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第06讲 利用相似三角形测高
【提升训练】
一、单选题
1．学校教学楼前面有一根高是4.2米的旗杆， ( http: / / www.21cnjy.com )在某时刻太阳光下的影子长是6.3米，与此同时， 在旗杆周边的一棵大树在地面上投影出的影子长是9米，则此大树的高度是（ ）
A．4.8米 B．8.4米 C．6米 D．9米
【答案】C
【分析】
此题利用相似三角形测高，先找出对应的成比例线段，再把数据代入计算即可．
【详解】
( http: / / www.21cnjy.com / )
如图，根据题意得: AG=4.2米 ，AB=6.3米，EF=9米，
同一时刻树高与影长的比和旗杆与影长的比相等得△DFE与△GAB相似，
即 ，
代入得：
解得：树高= 6米．
故选：C．
【点睛】
此题考查利用相似三角形测高，主要利用线段成比例，找出对应边是关键，难度一般．
2．如图，在中，，通过测量，并计算的面积，所得面积与下列数值最接近的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
作出AB边上的高，测量出长度，依据三角形面积公式计算即可得到结果.
【详解】
如图，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，则CD为AB边上的高，
( http: / / www.21cnjy.com / )
经过测量，CD≈2cm
所以，
故选：D.
【点睛】
此题主要考查了三角形面积的计算，测量出CD和长度是解答此题的关键.
3．在中，点分别在上，且与相交于点，已知的面积为10，的面积为20，的面积为16，则四边形区域的面积等于（ ）
A．22 B．24 C．36 D．44
【答案】D
【分析】
连接AF，设S△ADF=m，根据题 ( http: / / www.21cnjy.com )中条件可得出三角形的面积之比与边长之比的关系，进而用m表示出S△AEF，S△ABF，进而得到关于m的方程，即可求出m的值，进而可得四边形的面积．
【详解】
连接AF，设S△ADF=m，
∵S△BDF：S△BCF=10：20=1：2=DF：CF，
∴2m=S△AEF+S△EFC，
∴S△AEF=2m 16，
∵S△BFC：S△EFC=20：16=5：4=BF：EF，
∴S△ABF：S△AEF=BF：EF=5：4，
∵S△ABF=m+S△BDF=m+10，
∴S△ABF：S△AEF=BF：EF=5：4=(m+10)：(2m 16)，
解得：m=20．
∴S△AEF=2×20 16=24，
S四边形ADEF=S△AEF+S△ADF=24+20=44．
故选D．
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【点睛】
本题主要考查三角形的面积，掌握高相同的两个三角形的面积之比等于底边长之比，是解题的关键．
4．如图，AC⊥BC，，D是AC上一点，连接BD，与∠ACB的平分线交于点E，连接AE，若，，则BC＝（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．8 C． D．10
【答案】B
【分析】
过作垂足分别为由角平分线的性质可得：利用，可以求得 进而求得的面积，利用面积公式列方程求解即可．
【详解】
解：如图，过作垂足分别为
平分
，
设
，，
（负根舍去）
故选B．
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【点睛】
本题考查的是三角形的平分线的性质，等高的两个三角形的面积与底边之间的关系，一元二次方程的解法，掌握相关知识点是解题关键．
5．如图，在△ABC中，，分别以AB、BC、CA边向△ABC外作正方形ABDE、BCMN、CAFG，连接EF、GM、ND，设△AEF、△CGM、△BND的积分别为S1、S2、S3，则下列结论正确的( )
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A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
设直角三角形的三边分别为，分别表示出三角形的面积进行比较即可．
【详解】
设△ABC的三边分别为
∵分别以AB、BC、CA边向△ABC外作正方形ABDE、BCMN、CAFG
∴
∴
∴，
∴
同理可得
∴
故答案为：A．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查了三角形面积的问题，掌握三角形面积公式是解题的关键．
6．在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C＝45°，sinB＝，AD＝1．则△ABC的面积为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【分析】
先由三角形的高的定义得出∠ADB＝∠ADC＝90°，解Rt△ADB，得出AB＝3，根据勾股定理求出BD＝2，解Rt△ADC，得出DC＝1，然后根据三角形的面积公式计算即可；21·cn·jy·com
【详解】
在Rt△ABD中，
∵sinB＝＝，
又∵AD＝1，
∴AB＝3，
∵BD2＝AB2﹣AD2，
∴BD．
在Rt△ADC中，
∵∠C＝45°，
∴CD＝AD＝1．
∴BC＝BD+DC＝2+1，
∴S△ABC＝ BC AD＝×（2+1）×1＝，
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形的面积问题，掌握三角形的面积公式是解题的关键．
7．如图，在△ABC中，点D、E分别 ( http: / / www.21cnjy.com )在AC、AB上，BD与CE交于点O，若四边形AEOD的面积记为S1，S△BEO＝S2，S△BOC＝S3，S△COD＝S4，则S1 S3与S2 S4的大小关系为（ ）2·1·c·n·j·y
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．S1 S3＜S2 S4 B．S1 S3＝S2 S4
C．S1 S3＞S2 S4 D．不能确定
【答案】C
【分析】
首先作辅助线：连接DE，再设S△DEF=S′1，根据等高三角形的面积比等于对应底的比，可得：则 ，则可证得：S1′S3=S2S4，即可得到：S1S3＞S2S4．
【详解】
解：如图，连接DE，设S△DEF＝S′1，
( http: / / www.21cnjy.com / )
则，从而有S1′S3＝S2S4．
因为S1＞S1′，所以S1S3＞S2S4．
故选：C．
【点睛】
此题考查了有关三角形面积的求解．注意等高三角形的面积比等于对应底的比性质的应用
8．如图，阳光通过窗口A ( http: / / www.21cnjy.com )B照射到室内，在地面上留下4米宽的亮区DE，已知亮区DE到窗口下的墙脚的距离CE=5米，窗口高米，那么窗口底部离地面的高度BC为（ ）www-2-1-cnjy-com
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A．2米 B．2.5米 C．3米 D．4米
【答案】B
【解析】
【分析】
根据光沿直线传播的道理可知AD∥BE，则△BCE∽△ACD，根据相似三角形的对应边的比相等即可解答．
【详解】
由题意知，
可得，
∴，
∵（米），米，
∴，
∴米，
故选B.
