2021 年“山东学情”高二 10 月联合考试
数学试题（C卷）
考试时间：120 分钟
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第 I 卷（选择题）
一、单选题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的）
1.若直线 l的一个方向向量为 ( 2, 2 3) ，则它的倾斜角为 ( )
A. 30 B. 120 C. 60 D. 150
2.已知直线 l1 :mx y 1 0， l2 : 4m 3 x my 1 0，若 l1 // l2，则实数m 的值为 ( )
1
A. 3 B. 1 C. 1 或 3 D. 0 或
3
3.已知空间四点 A 1,3,4 , B 3,1,2 ,C 7, 5,3 ,D 1,3, z 共面，则 z的值为（ ）
A．1 B．3 C．11 D．5
DE 1
4．如图,四棱锥 P ABCD，底面 ABCD是平行四边形，E为 PD的三等分点 DP 3 ，若 DP a，
DA b, DC c ,则用基底 a ,b ,c 表示向量 BE为（ ）
2 a
A. b c 1 B. a b c
3 3
1
C. a b 1 c D. a b c
3 3
5.过点 P(1, 2)的直线与圆 C： (x 2)2 (y 1)2 5相切，则切线长为 ( )
A. 3 B. 2 5 C. 2 2 D. 13
6. x
2 y 2 2x 4 y 1 0与圆 x2 y2 4x 6 y 4 0的公切线有 ( )
A. 1 条 B. 2 条 C. 3 条 D. 4 条
7.直线 x y 2 0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆 (x 2)2 ( y 1)2 2 上，则 ABP
面积的取值范围是 ( )
A. [2, 6] B. [1,5] C. [2 2,6 2] D. [ 2 ,5 2 ]
高二数学（C卷） 第 1页 共 4页
8.如图，正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1，E是DD11的中点，则（ ）
A.直线CE / /平面A1BD
B.CE BD1
C.三棱锥C 11 -B1CE 的体积为 6
D．直线B1E与平面CDD1C1所成的角正切值为 3
二、多选题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符
合题目要求，选对但不全得 2 分，有选错的得 0 分）
m ,n 9.设 , t 是空间的一组基底，则下列结论正确的是（ ）
A.基底 m,n, t 中的向量可以为任意向量.
x, y, z a xm yn B.空间中任一向量 a，存在唯一有序实数组 ，使 zt
C.若m n , n t ，则m t
D. m 2n ,n 2t , t 2m 也可以构成空间的一组基底.
10.下列说法正确的是 ( )
A. 已知直线 l过点 P(2,3) ，且在 x，y轴上截距相等，则直线 l的方程为 x y 5 0
B. 直线 3x y 1 0的倾斜角为120
C. a R， b R，“直线 ax 2 y 1 0与直线 (a 1)x 2ay 1 0垂直”是“ a 3”的
必要不充分条件
D. 若直线 l沿 x 轴向左平移 3 个单位长度，再沿 y 轴向上平移 2 个单位长度后，回到原来的
2
位置，则该直线 l的斜率为
3
11.若圆C1 : x
2 y2 3x 3y 3 0 2 2与圆C2 : x y 2x 2y 0的交点为 A，B，则 ( )
A. 公共弦 AB 所在直线方程为 x y 3 0
B. 线段 AB 中垂线方程为 x y 1 0
C. 公共弦 AB 的长为 2 2
D. 在过 A，B 两点的所有圆中，面积最小的圆是圆C1
12. 如 图 所 示 , 平 行 六 面 体 ABCD A1B1C1D1 ， 其中AB AD 2, AA1 1 ，
DAB 60o , DAA o1 BAA1 45 ,下列说法中正确的是（ ）
A. AC1 11
B． AC1 DB
C．向量B1C与 AA1 的夹角是 45°
2
D．BD1与 AC所成角的余弦值为
3
高二数学（C卷） 第 2页 共 4页
第 II 卷（非选择题）
三、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
a 13. (1,1,1)是平面 的一个法向量，如果直线m 与平面 垂直，则直线m 的单位方向向量
b ____.
