m C1B 0 3y 2z 0
则 ,即 .....8分
m C D 0
x 3y 0
1
1 1 1 1
令 x 1，则 y , z ， m 1, , ，.....9分
3 2 3 2
又 C1C 0,3,0 是平面 ABC的一个法向量，即 C1C 0,3,0 是平面BDC 的一个法向量，
m C1C 2
设平面C BD与平面CBD的夹角为 ，则 cos cos m,C1C 1 .....11 分
m C1C
7
2
所以平面C1BD与平面CBD夹角的余弦值为 .....12 分
7
1
22.(1)几何法：取PB中点M, CD AB且CD AB ，E ，M 分别
2
为 PA，PB的中点.
1
EM∥AB 且EM AB ,∴EM∥CD且EM CD，四边形CDEM 为
2
平行四边形，∴DE∥CM ，.....2分
CM 平面PBC ，DE 平面PBC ，
∴DE//平面BPC ......3分
（1）代数法：由题意可得DA，DC ，DP两两互相垂直，如图，以D为
原点，DA，DC ，DP所在直线分别是 x ， y ， z 轴建立空间直角坐标
答案第 3 页，总 5 页
系D xyz，如图所示.....1 分
1 1
设DA 1，则 A 1，0，0 ，B 1，2，0 ，C 0，1，0 ，P 0，0，1 ，E ，0， ，设平面PBC
2 2
的法向量为m x，y，z
m BC 0 x y 0
BC 1， 1，0 ，CP 0， 1，1 ，则 ,即
m CP 0
y z 0
令 y 1，则 x 1, z 1，∴m 1，1，1
1 1
又DE ，0， ，∴m DE 0，∴DE m，DE 平面PBC .....2分
2 2
∴DE 平面PBC .....3 分
（2）设点G 坐标为 1，t，0 ，则CG (1, t 1,0)，DB 1，2，0 ，
1 1
由CG BD得 t ，∴G(1, ,0)
2 2
1
设平面GPC的法向量为n x，y，z ，CG (1, ,0)
2
y z 0 n PC 0 y z
由 得 1 即 ，令 x 1，则 y 2, z 2，∴n 1，2，2 .....5 分
n GC 0 x y 0 y 2x 2
n m 3 3
m n 1 2 2 3，则cos n，m
n m 3 3 3
3
故平面GPC与平面BPC夹角的余弦值为 ......7分
3
1
（3）设 AH AP ( ,0, ), 0，1 ，∴GH GA AH ， ，
2
n GH 1
2 2 .....9分
cos GH ,n
3 (8 2 1)
3
∵GH 与平面PGC所成角的正弦值为
3
2 2 3
∴ ，整理得：20 2 8 1 0，
3 8 2 1 3
1 1
解得： ， （舍）.....11分
10 2
1 1 2
∴存在满足条件的点H ， AH ( ,0, ),且AH ......12分
10 10 10
答案第 4 页，总 5 页
答案第 5 页，总 5 页2021 年“山东学情”高二 10 月联合考试
数学试题（A卷）
考试时间：120 分钟
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第 I 卷（选择题）
一、单选题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的）
1.已知不共线的两个向量m、n，若 a m n、b m n、c m ,则（ ）
a
、c a b c A. 共线 B. 、 、 共面
C.a、b、c 共线 D.b、c 共线
2.已知 a、b为空间中的两个非零向量,模长均为 2，它们的夹角为 45°，那么 a 2b （ ）
A．20 B． 5 C．2 D．2 5
a
(1,1,2),b ( 2,0,1),c (13.已知 , 1,1),下列等式正确的个数( )
2
① | a b c | | a b c |； ② (a b) c a (b c)；
2 2
2 2
③ (a b c) a b c ； ④ (a b) c a (b c).
A．2 个 B．1个 C．4个 D．3个
4.已知空间四点 A 1,3,4 , B 3,1,2 ,C 7, 5,3 ,D 1,3, z 共面，则 z的值为（ ）
A．1 B．3 C．11 D．5
5．如图,四棱锥 P ABCD，底面 ABCD是平行四边形， E为PD的三等分
DE 1
点 DP 3 ，若DP a， DA b, DC c ,则用基底 a,b ,c 表示
向量 BE为（ ）
2 1
A. a b c B. a b c 1 a b c 1 a C. D. b c
3 3 3 3
6.在直三棱柱ABC - A 'B 'C '中，侧棱长为 2，底面是边长为 2 的正三角形，则异面直线AB '与 BC '
所成角的余弦值为（ ）
1 3 1 5
A. B. C. D.
2 3 4 5
高二数学（A卷） 第 1 页 共 4 页
7．如图,在一个 45 的二面角的棱上有两个点 A，B，线段 AC，BD分别
在这个二面角的两个半平面内，并且都垂直于棱 AB，且
AB 2, AC 1,BD 2 2 ,则CD的长为（ ）
A.1 B. 2 B. 7
8．如图，正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1，E是DD11的中点，则（ ）
A.直线CE / /平面A1BD
B.CE BD1
C.三棱锥C1 -B1CE
1
的体积为
6
D．直线B1E与平面CDD1C1所成的角正切值为 3
二、多选题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符
合题目要求，选对但不全得 2 分，有选错的得 0 分）
m ,n 9．设 , t 是空间的一组基底，则下列结论正确的是（ ）
A.基底 m ,n , t 中的向量可以为任意向量.
