直线与圆-基础练（Word含答案解析）
文档属性
| 名称 | 直线与圆-基础练（Word含答案解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-10-10 11:16:04 | ||
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文档简介
2.1.1 直线的倾斜角与斜率
基础练
一、单选题
1．直线 3x y 1 0的倾斜角是（ ）
3 2 5
A． B． C． D．
4 3 4 6
2．已知直线 l经过点 A 1,3 ，B 2, 5 ，则直线 l的斜率为（ ）
8 8A． B． C．2 D．3 23
3．如果过 P（-2，m）,Q（m，4）两点的直线的斜率为 1，那么 m 的值是（ ）
A．1 B．4 C．1 或 3 D．1或 4
4．已知直线 l经过两点O(0,0), A(1, 3)，直线m的倾斜角是直线 l的倾斜角的两倍，则直线m的斜率是（ ）
A 3 3． 3 B． C． D． 3
3 3
5．过点 2,1 且倾斜角比直线 y x 1 的倾斜角小 的直线方程是（ ）
4
A． x 2 B． y 1 C． x 1 D． y 2
6．下列各直线中，与直线2x y 3 0相交的是（ ）
A．2ax ay 6 0 a 0 B． y 2x
C．2x y 3 0 D．2x y 5 0
二、填空题
7．若直线 x 1的倾斜角为 ，则 的弧度数是________.
8．已知点 A 1,3 ，点B 3,9 ，则直线 AB 的斜率为__________.
9．已知线段MN 两端点的坐标分别为 M(－1，2)和 N(2，3)，若直线 kx－y＋k－2＝0 与线段MN 有交点，
则实数 k的取值范围是________．
三、解答题
10．（1）求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角、直角还是钝角．
① 3,5 ， 0,2 ；
② 4,4 ， 4,5 ；
③ m, 2 3m 3 ， 2m 1,3 3m m 1 ．
（2）已知点 A 3, 5 ， B 1,3 ，C 5,11 ．求证：A，B，C 三点共线．
参考答案
1．【答案】B
【解析】设直线的倾斜角为 ，
因为直线方程为 3x y 1 0，所以直线的斜率为 3 ，
所以 tan 3 ，
因为 [0, )，所以 2 ，
3
故选 B
2．【答案】A
5 3 8
【解析】因为直线 l经过点 A 1,3 ， B 2, 5 ，所以直线 l 的斜率为 .
2 1 3
故选 A．
3．【答案】A
【解析】由题意，过过 P（-2，m）,Q（m，4）两点的直线的斜率为 1，
4 m
根据直线的斜率公式，可得 1，解得
m ( 2) m 1
.
故选 A.
4．【答案】A
k 3 0
2
【解析】依题意 OA 3，所以直线 l的倾斜角为 ，所以直线m 的倾斜角为 ，所以直1 0 3 3
线m 的斜率为 tan 2 3 .
3
故选 A
5．【答案】A
3
【解析】直线 y x 1的斜率为 1，倾斜角为 ，故比它的倾斜角小 的直线的倾斜角为 ，
4 4 2
再根据此直线过点 2,1 ，故要求的直线的方程为 x 2 .
故选 A.
6．【答案】C
【解析】 直线2x y 3 0的斜率为：2
与直线2x y 3 0相交的直线的方程的斜率不等于 2
A， B ，D的斜率均为 2，C 的斜率为 2
故选 C．
7．【答案】
2
【解析】因为直线 x 1垂直 x轴，
所以其倾斜角弧度数为 .
2
故填 .
2
3
8．【答案】
2
【解析】因为 A 1,3 , B 3,9
3 9 3
则 kAB 1 3 2
3
故填
2
5
9．【答案】 ，+ 3
【解析】直线 kx－y＋k－2＝0过定点 P(－1，－2)．
3 2 5
此时 MP 平行于 y轴， kNP ，2 1 3
5
所以 k ≥ .
3
5
故填 ，+ . 3
10．【答案】（1）①钝角，②直角，③锐角；（2）证明见解析
2 5
【解析】（1）① k 1 00 3 ，倾斜角为钝角；
②k不存在，倾斜角为直角；
3 3m 2 3m 3
k 3m 3③ 3 0，倾斜角为锐角．
2m 1 m m 1
3 5 11 3
（2）证明： kAB 2 ， k 2 ，且 AB，BC 都经过点 B，1 3 BC 5 1
A，B，C 三点共线．
2.1.2 两条直线平行与垂直的判定
基础练
一、单选题
1．直线ax y 1 0与直线2x 3y 2 0平行，则实数 a的值为（ ）
2 3
A． B． 1 C． D．6
3 2
2．“a=1”是“直线 x+y=0 和直线 x-ay=0 互相垂直”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．若直线 a，b 的斜率分别为方程 x2 4x 1 0的两个根，则 a与 b的位置关系为（ ）
A．互相平行 B．互相重合 C．互相垂直 D．无法确定
4．若直线ax 3y 1 0与 x y 4 0互相垂直，则 a 的值为（ ）
1 2
A．1 B． C． D． 3
2 3
5．已知直线 l1 : x 2ay 1 0，与 l2 : 2a 1 x ay 1 0 平行，则a的值是（ ）
1 1 1
A．0 或 1 B．1 或 C．0 或 D．
4 4 4
6．已知直线mx 4y 2 0与2x 5y n 0互相垂直，垂足为P 1, p ，则m n p的值是（ ）
A．24 B．20 C．0 D． 4
二、填空题
7．若直线 l1 : ax 3y 5 0与 l2 : x 2y 1 0互相垂直，则实数a的值为________．
8．已知直线 l :mx y 1 0，若直线 l 与直线 x my 1 0平行，则 m 的值为__________．
9．已知点 A(m，3)，B(2m，m＋4)，C(m＋1,2)，D(1,0)，且直线 AB 与直线 CD平行，则 m 的值为_______；
三、解答题
10．已知直线 l1 : x my 6 0， l2 : m 2 x 3y 2m 0 .
（1）若 l1 l2 ，求m 的值；
（2）若 l1 / /l2 ，求m 的值.
参考答案
1．【答案】A
【解析】因为直线ax y 1 0与直线2x 3y 2 0平行，
所以 a 2 2 a ，
3 3
故选 A.
2．【答案】C
【解析】直线 x y 0和直线 x ay 0互相垂直的充要条件是1 ( a) 1 1 0，即 a 1，
故选 C
3．【答案】C
【解析】由题意 kakb 1，∴两直线垂直．
故选 C．
4．【答案】D
【解析】∵直线ax 3y 1 0与直线 x y 4 0互相垂直，
∴斜率之积等于 1，
a
∴ 1 1，得a 3 .
3
故选 D.
5．【答案】C
【解析】由题意得：1 ( a) (2a 1) 2a 0, a 0 1或a ，
4
故选 C.
6．【答案】B
【解析】∵两直线互相垂直，∴k1·k2＝－1，
m 2
∴－ · ＝－1，∴m＝10.又∵垂足为(1，p)，
4 5
∴代入直线 10x＋4y－2＝0 得 p＝－2，
将(1，－2)代入直线 2x－5y＋n＝0得 n＝－12，
∴m－n＋p＝20.
故选 B．
7．【答案】 6
【解析】两直线 l1 : ax 3y 5 0与 l2 : x 2y 1 0互相垂直.
所以a 1 3 2 0，解得a 6
故填 6
8．【答案】 1
【解析】因为直线 l与直线 x my 1 0平行，
m ( m) 1 1 m 1
所以有 m 1 .
m ( 1) 1 1
m 1
故填 1
9．【答案】0或 1
【解析】当m 0时，直线 AB 方程为 x 0，直线CD方程为 x 1，两直线平行，
k m 4 3 m 1 2 0 2 m 1 2当m 0时， AB ，k2m m m CD
，由 得m 1，此时直线 AB 方
m 1 1 m m m
程为 y 3 2(x 1)，即 y 2x 1，直线CD方程为 y 2(x 1) ，即 y 2x 2 ，两直线平行．
故填 0 或 1．
10．【答案】（1）m 1 ；（2）m 1
2
【解析】（1）∵直线 l1：x+my+6＝0，l2：（m﹣2）x+3y+2m＝0，
由 l1⊥l2 ，可得 1×（m﹣2）+m×3＝0 1，解得m ．
2
（2）由题意可知 m 不等于 0,
由 l1∥l m 2 3 2m2 可得 ，解得 m＝﹣1．
1 m 8
2.2.1 点斜式方程
基础练
一、单选题
2
1．过点 3,2 ，斜率是 的直线方程是（ ）
3
2
A． y x 2 4 B． y x 2 C．2x 3y 0 D．3x 2y 0
3 3
2．方程 y y0 k x x0 （ ）
A．可以表示任何直线 B．不能表示过原点的直线
C．不能表示与 y 轴垂直的直线 D．不能表示与 x 轴垂直的直线
3．过点 2,0 且与直线 y 2x 5垂直的直线 l 的方程是（ ）
A． y 2x 4 B． y 2x 4 1C． y x 1 1D． y x 1
2 2
4．已知直线 l过点 2,0 ，且与直线 y 2x 1平行，则直线 l 的方程为（ ）
A． y 2x 4 B． y 2x 4 C． y 2x 4 D． y 2x 4
5．已知 A 5,2 , B 1,4 ，则 AB 的垂直平分线方程为（ ）
A． x 3y 7 0 B．3x y 3 0 C．3x y 7 0 D．3x y 7 0
6．过点 A(1,2)且与原点距离最大的直线方程是（ ）
A． x 2y 5 0 B．2x y 4 0 C． x 3y 7 0 D．3x y 5 0
二、填空题
7．直线 l过点M 1, 2 ，倾斜角为60 .则直线 l的斜截式方程为______________.
8．已知 ABC的三个顶点 A(2,3),B(4, 1),C( 2, 9)，若点D, E 分别是边 AB, AC 的中点，则线段DE
所在直线的点斜式方程是________________.
9．已知点 P1（2，3）、P2（-4，5）和 A（-1，2），则过点 A 且与点 P1、P2距离相等的直线方程为______．
三、解答题
10．求适合下列条件的直线方程：
1 A 1, 3 y 3（ ）经过点 ，倾斜角等于直线 x 的倾斜角的2倍；
3
（2）经过点B 3,4 ，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形.
参考答案
1．【答案】C
【解析】∵直线过点 3,2 2且斜率为 ，
3
由直线方程的点斜式得： y 2 2 (x 3) ，
3
整理得：2x 3y 0 .
故选 C.
2．【答案】D
【解析】因为直线的点斜式方程不能表示斜率不存在的直线，
所以 y y0 k x x0 不能表示与 x 轴垂直的直线，
故选 D。
3．【答案】D
【解析】因为所求直线与直线 y 2x 5垂直，
1
所以其斜率为 k ，
2
又所求直线过点 2,0 ，
1 1
因此，所求直线方程为： y x 2 ，即 y x 1 .
2 2
故选 D.
4．【答案】C
【解析】 直线 l与直线 y 2x 1平行，
直线 l的斜率与 y 2x 1的斜率相等，即直线 l的斜率：k 2；
又 直线 l过点 2,0 ，
则由点斜式可知直线方程为 y 0 2 x 2
整理可得： y 2x 4
故选 C.
5．【答案】B
【解析】设线段 AB 的中点坐标为 x, y ，
5 1
则 x 2, y
2 4
3，中点坐标为 2,3 ，
2 2
k 4 2 1直线 AB 的斜率 ，
1 5 3
AB垂直平分线的斜率为 3，
则 AB 的垂直平分线方程为 y 3 3 x 2 ,
化简得3x y 3 0，
故选 B.
6．【答案】A
【解析】由题知：过点 A(1,2)且与原点距离最大的直线为过点 A(1,2)且与OA垂直的直线.
k 2 y 2 1因为 OA ，故所求直线为 x 1 ，即 x 2y 5 0 .2
故选 A
7．【答案】 y 3x 3 2
【解析】 直线 l的倾斜角为60 ， 直线 l的斜率k tan 60 3 ，
又因为直线 l过点M 1, 2 ，所以直线 l的方程为 y 2 3 x 1 ，即 y 3x 3 2，
所以直线 l的斜截式方程为 y 3x 3 2 .
故填 y 3x 3 2 .
4
8．【答案】 y 3 (x 0) y 1 4 或者 (x 3)
3 3
【解析】因为 A(2,3),B(4, 1),C( 2, 9)，点D, E 分别是边 AB, AC 的中点，
所以D(3,1),E(0, 3)，
1 ( 3) 4
直线DE 的斜率为 ，
3 0 3
4 4
所以线段DE 所在直线的点斜式方程是 y 3 (x 0) 或者 y 1 (x 3) .
3 3
故填 y 3
4
(x 0) 4或者 y 1 (x 3)
3 3
9．【答案】x+3y﹣5＝0或 x＝﹣1．
【解析】①当直线与点 P1，P2的连线平行时，
3 5 1
由直线 P1P2的斜率 k ，
2 4 3
1
所以所求直线方程为 y﹣2 （x+1），
3
即 x+3y﹣5＝0；
②当直线过线段 P1P2的中点时，
因为线段 P1P2的中点为（﹣1，4），
所以直线方程为 x＝﹣1．
∴所求直线方程为 x+3y﹣5＝0或 x＝﹣1，
故答填 x+3y﹣5＝0 或 x＝﹣1．
10．【答案】（1） 3x y 3 3 0（2） x y 1 0或 x y 7 0.
2 tan
【解析】（1）已知 tan = 3 ， k tan 2 2 33 1 tan
直线方程为 y 3 3(x 1)化简得 3x y 3 3 0
（2）由题意可知，所求直线的斜率为 .
又过点 3,4 ，由点斜式得 y 4 x 3 ，
所求直线的方程为 x y 1 0或 x y 7 0.
2.2.2 两点式方程
基础练
一、单选题
1．过 1, 2 ， 5,3 的直线方程是（ ）
y 2 x 1 y 2 x 1 y 1 x 3 x 2 y 3
A． B． C． D．
5 1 3 1 3 2 5 1 5 1 5 3 5 2 2 3
2．已知三角形三个顶点 A 5,0 , B 3, 3 ,C 0,2 ，则 BC 边上中线所在直线方程是（ ）
A． x 13y 5 0 B． x 13y 5 0 C． x 13y 5 0 D． x 13y 0
3．经过点 A(2,5) , B( 3,6) 的直线在 x 轴上的截距为（ ）
A．2 B． 3 C． 27 D．27
4．下列命题中，真命题的序号是（ ）
A．经过定点P0 x0 , y0 直线都可以用方程 y y0 k x x0
x y
B．不经过原点的直线都可以用方程 1表示；
a b
C．过任意不同两点 P1 x1, y1 、P2 x2 , y2 的直线都可以用方程 y y1 x2 x1 x x2 y2 y1
D．经过 A 0,b 的直线都可以用方程 y kx b表示
5．已知 ABC的三个顶点为 A(1,2)，B(3,6) ,C(5,2)，M 为 AB 的中点，N 为 AC 的中点，则中位线MN
所在直线方程为（ ）
A．2x y 8 0 B．2x y 8 0
C．2x y 12 0 D．2x y 12 0
6．已知△ABC的三个顶点分别为 A 2,8 ，B 4,0 ，C 6,0 ，则过点 B 将 ABC的面积平分的直线方
程为（ ）
A．2x y 4 0 B． x 2y 4 0
C．2x y 4 0 D． x 2y 4 0
二、填空题
7．一条光线从点P(6,4)射出，与 x 轴相较于点Q(2,0)，经 x 轴反射，则反射光线所在的直线方程为______
8．已知 ABC的三个顶点分别为 A 1,2 ， B 4,1 ，C 3,6 ，则 AC 边上的中线BM 所在直线的方程为
______．
9．两条直线 l1：a1x b1y 1 0和 l2 ：a2x b2 y 1 0相交于点 P 5, 6 ，则过点 A a1,b1 ，B a2 ,b2
的直线方程为_______
三、解答题
10．已知△ABC的三个顶点 A(1,1) ，B(2,0)，C(4,4) .
（1）求 AB 边所在直线的方程；
（2）求BC 边上中线所在直线的方程.
参考答案
1．【答案】B
【解析】因为所求直线过点 1, 2 ， 5,3 ，
y 2 3 2 y 2 x 1
所以 ，即 .
x 1 5 1 3 2 5 1
故选 B
2．【答案】C
【解析】 B 3, 3 ,C 0,2 0 3 2 3 3 1, BC 中点的坐标为（ ， ），即（ ， ）.
2 2 2 2
3 1
则 BC 边上的中线应过 A 5,0 , , 2 2 两点，
y x 5
由两点式得： 0 1 3 5 ，整理，得
x 13y 5 0.
2 2
故选 C.
3．【答案】D
【解析】由两点式得直线方程为＝，即 x＋5y－27＝0，令 y＝0 得 x＝27．
故选 D．
4．【答案】C
【解析】对 A,当经过定点P0 x0 , y0 直线垂直于 x 轴时不成立.故 A 错误.
x x y对 B, 直线垂直于 轴时不可以用方程 1表示.故 B 错误.
a b
y y
对 C,当直线P1P2 斜率存在时,方程为 y y1
2 1 x x
x x 2 成立
.
2 1
当直线P1P2 斜率不存在时 x1 x2 ,方程为 x x2 成立.故 C 正确.
对 D, 直线垂直于 x 轴时不可以用方程 y kx b表示.
故选 C
5．【答案】A
【解析】
由中点坐标公式可得 M(2,4),N(3,2),再由两点式可得直线 MN 的方程为 = ,即 2x+y-8=0.
故选 A
6．【答案】D
【解析】由 A 2,8 ，C 6,0 ，则 A,C 的中点坐标为D 4,4 ，
则过点 B 将 ABC的面积平分的直线过点 D 4,4 ，
4 0
则所求直线方程为 y (x 4) ，
4 ( 4)
即 x 2y 4 0，
故选 D.
7．【答案】 y x 2
【解析】由光学知识可得反射光线所在的直线过点Q 2,0 和 P 6,4 关于 x 轴的对称点M (6, 4)，其
y 0 4 0
直线方程为 ，即 x y 2 0 .
x 2 6 2
故填 y x 2
8．【答案】3x 2y 14 0
【解析】∵ AC 的中点M（2，4），
∴ AC 边上的中线 BM 所在的直线方程为：
y 4 x 2
，
1 4 4 2
整理，得3x 2y 14 0，
故填3x 2y 14 0．
9．【答案】5x 6y 1 0
【解析】因为两条直线 l1： a1x b1y 1 0和 l2 ：a2x b2 y 1 0相交于点P 5, 6 ,
所以5a1 6b1 1 0 ,5a2 6b2 1 0 ,
所以点 A a1,b1 , B a2 ,b2 都在直线5x 6y 1 0上,
所以过点 A a1,b1 ， B a2 ,b2 的直线方程为: 5x 6y 1 0 .
故填5x 6y 1 0
10．【答案】（1） x y 2 0；（2） x 2y 1 0
【解析】（1）因为 A(1,1) ，B(2,0)，
y 0 x 2
由直线的两点式方程可得： AB 边所在直线的方程 ，
1 0 1 2
化简可得 x y 2 0；
（2）由B(2,0)，C(4,4)，
D(2 4 , 0 4则 BC 中点 ) ，即D(3,2) ，
2 2
y 2 x 3
则 BC 边上中线 AD所在直线的方程为 ，
1 2 1 3
化简可得 x 2y 1 0 .