14.点 P( 3,1) 与圆 x2 y 2 4上任一点连线的中点的轨迹方程是__________
x2 y2 ax 2ay 2a215. 若原点在圆 a 1 0 的外部，则 实数 a 的取值范围 是
__________.
16.已知 ABC是正三角形，OA 平面ABC，且OA AC 2，则OB与平面OAC所成角
的余弦值为________（2 分）．若点 A关于直线OC的对称点为 A ，则直线 AA 与 BC所成
角的余弦值为________．
四、解答题(本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本题 10 分）
已知空间内不重合的四点，坐标分别为
A( 1,1,2), B(1，1， 2),C (1,0,2), D(m 1,m n,n 1)
(1)若 AB / /CD，求点D的坐标；
(2)若CD与平面 ABC垂直，求m和 n的值．
18.（本题 12 分）
已知直线 l： kx y 2 k 0， k R
(1)直线过定点 P，求点 P坐标；
(2)若直线 l交 x轴负半轴于点 A，交 y 轴正半轴于点 B，O 为坐标原点，设 OAB的面积为
4，求出直线 l方程．
19.（本题 12 分）
已知点 A(1, 4)， B(3, 2)，以 AB 为直径的圆记为圆C.
(1)求圆 C 的方程；
(2)若过点 P(0, 2)的直线 l与圆 C 交于 M，N 两点，且 |MN | 2 6 ，求直线 l的方程．
高二数学（C卷） 第 3页 共 4页
20.（本题 12 分）
如图，在直四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，底面四边形 ABCD为菱形，E，F分别为 AA1，CC1
C1F AE 1
的三等分点 ( )CC AA 3 ．(用向量法解决下列问题）1 1
(1)证明： B， F，D1， E四点共面；
(2)若 AB 4, BAD 600,求点 F到平面 BB1D1的距离．
21.（本题 12 分）
截止 2021 年 9 月 13 日 08 时，第 14 号台风位于距离浙江省象山县正东方向约 160 公里的位
置，中心附近最大风力 14 级，中心最低气压 950 百帕。预计，台风灿都将以每小时 20 公里的速
度向北偏西60 方向移动，台风影响范围为 100 公里。那么，象山县是否会受到台风的影响？如
果受到影响，几时会受到影响，持续多长时间？
22.（本题 12 分）
CD AD 1在四棱锥 P ABCD 中， PD 平面 ABCD ， AB//DC ， AB AD ， AB ，
2
PAD 45 ，E是 PA的中点，G在线段 AB上，且满足CG BD
(1)求证：DE//平面PBC；
(2)求平面GPC与平面 BPC夹角的余弦值.
(3)在线段 PA上是否存在点H，使得GH与平面 PGC所成角
3
的正弦值是 ，若存在，求出 AH的长；若不存在，请说明理由.
3
高二数学（C卷） 第 4页 共 4页请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
2021 年“山东学情”高二 10 月联合考试 19、（12分）
数学（C 版）答题卡
姓名:___________________
班级:___________________ 贴 条 形 码 区
准考证
号
1. 考生答题前,先将条形码贴在条形码区,并将本人班 级、姓名、考号填写在相应位
置。
2. 答题时,必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔书写;选择题填涂时,必须用 2B 铅笔
注 按图示 规范填涂。 正确填涂
意 3. 严格按照题号在答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在草稿纸、试卷填涂
上答题无效。 18、（12分）
事 4. 保持答题卡清洁完整,严禁折叠,严禁在答题卡上做任何标记,严禁使用涂改液、修样例 错误填涂
项 正纸和修正带。
5. 若考生未按上述要求填写答题,影响评分结果,后果自负。
选择题（1-8 题单选，9-12题多选，每题 5分，共 60 分）
1 6 11
2 7 12
3 8
4 9
5 10
填空题(每题 5分，共 20分)
13、______________________14、________________________
15、______________________16、__________（2分）___________
17、（10分）
第 1 页 共 6 页 第 2 页 共 6 页 第 3 页 共 6 页
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
20、（12分） 21、（12分） 22、（12分）
第 4 页 共 6 页 第 5 页 共 6 页 第 6 页 共 6 页2021 年“山东学情”高二 10 月联合考试
数学试题（C 卷）答案和解析
1.B 2.A 3.C 4.B 5.D 6.D 7.B
x y 2 0 y 2
解： 直线 分别与 x 轴，y 轴交于 A，B 两点， 令 x 0 ，得 ，令
y 0 x 2 A(2,0) B(0,2) | AB | 4 4 2 2，得 ， ， ， ，
x y 2 0
点 P 到直线 的距离为 ABP 的高 h，
2
x 2 (y 1)2 2
∵ ( 2,1)圆 的圆心为 ，半径为 2 ，
2 1 2 3 2
d
2
∴圆心到直线的距离为： 1 1
2 2
，
3 2 5 2 3 2 2
2 2
所以点 P 到直线的距离 h 的最大值为 2 2 ，最小值为 2 2 ，
1 1 5 2
S AB h 2 2 5
则 ABP 面积为 2 ，最大值为 2 2 ，
1 2
2 2 1
2 2 ABP [1,5].最小值为 ，所以 面积的取值范围为
8.C 9.BD 10.BCD 11.AD
C : x2 y2 3x 3y 3 0 C : x2 y2 2x 2y 0
解：由圆 1 和圆 2 ，
x y 3 0
两圆方程相减得，公共弦 AB 所在直线方程为 ，故 A 正确.