B.空间中任一向量 a，存在唯一有序实数组 x, y, z ，使 a xm yn zt
C.若m n , n
t ，则m t
D. m 2n,n 2t , t 2m 也可以构成空间的一组基底.
10．给出下列命题，其中正确的命题为（ ）
A．若OP EF ，则一定有点O 与点 E 重合，点 P 与点 F 重合.
B．若 OA , OB 为钝角，则OA OB 0 .
C．若m为直线m 的方向向量，则 m (λ∈R且 0 )也是直线m 的方向向量.
D．非零向量m,n , t m n
满足 与 ， n与 t ，m与 t 都是共面向量，则m,n, t 必共面．
11．如图所示,长方体 ABCD A1B1C1D1，底面是边长为 1 的正方形，高为 2，
E是DD1的中点，则（ ）
A.CE // A1B
B．平面B1CE//平面 A1BD
1
C.三棱锥C B1C1E的体积为 3
D.三棱锥C1 B1CD1的外接球的表面积为6
高二数学（A卷） 第 2 页 共 4 页
12．如图所示,平行六面体 ABCD A1B1C1D1，其中AB AD 2, AA1 1，
DAB 60o , DAA o1 BAA1 45 ,下列说法中正确的是（ ）
A. AC1 11
B． AC1 DB
C．向量 B1C与 AA1的夹角是 45°
D．BD1与 AC
2
所成角的余弦值为
3
第 II 卷（非选择题）
三、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
a 13. (1,1,1)是平面 的一个法向量，如果直线m 与平面 垂直，则直线m的单位方向向量
b ____.
m,n R b (m,0,1),a (1 ,n, 1
14. 设 ， 向 量 ),c (1, 2,1) ， 且
2 2 b c,a // c
， 则
2a b ______.
15.已知点 A(1, 1,0), B (3,0,0),C (3,2,0), D (4,3, 2 )，则向量CD 在向量 AB 上的投影向量的
模为
16.已知 ABC是正三角形，OA 平面ABC，且OA AC 2，则OB与平面OAC所成角
的余弦值为________（2 分）．若点 A关于直线OC的对称点为 A ，则直线 AA 与BC所成角
的余弦值为________．
四、解答题(本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本题 10 分）
已知空间内不重合的四点，坐标分别为 A( 1,1,2), B(1，1， 2),C (1,0,2),
D(m 1,m n, n 1)
（1）若 AB / /CD，求点D的坐标；
（2）若CD与平面 ABC垂直，求m和n的值．
18.（本题 12 分）
m (1,2,4),n 已知 ( 1,1,2)
（1）求 cos m,n 的值.
（2）若 (km n) //(m
2n )，求实数 k的值.
（3）若 (km n) (m 2n)，求实数 k的值.
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19.（本题 12 分）
如图，已知四棱锥 P ABCD ,底面是矩形，且 PA 平面 ABCD，E、
F 分别是 AB、PC 的中点．(用向量法解决下列问题）
（1）求证： EF , AP, AD共面.
（2）求证： EF AB.
20.（本题 12 分）
如图，在直四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，底面四边形 ABCD为菱形，E，F 分别为 AA1，CC1
C1F AE 1
的三等分点 ( )CC1 AA 3
．(用向量法解决下列问题）
1
（1）证明： B， F ，D1，E四点共面；
（2）若 AB 4, BAD 600 ,求点 F到平面 BB1D1的距离．
21.（本题 12 分）
如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，底面 ABC 是以 C为直角的
等腰直角三角形， BC AC 2， AA 1 3，D为 AC的中点
（1）求证： AB1 //平面 BDC1；
（2）求平面C1BD与平面CBD夹角的余弦值.
22.（本题 12 分）
1
在四棱锥 P ABCD中， PD 平面 ABCD，AB//DC， AB AD ，CD AD AB，
2
PAD 45 ， E是 PA的中点，G在线段 AB上，且满足CG BD
（1）求证：DE//平面 PBC；
（2）求平面GPC与平面 BPC 夹角的余弦值.
（3） 在线段 PA上是否存在点H，使得GH 与平面 PGC 所成角的
3
正弦值是 ，若存在，求出 AH 的长；若不存在，请说明理由.
3
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