请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
2021 年“山东学情”高二 10 月联合考试 19、（12分）
数学（D 版）答题卡
姓名:___________________
班级:___________________ 贴 条 形 码 区
准考证
号
1. 考生答题前,先将条形码贴在条形码区,并将本人班 级、姓名、考号填写在相应位
置。
2. 答题时,必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔书写;选择题填涂时,必须用 2B 铅笔
注 按图示 规范填涂。 正确填涂
意 3. 严格按照题号在答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在草稿纸、试卷填涂
上答题无效。 18、（12分）
事 4. 保持答题卡清洁完整,严禁折叠,严禁在答题卡上做任何标记,严禁使用涂改液、修样例 错误填涂
项 正纸和修正带。
5. 若考生未按上述要求填写答题,影响评分结果,后果自负。
选择题（1-8 题单选，9-12题多选，每题 5分，共 60 分）
1 6 11
2 7 12
3 8
4 9
5 10
填空题(每题 5分，共 20分)
13、______________________14、________________________
15、______________________16、________________________
17、（10分）
第 1 页 共 6 页 第 2 页 共 6 页 第 3 页 共 6 页
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
20、（12分） 21、（12分） 22、（12分）
第 4 页 共 6 页 第 5 页 共 6 页 第 6 页 共 6 页2021 年“山东学情”高二 10 月联合考试
数学试题（D 卷）答案和解析
1.B 2.A 3.B 4.D 5.D 6.D 7.B
x y 2 0 y 2
解： 直线 分别与 x 轴，y 轴交于 A，B 两点， 令 x 0 ，得 ，令
y 0 x 2 A(2,0) B(0,2) | AB | 4 4 2 2，得 ， ， ， ，
x y 2 0
点 P 到直线 的距离为 ABP 的高 h，
2
x 2 (y 1)2 2
∵ ( 2,1)圆 的圆心为 ，半径为 2 ，
2 1 2 3 2
d
2
∴圆心到直线的距离为： 1 1
2 2
，
3 2 5 2 3 2 2
2 2
所以点 P 到直线的距离 h 的最大值为 2 2 ，最小值为 2 2 ，
1 1 5 2
S AB h 2 2 5
则 ABP 面积为 2 ，最大值为 2 2 ，
1 2
2 2 1
2 2 ABP [1,5].最小值为 ，所以 面积的取值范围为
8.B 9.ABD 10.BCD 11.AD
C1 : x
2 y2 3x 3y 3 0 C : x2 y22 2x 2y 0解：由圆 和圆 ，
x y 3 0
两圆方程相减得，公共弦 AB 所在直线方程为 ，故 A 正确.
由选项 A 可得：直线 AB 的斜率为 1，故中垂线的斜率 k 1，
C2 : x
2 y2 2x 2y 0 (1,1)
又中垂线过圆 的圆心 ，
所以线段 中垂线方程为 y 1 x 1 x y 0AB ，即 ，故 B 错误.
x y 3 0
由公共弦 AB 所在直线方程为 ，
1 1 3 2
d
(1,1) 2 2 2
故圆心 到直线 AB 的距离 1 1 ，
C : x2 y22 2x 2y 0又因为圆 的半径为 2 ，
1
AB 2 ( 2)2 d 2 2 2 6
所以 2 ，故 C 错误.
在过 A，B 两点的所有圆中，面积最小的圆是以 AB 为直径的圆，
第 1 页，共 6 页
x y 3 0 x y 0
故其圆心为 AB 的中点，亦即直线 AB： 与 AB 中垂线： 的交点，
x y 3 0 3 3 3
x y ( , )
x y 0由 ，解得 2 ，即 AB 的中点坐标为 2 2 ，
AB 6
AB 6
又 ，故面积最小的圆的半径为 2 2 ，
3 2 3 2 3(x ) (y )
C : x2 y2 3x 3y 3 0
故其方程为 2 2 2 ，即圆 1 ，D 正确.
故选 AD.
12.BD 解：由题意易知椭圆的短半轴b 4 ， 截面与底面所成的角为 60 ，
2 4
2a 16
椭圆的长轴长为 cos60 ， a 8 ， c a
2 b2 64 16 4 3 ，
c 4 3 3
离心率为 a 8 2 ，b
2 16 ，当建立坐标系以椭圆中心为原点，椭圆的长轴为 x
x2 y2
1.
轴，短轴为 y 轴时，则椭圆的方程为 64 16 故选 BD.