2.2.3 一般式方程
基础练
一、单选题
1．过点（0，1）且与直线 2x﹣y+1＝0 垂直的直线方程是（ ）
A．x+2y﹣1＝0 B．x+2y﹣2＝0 C．2x﹣y﹣1＝0 D．2x﹣y﹣2＝0
2．过点(－1,3)且平行于直线 x－2y＋3＝0 的直线方程为（ ）
A．2x＋y－1＝0 B．x－2y＋7＝0 C．x－2y－5＝0 D．2x＋y－5＝0
3．直线 x 3 y+1=0的倾斜角是（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
4．直线方程 kx－y+2－3k=0 恒过定点（ ）
A．（3，2） B．（2，3） C．（－3，2） D．（－2，3）
5．设直线5x 3y 15 0在 x 轴上截距为a，在 y 轴上的截距为b ，则（ ）
A．a 5,b 3 B．a 3,b 5 C．a 3,b 5 D．a 3,b 5
6．已知直线方程为ax by c 0．若ac 0，bc 0，则此直线不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二、填空题
7．已知直线 l1 :3x y 2 0， l2 :mx y 1 0 .若 l1//l2 ，则m ________.
8．已知直线 l : x 2y 1 0，点 A a,1 ， B 2,3 ，若直线 AB l ，则a的值为__________．
9． k 取任意实数时，直线 2 k 1 x k 6 y k 4 0 恒经过定点 P ，则点 P 的坐标为_________.
三、解答题
10．已知直线 l : 2a b x a b y a b 0 及点P 3,4 ．
（1）证明直线 l过某定点，并求该定点的坐标．
（2）当点 P 到直线 l的距离最大时，求直线 l的方程．
参考答案
1．【答案】B
【解析】因为过点（0，1）的直线与直线 2x﹣y+1＝0 垂直，
1
所以过点（0，1）的直线的斜率为 k ，
2
所以所求直线为 y 1
1
(x 0)，即 x 2y 2 0，
2
故选 B
2．【答案】B
【解析】设直线方程式是：x－2y＋c＝0
因为直线过点(－1,3)
所以-1-6+c=0，解得 c=7
故所求直线方程是：x－2y＋7＝0
故选 B
3．【答案】D
1 3
【解析】直线 x 3 y+1=0 的斜率 k ，
3 3
设其倾斜角为 θ（0°≤θ<180°），
tan 3则 ，
3
∴θ=150°
故选 D
4．【答案】A
【解析】因为直线方程 kx－y+2－3k=0，
即为 k x 3 y 2 0
x 3 0
所以 ，
y 2 0
x 3
解得 ，
y 2
所以直线恒过定点（3，2）.
故选 A
5．【答案】B
【解析】由直线5x 3y 15 0
令 y 0, x 3
令 x 0, y 5
即a 3,b 5
故选 B
6．【答案】B
c
【解析】令 x 0可得 y 0；
b
令 y 0 c可得 x 0，故直线不经过第二象限，
a
故选 B.
7．【答案】3
【解析】因为直线 l1 :3x y 2 0， l2 :mx y 1 0，且 l1//l2 ，
则3 1 1 m，解得m 3 .
故填3 .
8．【答案】1
1
【解析】因为直线 l : x 2y 1 0的斜率为 k ，
2
又点 A a,1 ， B 2,3 ，直线 AB l ，
k k 3 1 1所以 AB 1
，即 1，解得：a 1.2 a 2
故填1
9．【答案】（1，-1）
【解析】直线方程可整理为： 2x y 1 k 2x 6y 4 0
2x y 1 0 x 1
令 ，解得：2x 6y 4 0
，即定点P 的坐标为 1, 1
y 1
故填 1, 1 .
10．【答案】（1）证明见解析,定点坐标为 2,3 （2）5x y 7 0
【解析】（1）直线 l方程可化为：a 2x y 1 b x y 1 0
2x y 1 0
由 ，解得 x 2且 y 3，
x y 1 0
直线恒 l过定点 A，其坐标为 2,3 ．
（2）由直线恒 l过定点 A 2,3 ，
当点 P 在直线 l上的射影点恰好是 A时，
即 PA l 时，点 P 到直线 l的距离最大
k 4 3 1PA的斜率 PA 3 2 5
1
直线 l的斜率 k 5kPA
由此可得点 P 到直线 l的距离最大时，
直线 l的方程为 y 3 5 x 2 ，即5x y 7 0．
2.2.3 一般式方程
基础练
一、单选题
1．如果 pr 0，qr 0，那么直线 px qy r 0不通过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知直线 l1 : xsin 2y 1 0，直线 l2 : x ycos 3 0，若 l1 l2 ，则 tan2 （ ）
2 4 2 4
A． B． C． D．
3 3 5 5
3．点 P(2,3)到直线：ax (a 1)y 3 0的距离d 最大时，d 与 a 的值依次为（ ）
A．3，－3 B．5，2 C．5，1 D．7，1
4．设M x1, y1 , N x2 , y2 为不同的两点，直线 l : ax by c 0,
ax1 by c 1
ax2 by c
，下列命题正确的有
2
（ ）
①不论 为何值，点 N 都不在直线 l上；
②若 1，则过点M , N 的直线与直线 l平行；
③若 1，则直线 l经过MN 的中点；
④若 1，则点M , N 在直线 l的同侧且直线 l与线段MN 的延长线相交．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
二、填空题
5．已知m ， n为正数，且直线 x n 2 y 5 0与直线nx my 3 0互相垂直，则m 2n 的最小值
为______.
6．方程 x y 6 x y 3m 0表示两条直线，则m 的取值范围是__________.
三、解答题
7．已知直线方程为 2 m x 2m 1 y 3m 4 0 .
（1）证明：直线恒过定点；
（2）m 为何值时，点Q 3,4 到直线的距离最大，最大值为多少？
（3）若直线分别与 x 轴， y 轴的负半轴交于 A, B 两点，求 AOB面积的最小值及此时直线的方程.
参考答案
1．【答案】C
r
【解析】当 x 0时，qy r 0， qr 0， y 0q
r
当 y 0时， px r 0， pr 0， x 0，
p
直线的横截距和纵截距都是正数，所以直线过第一，二，四象限，不过第三象限.
故选 C
2．【答案】B
【解析】因为 l1⊥l2，所以sin 2cos 0，
所以 tanα=2，
所以 tan 2
2 tan 4 4
.
1 tan2 1 4 3
故选 B．
3．【答案】C
【解析】 直线ax a 1 y 3 0，
即 a x y 3 y 0，
直线ax a 1 y 3 0是过直线 x y 0和3 y 0交点的直线系方程，
x y 0 x 3
由 ，得3 y 0
，
y 3
可得直线ax a 1 y 3 0经过定点Q 3,3 ，
当直线ax a 1 y 3 0与PQ垂直时，
点 P 2,3 到直线ax a 1 y 3 0的距离最大，
d 2的最大值为 PQ 2 3 3 3 2 5，
此时PQ / /x 轴，
可得直线ax a 1 y 3 0斜率不存在，即 a 1.
故选 C.
4．【答案】D
ax1 by1 c
【解析】因为 axax by c 中， 2
by2 c 0，所以点 N 不在直线 l 上，故①正确
2 2
ax1 by1 c 1 y2 y1 a当b≠0时，根据 1得到 ax by c ，化简得
2 2 x
，
2 x1 b
a a
即直线MN 的斜率为 ，又直线 l的斜率为 ，由①可知点 N 不在直线 l上，
b b
得到直线MN 与直线 l平行
当b 0时，可得直线MN 与直线 l的斜率都不存在，也满足平行，故②正确
ax by c x x y y
当 1 1 1时，得到 1 1 2 1 2ax by c ，化简得a b c 02 2 2 2
x1 x2 y1 y2
而线段MN 的中点坐标为 , ，所以直线 l经过MN 的中点，故③正确
2 2
ax by c ax by c
当 1 1 1 1 1时，得到 1ax ，所以
0，
2 by2 c ax2 by2 c
即 ax1 by1 c ax2 by2 c 0，所以点M , N 在直线 l 的同侧
且 ax1 by1 c ax2 by2 c ，可得点M 与点 N 到直线 l 的距离不等，
所以延长线与直线 l相交，故④正确
综上：命题正确的有 4 个
故选 D
5．【答案】9
【解析】 直线 x (n 2)y 5 0与直线nx my 3 0互相垂直，
2 1
n (n 2)m 0， 2m n mn， 1，
n m
m 2n (m 2n)(2 1 )=5 2m 2n 2m 2n 5 2 9，
n m n m n m
当且仅当m n 3时取等号.
故填 9
6．【答案】 0,3
【解析】令 t x y 0，则关于 t 的二次方程 t2 6t 3m 0在 t 0, 上有两个不等的实根，
令 f t t2 6t 3m ，则二次函数 f t 在 t 0, 有两个不同的零点，
36 12m 0
所以， f 0 3m 0 ，解得0 m 3 .
因此，实数m 的取值范围是 0,3 .
故填 0,3 .
4
7．【答案】（1）证明见解析（2）m ；2 13 （3）最小值为4；此时直线的方程2x y 4 07
【解析】（1）证明：直线方程为 2 m x 2m 1 y 3m 4 0，可化为
2x y 4 x 2y 3 0 x 1 m x 2y 3 0 ，对任意m 都成立，所以 ，解得 ，所以
2x y 4 0
y 2
直线恒过定点 1, 2 ；
（2）解：点Q 3,4 到直线的距离最大，
可知点Q 与定点P 1, 2 的连线的距离就是所求最大值，
3 1 2
4 2 3
即 4 2 2 2 13 . kPQ ，3 1 2
2 m x 2m 1 y 3m 4 0 2的斜率为 ，
3
2 2 m
可得
4
，解得m .
3 2m 1 7
（3）解：若直线分别与 x 轴， y 轴的负半轴交于 A, B 两点，直线方程为 y 2 k x 1 ，k 0，
2
则 A 1,0
，B 0,k 2 ，
k
S 1 2△AOB 1 k 2
1 2 2 k 2 k
2 k 2
1 k 2 2 2 2 4，
k k 2 k 2
当且仅当k 2时取等号，面积的最小值为4 .
此时直线的方程2x y 4 0 .
2.3.1~2.3.2 直线的交点坐标、两点间的距离公式
基础练
一、单选题
1．已知直线 x 2与直线 y 2x 1交于点 P，则点 P 的坐标为（ ）
A．（1,5） B．（2,3） C．（3,1） D．（0,0）
2．直线 y x 5与直线 y x 1的交点坐标是（ ）
A． 1, 2 B． 2,3 C． 3,2 D． 2,1
3．若三条直线2x 3y 8 0， x y 1 0与直线 x ky 0交于一点，则 k （ ）
A．-2 B．2 C 1． D 1．
2 2
4．点 A在 x 轴上，点 B 在 y 轴上，线段 AB 的中点M 的坐标是 3,4 ，则 AB 的长为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
5．已知点 P a, 2 ，Q 2, 3 ，M 1,1 ，且 PQ PM ，则a的值是()
9 9
A． 2 B．2 C． D．2 2
6．直线2x 3y k 0和 x ky 12 0的交点在 y 轴上，则 k 的值为（ ）
A．-24 B．6 C． 6 D．-6
二、填空题
7．已知点 A 2,1 ，点B 5, 1 ，则 AB ________．
8．已知直线 l1 : 3x 2y 5 0与直线 l2 : 4x ay 11 0，且 l1 l2 ，则直线 l1与直线 l2 的交点坐标是
______．
x, y 4x my m 29．若关于 的二元一次方程组 有无穷多组解，则m ______．
mx y m 0
三、解答题
3
10．已知直线 l1 的方程为x 2y 4 0，若 l2 在 x 轴上的截距为 ，且 l1 l2 ．2
（1）求直线 l1 和 l2 的交点坐标；
（2）已知直线 l3经过 l1 与 l2 的交点，且在 y 轴上截距是在 x 轴上的截距的 2 倍，求 l3的方程．
参考答案
1．【答案】B
【解析】联立直线 x 2与直线 y 2x 1的方程，
容易得 x 2, y 3，
故点 P 的坐标为 2,3 .
故选 B.
2．【答案】B
y x 5 x 2
【解析】联立两直线的方程 ，解得y x 1
，因此，两直线的交点坐标是 2,3 .
y 3
故选 B.
3．【答案】C
【解析】两方程联立可得交点坐标为：( 1, 2)，代入第三条直线方程： 1 2 = 0，
解得： = 1.2
故选 C.
4．【答案】D
【解析】设 A x，0 ,B 0,y
因为 AB 的中点M 的坐标是 3,4 ,
所以由中点坐标公式得 x 6,y 8，
所以点 A 6，0 ,B 0,8
则由两点间的距离公式得 | AB | (0 6)2 (8 0)2 100 10 .
故选D .
5．【答案】C
【解析】因为点 P a, 2 ，Q 2, 3 ，M 1,1 ，且 PQ PM ，所以
2 2
9
a 2 2 3 a 1
2 2 1 2 .解得a .2
故选 C.
6．【答案】C
【解析】因为两条直线2x 3y k 0和 x ky 12 0的交点在 y 轴上，
所以设交点为 (0,b)，
3b k 0
所以 ，消去b ，可得k 6．
kb 12 0
故选C ．
7．【答案】 13
【解析】点 A（2，1），B（5，﹣1），则|AB| 2 5 2 (1 1)2 13．
故填 13 ．
2, 18．【答案】
2
【解析】因为 l1 l2 ，所以3 4 2a 0，所以a 6．
3x 2y 5 0,
x 2,
联立 解得 ，
4x 6y 11 0,
y 1 , 2
l l 故直线 1与直线 2 的交点坐标是 2,
1
．
2
2, 1 故填 2
9．【答案】 2
4x my m 2 0
【解析】依题意二元一次方程组 有无穷多组解，即两个方程对应的直线重合，由
mx y m 0
4 1 m m解得m 2或m 2 .
4x 2y 0 2x y 0
当m 2 时，二元一次方程组为 ，两直线不重合，故m 2 不符合
2x y 2 0 2x y 2 0
题意.
4x 2y 4 0 2x y 2 0
当m 2时，二元一次方程组为 ，两直线重合，符合题意.
2x y 2 0
2x y 2 0
综上所述，m 的值为 2 .
故填 2
1
10．【答案】（1） 2，1 ；（2） y x或2x y 5 0
2
k 1
【解析】（1）∵l l1⊥l2，∴ 2 1 2 ．
2
3
∴直线 l2的方程为：y﹣0＝2（x ），化为：y＝2x﹣3．
2
x 2y 4 0 x 2
联立 ，解得 ．
2x y 3 0
y 1
∴直线 l1和 l2的交点坐标为（2，1）．
1
（2）当直线 l3经过原点时，可得方程：y x．
2
当直线 l3不经过过原点时，设在 x轴上截距为 a≠0，则在 y 轴上的截距的 2a 倍，
x y 2 1 5
其方程为： 1，把交点坐标（2，1）代入可得： 1，解得 a ．
a 2a a 2a 2
可得方程：2x+y＝5．
综上可得直线 l3的方程为：x﹣2y＝0，2x+y﹣5＝0．
2.3.3~2.3.4 点到直线的距离、两条平行线间的距离
基础练
一、单选题
1．点（1，-1）到直线 x-y+1=0 的距离是（ ）
1 3
A B C 2 D 3 2． ． ． ．
2 2 2 2
2．已知点(a,2) (a>0)到直线 l: x-y+3=0 的距离为 1, 则 a 的值为（ ）
A． 2 B．2- 2 C． 2 -1 D． 2 +1
3．已知点 A 的坐标为（-4，4），直线 l 的方程为 x+y-2=0，则点 A 关于 l 的对称点 A'的坐标为（ ）
2
A． , 4
B． 2,6 C． 2,4 D． 1,6
3
4．点 M(4，m）关于点 N（n, － 3）的对称点为 P（6，-9）则（ ）
A．m＝－3,n＝10 B．m＝3,n＝10 C．m＝－3, n＝5 D．m =3, n = 5
5．点 A cos ,sin 到直线3x 4y 4 0距离的最大值为（ ）
1 4 9
A． B． C．1 D．
5 5 5
6．点 A（1，3）关于直线 y＝kx＋b 对称的点是 B（–2，1），则直线 y＝kx＋b 在 x 轴上的截距是（ ）
3 5 6 5
A． B． C． D．
2 4 5 6
二、填空题
7．点 P 1,2 到直线 l : y 3x的距离为______.
8．点 ( 1,1) 关于直线 x y 1 0的对称点是______.
9．点 P(m,6)到直线3x 4y 2 0的距离不大于 4，则m 的取值范围是________．
三、解答题
10．在平面直角坐标系中，已知直线 l :ax 3y 2 0，若直线 l 在 x 轴上的截距为 2 ，
（1）求实数 a的值，并写出直线 l的斜截式方程；
（2）求出点M (3,1)到直线 l的距离.
参考答案
1．【答案】D
【解析】由题意得点（1，-1）不在直线上，
1 ( 1) 1
1 -1 d 3 2所以点（ ， ）到直线的距离为 ．
1 1 2
故选 D．
2．【答案】C
| a 2 3 |
【解析】由点到直线 l 的距离公式得：d 1，解得: a 1 2 ,又a 0，故2 a 2 1
，
故选 C
3．【答案】B
【解析】设点 A( 4,4)关于直线 x y 2 0的对称点 A 的坐标为 (a,b)，
b 4
1 a 4
则由 ，求得a 2，b 6，故点 A ( 2,6)，
a 4 b 4 2 0
2 2
故选 B．
4．【答案】D
【解析】
4 6 m 9
因为点 M，P 关于点 N 对称，所以由中点坐标公式可知n 5, 3 , m 3 .
2 2
故选 D
5．【答案】D
3cos 4sin 4【解析】点 A cos ,sin 到直线3x 4y 4 0距离d ，
32 42
5sin 4
化简得d ，
5
其中 满足 tan
3
，
4
当 sin 1时d 取得最大值，
即 d 9 .
5
故选 D.
6．【答案】D
3－1 k＝－1
{1＋2 3 5【解析】由题意知 ，解得 k1 ＝－ ，
b＝ ，
2 k 2 4＝ － ＋b
2
3 5 5
∴直线方程为 y＝－ x＋ ，其在 x 轴上的截距为 .
2 4 6
故选 D
7 10．【答案】
2
【解析】由题可知： l : y 3x，则 l :3x y 0
3 1 2 10
所以点P 1,2 到该直线的距离为d
32 1 2 2
10
故填
2
8．【答案】 2, 2
【解析】设点 M（﹣1，1）关于直线 l：x﹣y﹣1=0 对称的点 N 的坐标（x，y）
x 1 y 1
则 MN 中点的坐标为（ ， ），
2 2
y 1 x 1 y 1
利用对称的性质得：KMN= =﹣1，且 ﹣ ﹣1=0，
x 1 2 2
解得：x=2，y=﹣2，
∴点 N 的坐标（2，﹣2），
故填（2，﹣2）．
2, 46 9．【答案】 3
3m 4 6 2 46
【解析】依题意可知， 4 2 m
32 4 2
，解得 ．
3
故填 2,
46
．
3
1 2
10．【答案】（1）a=1； y x 10；（2）
3 3 5
【解析】（1）因为直线 l在 x 轴上的截距为-2，
所以直线经过点(-2，0)，
代入直线方程得-2a+2=0，解得 a=1，
所以直线 l的方程为 x-3y+2=0，
所以直线 l的斜截式方程为 y
1
x 2 .
