2021 年“山东学情”高二 10 月联合考试
数学试题（B卷）
考试时间：120 分钟
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第 I 卷（选择题）
一、单选题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的）
1.若直线 l 的一个方向向量为 ( 2, 2 3) ，则它的倾斜角为 ( )
A. 30 B. 120 C. 60 D. 150
a
2.已知 、b为空间中的两个非零向量,模长均为 2，它们的夹角为 45°，那么 a 2b （ ）
A．20 B． 5 C．2 D．2 5
a
3.已知 (1,1,2),b ( 2,0,1),c (1 , 1,1),下列等式正确的个数( )
2
① | a b c | | a b c |； ② (a b) c a (b c)；
2 2 2
③ (a b c) 2 a b c ④ (a b) c a (b c).
A．2 个 B．1个 C．4个 D．3个
4.已知空间四点 A 1,3,4 , B 3,1,2 ,C 7, 5,3 ,D 1,3, z 共面，则 z的值为（ ）
A．1 B．3 C．11 D．5
5．如图,四棱锥 P ABCD，底面 ABCD是平行四边形， E为 PD的三等分
DE 1
点
DP 3 ，若DP a， DA b, DC c ,则用基底 a,b ,c 表示向
量 BE为（ ）
2
A. a b c 1 1B. a b c a C. b c 1D. a b c
3 3 3 3
6.在直三棱柱ABC - A 'B 'C '中，侧棱长为 2，底面是边长为 2 的正三角形，则异面直线AB '与 BC '
所成角的余弦值为（ ）
1 3 1 5
A. B. C. D.
2 3 4 5
高二数学（B卷） 第 1 页 共 4 页
7．如图,在一个 45 的二面角的棱上有两个点 A， B，线段 AC， BD分
别在这个二面角的两个半平面内，并且都垂直于棱 AB，且
AB 2, AC 1,BD 2 2 ,则CD的长为（ ）
A.1 B. 2 B. 7 D.3
8．如图，正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1，E是DD11的中点，则（ ）
A.直线CE / /平面A1BD
B.CE BD1
1
C.三棱锥C1 -B1CE 的体积为 6
D．直线B1E与平面CDD1C1所成的角正切值为 3
二、多选题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符
合题目要求，选对但不全得 2 分，有选错的得 0 分）
9．下列说法正确的是 ( )
A. 已知直线 l 过点 P(2,3) ，且在 x，y轴上截距相等，则直线 l 的方程为 x y 5 0
B. 直线 3x y 1 0的倾斜角为120
C. a R， b R，“直线 ax 2 y 1 0与直线 (a 1)x 2ay 1 0垂直”是“ a 3”的
必要不充分条件
D. 若直线 l 沿 x 轴向左平移 3 个单位长度，再沿 y 轴向上平移 2 个单位长度后，回到原来的
2
位置，则该直线 l 的斜率为
3
10．给出下列命题，其中正确的命题为（ ）
A．若OP EF ，则一定有点O 与点 E 重合，点 P 与点 F 重合.
B．若 OA , OB 为钝角，则OA OB 0 .
m m m C．若 为直线 的方向向量，则 (λ∈R且 0 )也是直线m 的方向向量.
D．非零向量m,n, t 满足m与 n， n与 t ，m与 t 都是共面向量，则m,n, t 必共面．
11．平面上三条直线 x 2 y 1 0， 2x y 1 0， x ky 0，如果这三条直线将平面划分
成六部分，则实数 k 的可能取值为 ( )
1 1
A. B. 2 C. 4 D.
2 3
高二数学（B卷） 第 2 页 共 4 页
12．如图所示,平行六面体 ABCD A1B1C1D1，其中AB AD 2, AA1 1，
DAB 60o , DAA1 BAA1 45
o ,下列说法中正确的是（ ）
A. AC1 11
B． AC1 DB
C．向量B1C与 AA1 的夹角是 45°
D．BD 21与 AC所成角的余弦值为
3
第 II 卷（非选择题）
三、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13. a (1,1,1)是平面 的一个法向量，如果直线m 与平面 垂直，则直线m的单位方向向量
b ____.