由选项 A 可得：直线 AB 的斜率为 1，故中垂线的斜率 k 1，
C2 : x
2 y2 2x 2y 0 (1,1)
又中垂线过圆 的圆心 ，
x y 0
所以线段 y 1 x 1AB 中垂线方程为 ，即 ，故 B 错误.
x y 3 0
由公共弦 AB 所在直线方程为 ，
1 1 3 2
d
(1,1) 2 2 2
故圆心 到直线 AB 的距离 1 1 ，
C : x2 y22 2x 2y 0又因为圆 的半径为 2 ，
1
AB 2 ( 2)2 d 2 2 2 6
所以 2 ，故 C 错误.
在过 A，B 两点的所有圆中，面积最小的圆是以 AB 为直径的圆，
第 1 页，共 6 页
x y 3 0 x y 0
故其圆心为 AB 的中点，亦即直线 AB： 与 AB 中垂线： 的交点，
x y 3 0 3 3 3
x y ( , )
x y 0由 ，解得 2 ，即 AB 的中点坐标为 2 2 ，
AB 6
AB 6
又 ，故面积最小的圆的半径为 2 2 ，
3 2 3 2 3(x ) (y )
C : x2 y2 3x 3y 3 0
故其方程为 2 2 2 ，即圆 1 ，D 正确.
故选 AD.
12.ABD
3 3 3 3 3 3 3 2 1 2
( , , )或(- ,- ,- ) (x ) (y ) 1
13. 3 3 3 3 3 3 14. 2 2
1 2
a | 2 a 1或 a
15. 2 3
2 2 2
解：一元二次方程 x y ax 2ay 2a a 1 0表示圆，则
2
a2 （2a）2
2 a
4(2a2 a 1) 0， 3 ，
2 2
若坐标原点在圆 x y ax 2ay 2a
2 a 1 0的外部，则2a
2 a 1 0 ，解
1 1 2
a 1或a a | 2 a 1或 a
得 2 ，则实数 a 的取值范围是 2 3 ，
10 2
、
16. 4 4
17.（1） 2,0,0 ；（2）m n 2．
解： AB (2,0, 4),CD (m,m n,n 1)
因为 AB / /CD ，故存在实数 ( 0) ，使得 AB CD，即
(2,0, 4) (m,m n,n 1) ........2分
2 m 2
故 0 (m n) ,解得 m 1 ........4分
4 (n 1)
n 1
点D 的坐标为 2,0,0 ........5分
（2）因为CD与平面 ABC垂直，所以CD AB,CD AC，
又CD (m,m n,n 1), AB (2,0, 4), AC (2, 1,0) ........7分
第 2 页，共 6 页
CD AB 0 2m 4(n 1) 0
所以 即 ........9分
CD AC 0
2m (m n) 0
解得m n 2．........10分
(1) kx y 2 k 0 k x 1 2 y 0
18.解： 由 ，可得 ，.......2分
kx y 1 2k 0 2 y 0 1, 2 直线 l： 必过直线 x 1 0 ， 的交点 ，
P( 1,2)
.......5分
(2)
直线 l 交 x 轴负半轴于点 A，交 y 轴正半轴于点 B，
k 0 ，
k 2
A( ,0)
y 0 k B(0,k 2)令 ，得 令 x 0 ，得 ，.......7分
k 2
0
k
k 2 0
则 .......8 分
1 1 k 2
S OA OB k 2 4
三角形 OAB 的面积为 2 2 k ，.......10分
解得 k 2，.......11 分
2x y 4 0.直线 l 方程为： .......12分
(1) A(1, 4) B(3, 2) (2,1)
19.解： 由 ， ，得 AB 的中点坐标为 ，......1分
1
r | AB | 10
(2,1)
即圆心坐标为 ，半径 2 ，.......2分
2 2
圆 C 的方程为 (x 2) (y 1) 10 .......4分
2
(2) | MN | 2 6 10 6 2
由 ，可得弦心距为
当直线的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x 0 ，圆心到直线 l 的距离为 2，所以满足题
意.......6分
第 3 页，共 6 页
y 2 kx kx y 2 0.