3 3
（2）点 M(3，1)到直线 l的距离，
3 3 2 10
所以d .
12 ( 3)2 5
2.3.3~2.3.4 点到直线的距离、两条平行线间的距离
基础练
一、单选题
1．若两条平行直线 l1 : x 2y m 0 m 0 与 l2 : 2x ny 6 0之间的距离是2 5 ，则m n （ ）
A．3 B． 17 C．2 D．3或 17
2．若直线 l与直线 y ax b(a 0)关于直线 y x 对称，则直线 l的方程是（ ）
y x x x b x bA． b B． y b C． y D． y
a a a a a a
3．在等腰直角三角形 ABC 中，AB AC 2，点 P 是边 AB 上异于 A、B 的一点，光线从点 P 出发，经BC 、
CA反射后又回到点 P（如图所示），若光线QR 经过 ABC的重心，则 AP （ ）
1 2 4
A．1 B． C． D．
2 3 3
4．将一张画了直角坐标系（两坐标轴单位长度相同）的纸折叠一次，使点 2,0 与点 2,4 重合，则与点
5,8 重合的点是（ ）
A． 6,7 B． 7,6 C． 5, 4 D． 4, 5
二、填空题
5．直线ax 2y 6 0与直线 x (a 1)y a2 1 0 平行，则两直线间的距离为______.
6．已知定点 A 到动直线 l：2mx 1 m2 y 4m 2 0（m R）的距离为一常数，则定点 A 的坐标为
________．
三、解答题
7．设集合 A { l |直线与 y 2x直线相交且以交点的横坐标为斜率}．
（1）点 ( 2,0)到 A中哪条直线距离最小；
（2）设 P( 2,a)，点 P 到 A中直线距离的最小值设为d(a)，求d(a)．
参考答案
1．【答案】A
【解析】由题意直线 l1 : x 2y m 0 m 0 与 l2 : 2x ny 6 0平行，
则两条直线的斜率相等，即n 4，
2m 6
又直线间的距离为2 5 ，即 2 5 ，解得m 7 ，
4 16
所以m n 3 .
故选 A
2．【答案】C
【解析】在直线 y ax b(a 0)上任取一点 P x0 , y0 ，设关于直线 y x 的对称点为Q x, y ，
y y0
1
x x x0 y
所以 0 ，解得 ，
y y0 x x 0
y0 x
2 2
代入 y ax b，
得： x ay b，
x b
所以直线 l的方程是 y .
a a
故选 C
3．【答案】C
【解析】建立如图所示的直角坐标系：
可得B(2,0),C(0,2)，故直线 BC 的方程为 x y 2，
(0 2 0 , 0 0 2) (2 2ABC的重心为 ，即 , )
3 3 3 3
设 P(a, 0) ，其中0 a 2，
a x y 0
2
P BC P (x, y) 2 2则点 关于直线 的对称点 1 ，满足 ，
y 0 1 1
x a
x 2
解得 ，即P1(2, 2 a) ，P 关于 y轴的对称点P2 ( a,0)，
y 2 a
由光的反射原理可知 P1，Q，R，P2四点共线，
2 a 0 2 a
y 2 a直线 QR 的斜率为 k 2 a 2 a ，故直线 QR 的方程为 (x a) ，2 a
2 2
由于直线 QR 过 ABC的重心 ( , )，代入化简可得3a23 3 2a 0
，
解得a
2 2
，或a 0（舍去），故P( ,0)
2
，故 AP
3 3 3
故选 C
4．【答案】A
【解析】由已知得折线为点 2,0 和 2,4 的垂直平分线，
两点 2,0 和 2,4 连线段的中点为 0,2 4 0,斜率为 1，
2 2
∴其垂直平分线的斜率为 1，垂直平分线方程为 y=x+2，
设点 5,8 关于直线 y x 2的对称点为P x0 , y0 ,
y0 8 x 5
0 2
2 2 x0 6
则 y 8 ，解得 ， 0 1 y0 7
x0 5
故选 A.
5 6 5．【答案】
5
【解析】直线ax 2y 6 0与直线 x (a 1)y a2 1 0 平行，
则 a(a 1) 2 0，即a2 a 2 0，
解得a 2或 1．
当a 2时，两直线重合，
故a 1，两直线方程可化为： x 2y 6 0与 x 2y 0
| 6 | 6 5
所以两平行线间的距离 d
1 22 5
6 5
故填
5
6．【答案】 2,1
2ma 1 m2 b 4m 2
【解析】设定点 A 为 a,b ，所以点 A到直线 l 的距离d
2m 2
2
1 m2
无论m R， d 为定值，所以令m 0可得，d b 2 ，令m 1可得，d a 3 ，
令m 1可得，d a 1 ，由 a 3 a 1 可得，a 2，即有b 1或b 3．
2ma 1 m2 b 4m 2 1 m2
当定点 A 为 2,1 时，d 1
2 2 2 1 m
2 ，符合题意；
2m 1 m
2ma 1 m2 b 4m 2 1 3m2
当定点 A 为 2,3 时，d 2 1 m2 ，显然d 的值随m 的变化而变化， 2m 2 1 m2
不符题意，舍去．
综上可知，动直线 l是以 2,1 为圆心,半径为1的圆的切线系，所以定点 A 为 2,1 ．
故填 2,1 ．
2 a 1, a 2
7．【答案】（1）到 y 0距离最小；（2）d (a) a, 0 a 2
0, a 0
2
【解析】（1）设交点为 (k,2k)，则直线 l的方程为 y 2k k(x k)，即 kx y k 2k 0．
2k k 2 2k
( 2,0) l d k 2 1 1点 到直线 的距离 关于 k 2 单调递增，所以，当 k 0时，
k 2 1 k 2 1
距离最小为 0，此时直线 l的方程为 y 0．
2k a k 2 2k k 2 a (a 1)2
（2）因为d (a) k 2 1 2 2(a 1) ，k 2 1 k 2 1 k 1
2
因为设 t k2 1 1，d (a) f t t (a 1) 2(a 1) ，所以
t
2 d (a) 2 a 1 2(a 1) 2 a 1, a 2当 (a 1) 1，即a 2或 a 0时， ；
0, a 0
当 (a 1)2 1即0 a 2时， f t 在 1, 上单调递增，d (a) f 1 | a | a．
2 a 1, a 2
综上，d (a) a, 0 a 2．
0, a 0
2.4.1 圆的标准方程
基础练
一、单选题
1．圆心为 3,1 ，半径为 5的圆的标准方程是（ ）
A． x 3 2 y 1 2 5 B x 3 2 2． y 1 25
C． x 3 2 y 1 2 5 D． x 3 2 y 1 2 25
2．已知圆的一条直径的端点分别是 A 0,0 ， B 2,4 ，则此圆的方程是（ ）
A． x 1 2 y 2 2 5 B x 1 2． y 2 2 25
C 2． x 5 2 y2 5 D． x 5 y2 25
3．圆心为 1, 2 ，且与 x轴相切的圆的标准方程为（ ）
A． x 1 2 y+2 2 2 B x 2 2． 1 y 2 4
C． x 1 2 y 2 2 2 D． x 1 2 y 2 2 4
4．以P 2,3 为圆心，且圆心到 y 轴的距离为半径的圆的方程是（ ）
A． (x 2)2 (y 3)2 4 B． (x 2)2 (y 3)2 4
C． (x 2)2 (y 3)2 9 D． (x 2)2 (y 3)2 9
5 2．已知圆C 与圆 x 1 y2 1关于直线 y x对称，则圆C 的方程为（ ）
A． x 1 2 y2 2 B x2． y2 2
C x2． y 1 2 1 D． x2 y 1 2 1
6．若圆C 的半径为 1，圆心在第一象限，且与直线4x 3y 0和 x 轴相切，则该圆的标准方程是（ ）
2
A (x 2)2 (y 1)2 1 B (x 3)2 y 7 ． ． 1
3
2
C． (x 1)2 (y 3)2 1 D x 3 ． (y 1)
2 1
2
二、填空题
7．圆 C 的圆心为点 8, 3 ，且经过点 A 5,1 ，则圆 C 的方程为________.
8 2．圆 x 1 y2 1的圆心到直线 x 3y 1 0的距离为________.
9．经过点 1，0 、 0，2 且圆心在直线 y 2x上的圆的方程是________.
三、解答题
10．已知圆C 过点O 0,0 ， A 6,0 ， B 0,8 .
（1）求圆C 的方程；
（2）若 P 为圆C 上的动点，求 PAB面积的最大值.
参考答案
1．【答案】D
【解析】∵所求圆的圆心为 3,1 ，半径为 5，
∴所求圆的标准方程为： x 3 2 y 1 2 25，
故选 D.
2．【答案】A
【解析】 直径两端点为 0,0 , 2,4 圆心坐标为 1, 2
圆的半径 r 1 0 2 2 0 2 5 ，
2 2圆的方程为： x 1 y 2 5 .
故选 A.
3．【答案】B
【解析】因为圆心为 1, 2 ，圆与 x轴相切，
所以圆的半径为 2，
2 2
所以圆的标准方程为 x 1 y 2 4，
故选 B
4．【答案】B
【解析】圆心P 2,3 到 y 轴的距离为 2 2，所以圆的半径为 2，
2 2 2
故圆的方程为 (x 2) (y 3) 2 4 .
故选 B.
5．【答案】C
【解析】由题意，圆心为 0, 1 ，半径 r 1 2，则圆的方程为 x y 1 2 1，
故选 C．
6．【答案】A
【解析】设圆心坐标为（a，b）（a＞0，b＞0），
4a 3b
由圆与直线 4x-3y=0 相切，可得圆心到直线的距离 d= r 1，化简得：|4a-3b|=5①，
5
又圆与 x 轴相切，可得|b|=r=1，解得 b=1 或 b=-1（舍去），
1
把 b=1 代入①得：4a-3=5 或 4a-3=-5，解得 a=2 或 a=-
2
（舍去），∴圆心坐标为（2，1），
则圆的标准方程为：（x-2）2+（y-1）2=1．
故选 A
7．【答案】 x 8 2 y 3 2 25
【解析】由于圆 C 的圆心为点 8, 3 ，且经过点 A 5,1 ，
圆的半径为 r ，则 r2 8 5 2 3 2 1 25 ,
2
所以圆的方程为 x 8 y 3 2 25，
故填 x 8 2 y 3 2 25 .
8．【答案】1
【解析】圆 x 1 2 y2 1的圆心坐标为 1,0 ，
x 1 2所以圆 y2 1的圆心到直线 x 3y 1 0的距离为：
1 1 3 0 1
d 1
2 ，
12 3
故填 1
9 1
2
5
．【答案】 x y 1
2
2 4
2 2
【解析】设圆的方程为 x a y b r2，
因为圆心 a，b 在直线 y 2x上，得b 2a，
2 2 2
所以可得圆的方程为 x a y 2a r ，
因为圆经过点 1，0 、 0，2 ，
1
1 a
2 0 2a 2 r2 a 2
所以 ，解得 ，
0 a
2 2 2a 2 r2
r
5
2
2
1 5
因此，所求圆的方程为 x y 1
2 ，
2 4
x 1
2
y 1 2 5故填 。
2 4
10 2 2．【答案】（1） x 3 y 4 25 .（2）25.
【解析】（1）由平面几何知识可知，所求圆心为 3,4 ，半径 r 5，
∴圆C 的方程为 x 3 2 y 4 2 25 .
（2） AB 的方程为4x 3y 24 0，
∵ AB 过圆心， AB 10 .
当 P 到直线的距离为 5 时， PAB面积最大，
S 1此时 PAB 10 5 25 .2
2.4.2 圆的一般方程
基础练
一、单选题
1．圆 x2 y2 2x 4y 4 0的圆心是（ ）
A． 1, 2 B． 2, 4 C． 1,2 D． 2,4
2．已知m 是实常数，若方程 x2 y2 2x 4y m 0 表示的曲线是圆，则m 的取值范围为（ ）
A． , 20 B． ,5 C． 5, D． 20,
3 x2．圆 y2 4x 6y 9 0的圆心到直线ax y 1 0的距离为 2，则a （ ）
4 3
A． B． C． 2 D．23 4
4．已知圆 x2+y2+2x﹣4y﹣8=0 的圆心在直线 3x+y﹣a=0，则实数 a 的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3
5 ax2 by2．若 cxy 2ax 4by a3 0 表示面积为 的圆的方程，则实数a的值为（ ）
A．2 B． 2 C．1 D． 1
6．圆C : x2 y2 x 6y 3 0 上有两点 A,B 关于直线 kx y 4 0对称，则 k=（ ）
A．2 B 3 3． C． D．不存在
2 2
二、填空题
7．已知点 A(－4，－5)，B(6，－1)，则以线段 AB 为直径的圆的一般方程为____．
8 2 2．在平面直角坐标系中，圆的方程为 x y 2x 6y 1 0 ，该圆的周长为__________.
3
9．点 (1, )在圆 x2 y2 2y m2 m 1 0外，则实数m 的取值范围是__________
2
三、解答题
10．已知方程x2 y2 2mx 4y 2m2 3m 0表示一个圆．
（1）求实数m 的取值范围；
（2）求半径 R 的最大值．
参考答案
1．【答案】A
【解析】圆 x2 y2 2x 4y 4 0的标准方程为 x 1 2 2 y 2 1，圆心的坐标为 1, 2 ,
故选 A.
2．【答案】B
【解析】由于方程 x2 y2 2x 4y m 0表示的曲线为圆，则22 42 4m 0，解得m 5 .
因此，实数m 的取值范围是 ,5 .
故选 B.
3．【答案】B
2
【解析】圆的标准方程是 (x 2) (y 3)2 4 ，圆心为 (2,3) ，
2a 3 1
∴ 2
3
，解得a ．
a2 1 4
故选 B.
4．【答案】A
【解析】根据题意，圆 x2+y2+2x﹣4y﹣8=0的圆心为(﹣1，2)，
若圆 x2+y2+2x﹣4y﹣8=0 的圆心在直线 3x+y﹣a=0 上，则有 3×(﹣1)+2﹣a=0，
解得：a=﹣1；
故选 A.
5．【答案】B
2 2
【解析】方程ax by cxy 2ax 4by a3 0 表示圆，且圆的半径为1，
可得a(x 1)2 b(y 2)2 cxy a 4b a3，
a b 0
可得 c 0 ，解得a 2，经检验，均符合题意.
a 4b a
3
1
a
故选 B.
6．【答案】A
1
【解析】由题意得直线 kx y 4 0
经过圆心C ,3
k
，所以 3 4 0 ，解得 k 2，
2 2
故选 A
7．【答案】 x2 y2 2x 6y 19 0
【解析】因为点 A(－4，－5)，B(6，－1)
所以圆心为： 1, 3 ABr 100 16， 29
2 2
所以圆的标准方程为： x 1 2 y 3 2 29
2 2
所以圆的一般方程为： x y 2x 6y 19 0
x2故填 y2 2x 6y 19 0
8．【答案】6
2 2
【解析】由题设可得圆的标准方程为： x 1 y 3 9，
所以圆的半径为R 3，故周长为2 R 6 ．
故填6 ．
9．【答案】 ( 1
1
， ) (
3 ,2)
2 2
【解析】因为方程 x2 y2 2y m2 m 1 0表示圆，
所以 ( 2)2 4(m2 m 1) 0 ，
得m2 m 2 0，解得 1 m 2．
因为点 (1,
3)在圆 x2 y2 2y m2 m 1 0外，
2
12 (3)2 2 3 m2所以 m 1 0 ，
2 2
1 3
即 4m2 4m 3 0 ，解得m 或m ．
2 2
综上，实数m 的取值范围是 ( 1 1， ) (3 ,2) ．
2 2
故填 ( 1
1) (3， , 2) ．
2 2
10．【答案】（1） 1,4 5；（2） ．
2
1 2 2【解析】（ ） x m y 2 m2 3m 4 0 1 m 4 ,即实数m 的取值范围是 1,4 ；
3 2 25 25 3 5
（2）R2 m2 3m 4 m
≤ ,当且仅当m 时,半径R 取得最大值 ．
2 4 4 2 2
2.5.1 直线与圆的位置关系
基础练
一、单选题
1．直线 y x 2与圆 x2 y2 4 有（ ）个公共点．
A．0 B．1 C．2 D．3
2．圆 x2 y2 4x 2y 2 0截 x 轴所得弦的长度等于（ ）
A．2 2 B．2 3 C．4 2 D．2
3．若直线 y 3x b x2与圆 y2 1相切，则b （ ）
A 2 3． B． 2 C． 2 D． 5
3
4．已知直线 l :3x 4y m 0被圆C : x2 y2 2x 2y 6 0 截得的弦长为 2 7 ，则m 的值为（ ）
A．4 或-6 B．-4 或 6 C．4 或 6 D．-4 或-6
5 2 2．已知圆 (x 2) ( y 1) 12 上恰有三个点到直线 l : kx y 0 距离等于 3 ，则直线 l 的斜率为（ ）
A．2 6 B． 2 6 C． 6 2 D． 6 2
6 2．圆C : x y2 2x 4y 3 0 被直线 l : a x y 1 a 0截得的弦长的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． 2 D． 3
二、填空题
7 2 2．过点M (1, 3) 作圆O : x y 4的切线方程是__________．
8．直线 y＝2﹣x x2 y2与圆 4x 5 0 交于 A，B 两点，则|AB|＝_____.
9 2 2．过点P(1,1) 作圆 x y 2x 1 0的切线，切点为 A ，则 PA ________.
三、解答题
10．已知圆心为 C（4，3）的圆经过原点 O．
（1）求圆 C 的方程；
（2）设直线 3x﹣4y+15＝0 与圆 C 交于 A，B 两点，求△ABC的面积．
参考答案
1．【答案】C
【解析】圆 x2 y2 4 的圆心为坐标原点O 0,0 ，半径 r 2 ,
直线 y x 2的方程化为一般式为： x y 2 0 ,
0 0 2
圆心O到直线 y x 2的距离d 2 r ,
12 12
∴直线 y x 2 2 2与圆 x y 4相交，∴有 2 个公共点，
故选 C.
2．【答案】A
x2 y2【解析】在圆方程 4x 2y 2 0中令 y 0，
得 x2 4x 2 0 x 4 8 2 2
2
因此弦长为| 2 2 ( 2 2) | 2 2
故选 A
3．【答案】C
【解析】由题得圆的圆心坐标为（0,0），
|b |
所以 1, b 2 .
3 1
故选 C
4．【答案】A
2
【解析】圆C 的标准方程为： x 1 y 1 2 8，
故圆心C 到直线 l的距离为d 8 27 1，
3 4 m
所以 1，故m 6或m 4 ，
9 16
故选 A.
5．【答案】A
| 2k 1|
【解析】由题意，圆心到直线 l的距离等于半径的一半，所以 32 ，解得k 2 6 ，k 1
故选 A.