3 1
(x )2 (y )2 1
13.1 14. 2 2
1 2
a | 2 a 1或 a
15. 2 3
x2 2解：一元二次方程 y ax 2ay 2a
2 a 1 0表示圆，则
2
a2
2 a
（2a）2 4(2a2 a 1) 0， 3 ，
2 2 2 2
若坐标原点在圆 x y ax 2ay 2a a 1 0的外部，则2a a 1 0 ，解
1 1 2
a 1或a a | 2 a 1或 a
得 2 ，则实数 a 的取值范围是 2 3 ，
3x 2y 8 0
16.
解：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为 k，
A(x1, y1) B(x2 , y )弦所在的直线与椭圆相交于 A，B 两点，设 ， 2 ，
x2 y2 2 21 1
x y
1 2 2 1
则 16 12 ， ①， 16 12 ， ②
第 2 页，共 6 页
(x1 x2 )(x1 x2 ) (y y )(y y ) 1 2 1 2 0
① ②得 16 12 ，
y y 3
k 1 2
x1 x2 4 y1 y2 2， ， x1 x2 2 ，
3
y 1 (x 2)
此弦所在的直线方程为 2
3x 2y 8 0
，即
(1) C(m,n)
17. 【答案】解： 设 ， AB 边上的中线 CM 所在直线方程为
x y 3 0 x 2y 2 0.
，AC 边上的高 BH 所在直线方程为
m n 3 0
m 3 n 2 1
( ) 1
m 4 2 n 0...........2分 解得 .............4分
C(3,0).
...........5分
10
a
a 2b 2 0 3
a 4 2 b 2 10 2
3 0 b B( , )
(2) B(a,b)
设 ，则 2 2 ，解得 3 ， 3 3 ，.......7 分
直线 的方程为 2x y 6 0AC .......9分
10 2
2 6
3 3 4 5
d
2 2 15
点 B到直线 AC的距离 2 1 .......10分
(1) kx y 2 k 0 k x 1 2 y 0
18.解： 由 ，可得 ，.......2分
kx y 1 2k 0直线 l： 必过直线 x 1 0
2 y 0 1, 2
， 的交点 ，
P( 1,2)
.......5分
(2)
直线 l 交 x 轴负半轴于点 A，交 y 轴正半轴于点 B，
k 0 ，
第 3 页，共 6 页
k 2
A( ,0)
y 0 k B(0,k 2)令 ，得 令 x 0 ，得 ，.......7分
k 2
0
k
k 2 0则 ......8分
1 1 k 2
S OA OB k 2 4
三角形 OAB 的面积为 2 2 k ，.......10分
解得 k 2，.......11 分
2x y 4 0.直线 l 方程为： .......12分
(1) A(1, 4) B(3, 2) (2,1)
19.解： 由 ， ，得 AB 的中点坐标为 ，......1分
1
r | AB | 10
(2,1)
即圆心坐标为 ，半径 2 ，.......2分
2
圆 的方程为 (x 2) (y 1)
2 10
C .......4分
2
(2) | MN | 2 6 10 6 2
由 ，可得弦心距为
当直线的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x 0 ，圆心到直线 l 的距离为 2，所以满足题
意.......6分
y 2 kx kx y 2 0.
当直线 l 的斜率存在时，设直线方程为 ，即
2k 3
d 2 5
2 k
圆心 C 到直线 l 的距离 1 k ，解得 12 ，.......9分
5x 12y 24 0.
直线 l 的方程为 ......10分
5x 12y 24 0.直线 l 的方程为 x 0 或 .......12 分
c 3
e
(Ⅰ)
20.解： 由题意： a 3 ，即 a 3c ，.......1 分
第 4 页，共 6 页
短轴一个顶点到长轴一个顶点的距离为 5 ，
即b
2 a2 ( 5)2 5，.......3分
a2 b2 2而 c ，
2 2
所以 a 3，b 2 ，.......4分
x2 y2
1
所以椭圆的方程： 3 2 ；.......5分
(Ⅱ) (Ⅰ) ( 1,0) y 2(x 1)
由 ，左焦点 ，直线 l 的方程： ，
A(x, y)
设 ，B(x , y ) ，
2
联立直线 l 与椭圆的方程，消去 y 整理得：7x 12x 3 0 .......7分，
12 3
x x xx
所以 7 ， 7 .......9分，
12 3 10 3
1 4 ( )2 4 .