【点睛】
题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．
9．如图，已知于，于，要计算，两地的距离，甲、乙、丙、丁四组同学分别测量了部分线段的长度和角的度数，得到以下四组数据：甲：，；乙：，，； 丙：和；丁：，，．其中能求得，两地距离的有（ ）21教育网
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A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【答案】C
【解析】
【分析】
分别根据直角三角形的性质及相似三角形的判定与性质对四组数据进行逐一分析即可．
【详解】
甲：∵已知AC、∠ACB，∴AB=AC tan∠ACB，故甲组符合题意；
乙组：∵AB⊥AE于A，EF⊥AE于E，
∴AE∥EF，
∴∠A=∠E=90°，
∵∠ADB=∠EDF，
∴△DEF∽△DAB，
∴，
∴AB=，故乙组符合题意；
丙：∵∠E=90°，∴∠EDF=90°-∠DFE，
∵∠ADB=∠EDF，△ADB是直角三角形，
∴AB=AD tan∠ADB，故丙组正确；
丁组： CD，DE，∠ACB无法求得AB的长，
故选C．
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用，解 ( http: / / www.21cnjy.com )直角三角形的应用，解答此题的关键是将实际问题转化为数学问题，本题只要把实际问题抽象到相似三角形或直角三角形中，利用相关知识进行解答即可.21*cnjy*com
10．如图，在同一时刻，身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2.5米，一棵大树的影长为5米，则这棵树的高度为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1.5米 B．2.3米 C．3.2米 D．7.8米
【答案】C
【分析】
在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似，据此进行求解即可.
【详解】
设树高为x米，由题意得
，
解得：x=3.2，
故选C.
【点睛】
本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
11．如图，上体育课，九年级三班的甲、乙两名同学分别站在、的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲，乙同学相距米．甲身高米，乙身高米，则甲的影长是（ ）
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A．4米 B．5米 C．6米 D．7米
【答案】C
【解析】
【分析】
利用相似三角形的判定与性质得出，进而求出AD的长即可得出答案．
【详解】
根据题意可得：
BC∥DE，故△AED∽△ABC，
则，
即，
解得：AD=5，
故甲的影长是：AC=1+5=6（m），
故选C．
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用，把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比进行求解是关键.
12．如图，为了测量油桶内油面的高度，将一根细木棒自油桶边缘的小孔插入桶内，测得木棒插入部分的长为，木棒上沾油部分的长为，桶高为，那么桶内油面的高度是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．32 cm B．30 cm C．50 cm D．48 cm
【答案】D
【解析】
【分析】
将实际图形抽象为直角三角形，并根据相似三角形的性质来解答．
【详解】
如图：AB为油桶高，DE为桶内油面的高度，AC为木棒插入部分的长，CD为木棒上沾油部分的长，
∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴CD：CA=DE：AB，
∴60：100=DE：80，
∴DE=48cm，
故选D．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用，根据题意正确画出图形并熟练应用相似三角形的判定与性质是解题的关键.
13．为测量一河两岸相对电线杆、之间的距离，有四位同学分别测量出了一下四组数据：
①，；②，，；③，，；④，，；
能根据所测数据，求出、间距离的共有（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【答案】C
【解析】
【分析】
根据锐角三角函数关系可以借助边角关系求出AB的长，也可以利用相似三角形的性质，根据求出AB的长.
【详解】
①因为知道∠ACB和AC的长，所以可利用∠ACB的正切来求AB的长，故①正确；
②可利用∠ACB和∠ADB的正切由CD的长，得出关于AB，AC的比例式，利用方程求出AB即可，故②正确；【来源：21cnj*y.co*m】
③因为△ABD∽△EFD可利用，求出AB即可，故③正确；
④无法求出A，B间距离，故④错误，
故共有3组可以求出A，B间距离，
故选C．
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用和解直角三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )的应用，解答道题的关键是将实际问题转化为数学问题，本题只要把实际问题抽象到相似三角形，解直角三角形即可求出．【出处：21教育名师】
14．如图为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其顶点均位于某两网格线的交点上，若灰色三角形面积为平方厘米，则此方格纸的面积为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．11平方厘米 B．12平方厘米 C．13平方厘米 D．14平方厘米
【答案】B
【分析】
可设方格纸的边长是x，灰色三角形的面积等于方格纸的面积减去周围三个直角三角形的面积，列出方程可求解．
【详解】
方格纸的边长是x，
x2- x x- x x- x x=
解得：x2=12
所以方格纸的面积是12平方厘米，
故选B．
【点睛】
本题考查识图能力，关键看到灰色三角形的面积等于正方形方格纸的面积减去周围三个三角形的面积得解．
15．如图，点D、E分别在AB、AC上 ( http: / / www.21cnjy.com )，BE、CD相交于点F，设S四边形EADF＝S1，S△BDF＝S2，S△BCF＝S3，S△CEF＝S4，则S1S3与S2S4的大小关系是( )【来源：21·世纪·教育·网】
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．不能确定 B．S1S3＜S2S4 C．S1S3＝S2S4 D．1S3＞S2S4
【答案】D
【解析】
分析：连接DE，设S△DEF＝S，用等高的三角形的面积的比等于底的比，判断与的大小关系.