6．【答案】B
【解析】直线 l : a x y 1 a 0可化为 l : a(x 1) (y 1) 0 ，故直线 l恒过点P 1,1 .
圆C ： x2 y2 2x 4y 3 0的圆心为C(1,2) ，半径为 2 当直线 l 垂直于直线PC 时，截得的弦
长最短，此时弦长d 2 2 1 2 .
故选 B
7．【答案】 x 3y 4 0
【解析】因为点M 1, 3 2 2 1 3在圆O : x y 4上，所以切点为M 1, 3 ，切线斜率k kOM 3
3
所以由点斜式写方程得 y x 1 3 即 x 3y 4 0
3
故填 x 3y 4 0
8．【答案】2.
2 2 2
【解析】根据题意，圆 x y 4x 5 0 ，即 x 2 y2 9，其圆心为 2,0 ，半径 r 3，
2 2
圆心到直线 y 2 x的距离d 2 2 ，
1 1
则弦长 AB 2 r2 d 2 2 9 8 2 .
故填2 .
9．【答案】 3
2 2
【解析】由题得 (x 1) y 2，所以圆C 的圆心为 ( 1,0) ，半径为 2 .
所以 | PC | (1 1)2 12 5 ，
2 2
所以 | PA | 5 2 3 .
故填 3
10．【答案】（1）（x﹣4）2+（y﹣3）2＝25．（2）12
【解析】（1）圆 C 的半径为 OC 32 42 5，
从而圆 C 的方程为（x﹣4）2+（y﹣3）2＝25；
（2）作 CD⊥AB 于 D，则 CD 平分线段 AB，
在直角三角形 ADC中，由点到直线的距离公式，得|CD|＝3，
所以 AD AC |2 CD |2 4，
所以|AB|＝2|AD|＝8，
1
所以△ABC 的面积S AB CD 12．
2
2.5.2 圆与圆的位置关系
基础练
一、单选题
1．圆 (x 3)2 (y 2)2 4与圆 (x 7)2 (y 1)2 36的位置关系是（ ）
A．相切 B．内含 C．相离 D．相交
2．圆 x2 y2 1和圆 x2 y2 6y 5 0的位置关系是（ ）
A．内含 B．内切 C．外切 D．外离
3．圆 C1：x2＋y2＝16与圆 C2：(x-3)2＋(y-4)2＝9 的公共弦的长为（ ）
12 16 24 32
A． B． C． D．
5 5 5 5
4 2．圆C1 : x y
2 2x 2y 2 0与C2 : x
2 y2 4x 2y 1 0的公切线有且仅有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
5 C x2 y2 4x 6y 12 0 C x 4 2 y 5 2．若圆 1 ： 与圆 2 ： m 有且仅有 3 条公切线，则实数 m
的值为（ ）
A．4 B．25 C．5 D．16
6．若圆C1 : x
2 y2 4 2 2与圆C2 : x y 6x 8y m 0外切，则实数m （ ）
A． 24 B． 16 C．24 D．16
二、填空题
7 x2 y2 x 0 x2 y2．圆 与圆 2y 0的公共弦所在的直线方程为___________.
8 O 2 2 2 2．若⊙ 1 : x y 5与⊙O2 : (x m) y 20(m R) 相交于 A、B 两点，且两圆在点 A 处的切线互
相垂直，则线段 AB 的长度是 ．
9 2 2 2 2．圆C1 : x m y 2 9与圆C2 : x 1 y m 4内切，则m 的值为______.
三、解答题
10．已知两圆C1 : (x 1)
2 (y 1)2 4 C : x2 y2和 2 4ax 2y 4a
2 0 .
（1）把圆C2 化成标准方程；
（2）试求当 a为何值时，两圆C1 和C2 相切.
参考答案
1．【答案】D
【解析】两圆的圆心分别为： A(3, 2)，B(7,1)，
半径分别为： r 2， R 6，
两圆心距为： | AB | (7 3)2 (1 2)2 5
R r | AB| R r，
所以，两圆相交，
故选 D。
2．【答案】C
2 2 2 2
【解析】∵圆 x y 6y 5 0的标准方程为： x (y 3) 4，
表示以 (0,3)为圆心，半径为 2的圆，
∴两圆圆心距为3，正好等于半径之和，
∴两圆相外切，
故选C ．
3．【答案】C
【解析】两圆方程相减得公共弦方程为3x 4y 16 0 ,圆心C1 0,0 ,到公共弦的距离为
16
d 16
2
, 16 24所以所求弦长为 2 42 .32 42 5 5 5
故选 C
4．【答案】B
【解析】圆C1 的标准方程为 x 1 2 y 1 2 4 2，圆C2 的标准方程为 x 2 y 1 2 4，
两圆心分别为C1 1, 1 、C2 2,1 ，半径分别为 r1 r2 2，
C1C2 11 r1 r2 4，两圆相交，因此，两圆有2条公切线，
故选 B.
5．【答案】B
2
【解析】依题意，圆C1 ： x 2 y 3 2 25，
由题得C1 与C2 外切，
则 C1C2 r1 r2 ，
故 2 4 2 3 5 2 5 m ，
解得m 25，
故选 B.
6．【答案】D
【解析】圆C1 的圆心为 0,0 ，半径为2，圆C2 的圆心为 3,4 ，半径为 25 m .
两个圆的圆心距为 32 42 5 .
由于两个圆外切，所以 2 25 m 5，解得m 16 .
故选 D
7．【答案】 x 2y 0
【解析】由题：圆 x2 y2 x 0 2 2与圆 x y 2y 0的标准方程为：
1 2 2
x
y
2 1 和 x2 y 1 1，
2 4
5 1 5 3
圆心距为 ， ，
2 2 2 2
所以两圆相交，
2 2 2 2
所以公共弦所在直线方程即： x y x x y 2y 0，
即 x 2y 0 .
故填 x 2y 0
8．【答案】4
1 AB 1
【解析】依题意得OO1＝ 5 20 ＝5，且△OO1A是直角三角形，S△OO1A＝ · ·OO1＝ ·OA·AO1，
2 2 2
2 OA AO 2 5 2 5
因此 AB＝ 1＝ ＝4.
OO1 5
故填 4
9．【答案】 2或 1
【解析】圆C1 的圆心为 m, 2 ，半径为 r1 3，
圆C2 的圆心为 1,m ，半径为 r2 2，
2
所以两圆的圆心距d m 1 m 2 2 ，
m 1 2 m 2 2又因为两圆内切，有 1，
解得m 2或m 1.
故填 2或 1.
10 2 2．【答案】（1）C2 : (x 2a) (y 1) 1；（2）a 0或 1时内切；a 1或 2 时外切.
2 2
【解析】（1）圆C2 的标准方程为：C2 : (x 2a) (y 1) 1；
（2 2）圆C1 : (x 1) (y 1)
2 4的圆心C1 : ( 1，1)，半径R1 2，
圆C2 : (x 2a)
2 (y 1)2 1的圆心C2 : (2a，1)，半径R2 1，
当两圆外切时： 1 2a 1+2 3，解得 a 1或 2 ；
当两圆内切时： 1 2a 2 1 1，a 0或 1.
2.5.3 直线与圆的综合
基础练
一、单选题
1．已知圆C : x2 2x y2 0 ，则圆心C 到直线 x 3的距离等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知直线 l : x 3y 0与圆C : x2 (y 1)2 1相交于O, A两点，O为坐标原点，则 COA的面积为
（ ）
A 3 B 3． ． C． 3 D．2 3
4 2
3．已知点 P（2，1）在圆 C：x2+y2+ax–2y+b=0 上，点 P 关于直线 x+y–1=0 的对称点也在圆 C 上，则圆 C
的圆心坐标为（ ）
A．（0，1） B．（1，0） C．（2，1） D．（1，2）
4 y x 1 x2 y2．垂直于直线 且与圆 4 相切于第三象限的直线方程是（ ）
A． x y 2 2 0 B． x y 2 0
C． x y 2 0 D． x y 2 2 0
5 2 2．直线 x y 2 0截圆 x y 4 所得劣弧所对圆心角为（ ）
2
A． B． C． D．
6 3 2 3
6．已知圆C 的圆心在曲线 y 3 x 0 上，直线 l过 3,3 且与直线4x 3y 5 0垂直，则与直线 l 相
x
切的面积最小的圆C 的方程为（ ）
2 2
A． x 2 2 y 3 3
3 B． x 2
2 y
9
2 2
2 2
C 3 3 3 ． x y 2 3 D． x y 2
2 9
2 2
二、填空题
7 2 2．过圆 x y 36内的一点 A 2,4 引此圆的弦MN ，则 MN 的最小值为______．
8．已知直线 l与圆 x2 y2 2y 0相交于 A, B
1 1
两点，且线段 AB 的中点 P 坐标为 , ，则直线 l 的方
2 2
程为__________．
9．经过原点并且与直线 x y 2 0相切于点 2,0 的圆的标准方程是__________．
三、解答题
10．已知圆C : (x 3)2 (y 4)2 4和直线 l : kx y 4k 3 0
（1）求证:不论 k 取什么值,直线 l和圆 C 总相交;
（2）求直线 l被圆 C 截得的最短弦长及此时的直线方程.
参考答案
1．【答案】D
【解析】由题 x 2 1 y2 1 ,则圆心（-1,0），则圆心C 到直线x 3的距离等 3-（-1）=4
故选 D
2．【答案】A
【解析】由题意直线 l，圆C 均过原点，通过图形观察可知 COA为等腰三角形，且CO CA r 1，
OCA 120 1 1 3 3，所以 S 2 . COA CO CA sin OCA 1 2 2 2 4
故选 A.
3．【答案】A
【解析】依题意有：如图所示，根据图形的对称性可知：点P 2,1 关于直线 x y 1 0对称的点是
点Q 3 2a b 00, 1 ，分别将P,Q 两点的坐标代入圆的方程得 ，解得a 0,b 3，而圆心坐
b 3 0
a ,1 标为 ，故圆心坐标为 0,1 .
2
故选 A
4．【答案】A
【解析】设所求的直线为 l，
直线 l垂直于直线 y x 1，可得直线 l的斜率为k 1，
设直线 l方程为 y x b，即 x y b 0，
2 2
又直线 l与圆 x y 4 相切，
圆心O(0,0) 到直线 l的距离 d
| b |
2，
2
解得b 2 2
当b 2 2 时，可得切点坐标 2, 2 ，切点在第三象限；
当b 2 2 时，可得切点坐标 2, 2 ，切点在第一象限；
直线 l x2 y2与圆 1的切点在第三象限，
取b 2 2 ，此时的直线方程为 x y 2 2 0．
故选 A．
5．【答案】D
【解析】由题意有，该圆圆心为 (0,0) ，半径为 2，
2
圆心到直线的距离d 1，
2
∴弦长 l 2 22 12 =2 3 ，
22 22 cos (2 3)
2 1
由余弦定理得圆心角 的余弦值 ，
2 2 2 2
2
∴圆心角 = ．
3
故选 D．
6．【答案】B
3
【解析】依题意，设圆C 的圆心坐标为 a, a
a 0 .设直线 l：3x 4y b 0，将 3,3 代入可
知，b 3，故直线 l的方程为3x 4y 3 0；
因为直线 l与故圆C 相切，
12 12
故圆C 3a 3 2 3a 3 12的半径 a a ，当且仅当3a ，即a 2时，等号成立，此R 3 a
5 5
3 22
时圆C 的方程为 x 2 y 9 .
2
故选 B.
7．【答案】8
【解析】如图，
由平面几何知识得，当过点 A的弦MN 垂直于OA时，MN 最短，
所以 MN 2 36
min 22 42 8．
故填 8．
8．【答案】 x y 0
2
【解析】把圆的方程化为标准方程得： x2 y 1 1，
可得圆心C(0,1)， 直线CP的斜率为 1，
直线 AB 的斜率为 1，
1 1
则直线 AB 的方程为： y (x )，即 x y 0．
2 2
故填 x y 0．
9 x 1 2 y 1 2．【答案】 2
【解析】设圆心坐标 (a,b)，则a2
b
b2 r2， (a 2)2 b2 r 2 ， 1，根据这三个方程组可以a 2
2 2
计算得：a 1,b 1, r 2 ，所以所求方程为： (x 1) (y 1) 2 ，
2 2
故填 x 1 y 1 2
10．【答案】（1）详见解析；（2）2 2 , x y 1 0 .
【解析】（1）由直线 l的方程 y 3 k x 4 可得直线 l 恒通过点 4,3 ，而点 4,3 在圆C 的内部，
故得到不论k 取什么值,直线 l和圆 C 总相交；
（2）设定点为 A 4,3 k 4 3，因为 CA 1，求出直线 l的斜率，即可写出直线 l 的方程，3 4
求出圆心到直线 l的距离d ，即可求出弦长。
解析：(1)证明:由直线 l的方程可得, y 3 k x 4 ,则直线 l恒通过点
4,3 ,把 4,3 2 2代入圆的C 方程,得 4 3 3 4 2 4 ,
所以点 4,3 在圆C 的内部,又因为直线 l恒过点 4,3 ,
所以直线 l与圆C 总相交.
(2)设定点为 A 4,3 ，由题可知当直线 l与CA直线垂直时，直线 l被圆C 截得的弦长最短，
4 3
因为 kCA 1，所以直线 l的斜率为k 13 4
所以直线 l的方程为 y 3 x 4，即 x y 1 0
3 4 1设圆心C 3,4 到直线 l距离为d ，则d 2
2
2
所以直线 l被圆C 截得最短的弦长为2 4 2 2 2 .
2.6 章末复习课
基础练
一、单选题
l 0 2
1．若直线 的倾斜角 满足 ，且 ，则其斜率
3 k 满足（ ）2
A． 3 k 0 B． k 3
C k 0 k 3 D k 0 k 3． 或 ． 或
3
2．点 1,1 在圆 x2 y 1 2 1的（ ）
A．圆上 B．圆内 C．圆外 D．无法判定
3．设直线 l的方程为2x 4y 3 0，直线m 的方程为 x 2y 6 0，则直线 l与m 的距离为（ ）
A 3 5 B 3 5 C 9 5 D 9 5． ． ． ．
10 5 10 5
4 x 2 2．圆 y2 4 x 2 2 y 3 2与圆 25的位置关系为（ ）
A．内切 B．外切 C．相交 D．相离
5 2 2．已知定点B 3,0 ，点 A在圆 (x 1) y 4上运动，则线段 AB 的中点M 的轨迹方程是（ ）
A (x 1)2． y2 1 B． (x 2)2 y2 4
C 2 2． (x 1) y 1 D． (x 2)2 y2 4
6．以 1,m 为圆心，且与两条直线 2x y 4 0，2x y 6 0都相切的圆的标准方程为（ ）
A． x 1 2 y 9 2 5 B x 1 2． y 11 2 25
C． x 2 2 1 y 1 5 D 2． x 1 y 9 2 25
二、填空题
7．直线3x 2y k 0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数 k ______.
8．若圆 (x 1)2 (y 4)2 5的圆心到直线 x y a 0 2的距离为 ，则a 的值为_________.
2
9．已知圆C : (x 1)2 (y 2)2 5，过圆C 外一点P 3,4 作圆的两条切线PA，PB切点分别为 A，B ，
则直线 AB 的方程为_______．
三、解答题
10 C : x2 y2 2x 8 C : x2 4ax y2 2y 3 4a2．已知圆 1 ，圆 2
（1）若 a 1，求两圆心连线C1C2 的中垂线的一般式方程；
（2）若 a 1，且动点 P 满足PC1 2PC2 ，求 P 点轨迹方程；
（3）若两圆相切，求 a的值.
参考答案
1．【答案】C
k tan 0 2
【解析】斜率 ，因为 ，且 ，3 2
故 tan 0或 tan 3 ，即 k 0或 k 3 ，
故选 C.
2．【答案】A
【解析】将点 1,1 的坐标代入圆 x2 y 1 2 1的方程即12 1 1 2 1，∴点 1,1 在圆 x2 y 1 2 1
上，
故选 A.
3．【答案】C
3 12
【解析】直线m 的方程可化为2x 4y 12 0，因此，直线 l与m 9 5的距离为d .
22 42 10
故选 C.
4．【答案】C
2
【解析】根据题意，圆（x 2） y2 4的圆心为 ( 2,0) ，半径 r1 2 ；
圆 x 2 2 y 3 2 25的圆心为 (2,3) ，半径 r2 5 ；
两圆的圆心距d 42 32 5，有5 2 d 5 2，
则两圆相交；
故选 C.
5．【答案】C
xA 3 yA xA 2x 3
【解析】设M x, y ,则 A xA, yA 满足 , x, y .故 .故 A 2x 3,2y . 2 2 yA 2y
2 2
又点 A在圆 (x 1) y 4上.故 (2x 3 1)2 2y 2 4 x 1 2 y2 1 .
故选 C
6．【答案】C
2 m 4 2 m 6
【解析】设圆的半径为 r ，则 r ，
5 5
m 1
则 ，
r 5
2
即圆的标准方程为 x 1 y 1 2 5，
故选 C.
7．【答案】12
x 0 y k【解析】令 ，则 ；令 y 0，则 x k ，
2 3
k k
故
2，解得k 12 .2 3
故填12 .
8．【答案】4或 2
3 a
【解析】圆 (x 1)2 2 (y 4)2 5的圆心为 1, 4 ，它到直线 x y a 0的距离为 ，
2 2
故a 2或a 4 .
故填 4 或 2.
9．【答案】2x 6y 5 0．
【解析】设 A x1, y1 ，B x2 , y2 ，则切线PA的方程为
x1 1 x 1 y1 2 y 2 5，因为点P 3,4 在切线PA上，所以切线PA的方程为
2x1 6y1 5，即2x1 6y1 5 0①，同理，切线PB的方程为2x2 6y2 5 0②，由①②得，
直线 AB 的方程为2x 6y 5 0．
故填2x 6y 5 0．
10．【答案】（1）3x y 2 0；（2） x 5 2 1 y 2 2 20 3 a 2 6 1；（ ） 或a
2 2
【解析】（1）当 a 1时，
圆C1 : x
2 y2 2x 8 x 1 2，即为 y2 9，圆心为C1 1,0 ，
C : x2 4x y2 2y 3 4 C : x 2 2 y 1 2圆 2 ，即 2 4，圆心为C2 2, 1 ，
1 1 0 1 1
则两圆心的中点坐标为 , ， kC C ， 2 2 1 2 1 2 3
1 1
两圆心连线C1C2 的中垂线为： y 3 x ，
2 2
整理得一般式为：3x y 2 0；
（2）设P x, y ，C1 1,0 ，C2 2, 1 ，
PC1 2PC
2
2，即PC1 2PC
2
2 ，
x 1 2 y2 2 x 2 2 y 1 2 ，
2 2
整理得 P 点轨迹方程为 x 5 y 2 20 ；
（3）圆C1 : x
2 y2 2x 8，即为 x 1 2 y2 9，圆心为C1 1,0 ，
C : x2圆 2 4ax y
2 2y 3 4a2 ，即C2 : x 2a
2 y 1 2 4，圆心为C2 2a, 1 ，
若两圆相切，
2 2 6 1
当两圆外切时： 2a 1 12 3 2，解得a ；
2
当两圆内切时： 2a 1 2 12 3 2，解得a
1
，
2
a 2 6 1
1
综合得：若两圆相切， 或 a .