| AB | 1 k 2 (x x )2 4xx 7 7 7 .......12分
2 2 2
21.【解答】(1)根据题意画出图形，如图所示，则圆的方程为 x y 100 .....3分
3
y x 160
设过点 A(160,0)的直线 l 的方程为 3 ，即
y
北
x 3y 160 0 C ，.......5分
B
160
则圆心O 0,0 到直线 l 的距离d 80,80 100 ， O A x
3 1
所以象山县会受到影响。.......7分
BC 2 1002 802 120
设直线 l 与圆交于 B、C两点，则 ，
120
6
所以受影响的时间为 20 小时。.......9分
AB 1602 802 60 80 3 60
，.......10 分
所以在4 3 3小时后，即4 3 5时开始受到影响，受影响时间为 6个小时....12分
第 5 页，共 6 页
(1)
解： 圆 ： x
2 y2 2 2y 10 0
22. M 的圆心为 M (0, 2) ，半径为 2 3 ，
点 N(0, 2) 在圆 M 内， | PM | | PN | 2 3 | MN | ，
所以曲线 E 是 M，N 为焦点，长轴长为 2 3 的椭圆，.......2分
2
由 a 3， c 2 ，得b 3 2 1，
2 y
2
x 1.
所以曲线 E 的方程为 3 .......3分
(2) A(1,0) B(x , y ) C(x , y
① ，设 1 1 ， 2 2
)
，
x ty m
2 y
2
x 1 2 2 2
联立方程组 3 ，得 (1 3t )y 6mty 3m 3 0 ，
0 m2 1 3t2由 ，解得 ，.......5分
6mt 3m2 3
y1 y2 y1y2
1 3t2 ， 1 3t
2
，.......6分
k
由 1
k2 9 y y 9(x 1)(x 1)知 1 2 1 2
9(ty1 m 1)(ty2 m 1) 9t
2 y1y2 9(m 1)t(y1 y2 ) 9(m 1)
2
，且m 1
2 2
代入化简得 (9t 1)(m 1) 18mt 3(m 1)(1 3t
2) 0 ，，.......8分
解得m 2，.......9 分
1 3 t2 1 3 t2 1
S ABC | y2 y1 |
2 1 3t2
② 4 3( t
2 1)2 2， t 1，，.......10分
3
.
综上， ABC 面积的最大值为 4 ，.......12分
第 6 页，共 6 页2021 年“山东学情”高二 10 月联合考试
数学试题（D卷）
考试时间：120 分钟
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第 I 卷（选择题）
一、单选题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的）
1.若直线 l的一个方向向量为 ( 2, 2 3) ，则它的倾斜角为 ( )
A. 30 B. 120 C. 60 D. 150
2.已知直线 l1 :mx y 1 0， l2 : 4m 3 x my 1 0，若 l1 // l2，则实数m 的值为 ( )
1
A. 3 B. 1 C. 1 或 3 D. 0 或
3
3.直线 l经过原点，且经过另两条直线 2x 3y 1 0， x 4 y 6 0的交点，则直线 l的方程
为 ( )
A. 2x y 0 B. x 2 y 0 C. 2x y 0 D. x 2 y 0
4.已知定点 P(-2, 0)和直线 l : (1+3 )x+(3 2 )y (8 2 )=0( R)，则点 P到直线 l的离
d 的最大值为 ( )
A. 2 2 B. 10 C. 2 3 D. 2 5
P(1, 2) (x 2)2 (y 1)25.过点 的直线与圆 C： 5相切，则切线长为 ( )
A. 3 B. 2 5 C. 2 2 D. 13
6.圆 x2 y 2 2x 4 y 1 0与圆 x2 y2 4x 6 y 4 0的公切线有 ( )
A. 1 条 B. 2 条 C. 3 条 D. 4 条
7.直线 x y 2 0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆 (x 2)2 ( y 1)2 2 上，则 ABP
面积的取值范围是 ( )
A. [2, 6] B. [1,5] C. [2 2,6 2] D. [ 2 ,5 2 ]
1 2 2
8.已知焦点在 x 轴上的椭圆的离心率为 ，且它的长轴长等于圆 C： x y 2x 2y 14 0
2
的直径，则椭圆的标准方程是 ( )
x2 y2 2 2 2 2 2
A. + 1 x + y x x yB. 1 2C. +y 1 D. + 1
4 3 16 12 4 16 4
高二数学（D卷） 第 1页 共 4页
二、多选题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符
合题目要求，选对但不全得 2 分，有选错的得 0 分）
9.平面上三条直线 x 2 y 1 0， 2x y 1 0， x ky 0 ，如果这三条直线将平面划分成
六部分，则实数 k 的可能取值为 ( )