详解：设S△DEF＝S，因为，又，
所以，则，
因为＞S，所以.
故选D.
( http: / / www.21cnjy.com / )
点睛：涉及到三角形的面积的问题，注意同底的三角形的面积的比等于高的比，等高的三角形的面积的比等于底的比.
16．如图，在针孔成像问题中，根据图形尺寸可知像 的长是物AB长的（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．3倍 B．不知AB的长度，无法计算 C． D．
【答案】C
【详解】
试题解析：如图，作OM⊥AB，ON⊥A′B′，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵AB∥A′B′，
∴△OAB∽△OA′B′，
∴，
即，
∴A′B′=AB．
故选C.
17．数学兴趣小组的小明想测量教学楼前的 ( http: / / www.21cnjy.com )一棵树的高度．下午课外活动时他测得一根长为1m的竹竿的影长是0.8m．但当他马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图）．他先测得留在墙壁上的树影高为1.2m，又测得地面的影长为2.6m，请你帮他算一下，下列哪个数字最接近树高（ ）m．
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．3.04 B．4.45 C．4.75 D．3.8
【答案】B
【详解】
试题解析：∵留在墙壁上的树影 ( http: / / www.21cnjy.com )高为1.2m，
∴这段影子在地面上的长为：1.2×0.8=0.96m，
∴这棵树全落在地面上时的影子的长为：2.6+0.96=3.56m，
∴这棵树的高度为：3.56÷0.8=4.45m.
故选B．
18．如图所示，某同学拿着一把有刻度的 ( http: / / www.21cnjy.com )尺子，站在距电线杆30m的位置，把手臂向前伸直，将尺子竖直，看到尺子遮住电线杆时尺子的刻度为12cm，已知臂长60cm，则电线杆的高度为（ ）
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A．2.4m B．24m C．0.6m D．6m
【答案】D
【详解】
试题解析：作AN⊥EF于N，交BC于M，
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∵BC∥EF，
∴AM⊥BC于M，
∴△ABC∽△AEF，
∴，
∵AM=0.6，AN=30，BC=0.12，
∴EF==6m．
故选D．
19．一个油桶高0.8m ， 桶内有 ( http: / / www.21cnjy.com )油，一根长lm的木棒从桶盖小口插入桶内，一端到达桶底，另一端恰好在小口处，抽出木棒量得浸油部分长0.8m，则油桶内的油的高度是（ ）
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A．0.8m B．0.64m C．1m D．0.7m
【答案】B
【详解】
试题解析：如图在矩形中，∠C=90°，BE=0.8，AB=1，AC=0.8，
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由题意知，DE∥BC，
∴∠AED=∠ABC，∠ADE=∠C，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
∴
即
解得，CD=0.64m．
故选B．
20．如图，△ABC中，D，E分别是BC上两点，且BD=DE=EC，则图中面积相等的三角形有（ ）
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A．4对 B．5对 C．6对 D．7对
【答案】A
【分析】
根据三角形的面积公式，知：只要同底等高，则两个三角形的面积相等，据此可得面积相等的三角形．
【详解】
由已知条件，得△ABD，△ADE，△ACE，3个三角形的面积都相等，组成了3对，
还有△ABE和△ACD的面积相等，共4对.
故选A.
【点睛】
本题考查了三角形的相关知识，解题的关键是熟练的掌握三角形面积公式与运用.
21．如图，顶角为36°的等腰三角形，其底边与腰之比等，这样的三角形称为黄金三角形，已知腰AB=1，△ABC为第一个黄金三角形，△BCD为第二个黄金三角形，△CDE为第三个黄金三角形，以此类推，第2014个黄金三角形的周长( )
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A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据相似三角形对应角相等，对应边成比例，求出前几个三角形的周长，进而找出规律：第n个黄金三角形的周长为kn-1（2+k），从而得出答案.
【详解】
解：∵AB=AC=1，
∴△ABC的周长为2+k；
△BCD的周长为k+k+k2=k（2+k）；
△CDE的周长为k2+k2+k3=k2（2+k）；
依此类推，第2014个黄金三角形的周长为k2013（2+k）；
故选D
【点睛】
此题考查了黄金分割，用到的知识点是黄金分割的定义和相似三角形的性质，找出各个三角形周长之间的关系，得出规律是本题的关键.
22．如图是小明设计用手电来测量某古城墙 ( http: / / www.21cnjy.com )高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么该古城墙的高度是( )
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A．6米 B．8米 C．18米 D．24米
【答案】B
【分析】
由镜面反射的知识可得∠APB=∠CPD，结合∠ABP=∠CDP即可得到△ABP∽△CDP，接下来，由相似三角形的三边对应成比例可得，至此，本题不难求解.