2 2
基础练
一、单选题
1．直线 3x y 1 0的倾斜角是（ ）
3 2 5
A． B． C． D．
4 3 4 6
2．已知直线 l经过点 A 1,3 ，B 2, 5 ，则直线 l的斜率为（ ）
8 8A． B． C．2 D．3 23
3．如果过 P（-2，m）,Q（m，4）两点的直线的斜率为 1，那么 m 的值是（ ）
A．1 B．4 C．1 或 3 D．1或 4
4．已知直线 l经过两点O(0,0), A(1, 3)，直线m的倾斜角是直线 l的倾斜角的两倍，则直线m的斜率是（ ）
A 3 3． 3 B． C． D． 3
3 3
5．过点 2,1 且倾斜角比直线 y x 1 的倾斜角小 的直线方程是（ ）
4
A． x 2 B． y 1 C． x 1 D． y 2
6．下列各直线中，与直线2x y 3 0相交的是（ ）
A．2ax ay 6 0 a 0 B． y 2x
C．2x y 3 0 D．2x y 5 0
二、填空题
7．若直线 x 1的倾斜角为 ，则 的弧度数是________.
8．已知点 A 1,3 ，点B 3,9 ，则直线 AB 的斜率为__________.
9．已知线段MN 两端点的坐标分别为 M(－1，2)和 N(2，3)，若直线 kx－y＋k－2＝0 与线段MN 有交点，
则实数 k的取值范围是________．
三、解答题
10．（1）求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角、直角还是钝角．
① 3,5 ， 0,2 ；
② 4,4 ， 4,5 ；
③ m, 2 3m 3 ， 2m 1,3 3m m 1 ．
（2）已知点 A 3, 5 ， B 1,3 ，C 5,11 ．求证：A，B，C 三点共线．
参考答案
1．【答案】B
【解析】设直线的倾斜角为 ，
因为直线方程为 3x y 1 0，所以直线的斜率为 3 ，
所以 tan 3 ，
因为 [0, )，所以 2 ，
3
故选 B
2．【答案】A
5 3 8
【解析】因为直线 l经过点 A 1,3 ， B 2, 5 ，所以直线 l 的斜率为 .
2 1 3
故选 A．
3．【答案】A
【解析】由题意，过过 P（-2，m）,Q（m，4）两点的直线的斜率为 1，
4 m
根据直线的斜率公式，可得 1，解得
m ( 2) m 1
.
故选 A.
4．【答案】A
k 3 0
2
【解析】依题意 OA 3，所以直线 l的倾斜角为 ，所以直线m 的倾斜角为 ，所以直1 0 3 3
线m 的斜率为 tan 2 3 .
3
故选 A
5．【答案】A
3
【解析】直线 y x 1的斜率为 1，倾斜角为 ，故比它的倾斜角小 的直线的倾斜角为 ，
4 4 2
再根据此直线过点 2,1 ，故要求的直线的方程为 x 2 .
故选 A.
6．【答案】C
【解析】 直线2x y 3 0的斜率为：2
与直线2x y 3 0相交的直线的方程的斜率不等于 2
A， B ，D的斜率均为 2，C 的斜率为 2
故选 C．
7．【答案】
2
【解析】因为直线 x 1垂直 x轴，
所以其倾斜角弧度数为 .
2
故填 .
2
3
8．【答案】
2
【解析】因为 A 1,3 , B 3,9
3 9 3
则 kAB 1 3 2
3
故填
2
5
9．【答案】 ，+ 3
【解析】直线 kx－y＋k－2＝0过定点 P(－1，－2)．
3 2 5
此时 MP 平行于 y轴， kNP ，2 1 3
5
所以 k ≥ .
3
5
故填 ，+ . 3
10．【答案】（1）①钝角，②直角，③锐角；（2）证明见解析
2 5
【解析】（1）① k 1 00 3 ，倾斜角为钝角；
②k不存在，倾斜角为直角；
3 3m 2 3m 3
k 3m 3③ 3 0，倾斜角为锐角．
2m 1 m m 1
3 5 11 3
（2）证明： kAB 2 ， k 2 ，且 AB，BC 都经过点 B，1 3 BC 5 1
A，B，C 三点共线．
2.1.2 两条直线平行与垂直的判定
基础练
一、单选题
1．直线ax y 1 0与直线2x 3y 2 0平行，则实数 a的值为（ ）
2 3
A． B． 1 C． D．6
3 2
2．“a=1”是“直线 x+y=0 和直线 x-ay=0 互相垂直”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．若直线 a，b 的斜率分别为方程 x2 4x 1 0的两个根，则 a与 b的位置关系为（ ）
A．互相平行 B．互相重合 C．互相垂直 D．无法确定
4．若直线ax 3y 1 0与 x y 4 0互相垂直，则 a 的值为（ ）
1 2
A．1 B． C． D． 3
2 3
5．已知直线 l1 : x 2ay 1 0，与 l2 : 2a 1 x ay 1 0 平行，则a的值是（ ）
1 1 1
A．0 或 1 B．1 或 C．0 或 D．
4 4 4
6．已知直线mx 4y 2 0与2x 5y n 0互相垂直，垂足为P 1, p ，则m n p的值是（ ）
A．24 B．20 C．0 D． 4
二、填空题
7．若直线 l1 : ax 3y 5 0与 l2 : x 2y 1 0互相垂直，则实数a的值为________．
8．已知直线 l :mx y 1 0，若直线 l 与直线 x my 1 0平行，则 m 的值为__________．
9．已知点 A(m，3)，B(2m，m＋4)，C(m＋1,2)，D(1,0)，且直线 AB 与直线 CD平行，则 m 的值为_______；
三、解答题
10．已知直线 l1 : x my 6 0， l2 : m 2 x 3y 2m 0 .
（1）若 l1 l2 ，求m 的值；
（2）若 l1 / /l2 ，求m 的值.
参考答案
1．【答案】A
【解析】因为直线ax y 1 0与直线2x 3y 2 0平行，
所以 a 2 2 a ，
3 3
故选 A.
2．【答案】C
【解析】直线 x y 0和直线 x ay 0互相垂直的充要条件是1 ( a) 1 1 0，即 a 1，
故选 C
3．【答案】C
【解析】由题意 kakb 1，∴两直线垂直．
故选 C．
4．【答案】D
【解析】∵直线ax 3y 1 0与直线 x y 4 0互相垂直，
∴斜率之积等于 1，
a
∴ 1 1，得a 3 .
3
故选 D.
5．【答案】C
【解析】由题意得：1 ( a) (2a 1) 2a 0, a 0 1或a ，
4
故选 C.
6．【答案】B
【解析】∵两直线互相垂直，∴k1·k2＝－1，
m 2
∴－ · ＝－1，∴m＝10.又∵垂足为(1，p)，
4 5
∴代入直线 10x＋4y－2＝0 得 p＝－2，
将(1，－2)代入直线 2x－5y＋n＝0得 n＝－12，
∴m－n＋p＝20.
故选 B．
7．【答案】 6
【解析】两直线 l1 : ax 3y 5 0与 l2 : x 2y 1 0互相垂直.
所以a 1 3 2 0，解得a 6
故填 6
8．【答案】 1
【解析】因为直线 l与直线 x my 1 0平行，
m ( m) 1 1 m 1
所以有 m 1 .
m ( 1) 1 1
m 1
故填 1
9．【答案】0或 1
【解析】当m 0时，直线 AB 方程为 x 0，直线CD方程为 x 1，两直线平行，
k m 4 3 m 1 2 0 2 m 1 2当m 0时， AB ，k2m m m CD
，由 得m 1，此时直线 AB 方
m 1 1 m m m
程为 y 3 2(x 1)，即 y 2x 1，直线CD方程为 y 2(x 1) ，即 y 2x 2 ，两直线平行．
故填 0 或 1．
10．【答案】（1）m 1 ；（2）m 1
2
【解析】（1）∵直线 l1：x+my+6＝0，l2：（m﹣2）x+3y+2m＝0，
由 l1⊥l2 ，可得 1×（m﹣2）+m×3＝0 1，解得m ．
2
（2）由题意可知 m 不等于 0,
由 l1∥l m 2 3 2m2 可得 ，解得 m＝﹣1．
1 m 8
2.2.1 点斜式方程
基础练
一、单选题
2
1．过点 3,2 ，斜率是 的直线方程是（ ）
3
2
A． y x 2 4 B． y x 2 C．2x 3y 0 D．3x 2y 0
3 3
2．方程 y y0 k x x0 （ ）
A．可以表示任何直线 B．不能表示过原点的直线
C．不能表示与 y 轴垂直的直线 D．不能表示与 x 轴垂直的直线
3．过点 2,0 且与直线 y 2x 5垂直的直线 l 的方程是（ ）
A． y 2x 4 B． y 2x 4 1C． y x 1 1D． y x 1
2 2
4．已知直线 l过点 2,0 ，且与直线 y 2x 1平行，则直线 l 的方程为（ ）
A． y 2x 4 B． y 2x 4 C． y 2x 4 D． y 2x 4
5．已知 A 5,2 , B 1,4 ，则 AB 的垂直平分线方程为（ ）
A． x 3y 7 0 B．3x y 3 0 C．3x y 7 0 D．3x y 7 0
6．过点 A(1,2)且与原点距离最大的直线方程是（ ）
A． x 2y 5 0 B．2x y 4 0 C． x 3y 7 0 D．3x y 5 0
二、填空题
7．直线 l过点M 1, 2 ，倾斜角为60 .则直线 l的斜截式方程为______________.
8．已知 ABC的三个顶点 A(2,3),B(4, 1),C( 2, 9)，若点D, E 分别是边 AB, AC 的中点，则线段DE
所在直线的点斜式方程是________________.
9．已知点 P1（2，3）、P2（-4，5）和 A（-1，2），则过点 A 且与点 P1、P2距离相等的直线方程为______．
三、解答题
10．求适合下列条件的直线方程：
1 A 1, 3 y 3（ ）经过点 ，倾斜角等于直线 x 的倾斜角的2倍；
3
（2）经过点B 3,4 ，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形.
参考答案
1．【答案】C
【解析】∵直线过点 3,2 2且斜率为 ，
3
由直线方程的点斜式得： y 2 2 (x 3) ，
3
整理得：2x 3y 0 .
故选 C.
2．【答案】D
【解析】因为直线的点斜式方程不能表示斜率不存在的直线，
所以 y y0 k x x0 不能表示与 x 轴垂直的直线，
故选 D。
3．【答案】D
【解析】因为所求直线与直线 y 2x 5垂直，
1
所以其斜率为 k ，
2
又所求直线过点 2,0 ，
1 1
因此，所求直线方程为： y x 2 ，即 y x 1 .
2 2
故选 D.
4．【答案】C
【解析】 直线 l与直线 y 2x 1平行，
直线 l的斜率与 y 2x 1的斜率相等，即直线 l的斜率：k 2；
又 直线 l过点 2,0 ，
则由点斜式可知直线方程为 y 0 2 x 2
整理可得： y 2x 4
故选 C.
5．【答案】B
【解析】设线段 AB 的中点坐标为 x, y ，
5 1
则 x 2, y
2 4
3，中点坐标为 2,3 ，
2 2
k 4 2 1直线 AB 的斜率 ，
1 5 3
AB垂直平分线的斜率为 3，
则 AB 的垂直平分线方程为 y 3 3 x 2 ,
化简得3x y 3 0，
故选 B.
6．【答案】A
【解析】由题知：过点 A(1,2)且与原点距离最大的直线为过点 A(1,2)且与OA垂直的直线.
k 2 y 2 1因为 OA ，故所求直线为 x 1 ，即 x 2y 5 0 .2
故选 A
7．【答案】 y 3x 3 2
【解析】 直线 l的倾斜角为60 ， 直线 l的斜率k tan 60 3 ，
又因为直线 l过点M 1, 2 ，所以直线 l的方程为 y 2 3 x 1 ，即 y 3x 3 2，
所以直线 l的斜截式方程为 y 3x 3 2 .
故填 y 3x 3 2 .
4
8．【答案】 y 3 (x 0) y 1 4 或者 (x 3)
3 3
【解析】因为 A(2,3),B(4, 1),C( 2, 9)，点D, E 分别是边 AB, AC 的中点，
所以D(3,1),E(0, 3)，
1 ( 3) 4
直线DE 的斜率为 ，
3 0 3
4 4
所以线段DE 所在直线的点斜式方程是 y 3 (x 0) 或者 y 1 (x 3) .
3 3
故填 y 3
4
(x 0) 4或者 y 1 (x 3)
3 3
9．【答案】x+3y﹣5＝0或 x＝﹣1．
【解析】①当直线与点 P1，P2的连线平行时，
3 5 1
由直线 P1P2的斜率 k ，
2 4 3
1
所以所求直线方程为 y﹣2 （x+1），
3
即 x+3y﹣5＝0；
②当直线过线段 P1P2的中点时，
因为线段 P1P2的中点为（﹣1，4），
所以直线方程为 x＝﹣1．
∴所求直线方程为 x+3y﹣5＝0或 x＝﹣1，
故答填 x+3y﹣5＝0 或 x＝﹣1．
10．【答案】（1） 3x y 3 3 0（2） x y 1 0或 x y 7 0.
2 tan
【解析】（1）已知 tan = 3 ， k tan 2 2 33 1 tan
直线方程为 y 3 3(x 1)化简得 3x y 3 3 0
（2）由题意可知，所求直线的斜率为 .
又过点 3,4 ，由点斜式得 y 4 x 3 ，
所求直线的方程为 x y 1 0或 x y 7 0.
2.2.2 两点式方程
基础练
一、单选题
1．过 1, 2 ， 5,3 的直线方程是（ ）
y 2 x 1 y 2 x 1 y 1 x 3 x 2 y 3
A． B． C． D．
5 1 3 1 3 2 5 1 5 1 5 3 5 2 2 3
2．已知三角形三个顶点 A 5,0 , B 3, 3 ,C 0,2 ，则 BC 边上中线所在直线方程是（ ）
A． x 13y 5 0 B． x 13y 5 0 C． x 13y 5 0 D． x 13y 0
3．经过点 A(2,5) , B( 3,6) 的直线在 x 轴上的截距为（ ）
A．2 B． 3 C． 27 D．27
4．下列命题中，真命题的序号是（ ）
A．经过定点P0 x0 , y0 直线都可以用方程 y y0 k x x0
x y
B．不经过原点的直线都可以用方程 1表示；
a b
C．过任意不同两点 P1 x1, y1 、P2 x2 , y2 的直线都可以用方程 y y1 x2 x1 x x2 y2 y1
D．经过 A 0,b 的直线都可以用方程 y kx b表示
5．已知 ABC的三个顶点为 A(1,2)，B(3,6) ,C(5,2)，M 为 AB 的中点，N 为 AC 的中点，则中位线MN
所在直线方程为（ ）
A．2x y 8 0 B．2x y 8 0
C．2x y 12 0 D．2x y 12 0
6．已知△ABC的三个顶点分别为 A 2,8 ，B 4,0 ，C 6,0 ，则过点 B 将 ABC的面积平分的直线方
程为（ ）
A．2x y 4 0 B． x 2y 4 0
C．2x y 4 0 D． x 2y 4 0
二、填空题
7．一条光线从点P(6,4)射出，与 x 轴相较于点Q(2,0)，经 x 轴反射，则反射光线所在的直线方程为______
8．已知 ABC的三个顶点分别为 A 1,2 ， B 4,1 ，C 3,6 ，则 AC 边上的中线BM 所在直线的方程为
______．
9．两条直线 l1：a1x b1y 1 0和 l2 ：a2x b2 y 1 0相交于点 P 5, 6 ，则过点 A a1,b1 ，B a2 ,b2
的直线方程为_______
三、解答题
10．已知△ABC的三个顶点 A(1,1) ，B(2,0)，C(4,4) .
（1）求 AB 边所在直线的方程；
（2）求BC 边上中线所在直线的方程.
参考答案
1．【答案】B
【解析】因为所求直线过点 1, 2 ， 5,3 ，
y 2 3 2 y 2 x 1
所以 ，即 .
x 1 5 1 3 2 5 1
故选 B
2．【答案】C
【解析】 B 3, 3 ,C 0,2 0 3 2 3 3 1, BC 中点的坐标为（ ， ），即（ ， ）.
2 2 2 2
3 1
则 BC 边上的中线应过 A 5,0 , , 2 2 两点，
y x 5
由两点式得： 0 1 3 5 ，整理，得
x 13y 5 0.
2 2
故选 C.
3．【答案】D
【解析】由两点式得直线方程为＝，即 x＋5y－27＝0，令 y＝0 得 x＝27．
故选 D．
4．【答案】C
【解析】对 A,当经过定点P0 x0 , y0 直线垂直于 x 轴时不成立.故 A 错误.
x x y对 B, 直线垂直于 轴时不可以用方程 1表示.故 B 错误.
a b
y y
对 C,当直线P1P2 斜率存在时,方程为 y y1
2 1 x x
x x 2 成立
.
2 1
当直线P1P2 斜率不存在时 x1 x2 ,方程为 x x2 成立.故 C 正确.
对 D, 直线垂直于 x 轴时不可以用方程 y kx b表示.
故选 C
5．【答案】A
【解析】
由中点坐标公式可得 M(2,4),N(3,2),再由两点式可得直线 MN 的方程为 = ,即 2x+y-8=0.
故选 A
6．【答案】D
【解析】由 A 2,8 ，C 6,0 ，则 A,C 的中点坐标为D 4,4 ，
则过点 B 将 ABC的面积平分的直线过点 D 4,4 ，
4 0
则所求直线方程为 y (x 4) ，
4 ( 4)
即 x 2y 4 0，
故选 D.
7．【答案】 y x 2
【解析】由光学知识可得反射光线所在的直线过点Q 2,0 和 P 6,4 关于 x 轴的对称点M (6, 4)，其
y 0 4 0
直线方程为 ，即 x y 2 0 .
x 2 6 2
故填 y x 2
8．【答案】3x 2y 14 0
【解析】∵ AC 的中点M（2，4），
∴ AC 边上的中线 BM 所在的直线方程为：
y 4 x 2
，
1 4 4 2
整理，得3x 2y 14 0，
故填3x 2y 14 0．
9．【答案】5x 6y 1 0
【解析】因为两条直线 l1： a1x b1y 1 0和 l2 ：a2x b2 y 1 0相交于点P 5, 6 ,
所以5a1 6b1 1 0 ,5a2 6b2 1 0 ,
所以点 A a1,b1 , B a2 ,b2 都在直线5x 6y 1 0上,
所以过点 A a1,b1 ， B a2 ,b2 的直线方程为: 5x 6y 1 0 .
故填5x 6y 1 0
10．【答案】（1） x y 2 0；（2） x 2y 1 0
【解析】（1）因为 A(1,1) ，B(2,0)，
y 0 x 2
由直线的两点式方程可得： AB 边所在直线的方程 ，
1 0 1 2
化简可得 x y 2 0；
（2）由B(2,0)，C(4,4)，
D(2 4 , 0 4则 BC 中点 ) ，即D(3,2) ，
2 2
y 2 x 3
则 BC 边上中线 AD所在直线的方程为 ，
1 2 1 3
化简可得 x 2y 1 0 .