14.已知直线 l1 :mx y 1 0， l m2 : 4m 3 x my 1 0，若 l1 // l2，则实数 =
15.已知点 A(1, 1,0), B (3,0,0),C (3,2,0), D (4,3, 2 )，则向量CD 在向量 AB 上的投影向量的
模为
16.已知 ABC是正三角形，OA 平面ABC，且OA AC 2，则OB与平面OAC所成角
的余弦值为________（2 分）．若点 A关于直线OC的对称点为 A ，则直线 AA 与BC所成角
的余弦值为________．
四、解答题(本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17（本题 10 分）
已知空间内不重合的四点，坐标分别为 A( 1,1,2), B(1，1， 2),C (1,0,2),
D(m 1,m n, n 1)
（1）若 AB / /CD，求点D的坐标；
（2）若CD与平面 ABC垂直，求m和n的值．
18.（本题 12 分）
m (1,2,4),n 已知 ( 1,1,2)
（1）求 cos m
,n 的值.
（2）若 (km
n ) //(m 2n )，求实数 k的值.
（3）若 (km
n) (m 2n )，求实数 k的值.
高二数学（B卷） 第 3 页 共 4 页
19.（本题 12 分）
如图，已知四棱锥 P ABCD ,底面是矩形，且 PA 平面 ABCD，E、
F 分别是 AB、PC 的中点．(用向量法解决下列问题）
（1）求证： EF , AP, AD共面.
（2）求证： EF AB.
20.（本题 12 分）
如图，在直四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，底面四边形 ABCD为菱形，E，F 分别为 AA1，CC1
C1F AE 1
的三等分点 ( )CC1 AA 3
．(用向量法解决下列问题）
1
（1）证明： B， F ，D1，E四点共面；
（2）若 AB 4, BAD 600 ,求点 F到平面 BB1D1的距离．
21.（本题 12 分）
如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，底面 ABC 是以 C为直角
的等腰直角三角形， BC AC 2， AA 1 3，D为 AC的中点
（1）求证： AB1 //平面 BDC1；
（2）求平面C1BD与平面CBD夹角的余弦值.
22.（本题 12 分）
1
在四棱锥 P ABCD中， PD 平面 ABCD，AB//DC， AB AD ，CD AD AB，
2
PAD 45 ， E是 PA的中点，G在线段 AB上，且满足CG BD
（1）求证：DE//平面 PBC；
（2）求平面GPC与平面 BPC 夹角的余弦值.
（3） 在线段 PA上是否存在点H，使得GH 与平面 PGC 所成角的
3
正弦值是 ，若存在，求出 AH 的长；若不存在，请说明理由.