【详解】
解：由镜面反射原理知∠APB=∠CPD.
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABP=∠CDP.
∵∠ABP=∠CDP，∠APB=∠CPD，
∴△ABP∽△CDP，
∴AB∶BP=CD∶DP.
∵AB=1.2米，BP=1.8米，DP=12米，，
∴CD= =8（米）.
故该古城墙的高度是8米.
故选B.
【点睛】
本题是一道有关求解三角形的题目，回顾一下相似三角形的判定与性质；
23．某校数学兴趣小组为测量学校旗杆AC的 ( http: / / www.21cnjy.com )高度，在点F处竖立一根长为1.5米的标杆DF，如图所示，量出DF的影子EF的长度为1米，再量出旗杆AC的影子BC的长度为6米，那么旗杆AC的高度为( )
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A．6米 B．7米 C．8.5米 D．9米
【答案】D
【解析】
试题分析：在同一时刻物高和影长成正比， ( http: / / www.21cnjy.com )即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解．
解：∵DE∥AB，DF∥AC，
∴△DEF∽△ABC，
∴=，
即=，
∴AC=6×1.5=9米．
故答案为9．
【点评】此题考查相似三角形的实际运用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
24．如图，小明用长为3m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB=12m，则旗杆AB的高为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．7 m B．8 m C．6m D．9m
【答案】D
【解析】
试题解析：由题意得，CD∥AB，
∴△OCD∽△OAB，
∴，
即，
解得AB=9．
故选D．
考点：相似三角形的应用．
25．高4米的旗杆在水平地面上的影长5米，此时测得附近一个建筑物的影子长20米，则该建筑物的高是 （ ）
A．16米 B．20米 C．24米 D．30米
【答案】A
【解析】
试题分析：设该建筑物的高是x米，根据同一时刻物高与物影成正比可得，解得x=16，所以该建筑物的高是16米，故答案选A．
考点：同一时刻物高与物影成正比．
26．如图，在同一时刻，身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2.5米，一棵大树的影长为5米，则这棵树的高度为
A．7.8米 B．3.2米 C．2.3米 D．1.5米
【答案】B
【解析】
试题解析：如图：
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似，
∴，
∴，
∴BC=×5=3.2米．
故选B．
考点：相似三角形的应用．
27．如图，一个小球由地面沿着坡度i=1：2的坡面向上前进了10m，此时小球距离地面的高度为（ ）
A．5m B．m C．m D．m
【答案】B
【解析】
设小球距离地面的高度为则小球水平移动的距离为所以解得
28．如图，为测量某物体AB的高度 ( http: / / www.21cnjy.com )，在D点测得A点的仰角为30°，朝物体AB方向前进20米，到达点C，再次测得点A的仰角为60°，则物体AB的高度为（ ）
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A．10米 B．10米 C．20米 D．米
【答案】A
【解析】
试题分析：首先根据题意分析图形；本 ( http: / / www.21cnjy.com )题涉及到两个直角三角形，应利用其公共边AB及CD=DC﹣BC=20构造方程关系式，进而可解，即可求出答案．
解：∵在直角三角形ADB中，∠D=30°，
∴=tan30°
∴BD==AB
∵在直角三角形ABC中，∠ACB=60°，
∴BC==AB
∵CD=20
∴CD=BD﹣BC=AB﹣AB=20
解得：AB=10．
故选A．
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
29．如图，已知矩形ABCD，A ( http: / / www.21cnjy.com )B=6，BC=8，E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE相交于I，与BD相交于H，则四边形BEIH的面积为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：延长AF交DC于Q点，由矩形的性质得出CD=AB=6，AB∥CD，AD∥BC，得出=1，△AEI∽△QDE，因此CQ=AB=CD=6，△AEI的面积：△QDI的面积=3：12=1：4，∵AD=8，求出△AEI的面积=，△ABF的面积=12，△BFH的面积=4，四边形BEIH的面积=△ABF的面积﹣△AEI的面积﹣△BFH的面积，即可得出结果．
解：延长AF交DC于Q点，如图所示：
∵E，F分别是AB，BC的中点，
∴AE=AB=3，BF=CF=BC=4，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=6，AB∥CD，AD∥BC，
∴=1，△AEI∽△QDE，
∴CQ=AB=CD=6，△AEI的面积：△QDI的面积=3：12=1：4，
∵AD=8，
∴△AEI中AE边上的高=，
∴△AEI的面积=×3×=，
∵△ABF的面积=×4×6=12，
∵AD∥BC，
∴△BFH∽△DAH，
∴==，
∴△BFH的面积=×2×4=4，
∴四边形BEIH的面积=△ABF的面积﹣△AEI的面积﹣△BFH的面积=12﹣﹣4=．
故选：C．
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考点：相似三角形的判定与性质；矩形的性质．
30．如图，测量小玻璃管口径的量具ABC ( http: / / www.21cnjy.com ) ， AB的长为12cm，AC被分为60等份．如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处（DE∥AB），那么小玻璃管口径DE是（ ）
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A．8cm B．10cm C．20cm D．60cm
【答案】A
【详解】
试题分析：易知△ABC∽△DEC，利用相似三角形的相似比，列出方程求解即可．
解：∵DE∥AB
∴CD：AC=DE：AB
∴40：60=DE：12
∴DE=8cm
故选A．