当直线 l 的斜率存在时，设直线方程为 ，即
2k 3
d 2 5
2 k
圆心 C 到直线 l 的距离 1 k ，解得 12 ，.......9分
5x 12y 24 0.
直线 l 的方程为 ......10分
x 0 5x 12y 24 0.直线 l 的方程为 或 .......12 分
20.解：（1）证明：连结 AC 交 BD于点O，因为 ABCD为菱形，故 AC BD，
又因为侧棱 AA1 底面 ABCD，........1分
所以以O为原点建立空间直角坐标系，如图所示........2分
设OB a，OA b ，DD1 c ，则B(0,a,0)，D1(0, a,c) ，
1 2
E(b,0, c), F( b,0, c)
3 3
1 1
所以BE (b, a, c), FD1 (b, a, c)....4分
3 3
所以BE FD ，故BE / /FD1，所以 B ，F ，D1 ， E 四点共面；........6分 1
0
2
（2）因为 AB 4, BAD 60 所以B 0,2,0 , D 0, 2,0 , D1 0, 2,c , F 2 3,0, c
3
设平面BB1D1 的法向量为m (x, y, z)，BD 0, 4,0 , DD1 0,0,c
m BD 0 4 = 0
则有 ，即 { ......8分，
m DD1 0
= 0
2
令 x 1，故m (1,0,0)，又FB 2 3,2, c ......10分
3
FB m
所以点 到平面BDD 的距离为 2 3F 1 2 3 ......12分
m 1
2 2
21.【解答】(1)根据题意画出图形，如图所示，则圆的方程为 x y 100
2
.....3分
3
y x 160
设过点 A(160,0)的直线 l 的方程为 3 ，即
y
北
x 3y 160 0 C ，.......5分
B
160
则圆心O 0,0 到直线 l 的距离d 80,80 100 ， O A x
3 1
所以象山县会受到影响。.......7分
BC 2 1002 802 120
设直线 l 与圆交于 B、C两点，则 ，
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120
6
所以受影响的时间为 20 小时。.......9分
AB 1602 802 60 80 3 60
，.......10 分
所以在4 3 3小时后，即4 3 5时开始受到影响，受影响时间为 6个小时....12分
1
22.(1)几何法：取PB中点M, CD AB且CD AB ，E ，M 分别
2
为 PA，PB的中点.
1
EM∥AB 且EM AB ,∴EM∥CD且EM CD，四边形CDEM 为
2
平行四边形，∴DE∥CM ，.....2分
CM 平面PBC ，DE 平面PBC ，
∴DE//平面BPC ......3分
（1）代数法：由题意可得DA，DC ，DP两两互相垂直，如图，以D 为
原点，DA，DC ，DP所在直线分别是 x ， y ， z 轴建立空间直角坐标
系D xyz，如图所示.....1分
1 1
设DA 1，则 A 1，0，0 ，B 1，2，0 ，C 0，1，0 ，P 0，0，1 ，E ，0， ，
2 2
设平面PBC 的法向量为m x，y，z
m BC 0 x y 0
BC 1， 1，0 ，CP 0， 1，1 则 ,即
m CP 0
y z 0
令 y 1，则 x 1, z 1∴m 1，1，1
1 1
又DE ，0， ，∴m DE 0，∴DE m，DE 平面PBC .....2分
2 2
∴DE 平面PBC .....3分
（2）设点G 坐标为 1，t，0 ，则CG (1, t 1,0)，DB 1，2，0 ，
1 1
由CG BD得 t ，∴G(1, ,0)
2 2
1
设平面GPC的法向量为n x，y，z ，CG (1, ,0)
2
y z 0 n PC 0 y z
由 得 1 即 ，令 x 1，则 y 2, z 2∴n 1，2，2 .....5分
n GC 0 x y 0 y 2x 2
n m 3 3
m n 1 2 2 3，则cos n，m
n m 3 3 3
3
故平面GPC与平面BPC夹角的余弦值为 ......7 分
3
1
（3）设 AH AP ( ,0, ), 0，1 ，∴GH GA AH ， ，
2
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n GH 1
2 2 .....9分
cos GH ,n
3 (8 2 1)
3
∵GH 与平面 PGC所成角的正弦值为
3
2 2 3
∴ ，整理得：20 2 8 1 0，
3 8 2 1 3
1 1
解得： ， （舍）.....11分
10 2
1 1 2
∴存在满足条件的点 H ， AH ( ,0, ),且AH ......12分
10 10 10
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