3
高二数学（B卷） 第 4 页 共 4 页请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
2021 年“山东学情”高二 10 月联合考试 19、（12分）
数学（B 版）答题卡
姓名:___________________
班级:___________________ 贴 条 形 码 区
准考证
号
1. 考生答题前,先将条形码贴在条形码区,并将本人班 级、姓名、考号填写在相应位
置。
2. 答题时,必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔书写;选择题填涂时,必须用 2B 铅笔
注 按图示 规范填涂。 正确填涂
意 3. 严格按照题号在答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在草稿纸、试卷填涂
上答题无效。 18、（12分）
事 4. 保持答题卡清洁完整,严禁折叠,严禁在答题卡上做任何标记,严禁使用涂改液、修样例 错误填涂
项 正纸和修正带。
5. 若考生未按上述要求填写答题,影响评分结果,后果自负。
选择题（1-8 题单选，9-12题多选，每题 5分，共 60 分）
1 6 11
2 7 12
3 8
4 9
5 10
填空题(每题 5分，共 20分)
13、______________________14、________________________
15、______________________16、__________（2分）___________
17、（10分）
第 1 页 共 6 页 第 2 页 共 6 页 第 3 页 共 6 页
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
20、（12分） 21、（12分） 22、（12分）
第 4 页 共 6 页 第 5 页 共 6 页 第 6 页 共 6 页2021 年“山东学情”高二 10 月联合考试
数学试题（B卷）参考答案
1．B 2．D 3．A 4.C 5.B 6.C 7．D 8．C
9.BCD 10.BC 11．ABD 12.ABD
( 3 , 3 , 3 ) (- 3 ,- 3 ,- 3 ) 3 5 10 213. 或 14. 3 15. ， 16. 、3 3 3 3 3 3 5 4 4
17. （1） 2,0,0 ；（2）m n 2．
解： AB (2,0, 4),CD (m,m n,n 1)
因为 AB / /CD，故存在实数 ( 0)，使得 AB CD，即
(2,0, 4) (m,m n,n 1) ........2 分
2 m 2
故 0 (m n) ,
解得 m 1 ........4 分
4 (n 1) n 1
点D的坐标为 2,0,0 ........5 分
（2）因为CD与平面 ABC垂直，所以CD AB,CD AC，
又CD (m,m n,n 1), AB (2,0, 4), AC (2, 1,0) ........7 分
CD AB 0 2m 4(n 1) 0
所以 即 ........9 分
CD AC 0 2m (m n) 0
解得m n 2．........10 分
18. (1) 3 14 , (2)k 1 , (3)k 7
14 2 13
解：(1)由题意，
m 1 4 16 21,
n 1 1 4 6,......2分
m
cos m
n
,n 1 ( 1) 2 1 4 2 3 14 ;......4分m n 21 6 14
(2)易知km n k 1,2k 1,4k 2 m 2n 1,4,8 ,......6分
km n // m 2n
答案第 1页，总 4页
k 1 2k 1 4k 2 , k 1 解得 ;......8分
1 4 8 2
(3) km n m 2n , km n m 2n 0,......10分
即(k 1) ( 1) (2k 1) 4 (4k 2) 8 0,
解得k 7 .......12分
13
19.证明： 1 如图，以A为原点，以AB, AD, AP分别为x轴，y轴，z轴的正方向
建立空间直角坐标系 A xyz，........2 分
设 AB 2a，BC 2b，PA 2c，
则 A(0, 0，0)， B(2a,0， 0)，C(2a, 2b，0)，D(0, 2b，0)， P(0, 0， 2c)，
E为 AB 的中点，F 为 PC 的中点， E(a,0， 0)， F (a,b， c)，
EF (0,b, c)，...4 分
AP 0,0,2c ， AD (0, 2b，0)，........5 分
1 1
EF AP AD ........7 分 EF , AP, AD共面.........8 分
2 2
(2). AB (2a,0,0),EF (0,b,c)............9分
AB EF 2a 0 0 b 0 c 0............11分