考点：相似三角形的应用．
二、填空题
31．已知，是的高，且，所在直线相交所成的4个角中，有一个角的度数是，则的度数为_______．
【答案】135°或45°
【分析】
分两种情况：（1）当∠A为锐角时，如图 ( http: / / www.21cnjy.com )1；（2）当∠A为钝角时，如图2；根据四边形的内角和为360°以及三角形内角和为180°，即可得出结果．
【详解】
解：分两种情况：
（1）当∠A为锐角时，如图1，
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∵∠DOC=45°，
∴∠EOD=135°，
∵BD、CE是△ABC的高，
∴∠AEC=∠ADB=90°，
∴∠A=360°-90°-90°-135°=45°；
（2）当∠A为钝角时，如图2，
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∵∠F=45°，
同理：∠ADF=∠AEF=90°，
∴∠DAE=360°-90°-90°-45°=135°，
∴∠BAC=∠DAE=135°，
综上所述，∠BAC的度数为45°或135°，
故答案为：或．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和和四边形的内角和，明确四边形的内角和为360°是关键，解题时要分锐角三角形和钝角三角形两种情况进行计算．
32．小明和他的同学在太阳下行走，小明身高米，他的影长为米，他同学的身高为米，则此时他的同学的影长为__________米．
【答案】2．
【分析】
在同一时刻物高和影长成比例，列比例式求解即可．
【详解】
解：设他的同学的影长为xm，
∵同一时刻物高与影长成比例，
∴，
解得，x=2,
经检验，x=2是原方程的解，
∴他的同学的影长为2m，
故答案为：2．
【点睛】
此题主要考查了同一时刻物高与影长成比例，利用同一时刻物高与影长成比例列出方程，通过解方程求出的影长，体现了方程的思想．
33．如图，小正方形边长为1，则△ABC中AC边上的高等于_____．
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【答案】
【分析】
用大正方形面积减去外面三个小三角形的面积就是，再用勾股定理算出AC的长，即可算出B到AC边上的距离．
【详解】
解：过B作BG⊥AC，交AC于点G，
在Rt△ACF中，AF＝2，CF＝1，
根据勾股定理得：AC＝，
∵S△ABC＝S正方形AFED﹣S△BCE﹣S△ABD﹣S△ACF＝4﹣×1×1﹣2××2×1＝，
S△ABC＝AC BG，
∴×BG＝，
则BG＝．
故答案为：．
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【点睛】
本题考查了三角形的勾股定理及三角形面积相关的知识点，考生应熟练掌握．
34．如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，过点作于点，下列四个结论：
①；②；
③点到各边的距离相等；④设，，则．
其中正确的结论是__________．（填所有正确结论的序号）
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【答案】①②③④
【分析】
由在中，和的平分线相交于点，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得②正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出△BEO和△CFO是等腰三角形得出，故①正确；由角平分线的性质得出点到各边的距离相等，故③正确；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得，故④正确．
【详解】
∵在中，和的平分线相交于点
∴，，
∴
∴，故②正确
∵在中，和的平分线相交于点
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴
∴，故①正确
过点O作于M，作于N，连接OA
∵在中，和的平分线相交于点
∴
∴，故④正确
∵在中，和的平分线相交于点
∴点到各边的距离相等，故③正确
故答案为：①②③④．
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【点睛】
本题考查了角平分相关的证明问题，掌握角平分线的定义、三角形内角和定理、平行线的性质、三角形面积公式是解题的关键．21cnjy.com
35．如图，某小区门口的栏杆从 ( http: / / www.21cnjy.com )水平位置AB绕固定点O旋转到位置DC，已知栏杆AB的长为3.5米，OA的长为3米，点C到AB的距离为0.3米，支柱OE的高为0.6米，那么栏杆端点D离地面的距离为____________米
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【答案】2.4
【分析】
过D作DG⊥AB于G，过C作CH⊥AB于H，则DG∥CH，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：过D作DG⊥AB于G，过C作CH⊥AB于H，
则DG∥CH，
∴△ODG∽△OCH，
∴，
∵栏杆从水平位置AB绕固定点O旋转到位置DC，
∴CD=AB=3.5m，OD=OA=3m，CH=0.3m，
∴OC=0.5m，
∴，
∴DG=1.8m，
∵OE=0.6m，
∴栏杆D端离地面的距离为1.8+0.6=2.4(m)．
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【点睛】
本题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．
三、解答题
36．已知不等臂跷跷板AB长为3米， ( http: / / www.21cnjy.com )当AB的一端点A碰到地面时，（如图1）点B离地高1.5米；当AB的另一端点B碰到地面时，（如图2）点A离地高1米，求跷跷板AB的支撑点O到地面的距离为多少米？
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【答案】跷跷板AB的支撑点O到地面的距离为0.6米．
【分析】
过点B作BN⊥AH于点N，AM⊥BH于点M，直接利用相似三角形的判定与性质分别得出，，即可得出答案．
【详解】
解：如图所示：过点B作BN⊥AH于点N，AM⊥BH于点M，
可得HO∥BN，
则△AOH∽△ABN，
故，
∵AB长为3米，BN长为1.5米，
∴，
∴
同理可得：△BOH∽△BAM，
则，
∵AB长为3米，AM长为1米，
∴，即