2.2.3 一般式方程
基础练
一、单选题
1．过点（0，1）且与直线 2x﹣y+1＝0 垂直的直线方程是（ ）
A．x+2y﹣1＝0 B．x+2y﹣2＝0 C．2x﹣y﹣1＝0 D．2x﹣y﹣2＝0
2．过点(－1,3)且平行于直线 x－2y＋3＝0 的直线方程为（ ）
A．2x＋y－1＝0 B．x－2y＋7＝0 C．x－2y－5＝0 D．2x＋y－5＝0
3．直线 x 3 y+1=0的倾斜角是（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
4．直线方程 kx－y+2－3k=0 恒过定点（ ）
A．（3，2） B．（2，3） C．（－3，2） D．（－2，3）
5．设直线5x 3y 15 0在 x 轴上截距为a，在 y 轴上的截距为b ，则（ ）
A．a 5,b 3 B．a 3,b 5 C．a 3,b 5 D．a 3,b 5
6．已知直线方程为ax by c 0．若ac 0，bc 0，则此直线不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二、填空题
7．已知直线 l1 :3x y 2 0， l2 :mx y 1 0 .若 l1//l2 ，则m ________.
8．已知直线 l : x 2y 1 0，点 A a,1 ， B 2,3 ，若直线 AB l ，则a的值为__________．
9． k 取任意实数时，直线 2 k 1 x k 6 y k 4 0 恒经过定点 P ，则点 P 的坐标为_________.
三、解答题
10．已知直线 l : 2a b x a b y a b 0 及点P 3,4 ．
（1）证明直线 l过某定点，并求该定点的坐标．
（2）当点 P 到直线 l的距离最大时，求直线 l的方程．
参考答案
1．【答案】B
【解析】因为过点（0，1）的直线与直线 2x﹣y+1＝0 垂直，
1
所以过点（0，1）的直线的斜率为 k ，
2
所以所求直线为 y 1
1
(x 0)，即 x 2y 2 0，
2
故选 B
2．【答案】B
【解析】设直线方程式是：x－2y＋c＝0
因为直线过点(－1,3)
所以-1-6+c=0，解得 c=7
故所求直线方程是：x－2y＋7＝0
故选 B
3．【答案】D
1 3
【解析】直线 x 3 y+1=0 的斜率 k ，
3 3
设其倾斜角为 θ（0°≤θ<180°），
tan 3则 ，
3
∴θ=150°
故选 D
4．【答案】A
【解析】因为直线方程 kx－y+2－3k=0，
即为 k x 3 y 2 0
x 3 0
所以 ，
y 2 0
x 3
解得 ，
y 2
所以直线恒过定点（3，2）.
故选 A
5．【答案】B
【解析】由直线5x 3y 15 0
令 y 0, x 3
令 x 0, y 5
即a 3,b 5
故选 B
6．【答案】B
c
【解析】令 x 0可得 y 0；
b
令 y 0 c可得 x 0，故直线不经过第二象限，
a
故选 B.
7．【答案】3
【解析】因为直线 l1 :3x y 2 0， l2 :mx y 1 0，且 l1//l2 ，
则3 1 1 m，解得m 3 .
故填3 .
8．【答案】1
1
【解析】因为直线 l : x 2y 1 0的斜率为 k ，
2
又点 A a,1 ， B 2,3 ，直线 AB l ，
k k 3 1 1所以 AB 1
，即 1，解得：a 1.2 a 2
故填1
9．【答案】（1，-1）
【解析】直线方程可整理为： 2x y 1 k 2x 6y 4 0
2x y 1 0 x 1
令 ，解得：2x 6y 4 0
，即定点P 的坐标为 1, 1
y 1
故填 1, 1 .
10．【答案】（1）证明见解析,定点坐标为 2,3 （2）5x y 7 0
【解析】（1）直线 l方程可化为：a 2x y 1 b x y 1 0
2x y 1 0
由 ，解得 x 2且 y 3，
x y 1 0
直线恒 l过定点 A，其坐标为 2,3 ．
（2）由直线恒 l过定点 A 2,3 ，
当点 P 在直线 l上的射影点恰好是 A时，
即 PA l 时，点 P 到直线 l的距离最大
k 4 3 1PA的斜率 PA 3 2 5
1
直线 l的斜率 k 5kPA
由此可得点 P 到直线 l的距离最大时，
直线 l的方程为 y 3 5 x 2 ，即5x y 7 0．
2.2.3 一般式方程
基础练
一、单选题
1．如果 pr 0，qr 0，那么直线 px qy r 0不通过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知直线 l1 : xsin 2y 1 0，直线 l2 : x ycos 3 0，若 l1 l2 ，则 tan2 （ ）
2 4 2 4
A． B． C． D．
3 3 5 5
3．点 P(2,3)到直线：ax (a 1)y 3 0的距离d 最大时，d 与 a 的值依次为（ ）
A．3，－3 B．5，2 C．5，1 D．7，1
4．设M x1, y1 , N x2 , y2 为不同的两点，直线 l : ax by c 0,
ax1 by c 1
ax2 by c
，下列命题正确的有
2
（ ）
①不论 为何值，点 N 都不在直线 l上；
②若 1，则过点M , N 的直线与直线 l平行；
③若 1，则直线 l经过MN 的中点；
④若 1，则点M , N 在直线 l的同侧且直线 l与线段MN 的延长线相交．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
二、填空题
5．已知m ， n为正数，且直线 x n 2 y 5 0与直线nx my 3 0互相垂直，则m 2n 的最小值
为______.
6．方程 x y 6 x y 3m 0表示两条直线，则m 的取值范围是__________.
三、解答题
7．已知直线方程为 2 m x 2m 1 y 3m 4 0 .
（1）证明：直线恒过定点；
（2）m 为何值时，点Q 3,4 到直线的距离最大，最大值为多少？
（3）若直线分别与 x 轴， y 轴的负半轴交于 A, B 两点，求 AOB面积的最小值及此时直线的方程.
参考答案
1．【答案】C
r
【解析】当 x 0时，qy r 0， qr 0， y 0q
r
当 y 0时， px r 0， pr 0， x 0，
p
直线的横截距和纵截距都是正数，所以直线过第一，二，四象限，不过第三象限.
故选 C
2．【答案】B
【解析】因为 l1⊥l2，所以sin 2cos 0，
所以 tanα=2，
所以 tan 2
2 tan 4 4
.
1 tan2 1 4 3
故选 B．
3．【答案】C
【解析】 直线ax a 1 y 3 0，
即 a x y 3 y 0，
直线ax a 1 y 3 0是过直线 x y 0和3 y 0交点的直线系方程，
x y 0 x 3
由 ，得3 y 0
，
y 3
可得直线ax a 1 y 3 0经过定点Q 3,3 ，
当直线ax a 1 y 3 0与PQ垂直时，
点 P 2,3 到直线ax a 1 y 3 0的距离最大，
d 2的最大值为 PQ 2 3 3 3 2 5，
此时PQ / /x 轴，
可得直线ax a 1 y 3 0斜率不存在，即 a 1.
故选 C.
4．【答案】D
ax1 by1 c
【解析】因为 axax by c 中， 2
by2 c 0，所以点 N 不在直线 l 上，故①正确
2 2
ax1 by1 c 1 y2 y1 a当b≠0时，根据 1得到 ax by c ，化简得
2 2 x
，
2 x1 b
a a
即直线MN 的斜率为 ，又直线 l的斜率为 ，由①可知点 N 不在直线 l上，
b b
得到直线MN 与直线 l平行
当b 0时，可得直线MN 与直线 l的斜率都不存在，也满足平行，故②正确
ax by c x x y y
当 1 1 1时，得到 1 1 2 1 2ax by c ，化简得a b c 02 2 2 2
x1 x2 y1 y2
而线段MN 的中点坐标为 , ，所以直线 l经过MN 的中点，故③正确
2 2
ax by c ax by c
当 1 1 1 1 1时，得到 1ax ，所以
0，
2 by2 c ax2 by2 c
即 ax1 by1 c ax2 by2 c 0，所以点M , N 在直线 l 的同侧
且 ax1 by1 c ax2 by2 c ，可得点M 与点 N 到直线 l 的距离不等，
所以延长线与直线 l相交，故④正确
综上：命题正确的有 4 个
故选 D
5．【答案】9
【解析】 直线 x (n 2)y 5 0与直线nx my 3 0互相垂直，
2 1
n (n 2)m 0， 2m n mn， 1，
n m
m 2n (m 2n)(2 1 )=5 2m 2n 2m 2n 5 2 9，
n m n m n m
当且仅当m n 3时取等号.
故填 9
6．【答案】 0,3
【解析】令 t x y 0，则关于 t 的二次方程 t2 6t 3m 0在 t 0, 上有两个不等的实根，
令 f t t2 6t 3m ，则二次函数 f t 在 t 0, 有两个不同的零点，
36 12m 0
所以， f 0 3m 0 ，解得0 m 3 .
因此，实数m 的取值范围是 0,3 .
故填 0,3 .
4
7．【答案】（1）证明见解析（2）m ；2 13 （3）最小值为4；此时直线的方程2x y 4 07
【解析】（1）证明：直线方程为 2 m x 2m 1 y 3m 4 0，可化为
2x y 4 x 2y 3 0 x 1 m x 2y 3 0 ，对任意m 都成立，所以 ，解得 ，所以
2x y 4 0
y 2
直线恒过定点 1, 2 ；
（2）解：点Q 3,4 到直线的距离最大，
可知点Q 与定点P 1, 2 的连线的距离就是所求最大值，
3 1 2
4 2 3
即 4 2 2 2 13 . kPQ ，3 1 2
2 m x 2m 1 y 3m 4 0 2的斜率为 ，
3
2 2 m
可得
4
，解得m .
3 2m 1 7
（3）解：若直线分别与 x 轴， y 轴的负半轴交于 A, B 两点，直线方程为 y 2 k x 1 ，k 0，
2
则 A 1,0
，B 0,k 2 ，
k
S 1 2△AOB 1 k 2
1 2 2 k 2 k
2 k 2
1 k 2 2 2 2 4，
k k 2 k 2
当且仅当k 2时取等号，面积的最小值为4 .
此时直线的方程2x y 4 0 .
2.3.1~2.3.2 直线的交点坐标、两点间的距离公式
基础练
一、单选题
1．已知直线 x 2与直线 y 2x 1交于点 P，则点 P 的坐标为（ ）
A．（1,5） B．（2,3） C．（3,1） D．（0,0）
2．直线 y x 5与直线 y x 1的交点坐标是（ ）
A． 1, 2 B． 2,3 C． 3,2 D． 2,1
3．若三条直线2x 3y 8 0， x y 1 0与直线 x ky 0交于一点，则 k （ ）
A．-2 B．2 C 1． D 1．
2 2
4．点 A在 x 轴上，点 B 在 y 轴上，线段 AB 的中点M 的坐标是 3,4 ，则 AB 的长为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
5．已知点 P a, 2 ，Q 2, 3 ，M 1,1 ，且 PQ PM ，则a的值是()
9 9
A． 2 B．2 C． D．2 2
6．直线2x 3y k 0和 x ky 12 0的交点在 y 轴上，则 k 的值为（ ）
A．-24 B．6 C． 6 D．-6
二、填空题
7．已知点 A 2,1 ，点B 5, 1 ，则 AB ________．
8．已知直线 l1 : 3x 2y 5 0与直线 l2 : 4x ay 11 0，且 l1 l2 ，则直线 l1与直线 l2 的交点坐标是
______．
x, y 4x my m 29．若关于 的二元一次方程组 有无穷多组解，则m ______．
mx y m 0
三、解答题
3
10．已知直线 l1 的方程为x 2y 4 0，若 l2 在 x 轴上的截距为 ，且 l1 l2 ．2
（1）求直线 l1 和 l2 的交点坐标；
（2）已知直线 l3经过 l1 与 l2 的交点，且在 y 轴上截距是在 x 轴上的截距的 2 倍，求 l3的方程．
参考答案
1．【答案】B
【解析】联立直线 x 2与直线 y 2x 1的方程，
容易得 x 2, y 3，
故点 P 的坐标为 2,3 .
故选 B.
2．【答案】B
y x 5 x 2
【解析】联立两直线的方程 ，解得y x 1
，因此，两直线的交点坐标是 2,3 .
y 3
故选 B.
3．【答案】C
【解析】两方程联立可得交点坐标为：( 1, 2)，代入第三条直线方程： 1 2 = 0，
解得： = 1.2
故选 C.
4．【答案】D
【解析】设 A x，0 ,B 0,y
因为 AB 的中点M 的坐标是 3,4 ,
所以由中点坐标公式得 x 6,y 8，
所以点 A 6，0 ,B 0,8
则由两点间的距离公式得 | AB | (0 6)2 (8 0)2 100 10 .
故选D .
5．【答案】C
【解析】因为点 P a, 2 ，Q 2, 3 ，M 1,1 ，且 PQ PM ，所以
2 2
9
a 2 2 3 a 1
2 2 1 2 .解得a .2
故选 C.
6．【答案】C
【解析】因为两条直线2x 3y k 0和 x ky 12 0的交点在 y 轴上，
所以设交点为 (0,b)，
3b k 0
所以 ，消去b ，可得k 6．
kb 12 0
故选C ．
7．【答案】 13
【解析】点 A（2，1），B（5，﹣1），则|AB| 2 5 2 (1 1)2 13．
故填 13 ．
2, 18．【答案】
2
【解析】因为 l1 l2 ，所以3 4 2a 0，所以a 6．
3x 2y 5 0,
x 2,
联立 解得 ，
4x 6y 11 0,
y 1 , 2
l l 故直线 1与直线 2 的交点坐标是 2,
1
．
2
2, 1 故填 2
9．【答案】 2
4x my m 2 0
【解析】依题意二元一次方程组 有无穷多组解，即两个方程对应的直线重合，由
mx y m 0
4 1 m m解得m 2或m 2 .
4x 2y 0 2x y 0
当m 2 时，二元一次方程组为 ，两直线不重合，故m 2 不符合
2x y 2 0 2x y 2 0
题意.
4x 2y 4 0 2x y 2 0
当m 2时，二元一次方程组为 ，两直线重合，符合题意.
2x y 2 0
2x y 2 0
综上所述，m 的值为 2 .
故填 2
1
10．【答案】（1） 2，1 ；（2） y x或2x y 5 0
2
k 1
【解析】（1）∵l l1⊥l2，∴ 2 1 2 ．
2
3
∴直线 l2的方程为：y﹣0＝2（x ），化为：y＝2x﹣3．
2
x 2y 4 0 x 2
联立 ，解得 ．
2x y 3 0
y 1
∴直线 l1和 l2的交点坐标为（2，1）．
1
（2）当直线 l3经过原点时，可得方程：y x．
2
当直线 l3不经过过原点时，设在 x轴上截距为 a≠0，则在 y 轴上的截距的 2a 倍，
x y 2 1 5
其方程为： 1，把交点坐标（2，1）代入可得： 1，解得 a ．
a 2a a 2a 2
可得方程：2x+y＝5．
综上可得直线 l3的方程为：x﹣2y＝0，2x+y﹣5＝0．
2.3.3~2.3.4 点到直线的距离、两条平行线间的距离
基础练
一、单选题
1．点（1，-1）到直线 x-y+1=0 的距离是（ ）
1 3
A B C 2 D 3 2． ． ． ．
2 2 2 2
2．已知点(a,2) (a>0)到直线 l: x-y+3=0 的距离为 1, 则 a 的值为（ ）
A． 2 B．2- 2 C． 2 -1 D． 2 +1
3．已知点 A 的坐标为（-4，4），直线 l 的方程为 x+y-2=0，则点 A 关于 l 的对称点 A'的坐标为（ ）
2
A． , 4
B． 2,6 C． 2,4 D． 1,6
3
4．点 M(4，m）关于点 N（n, － 3）的对称点为 P（6，-9）则（ ）
A．m＝－3,n＝10 B．m＝3,n＝10 C．m＝－3, n＝5 D．m =3, n = 5
5．点 A cos ,sin 到直线3x 4y 4 0距离的最大值为（ ）
1 4 9
A． B． C．1 D．
5 5 5
6．点 A（1，3）关于直线 y＝kx＋b 对称的点是 B（–2，1），则直线 y＝kx＋b 在 x 轴上的截距是（ ）
3 5 6 5
A． B． C． D．
2 4 5 6
二、填空题
7．点 P 1,2 到直线 l : y 3x的距离为______.
8．点 ( 1,1) 关于直线 x y 1 0的对称点是______.
9．点 P(m,6)到直线3x 4y 2 0的距离不大于 4，则m 的取值范围是________．
三、解答题
10．在平面直角坐标系中，已知直线 l :ax 3y 2 0，若直线 l 在 x 轴上的截距为 2 ，
（1）求实数 a的值，并写出直线 l的斜截式方程；
（2）求出点M (3,1)到直线 l的距离.
参考答案
1．【答案】D
【解析】由题意得点（1，-1）不在直线上，
1 ( 1) 1
1 -1 d 3 2所以点（ ， ）到直线的距离为 ．
1 1 2
故选 D．
2．【答案】C
| a 2 3 |
【解析】由点到直线 l 的距离公式得：d 1，解得: a 1 2 ,又a 0，故2 a 2 1
，
故选 C
3．【答案】B
【解析】设点 A( 4,4)关于直线 x y 2 0的对称点 A 的坐标为 (a,b)，
b 4
1 a 4
则由 ，求得a 2，b 6，故点 A ( 2,6)，
a 4 b 4 2 0
2 2
故选 B．
4．【答案】D
【解析】
4 6 m 9
因为点 M，P 关于点 N 对称，所以由中点坐标公式可知n 5, 3 , m 3 .
2 2
故选 D
5．【答案】D
3cos 4sin 4【解析】点 A cos ,sin 到直线3x 4y 4 0距离d ，
32 42
5sin 4
化简得d ，
5
其中 满足 tan
3
，
4
当 sin 1时d 取得最大值，
即 d 9 .
5
故选 D.
6．【答案】D
3－1 k＝－1
{1＋2 3 5【解析】由题意知 ，解得 k1 ＝－ ，
b＝ ，
2 k 2 4＝ － ＋b
2
3 5 5
∴直线方程为 y＝－ x＋ ，其在 x 轴上的截距为 .
2 4 6
故选 D
7 10．【答案】
2
【解析】由题可知： l : y 3x，则 l :3x y 0
3 1 2 10
所以点P 1,2 到该直线的距离为d
32 1 2 2
10
故填
2
8．【答案】 2, 2
【解析】设点 M（﹣1，1）关于直线 l：x﹣y﹣1=0 对称的点 N 的坐标（x，y）
x 1 y 1
则 MN 中点的坐标为（ ， ），
2 2
y 1 x 1 y 1
利用对称的性质得：KMN= =﹣1，且 ﹣ ﹣1=0，
x 1 2 2
解得：x=2，y=﹣2，
∴点 N 的坐标（2，﹣2），
故填（2，﹣2）．
2, 46 9．【答案】 3
3m 4 6 2 46
【解析】依题意可知， 4 2 m
32 4 2
，解得 ．
3
故填 2,
46
．
3
1 2
10．【答案】（1）a=1； y x 10；（2）
3 3 5
【解析】（1）因为直线 l在 x 轴上的截距为-2，
所以直线经过点(-2，0)，
代入直线方程得-2a+2=0，解得 a=1，
所以直线 l的方程为 x-3y+2=0，
所以直线 l的斜截式方程为 y
1
x 2 .