AB EF , AB EF.............12分
20.解：（1）证明：连结 AC交 BD于点O，因为 ABCD为菱形，故 AC BD，
又因为侧棱 AA1 底面 ABCD，........1 分
所以以O为原点建立空间直角坐标系，如图所示........2 分
设OB a，OA b，DD1 c，则 B(0,a,0)，D1(0, a,c)，
E(b,0, 1 c),F ( b,0, 2 c)
3 3
所以BE (b, a,
1c),FD1 (b, a,
1c)....4 分
3 3
所以 BE FD ，故 BE / /FD1，所以 B， F ，D1，E四点共面；........6 分1
AB 4, BAD 600 B 0,2,0 ,D 0, 2,0 ,D 0, 2,c ,F 2 3,0, 2（2）因为 所以 1 c
3
设平面BB1D1的法向量为m (x, y, z)，BD 0, 4,0 ,DD1 0,0,c
m BD 0 4 = 0则有 ，即 ......8 分，
m DD 0 = 01
答案第 2页，总 4页
令 x 1，故m (1,0,0)，又FB 2 3,2,
2
c ......10 分
3
FB m
所以点F 到平面 BDD1的距离为 2 3 2 3 ......12 分m 1
21.（1）证明：连接 B1C，与 BC1相交于O，连接OD，∵四边形 BCC1B1是矩形，∴O是 B1C
的中点，又 D 是 AC 的中点，∴OD //AB1，.....3 分
∵ AB1 平面 BDC1，OD 平面 BDC1，∴ AB1 //平面 BDC1；.....4 分
（2）以C1为原点，C1A1,C1C ,C1B1 所在的直线分别为 x轴， y轴， z轴建立空
间直角坐标系，如图所示.....6 分
则C1 0,0,0 ， B 0,3, 2 ，C 0,3,0 ， A 2,3,0 ，D 1,3,0
设m
x, y, z 是平面 BDC1的一个法向量，
m C1B 0 3y 2z 0
则 ,即 .....8 分
m C D 0 x 3y 01
1 1
令 x 1，则 y
1
, z 1 m ，
3 2
1, , ，.....9 分
3 2
又 C1C 0,3,0 是平面 ABC的一个法向量，即 C1C 0,3,0 是平面 BDC的一个法向量，
m C1C
设平面C1BD与平面CBD的夹角为 ，则 cos cos m,C1C
2
.....11 分m C1C 7
2
所以平面 C1BD与平面 CBD夹角的余弦值为 .....12 分7
1
22.(1)几何法：取 PB中点 M, CD AB且CD AB ，E，M 分
2
别为 PA， PB的中点.
EM 1EM∥AB且 AB ,∴ EM∥CD且EM CD，四边形CDEM为
2
平行四边形，∴DE∥CM，.....2 分
CM 平面 PBC，DE 平面 PBC，
∴DE//平面 BPC ......3 分
（1）代数法：由题意可得DA，DC，DP两两互相垂直，如图，以D为
原点，DA，DC，DP所在直线分别是 x， y， z轴建立空间直角坐标
系D xyz，如图所示.....1 分
答案第 3页，总 4页
设DA 1，则 A 1，0，0 1，B 1，2，0 ，C 0，1，0 ，P 0，0，1 ，E ，0
1
， ，设平面PBC
2 2
的法向量为m x，y，z
m BC 0 x y 0
BC 1 ， 1，0 ，CP 0， 1，1 则 ,即
m CP 0 y z 0
令 y 1
，则 x 1, z 1∴m 1，1，1
DE 1 1
又 ，0， ，∴2 2 m DE 0，∴DE m
，DE 平面 PBC .....2 分
∴DE 平面 PBC .....3 分
（2）设点G坐标为 1，t，0 ，则CG (1, t 1,0)，DB 1，2，0 ，
CG 1
1
由 BD得 t ，∴G(1, ,0)
2 2
设平面GPC的法向量为n x，y，z ，CG 1 (1, ,0)
2
n PC 0 y z 0 y z
由
得 1 即 ，令 x 1，则 y 2, z 2∴ n 1，2，2 .....5 分
n GC 0 x y 0 y 2x 2
n
m 3 3
m n 1 2 2 3，则 cos n，m
n m 3 3 3
故平面GPC与平面BPC 3夹角的余弦值为 ......7 分
3
1
（3）设 AH AP ( ,0, ), 0，1 ，∴GH GA AH ， ， 2
n GH 1
cos GH ,n 2 2 .....9 分
3 (8 2 1)
∵GH 3与平面 PGC所成角的正弦值为
3
2 2 3
∴ ，整理得： 20 2 8 1 0 ，
3 8 2 1 3
1 1
解得： ， （舍）.....11 分
10 2
1 1 2
∴存在满足条件的点H ， AH ( ,0, ),且AH ......12 分
10 10 10
答案第 4页，总 4页