∴OH＝0.6，
答：跷跷板AB的支撑点O到地面的距离为0.6米．
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【点睛】
此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出比例式，建立方程是解题关键．
37．已知在中，，，，将绕点顺时针旋转60°，得到，点在上，连接．
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（1）如图①，求线段的长；
（2）如图②，连接，作，垂足为，求的长度；
（3）如图③，点是线段的中点，点是线段上的动点（不与点重合），求周长的最小值．
【答案】（1）；（2）；（3）周长的最小值为．
【分析】
（1）根据旋转的性质以及旋转角度，可以得出是等边三角形，所以．
（2）由三角函数以及勾股定理，可以得出OA、AB、BC以及AC的长度，算出的面积，根据等面积法，求出OP的长度即可．21·世纪*教育网
（3）连接，，连接交于点，证明，所以得到，，垂直平分，即点关于直线的对称点为点，所以当取最小值时，周长最小，即当点、、三点共线时，的周长取得最小值，为的值，求出结果即可．
【详解】
解：（1）由旋转性质可知：，
是等边三角形
．
（2），
，
是等边三角形
，
，．
（3）如解图，连接，，连接交于点．
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为等边三角形，点为的中点
，即
在中，，
，
在和中
，
垂直平分，即点关于直线的对称点为点
的周长为，为定值
当取最小值时，周长最小
即当点、、三点共线时，的周长取得最小值，为
点是的中点，
周长的最小值为．
【点睛】
本题主要考查了三角形旋转，勾股定理，以及最短路径的作图，能够熟悉旋转的性质、熟练等面积法的运用和最短路径的作图是解决本题的关键．
38．如图所示，在离某建筑物处有一棵树，在某时刻，长的竹竿垂直地面，影长为，此时，树的影子有一部分映在地面上，还有一部分影子映在建筑物的墙上，墙上的影高为，那么这棵树高约有多少米？
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【答案】这棵树高．
【分析】
因为在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长的比值相同，利用竹竿这个参照物就可以求出图中的，是的影子，然后加上CD就是树高．
【详解】
过点作交于点
则，
，即
答：这棵树高．
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【点睛】
解决此类问题的关键是利用在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长的比值相同这个结论，列出方程求解．
39．将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC．
（1）试猜想AE与BF有何关系？说明理由．
（2）若△ABC的面积为3cm2，求四边形ABFE的面积．
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【答案】（1）AE∥BF，AE＝BF，理由详见解析；（2）12cm2．
【分析】
（1）根据旋转的性质得，可得AB＝FE，再根据∠ABC＝∠FEC可得AB∥FE，即可证明四边形ABFE为平行四边形，从而得证AE∥BF，AE＝BF．
（2）根据平行四边形的性质可得AC＝CF，BC＝CE，再根据等底同高可得四边形ABFE的面积．
【详解】
解：（1）AE∥BF，AE＝BF．
理由是：∵△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△FEC，
∴，
∴AB＝FE，
∵∠ABC＝∠FEC，
∴AB∥FE，
∴四边形ABFE为平行四边形，
∴AE∥BF，AE＝BF；
（2）由（1）得四边形ABFE为平行四边形，
∴AC＝CF，BC＝CE，
∴根据等底同高得到S△ABC＝S△ACE＝S△BCF＝S△CEF＝3cm2，
S四边形ABFE＝4S△ABC＝12cm2．
【点睛】
本题考查了三角形旋转的问题，掌握旋转的性质、平行线的性质以及判定定理、平行四边形的性质以及判定定理、三角形面积公式是解题的关键．
40．已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h1，h2，h3，△ABC的高为h．
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（1）若点P在一边BC上，如图①，此时h3＝0，求证：h1+h2+h3＝h；
（2）当点P在△ABC内，如图②，以及点P在 ( http: / / www.21cnjy.com )△ABC外，如图③，这两种情况时，上述结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，h1，h2，h3与h之间又有怎样的关系，请说出你的猜想，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）点P在△ABC内时成立，点P在△ABC外时不成立，理由见解析.
【分析】
(1)连接AP,将△ABC面积分成△ABP和△APC的面积,利用面积公式代入即可证明.
(2)连接AP、BP、CP,将△ABC的面积分裂成几个小三角形的面积之和,代入面积公式计算即可.
【详解】
（1）如图1，连接AP，则 S△ABC＝S△ABP+S△APC
∴BC AM＝AB PD+AC PF
即BC h＝AB h1+AC h2
又∵△ABC是等边三角形
∴BC＝AB＝AC，
∴h＝h1+h2；
（2）点P在△ABC内时，h＝h1+h2+h3，理由如下：
如图2，连接AP、BP、CP，则 S△ABC＝S△ABP+S△BPC+S△ACP
∴BC AM＝AB PD+AC PF+BC PE
即BC h＝AB h1+AC h2+BC h3
又∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AB＝AC．
∴h＝h1+h2+h3；
点P在△ABC外时，h＝h1+h2﹣h3．
理由如下：如图3，连接PB，PC，PA
由三角形的面积公式得：S△ABC＝S△PAB+S△PAC﹣S△PBC，
即BC AM＝AB PD+AC PE﹣BC PF，
∵AB＝BC＝AC，
∴h1+h2﹣h3＝h，
即h1+h2﹣h3＝h．
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【点睛】
本题考查三角形面积与高的关系,关键在于将大三角形的面积分成几个小三角形的面积.