3 3
（2）点 M(3，1)到直线 l的距离，
3 3 2 10
所以d .
12 ( 3)2 5
2.3.3~2.3.4 点到直线的距离、两条平行线间的距离
基础练
一、单选题
1．若两条平行直线 l1 : x 2y m 0 m 0 与 l2 : 2x ny 6 0之间的距离是2 5 ，则m n （ ）
A．3 B． 17 C．2 D．3或 17
2．若直线 l与直线 y ax b(a 0)关于直线 y x 对称，则直线 l的方程是（ ）
y x x x b x bA． b B． y b C． y D． y
a a a a a a
3．在等腰直角三角形 ABC 中，AB AC 2，点 P 是边 AB 上异于 A、B 的一点，光线从点 P 出发，经BC 、
CA反射后又回到点 P（如图所示），若光线QR 经过 ABC的重心，则 AP （ ）
1 2 4
A．1 B． C． D．
2 3 3
4．将一张画了直角坐标系（两坐标轴单位长度相同）的纸折叠一次，使点 2,0 与点 2,4 重合，则与点
5,8 重合的点是（ ）
A． 6,7 B． 7,6 C． 5, 4 D． 4, 5
二、填空题
5．直线ax 2y 6 0与直线 x (a 1)y a2 1 0 平行，则两直线间的距离为______.
6．已知定点 A 到动直线 l：2mx 1 m2 y 4m 2 0（m R）的距离为一常数，则定点 A 的坐标为
________．
三、解答题
7．设集合 A { l |直线与 y 2x直线相交且以交点的横坐标为斜率}．
（1）点 ( 2,0)到 A中哪条直线距离最小；
（2）设 P( 2,a)，点 P 到 A中直线距离的最小值设为d(a)，求d(a)．
参考答案
1．【答案】A
【解析】由题意直线 l1 : x 2y m 0 m 0 与 l2 : 2x ny 6 0平行，
则两条直线的斜率相等，即n 4，
2m 6
又直线间的距离为2 5 ，即 2 5 ，解得m 7 ，
4 16
所以m n 3 .
故选 A
2．【答案】C
【解析】在直线 y ax b(a 0)上任取一点 P x0 , y0 ，设关于直线 y x 的对称点为Q x, y ，
y y0
1
x x x0 y
所以 0 ，解得 ，
y y0 x x 0
y0 x
2 2
代入 y ax b，
得： x ay b，
x b
所以直线 l的方程是 y .
a a
故选 C
3．【答案】C
【解析】建立如图所示的直角坐标系：
可得B(2,0),C(0,2)，故直线 BC 的方程为 x y 2，
(0 2 0 , 0 0 2) (2 2ABC的重心为 ，即 , )
3 3 3 3
设 P(a, 0) ，其中0 a 2，
a x y 0
2
P BC P (x, y) 2 2则点 关于直线 的对称点 1 ，满足 ，
y 0 1 1
x a
x 2
解得 ，即P1(2, 2 a) ，P 关于 y轴的对称点P2 ( a,0)，
y 2 a
由光的反射原理可知 P1，Q，R，P2四点共线，
2 a 0 2 a
y 2 a直线 QR 的斜率为 k 2 a 2 a ，故直线 QR 的方程为 (x a) ，2 a
2 2
由于直线 QR 过 ABC的重心 ( , )，代入化简可得3a23 3 2a 0
，
解得a
2 2
，或a 0（舍去），故P( ,0)
2
，故 AP
3 3 3
故选 C
4．【答案】A
【解析】由已知得折线为点 2,0 和 2,4 的垂直平分线，
两点 2,0 和 2,4 连线段的中点为 0,2 4 0,斜率为 1，
2 2
∴其垂直平分线的斜率为 1，垂直平分线方程为 y=x+2，
设点 5,8 关于直线 y x 2的对称点为P x0 , y0 ,
y0 8 x 5
0 2
2 2 x0 6
则 y 8 ，解得 ， 0 1 y0 7
x0 5
故选 A.
5 6 5．【答案】
5
【解析】直线ax 2y 6 0与直线 x (a 1)y a2 1 0 平行，
则 a(a 1) 2 0，即a2 a 2 0，
解得a 2或 1．
当a 2时，两直线重合，
故a 1，两直线方程可化为： x 2y 6 0与 x 2y 0
| 6 | 6 5
所以两平行线间的距离 d
1 22 5
6 5
故填
5
6．【答案】 2,1
2ma 1 m2 b 4m 2
【解析】设定点 A 为 a,b ，所以点 A到直线 l 的距离d
2m 2
2
1 m2
无论m R， d 为定值，所以令m 0可得，d b 2 ，令m 1可得，d a 3 ，
令m 1可得，d a 1 ，由 a 3 a 1 可得，a 2，即有b 1或b 3．
2ma 1 m2 b 4m 2 1 m2
当定点 A 为 2,1 时，d 1
2 2 2 1 m
2 ，符合题意；
2m 1 m
2ma 1 m2 b 4m 2 1 3m2
当定点 A 为 2,3 时，d 2 1 m2 ，显然d 的值随m 的变化而变化， 2m 2 1 m2
不符题意，舍去．
综上可知，动直线 l是以 2,1 为圆心,半径为1的圆的切线系，所以定点 A 为 2,1 ．
故填 2,1 ．
2 a 1, a 2
7．【答案】（1）到 y 0距离最小；（2）d (a) a, 0 a 2
0, a 0
2
【解析】（1）设交点为 (k,2k)，则直线 l的方程为 y 2k k(x k)，即 kx y k 2k 0．
2k k 2 2k
( 2,0) l d k 2 1 1点 到直线 的距离 关于 k 2 单调递增，所以，当 k 0时，
k 2 1 k 2 1
距离最小为 0，此时直线 l的方程为 y 0．
2k a k 2 2k k 2 a (a 1)2
（2）因为d (a) k 2 1 2 2(a 1) ，k 2 1 k 2 1 k 1
2
因为设 t k2 1 1，d (a) f t t (a 1) 2(a 1) ，所以
t
2 d (a) 2 a 1 2(a 1) 2 a 1, a 2当 (a 1) 1，即a 2或 a 0时， ；
0, a 0
当 (a 1)2 1即0 a 2时， f t 在 1, 上单调递增，d (a) f 1 | a | a．
2 a 1, a 2
综上，d (a) a, 0 a 2．
0, a 0
2.4.1 圆的标准方程
基础练
一、单选题
1．圆心为 3,1 ，半径为 5的圆的标准方程是（ ）
A． x 3 2 y 1 2 5 B x 3 2 2． y 1 25
C． x 3 2 y 1 2 5 D． x 3 2 y 1 2 25
2．已知圆的一条直径的端点分别是 A 0,0 ， B 2,4 ，则此圆的方程是（ ）
A． x 1 2 y 2 2 5 B x 1 2． y 2 2 25
C 2． x 5 2 y2 5 D． x 5 y2 25
3．圆心为 1, 2 ，且与 x轴相切的圆的标准方程为（ ）
A． x 1 2 y+2 2 2 B x 2 2． 1 y 2 4
C． x 1 2 y 2 2 2 D． x 1 2 y 2 2 4
4．以P 2,3 为圆心，且圆心到 y 轴的距离为半径的圆的方程是（ ）
A． (x 2)2 (y 3)2 4 B． (x 2)2 (y 3)2 4
C． (x 2)2 (y 3)2 9 D． (x 2)2 (y 3)2 9
5 2．已知圆C 与圆 x 1 y2 1关于直线 y x对称，则圆C 的方程为（ ）
A． x 1 2 y2 2 B x2． y2 2
C x2． y 1 2 1 D． x2 y 1 2 1
6．若圆C 的半径为 1，圆心在第一象限，且与直线4x 3y 0和 x 轴相切，则该圆的标准方程是（ ）
2
A (x 2)2 (y 1)2 1 B (x 3)2 y 7 ． ． 1
3
2
C． (x 1)2 (y 3)2 1 D x 3 ． (y 1)
2 1
2
二、填空题
7．圆 C 的圆心为点 8, 3 ，且经过点 A 5,1 ，则圆 C 的方程为________.
8 2．圆 x 1 y2 1的圆心到直线 x 3y 1 0的距离为________.
9．经过点 1，0 、 0，2 且圆心在直线 y 2x上的圆的方程是________.
三、解答题
10．已知圆C 过点O 0,0 ， A 6,0 ， B 0,8 .
（1）求圆C 的方程；
（2）若 P 为圆C 上的动点，求 PAB面积的最大值.
参考答案
1．【答案】D
【解析】∵所求圆的圆心为 3,1 ，半径为 5，
∴所求圆的标准方程为： x 3 2 y 1 2 25，
故选 D.
2．【答案】A
【解析】 直径两端点为 0,0 , 2,4 圆心坐标为 1, 2
圆的半径 r 1 0 2 2 0 2 5 ，
2 2圆的方程为： x 1 y 2 5 .
故选 A.
3．【答案】B
【解析】因为圆心为 1, 2 ，圆与 x轴相切，
所以圆的半径为 2，
2 2
所以圆的标准方程为 x 1 y 2 4，
故选 B
4．【答案】B
【解析】圆心P 2,3 到 y 轴的距离为 2 2，所以圆的半径为 2，
2 2 2
故圆的方程为 (x 2) (y 3) 2 4 .
故选 B.
5．【答案】C
【解析】由题意，圆心为 0, 1 ，半径 r 1 2，则圆的方程为 x y 1 2 1，
故选 C．
6．【答案】A
【解析】设圆心坐标为（a，b）（a＞0，b＞0），
4a 3b
由圆与直线 4x-3y=0 相切，可得圆心到直线的距离 d= r 1，化简得：|4a-3b|=5①，
5
又圆与 x 轴相切，可得|b|=r=1，解得 b=1 或 b=-1（舍去），
1
把 b=1 代入①得：4a-3=5 或 4a-3=-5，解得 a=2 或 a=-
2
（舍去），∴圆心坐标为（2，1），
则圆的标准方程为：（x-2）2+（y-1）2=1．
故选 A
7．【答案】 x 8 2 y 3 2 25
【解析】由于圆 C 的圆心为点 8, 3 ，且经过点 A 5,1 ，
圆的半径为 r ，则 r2 8 5 2 3 2 1 25 ,
2
所以圆的方程为 x 8 y 3 2 25，
故填 x 8 2 y 3 2 25 .
8．【答案】1
【解析】圆 x 1 2 y2 1的圆心坐标为 1,0 ，
x 1 2所以圆 y2 1的圆心到直线 x 3y 1 0的距离为：
1 1 3 0 1
d 1
2 ，
12 3
故填 1
9 1
2
5
．【答案】 x y 1
2
2 4
2 2
【解析】设圆的方程为 x a y b r2，
因为圆心 a，b 在直线 y 2x上，得b 2a，
2 2 2
所以可得圆的方程为 x a y 2a r ，
因为圆经过点 1，0 、 0，2 ，
1
1 a
2 0 2a 2 r2 a 2
所以 ，解得 ，
0 a
2 2 2a 2 r2
r
5
2
2
1 5
因此，所求圆的方程为 x y 1
2 ，
2 4
x 1
2
y 1 2 5故填 。
2 4
10 2 2．【答案】（1） x 3 y 4 25 .（2）25.
【解析】（1）由平面几何知识可知，所求圆心为 3,4 ，半径 r 5，
∴圆C 的方程为 x 3 2 y 4 2 25 .
（2） AB 的方程为4x 3y 24 0，
∵ AB 过圆心， AB 10 .
当 P 到直线的距离为 5 时， PAB面积最大，
S 1此时 PAB 10 5 25 .2
2.4.2 圆的一般方程
基础练
一、单选题
1．圆 x2 y2 2x 4y 4 0的圆心是（ ）
A． 1, 2 B． 2, 4 C． 1,2 D． 2,4
2．已知m 是实常数，若方程 x2 y2 2x 4y m 0 表示的曲线是圆，则m 的取值范围为（ ）
A． , 20 B． ,5 C． 5, D． 20,
3 x2．圆 y2 4x 6y 9 0的圆心到直线ax y 1 0的距离为 2，则a （ ）
4 3
A． B． C． 2 D．23 4
4．已知圆 x2+y2+2x﹣4y﹣8=0 的圆心在直线 3x+y﹣a=0，则实数 a 的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3
5 ax2 by2．若 cxy 2ax 4by a3 0 表示面积为 的圆的方程，则实数a的值为（ ）
A．2 B． 2 C．1 D． 1
6．圆C : x2 y2 x 6y 3 0 上有两点 A,B 关于直线 kx y 4 0对称，则 k=（ ）
A．2 B 3 3． C． D．不存在
2 2
二、填空题
7．已知点 A(－4，－5)，B(6，－1)，则以线段 AB 为直径的圆的一般方程为____．
8 2 2．在平面直角坐标系中，圆的方程为 x y 2x 6y 1 0 ，该圆的周长为__________.
3
9．点 (1, )在圆 x2 y2 2y m2 m 1 0外，则实数m 的取值范围是__________
2
三、解答题
10．已知方程x2 y2 2mx 4y 2m2 3m 0表示一个圆．
（1）求实数m 的取值范围；
（2）求半径 R 的最大值．
参考答案
1．【答案】A
【解析】圆 x2 y2 2x 4y 4 0的标准方程为 x 1 2 2 y 2 1，圆心的坐标为 1, 2 ,
故选 A.
2．【答案】B
【解析】由于方程 x2 y2 2x 4y m 0表示的曲线为圆，则22 42 4m 0，解得m 5 .
因此，实数m 的取值范围是 ,5 .
故选 B.
3．【答案】B
2
【解析】圆的标准方程是 (x 2) (y 3)2 4 ，圆心为 (2,3) ，
2a 3 1
∴ 2
3
，解得a ．
a2 1 4
故选 B.
4．【答案】A
【解析】根据题意，圆 x2+y2+2x﹣4y﹣8=0的圆心为(﹣1，2)，
若圆 x2+y2+2x﹣4y﹣8=0 的圆心在直线 3x+y﹣a=0 上，则有 3×(﹣1)+2﹣a=0，
解得：a=﹣1；
故选 A.
5．【答案】B
2 2
【解析】方程ax by cxy 2ax 4by a3 0 表示圆，且圆的半径为1，
可得a(x 1)2 b(y 2)2 cxy a 4b a3，
a b 0
可得 c 0 ，解得a 2，经检验，均符合题意.
a 4b a
3
1
a
故选 B.
6．【答案】A
1
【解析】由题意得直线 kx y 4 0
经过圆心C ,3
k
，所以 3 4 0 ，解得 k 2，
2 2
故选 A
7．【答案】 x2 y2 2x 6y 19 0
【解析】因为点 A(－4，－5)，B(6，－1)
所以圆心为： 1, 3 ABr 100 16， 29
2 2
所以圆的标准方程为： x 1 2 y 3 2 29
2 2
所以圆的一般方程为： x y 2x 6y 19 0
x2故填 y2 2x 6y 19 0
8．【答案】6
2 2
【解析】由题设可得圆的标准方程为： x 1 y 3 9，
所以圆的半径为R 3，故周长为2 R 6 ．
故填6 ．
9．【答案】 ( 1
1
， ) (
3 ,2)
2 2
【解析】因为方程 x2 y2 2y m2 m 1 0表示圆，
所以 ( 2)2 4(m2 m 1) 0 ，
得m2 m 2 0，解得 1 m 2．
因为点 (1,
3)在圆 x2 y2 2y m2 m 1 0外，
2
12 (3)2 2 3 m2所以 m 1 0 ，
2 2
1 3
即 4m2 4m 3 0 ，解得m 或m ．
2 2
综上，实数m 的取值范围是 ( 1 1， ) (3 ,2) ．
2 2
故填 ( 1
1) (3， , 2) ．
2 2
10．【答案】（1） 1,4 5；（2） ．
2
1 2 2【解析】（ ） x m y 2 m2 3m 4 0 1 m 4 ,即实数m 的取值范围是 1,4 ；
3 2 25 25 3 5
（2）R2 m2 3m 4 m
≤ ,当且仅当m 时,半径R 取得最大值 ．
2 4 4 2 2
2.5.1 直线与圆的位置关系
基础练
一、单选题
1．直线 y x 2与圆 x2 y2 4 有（ ）个公共点．
A．0 B．1 C．2 D．3
2．圆 x2 y2 4x 2y 2 0截 x 轴所得弦的长度等于（ ）
A．2 2 B．2 3 C．4 2 D．2
3．若直线 y 3x b x2与圆 y2 1相切，则b （ ）
A 2 3． B． 2 C． 2 D． 5
3
4．已知直线 l :3x 4y m 0被圆C : x2 y2 2x 2y 6 0 截得的弦长为 2 7 ，则m 的值为（ ）
A．4 或-6 B．-4 或 6 C．4 或 6 D．-4 或-6
5 2 2．已知圆 (x 2) ( y 1) 12 上恰有三个点到直线 l : kx y 0 距离等于 3 ，则直线 l 的斜率为（ ）
A．2 6 B． 2 6 C． 6 2 D． 6 2
6 2．圆C : x y2 2x 4y 3 0 被直线 l : a x y 1 a 0截得的弦长的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． 2 D． 3
二、填空题
7 2 2．过点M (1, 3) 作圆O : x y 4的切线方程是__________．
8．直线 y＝2﹣x x2 y2与圆 4x 5 0 交于 A，B 两点，则|AB|＝_____.
9 2 2．过点P(1,1) 作圆 x y 2x 1 0的切线，切点为 A ，则 PA ________.
三、解答题
10．已知圆心为 C（4，3）的圆经过原点 O．
（1）求圆 C 的方程；
（2）设直线 3x﹣4y+15＝0 与圆 C 交于 A，B 两点，求△ABC的面积．
参考答案
1．【答案】C
【解析】圆 x2 y2 4 的圆心为坐标原点O 0,0 ，半径 r 2 ,
直线 y x 2的方程化为一般式为： x y 2 0 ,
0 0 2
圆心O到直线 y x 2的距离d 2 r ,
12 12
∴直线 y x 2 2 2与圆 x y 4相交，∴有 2 个公共点，
故选 C.
2．【答案】A
x2 y2【解析】在圆方程 4x 2y 2 0中令 y 0，
得 x2 4x 2 0 x 4 8 2 2
2
因此弦长为| 2 2 ( 2 2) | 2 2
故选 A
3．【答案】C
【解析】由题得圆的圆心坐标为（0,0），
|b |
所以 1, b 2 .
3 1
故选 C
4．【答案】A
2
【解析】圆C 的标准方程为： x 1 y 1 2 8，
故圆心C 到直线 l的距离为d 8 27 1，
3 4 m
所以 1，故m 6或m 4 ，
9 16
故选 A.
5．【答案】A
| 2k 1|
【解析】由题意，圆心到直线 l的距离等于半径的一半，所以 32 ，解得k 2 6 ，k 1
故选 A.
6．【答案】B
【解析】直线 l : a x y 1 a 0可化为 l : a(x 1) (y 1) 0 ，故直线 l恒过点P 1,1 .