1 1
A. B. 2 C. 4 D.
2 3
10.下列说法正确的是 ( )
A. 已知直线 l过点 P(2,3) ，且在 x，y轴上截距相等，则直线 l的方程为 x y 5 0
B. 直线 3x y 1 0的倾斜角为120
C. a R，b R，“直线 ax 2 y 1 0与直线 (a 1)x 2ay 1 0垂直”是“ a 3”的必
要不充分条件
D. 若直线 l沿 x 轴向左平移 3 个单位长度，再沿 y 轴向上平移 2 个单位长度后，回到原来的
2
位置，则该直线 l的斜率为
3
2 2 2 2
11.若圆C1 : x y 3x 3y 3 0 与圆C2 : x y 2x 2y 0的交点为 A，B，则 ( )
A. 公共弦 AB 所在直线方程为 x y 3 0
B. 线段 AB 中垂线方程为 x y 1 0
C. 公共弦 AB 的长为 2 2
D. 在过 A，B 两点的所有圆中，面积最小的圆是圆C1
12.如图所示，一个底面半径为 4 的圆柱被与其底面所成的角
=60 的平面所截，截面是一个椭圆，则下列正确的是 ( )
3
A. 椭圆的长轴长为8 B. 椭圆的离心率为
2
1 x2 y2
C. 椭圆的离心率为 D. 椭圆的一个方程可能为 + =1
2 64 16
第 II 卷（非选择题）
三、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13.过两直线 x 3y 3 0和 3x y 1 0 的交点，并与原点的距离等于 1 的直线共有
__________条.
14.点 P( 3,1) 与圆 x2 y 2 4上任一点连线的中点的轨迹方程是__________
2 2
15. 若原点在圆 x y ax 2ay 2a2 a 1 0 的外部，则 实数 a 的取值范围 是
__________.
高二数学（D卷） 第 2页 共 4页
x2 y2
16.已知 P(2,1)为椭圆 1内一点，经过 P作一条弦，使此弦被 P点平分，则此弦所在
16 12
的直线方程为__________.
四、解答题(本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本题 10 分）
已知 ABC的顶点 A(4, 2), AB 边上的中线 CM 所在直线方程为 x y 3 0，AC 边上的高
BH 所在直线方程为 x 2 y 2 0.求
(1)顶点 C 的坐标；
(2)求点 B 到直线 AC 的距离．
18.（本题 12 分）
已知直线 l： kx y 2 k 0， k R
(1)直线过定点 P，求点 P坐标；
(2)若直线 l交 x轴负半轴于点 A，交 y 轴正半轴于点 B，O 为坐标原点，设 OAB的面积为
4，求出直线 l方程．
19.（本题 12 分）
已知点 A(1, 4)， B(3, 2)，以 AB 为直径的圆记为圆C.
(1)求圆 C 的方程；
(2)若过点 P(0, 2)的直线 l与圆 C 交于 M，N 两点，且 |MN | 2 6 ，求直线 l的方程．
高二数学（D卷） 第 3页 共 4页
20.（本题 12 分）
x2 y 2
已知椭圆 C： 2 2 1 (a b 0)
3
的离心率为 ，，椭圆上长轴顶点和短轴顶点的距离
a b 3
为 5
(Ⅰ)求椭圆 C的方程；
(Ⅱ)过椭圆的左焦点且斜率为 2的直线 l交椭圆于 A，B 两点，求 AB .
21.（本题 12 分）
截止 2021 年 9 月 13 日 08 时，第 14 号台风位于距离浙江省象山县正东方向约 160 公里的位
置，中心附近最大风力 14 级，中心最低气压 950 百帕。预计，台风灿都将以每小时 20 公里的速
度向北偏西60 方向移动，台风影响范围为 100 公里。那么，象山县是否会受到台风的影响？如
果受到影响，几时会受到影响，持续多长时间？
22.（本题 12 分）
已知圆 M： x2 y2 2 2 y 10 0和点 N (0, 2 ) ，Q 是圆 M上任意一点，线段 NQ 的垂直
平分线和 QM 相交于点 P，P的轨迹为曲线 E.
(1)求曲线 E的方程；
(2)点 A 是曲线 E 与 x 轴正半轴的交点，直线 x ty m交 E 于 B、C 两点，直线 AB，AC 的
斜率分别是 k1， k2，若 k1 k2 9，
求：①m的值；
② ABC面积的最大值．
高二数学（D卷） 第 4页 共 4页