41．如图，雨后初晴，小明在运动场上玩，当他在E点时发现前面2米处有一处积水C，从积水中看到旗杆顶端的倒影，若旗杆底部B距积水处40米，此时眼睛距地面1.5米.求旗杆的高度.
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【答案】旗杆的高度为30米
【分析】
根据题意，可得直角△ABE与直角△CDE，根据镜面反射的性质求出△ABE∽△CDE，再根据其相似比解答．
【详解】
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴米，
∴旗杆的高度为30米.
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用，应用反射的基本性质，得出三角形相似，运用相似比即可解答．
42．某中学平整的操场上有一根旗杆（如图），一数学兴趣小组欲测量其高度，现在测量工具有皮尺、标杆，请你用所学的知识，帮助他们设计测量方案.
（1）画出你设计的测量平面图；
（2）简述测量方法，并写出测量的数据.（长度用a，b，c…表示）
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【答案】（1）如图，见解析，沿着旗杆的影子竖立标杆，使标杆影子的顶端正好与旗杆影子的顶端重合；（2）旗杆的高度为cm.21世纪教育网版权所有
【解析】
【分析】
（1）根据题意画图即可；
（2）根据，列出比例式，整理即可得到旗杆的高度.
【详解】
（1）如图，沿着旗杆的影子竖立标杆，使标杆影子的顶端正好与旗杆影子的顶端重合；
（2）用皮尺测量旗杆的影长m，标杆CD的影长m，标杆高cm.
∵，
∴，即，
∴cm，
所以旗杆的高度为cm.
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【点睛】
本题主要考查了相似三角形的应用，正确地把实际问题转化为相似三角形问题，利用相似三角形的判定与性质解决是解题的关键．
43．在同一时刻两根木杆在太阳光 ( http: / / www.21cnjy.com )下的影子如图所示，其中木杆AB=2米，它的影子BC=1.6米，木杆PQ的影子有一部分落在墙上，PM=1.2米，MN=0.8米，求木杆PQ的长度.
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【答案】2.3米
【分析】
先根据同一时刻物高与影长成正比求出QD的影长,再根据此影长列出比例式即可
【详解】
解：如图，过点N作ND⊥PQ于D，则DN=PM，
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∴△ABC∽△QDN，
.
∵AB=2米，BC=1.6米，PM=1.2米，NM=0.8米，
=1.5（米），
∴PQ=QD+DP=QD+NM=1.5+0.8=2.3（米）.
答：木杆PQ的长度为2.3米.
【点睛】
此题考查相似三角形的应用和平行投影，解题关键在于掌握运算法则
44．如图，小山上有一座 ( http: / / www.21cnjy.com )铁塔AB，在山脚D处测得点A的仰角为60°，测得点B的仰角为45°，在E处测得点A的仰角为30°（C、D、E在同一条直线上），并测得DE = 90 m，求小山BC和铁塔AB的高（精确到0.1 m）.
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【答案】小山BC高45 m，铁塔AB高约32.9米
【解析】
【分析】
在△ADE中根据三角形的外角性质，可证得∠E ( http: / / www.21cnjy.com )、∠DAE都是30°，由此可得出AD、DE的长；在Rt△ACD中，根据仰角∠ADC的度数及斜边AD的长，即可求出AC、CD的值，同理可在Rt△BCD中求出BC的长，由此得解．
【详解】
解：在△ADE中，∠E=30°，∠ADC ( http: / / www.21cnjy.com )=60°，
∴∠E=∠DAE=30°，
∴AD=DE=90米；
在Rt△ACD中，∠DAC=30°，则CD=AD=45米，
AC=AD sin∠ADC=AD ( http: / / www.21cnjy.com ) sin60°=45米；
在Rt△BCD中，∠BDC=45°，则△BCD是等腰直角三角形．
∴BC=CD=45米，
∴AB=AC-BC=45-45≈32.9米；
答：小山高BC为45米，铁塔高AB约为32.9米．
【点睛】
本题主要考查仰角的定义，能够根据题意将实际问题转化为解直角三角形问题是解决此类题的关键．
45．如图，在矩形ABCD中，AB= ( http: / / www.21cnjy.com )12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发，用t秒表示移动的时间(0≤t≤6)那么:
(1)当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？
(2)对四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果有关的结论；
(3)当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？
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【答案】(1) t=2秒；(2)在P、 ( http: / / www.21cnjy.com )Q两点移动的过程中，四边形QAPC的面积始终保持不变(或P、Q两点到对角线AC的距离之和保持不变)；(3)①t=1.2，②t=3.
【分析】
(1)分别用t表示出QA和AP，则按QA=AP求解即可；
(2)观察图形可得S△QPC=S△QAC+S△APC，然后用含t的表达式分别求解S△QAC和S△APC，根据运算结果即可发现相关结论；
(3)分△QAP∽△ABC和△PAQ∽△ABC两种情况进行讨论即可.
【详解】
(1)对于任何时刻t，AP=2t，DQ=t，QA=6-t，
当QA=AP时，△QAP是等腰直角三角形，即6-t=2t，t=2秒.
(2)S△QPC=S△QAC+S△APC =(36-6t)+6t=36cm2，
在P、Q两点移动的过程中，四边形QAPC的面积始终保持不变(或P、Q两点到对角线AC的
距离之和保持不变)
(3)分两种情况:
①当时△QAP∽△ABC，则，从而t=1.2s，
②当时△PAQ∽△ABC，则，从而t=3s.