圆C ： x2 y2 2x 4y 3 0的圆心为C(1,2) ，半径为 2 当直线 l 垂直于直线PC 时，截得的弦
长最短，此时弦长d 2 2 1 2 .
故选 B
7．【答案】 x 3y 4 0
【解析】因为点M 1, 3 2 2 1 3在圆O : x y 4上，所以切点为M 1, 3 ，切线斜率k kOM 3
3
所以由点斜式写方程得 y x 1 3 即 x 3y 4 0
3
故填 x 3y 4 0
8．【答案】2.
2 2 2
【解析】根据题意，圆 x y 4x 5 0 ，即 x 2 y2 9，其圆心为 2,0 ，半径 r 3，
2 2
圆心到直线 y 2 x的距离d 2 2 ，
1 1
则弦长 AB 2 r2 d 2 2 9 8 2 .
故填2 .
9．【答案】 3
2 2
【解析】由题得 (x 1) y 2，所以圆C 的圆心为 ( 1,0) ，半径为 2 .
所以 | PC | (1 1)2 12 5 ，
2 2
所以 | PA | 5 2 3 .
故填 3
10．【答案】（1）（x﹣4）2+（y﹣3）2＝25．（2）12
【解析】（1）圆 C 的半径为 OC 32 42 5，
从而圆 C 的方程为（x﹣4）2+（y﹣3）2＝25；
（2）作 CD⊥AB 于 D，则 CD 平分线段 AB，
在直角三角形 ADC中，由点到直线的距离公式，得|CD|＝3，
所以 AD AC |2 CD |2 4，
所以|AB|＝2|AD|＝8，
1
所以△ABC 的面积S AB CD 12．
2
2.5.2 圆与圆的位置关系
基础练
一、单选题
1．圆 (x 3)2 (y 2)2 4与圆 (x 7)2 (y 1)2 36的位置关系是（ ）
A．相切 B．内含 C．相离 D．相交
2．圆 x2 y2 1和圆 x2 y2 6y 5 0的位置关系是（ ）
A．内含 B．内切 C．外切 D．外离
3．圆 C1：x2＋y2＝16与圆 C2：(x-3)2＋(y-4)2＝9 的公共弦的长为（ ）
12 16 24 32
A． B． C． D．
5 5 5 5
4 2．圆C1 : x y
2 2x 2y 2 0与C2 : x
2 y2 4x 2y 1 0的公切线有且仅有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
5 C x2 y2 4x 6y 12 0 C x 4 2 y 5 2．若圆 1 ： 与圆 2 ： m 有且仅有 3 条公切线，则实数 m
的值为（ ）
A．4 B．25 C．5 D．16
6．若圆C1 : x
2 y2 4 2 2与圆C2 : x y 6x 8y m 0外切，则实数m （ ）
A． 24 B． 16 C．24 D．16
二、填空题
7 x2 y2 x 0 x2 y2．圆 与圆 2y 0的公共弦所在的直线方程为___________.
8 O 2 2 2 2．若⊙ 1 : x y 5与⊙O2 : (x m) y 20(m R) 相交于 A、B 两点，且两圆在点 A 处的切线互
相垂直，则线段 AB 的长度是 ．
9 2 2 2 2．圆C1 : x m y 2 9与圆C2 : x 1 y m 4内切，则m 的值为______.
三、解答题
10．已知两圆C1 : (x 1)
2 (y 1)2 4 C : x2 y2和 2 4ax 2y 4a
2 0 .
（1）把圆C2 化成标准方程；
（2）试求当 a为何值时，两圆C1 和C2 相切.
参考答案
1．【答案】D
【解析】两圆的圆心分别为： A(3, 2)，B(7,1)，
半径分别为： r 2， R 6，
两圆心距为： | AB | (7 3)2 (1 2)2 5
R r | AB| R r，
所以，两圆相交，
故选 D。
2．【答案】C
2 2 2 2
【解析】∵圆 x y 6y 5 0的标准方程为： x (y 3) 4，
表示以 (0,3)为圆心，半径为 2的圆，
∴两圆圆心距为3，正好等于半径之和，
∴两圆相外切，
故选C ．
3．【答案】C
【解析】两圆方程相减得公共弦方程为3x 4y 16 0 ,圆心C1 0,0 ,到公共弦的距离为
16
d 16
2
, 16 24所以所求弦长为 2 42 .32 42 5 5 5
故选 C
4．【答案】B
【解析】圆C1 的标准方程为 x 1 2 y 1 2 4 2，圆C2 的标准方程为 x 2 y 1 2 4，
两圆心分别为C1 1, 1 、C2 2,1 ，半径分别为 r1 r2 2，
C1C2 11 r1 r2 4，两圆相交，因此，两圆有2条公切线，
故选 B.
5．【答案】B
2
【解析】依题意，圆C1 ： x 2 y 3 2 25，
由题得C1 与C2 外切，
则 C1C2 r1 r2 ，
故 2 4 2 3 5 2 5 m ，
解得m 25，
故选 B.
6．【答案】D
【解析】圆C1 的圆心为 0,0 ，半径为2，圆C2 的圆心为 3,4 ，半径为 25 m .
两个圆的圆心距为 32 42 5 .
由于两个圆外切，所以 2 25 m 5，解得m 16 .
故选 D
7．【答案】 x 2y 0
【解析】由题：圆 x2 y2 x 0 2 2与圆 x y 2y 0的标准方程为：
1 2 2
x
y
2 1 和 x2 y 1 1，
2 4
5 1 5 3
圆心距为 ， ，
2 2 2 2
所以两圆相交，
2 2 2 2
所以公共弦所在直线方程即： x y x x y 2y 0，
即 x 2y 0 .
故填 x 2y 0
8．【答案】4
1 AB 1
【解析】依题意得OO1＝ 5 20 ＝5，且△OO1A是直角三角形，S△OO1A＝ · ·OO1＝ ·OA·AO1，
2 2 2
2 OA AO 2 5 2 5
因此 AB＝ 1＝ ＝4.
OO1 5
故填 4
9．【答案】 2或 1
【解析】圆C1 的圆心为 m, 2 ，半径为 r1 3，
圆C2 的圆心为 1,m ，半径为 r2 2，
2
所以两圆的圆心距d m 1 m 2 2 ，
m 1 2 m 2 2又因为两圆内切，有 1，
解得m 2或m 1.
故填 2或 1.
10 2 2．【答案】（1）C2 : (x 2a) (y 1) 1；（2）a 0或 1时内切；a 1或 2 时外切.
2 2
【解析】（1）圆C2 的标准方程为：C2 : (x 2a) (y 1) 1；
（2 2）圆C1 : (x 1) (y 1)
2 4的圆心C1 : ( 1，1)，半径R1 2，
圆C2 : (x 2a)
2 (y 1)2 1的圆心C2 : (2a，1)，半径R2 1，
当两圆外切时： 1 2a 1+2 3，解得 a 1或 2 ；
当两圆内切时： 1 2a 2 1 1，a 0或 1.
2.5.3 直线与圆的综合
基础练
一、单选题
1．已知圆C : x2 2x y2 0 ，则圆心C 到直线 x 3的距离等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知直线 l : x 3y 0与圆C : x2 (y 1)2 1相交于O, A两点，O为坐标原点，则 COA的面积为
（ ）
A 3 B 3． ． C． 3 D．2 3
4 2
3．已知点 P（2，1）在圆 C：x2+y2+ax–2y+b=0 上，点 P 关于直线 x+y–1=0 的对称点也在圆 C 上，则圆 C
的圆心坐标为（ ）
A．（0，1） B．（1，0） C．（2，1） D．（1，2）
4 y x 1 x2 y2．垂直于直线 且与圆 4 相切于第三象限的直线方程是（ ）
A． x y 2 2 0 B． x y 2 0
C． x y 2 0 D． x y 2 2 0
5 2 2．直线 x y 2 0截圆 x y 4 所得劣弧所对圆心角为（ ）
2
A． B． C． D．
6 3 2 3
6．已知圆C 的圆心在曲线 y 3 x 0 上，直线 l过 3,3 且与直线4x 3y 5 0垂直，则与直线 l 相
x
切的面积最小的圆C 的方程为（ ）
2 2
A． x 2 2 y 3 3
3 B． x 2
2 y
9
2 2
2 2
C 3 3 3 ． x y 2 3 D． x y 2
2 9
2 2
二、填空题
7 2 2．过圆 x y 36内的一点 A 2,4 引此圆的弦MN ，则 MN 的最小值为______．
8．已知直线 l与圆 x2 y2 2y 0相交于 A, B
1 1
两点，且线段 AB 的中点 P 坐标为 , ，则直线 l 的方
2 2
程为__________．
9．经过原点并且与直线 x y 2 0相切于点 2,0 的圆的标准方程是__________．
三、解答题
10．已知圆C : (x 3)2 (y 4)2 4和直线 l : kx y 4k 3 0
（1）求证:不论 k 取什么值,直线 l和圆 C 总相交;
（2）求直线 l被圆 C 截得的最短弦长及此时的直线方程.
参考答案
1．【答案】D
【解析】由题 x 2 1 y2 1 ,则圆心（-1,0），则圆心C 到直线x 3的距离等 3-（-1）=4
故选 D
2．【答案】A
【解析】由题意直线 l，圆C 均过原点，通过图形观察可知 COA为等腰三角形，且CO CA r 1，
OCA 120 1 1 3 3，所以 S 2 . COA CO CA sin OCA 1 2 2 2 4
故选 A.
3．【答案】A
【解析】依题意有：如图所示，根据图形的对称性可知：点P 2,1 关于直线 x y 1 0对称的点是
点Q 3 2a b 00, 1 ，分别将P,Q 两点的坐标代入圆的方程得 ，解得a 0,b 3，而圆心坐
b 3 0
a ,1 标为 ，故圆心坐标为 0,1 .
2
故选 A
4．【答案】A
【解析】设所求的直线为 l，
直线 l垂直于直线 y x 1，可得直线 l的斜率为k 1，
设直线 l方程为 y x b，即 x y b 0，
2 2
又直线 l与圆 x y 4 相切，
圆心O(0,0) 到直线 l的距离 d
| b |
2，
2
解得b 2 2
当b 2 2 时，可得切点坐标 2, 2 ，切点在第三象限；
当b 2 2 时，可得切点坐标 2, 2 ，切点在第一象限；
直线 l x2 y2与圆 1的切点在第三象限，
取b 2 2 ，此时的直线方程为 x y 2 2 0．
故选 A．
5．【答案】D
【解析】由题意有，该圆圆心为 (0,0) ，半径为 2，
2
圆心到直线的距离d 1，
2
∴弦长 l 2 22 12 =2 3 ，
22 22 cos (2 3)
2 1
由余弦定理得圆心角 的余弦值 ，
2 2 2 2
2
∴圆心角 = ．
3
故选 D．
6．【答案】B
3
【解析】依题意，设圆C 的圆心坐标为 a, a
a 0 .设直线 l：3x 4y b 0，将 3,3 代入可
知，b 3，故直线 l的方程为3x 4y 3 0；
因为直线 l与故圆C 相切，
12 12
故圆C 3a 3 2 3a 3 12的半径 a a ，当且仅当3a ，即a 2时，等号成立，此R 3 a
5 5
3 22
时圆C 的方程为 x 2 y 9 .
2
故选 B.
7．【答案】8
【解析】如图，
由平面几何知识得，当过点 A的弦MN 垂直于OA时，MN 最短，
所以 MN 2 36
min 22 42 8．
故填 8．
8．【答案】 x y 0
2
【解析】把圆的方程化为标准方程得： x2 y 1 1，
可得圆心C(0,1)， 直线CP的斜率为 1，
直线 AB 的斜率为 1，
1 1
则直线 AB 的方程为： y (x )，即 x y 0．
2 2
故填 x y 0．
9 x 1 2 y 1 2．【答案】 2
【解析】设圆心坐标 (a,b)，则a2
b
b2 r2， (a 2)2 b2 r 2 ， 1，根据这三个方程组可以a 2
2 2
计算得：a 1,b 1, r 2 ，所以所求方程为： (x 1) (y 1) 2 ，
2 2
故填 x 1 y 1 2
10．【答案】（1）详见解析；（2）2 2 , x y 1 0 .
【解析】（1）由直线 l的方程 y 3 k x 4 可得直线 l 恒通过点 4,3 ，而点 4,3 在圆C 的内部，
故得到不论k 取什么值,直线 l和圆 C 总相交；
（2）设定点为 A 4,3 k 4 3，因为 CA 1，求出直线 l的斜率，即可写出直线 l 的方程，3 4
求出圆心到直线 l的距离d ，即可求出弦长。
解析：(1)证明:由直线 l的方程可得, y 3 k x 4 ,则直线 l恒通过点
4,3 ,把 4,3 2 2代入圆的C 方程,得 4 3 3 4 2 4 ,
所以点 4,3 在圆C 的内部,又因为直线 l恒过点 4,3 ,
所以直线 l与圆C 总相交.
(2)设定点为 A 4,3 ，由题可知当直线 l与CA直线垂直时，直线 l被圆C 截得的弦长最短，
4 3
因为 kCA 1，所以直线 l的斜率为k 13 4
所以直线 l的方程为 y 3 x 4，即 x y 1 0
3 4 1设圆心C 3,4 到直线 l距离为d ，则d 2
2
2
所以直线 l被圆C 截得最短的弦长为2 4 2 2 2 .
2.6 章末复习课
基础练
一、单选题
l 0 2
1．若直线 的倾斜角 满足 ，且 ，则其斜率
3 k 满足（ ）2
A． 3 k 0 B． k 3
C k 0 k 3 D k 0 k 3． 或 ． 或
3
2．点 1,1 在圆 x2 y 1 2 1的（ ）
A．圆上 B．圆内 C．圆外 D．无法判定
3．设直线 l的方程为2x 4y 3 0，直线m 的方程为 x 2y 6 0，则直线 l与m 的距离为（ ）
A 3 5 B 3 5 C 9 5 D 9 5． ． ． ．
10 5 10 5
4 x 2 2．圆 y2 4 x 2 2 y 3 2与圆 25的位置关系为（ ）
A．内切 B．外切 C．相交 D．相离
5 2 2．已知定点B 3,0 ，点 A在圆 (x 1) y 4上运动，则线段 AB 的中点M 的轨迹方程是（ ）
A (x 1)2． y2 1 B． (x 2)2 y2 4
C 2 2． (x 1) y 1 D． (x 2)2 y2 4
6．以 1,m 为圆心，且与两条直线 2x y 4 0，2x y 6 0都相切的圆的标准方程为（ ）
A． x 1 2 y 9 2 5 B x 1 2． y 11 2 25
C． x 2 2 1 y 1 5 D 2． x 1 y 9 2 25
二、填空题
7．直线3x 2y k 0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数 k ______.
8．若圆 (x 1)2 (y 4)2 5的圆心到直线 x y a 0 2的距离为 ，则a 的值为_________.
2
9．已知圆C : (x 1)2 (y 2)2 5，过圆C 外一点P 3,4 作圆的两条切线PA，PB切点分别为 A，B ，
则直线 AB 的方程为_______．
三、解答题
10 C : x2 y2 2x 8 C : x2 4ax y2 2y 3 4a2．已知圆 1 ，圆 2
（1）若 a 1，求两圆心连线C1C2 的中垂线的一般式方程；
（2）若 a 1，且动点 P 满足PC1 2PC2 ，求 P 点轨迹方程；
（3）若两圆相切，求 a的值.
参考答案
1．【答案】C
k tan 0 2
【解析】斜率 ，因为 ，且 ，3 2
故 tan 0或 tan 3 ，即 k 0或 k 3 ，
故选 C.
2．【答案】A
【解析】将点 1,1 的坐标代入圆 x2 y 1 2 1的方程即12 1 1 2 1，∴点 1,1 在圆 x2 y 1 2 1
上，
故选 A.
3．【答案】C
3 12
【解析】直线m 的方程可化为2x 4y 12 0，因此，直线 l与m 9 5的距离为d .
22 42 10
故选 C.
4．【答案】C
2
【解析】根据题意，圆（x 2） y2 4的圆心为 ( 2,0) ，半径 r1 2 ；
圆 x 2 2 y 3 2 25的圆心为 (2,3) ，半径 r2 5 ；
两圆的圆心距d 42 32 5，有5 2 d 5 2，
则两圆相交；
故选 C.
5．【答案】C
xA 3 yA xA 2x 3
【解析】设M x, y ,则 A xA, yA 满足 , x, y .故 .故 A 2x 3,2y . 2 2 yA 2y
2 2
又点 A在圆 (x 1) y 4上.故 (2x 3 1)2 2y 2 4 x 1 2 y2 1 .
故选 C
6．【答案】C
2 m 4 2 m 6
【解析】设圆的半径为 r ，则 r ，
5 5
m 1
则 ，
r 5
2
即圆的标准方程为 x 1 y 1 2 5，
故选 C.
7．【答案】12
x 0 y k【解析】令 ，则 ；令 y 0，则 x k ，
2 3
k k
故
2，解得k 12 .2 3
故填12 .
8．【答案】4或 2
3 a
【解析】圆 (x 1)2 2 (y 4)2 5的圆心为 1, 4 ，它到直线 x y a 0的距离为 ，
2 2
故a 2或a 4 .
故填 4 或 2.
9．【答案】2x 6y 5 0．
【解析】设 A x1, y1 ，B x2 , y2 ，则切线PA的方程为
x1 1 x 1 y1 2 y 2 5，因为点P 3,4 在切线PA上，所以切线PA的方程为
2x1 6y1 5，即2x1 6y1 5 0①，同理，切线PB的方程为2x2 6y2 5 0②，由①②得，
直线 AB 的方程为2x 6y 5 0．
故填2x 6y 5 0．
10．【答案】（1）3x y 2 0；（2） x 5 2 1 y 2 2 20 3 a 2 6 1；（ ） 或a
2 2
【解析】（1）当 a 1时，
圆C1 : x
2 y2 2x 8 x 1 2，即为 y2 9，圆心为C1 1,0 ，
C : x2 4x y2 2y 3 4 C : x 2 2 y 1 2圆 2 ，即 2 4，圆心为C2 2, 1 ，
1 1 0 1 1
则两圆心的中点坐标为 , ， kC C ， 2 2 1 2 1 2 3
1 1
两圆心连线C1C2 的中垂线为： y 3 x ，
2 2
整理得一般式为：3x y 2 0；
（2）设P x, y ，C1 1,0 ，C2 2, 1 ，
PC1 2PC
2
2，即PC1 2PC
2
2 ，
x 1 2 y2 2 x 2 2 y 1 2 ，
2 2
整理得 P 点轨迹方程为 x 5 y 2 20 ；
（3）圆C1 : x
2 y2 2x 8，即为 x 1 2 y2 9，圆心为C1 1,0 ，
C : x2圆 2 4ax y
2 2y 3 4a2 ，即C2 : x 2a
2 y 1 2 4，圆心为C2 2a, 1 ，
若两圆相切，
2 2 6 1
当两圆外切时： 2a 1 12 3 2，解得a ；
2
当两圆内切时： 2a 1 2 12 3 2，解得a
1
，
2
a 2 6 1
1
综合得：若两圆相切， 或 a .
2 2