【点睛】
本题为动点问题，根据点的运动方式结合相似三角形相关性质列出关系式进行求解.
46．如图，小明欲测量一座古塔的高度，他拿出一根竹杆竖直插在地面上，然后自己退后，使眼睛通过竹杆的顶端刚好看到塔顶，若小明眼睛离地面，竹杆顶端离地面，小明到竹杆的距离，竹杆到塔底的距离，求这座古塔的高度．【版权所有：21教育】
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【答案】古塔的高度是米．
【分析】
先根据小明、竹竿、古塔均与地 ( http: / / www.21cnjy.com )面垂直，EH⊥AB可知，BH=DG=EF=1.6m，再小明眼睛离地面1.6m，竹杆顶端离地面2.4m求出CG的长，由于CD∥AB可得出△EGC∽△EHA，再根据相似三角形的对应边成比例可求出AH的长，进而得出AB的长．
【详解】
∵小明、竹竿、古塔均与地面垂直，EH⊥AB，
∴BH=DG=EF=1.6m，EG=DF，GH=DB，
∵小明眼睛离地面1.6m，竹杆顶端离地面2.4m，
∴CG=CD-EF=2.4-1.6=0.8m，
∵CD∥AB，
∴△EGC∽△EHA，DF=2m，DB=33m，
∴，即，
解得AH=14m，
∴AB=AH+BH=14+1.6=15.6m，
答：古塔的高度是15.6米．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的应用，先根据题意得出相似三角形，再根据相似三角形的对应边成比例得出结论是解答此题的关键．21教育名师原创作品
47．阳光通过窗口照射到室内，在地面上 ( http: / / www.21cnjy.com )留下2.7m宽的亮区（如图所示），已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC．
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【答案】窗口底边离地面的高为．
【分析】
因为光线AE、BD是一组平行光线，即AE∥BD，所以△ECA∽△DCB，则有，从而算出BC的长．
【详解】
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，即窗口底边离地面的高为．
【点睛】
本题考查了相似的三角形在实际生活中的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键.
48．周末，小华和小亮想用所学 ( http: / / www.21cnjy.com )的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D竖起标杆DE，使得点E与点C、A共线．
已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝8.5m．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB．
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【答案】河宽为17米．
【详解】
【分析】由题意先证明 ABC∽ ADE，再根据相似三角形的对应边成比例即可求得AB的长.
【详解】∵CB⊥AD，ED⊥AD，
∴∠CBA＝∠EDA＝90°，
∵∠CAB＝∠EAD，
∴ ABC∽ ADE，
∴，
又∵AD=AB+BD，BD=8.5，BC＝1，DE＝1.5，
∴，
∴AB＝17，
即河宽为17米．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键.
49．如图，小明为了测量一高楼MN的高，在离 ( http: / / www.21cnjy.com )N点20m的A处放了一个平面镜，小明沿NA后退到C点，正好从镜中看到楼顶M点，若AC=1.5m，小明的眼睛离地面的高度为1.6m，请你帮助小明计算一下楼房MN的高度. （精确到0.1m）．
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【答案】MN≈21.3m
【解析】
试题分析：由图易得出，△BCA∽△MNA，再利用相似三角形对应边成比例，进而可求解线段的长．
试题解析：∵BC⊥CA，MN⊥AN，
∴∠C=∠N=90°，
∵∠BAC=∠MAN，
∴△BCA∽△MNA．
∴，
即，
MN=1.6×200÷15≈21.3（m），
答：楼房MN的高度为21.3m．
50．如图所示，在水平桌面上的两个“E”，当点P1，P2，O在一条直线上时，在点O处用①号“E”测得的视力与用②号“E”测得的视力相同．www.21-cn-jy.com
(1)图中b1，b2，l1，l2满足怎样的关系式？
(2)若b1＝3.2 cm，b2＝2 cm，①号“E”的测量距离l1＝8 cm，要使测得的视力相同，则②号“E”的测量距离l2应为多少？
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【答案】（1）b1∶b2＝l1∶l2；（2）l2应为5 cm.
【详解】
试题分析：根据P1D1∥P2D2，可得△P1D1O∽△P2D2O，即对应边成比例，从而进一步求解．
试题解析：（1）∵P1D1∥P2D2，
∴△P1D1O∽△P2D2O，
∴，
即．
（2）∵且b1=3.2cm，b2=2cm，l1=8m，
.
∴l2=5m．
答：小“E”的测试距离是l2=5m．
51．小明利用灯光下自己的 ( http: / / www.21cnjy.com )影子长度来测量路灯的高度．如图，CD和EF是两等高的路灯，相距27m，身高1.5m的小明（AB）站在两路灯之间（D、B、F共线），被两路灯同时照射留在地面的影长BQ=4m，BP=5m．
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(1)小明距离路灯多远？
(2)求路灯高度．
【答案】（1）小明距离路灯12m；（2）路灯高6m．
【分析】
（1）易得△QAB∽△QCD，那么可得，同理可得，根据CD=EF，可得一个比例式，把相关数值代入可得所求数值；
（2）根据（1）得到的比例式及数值，计算可得路灯高度．
【详解】
（1）设DB=xm，
∵AB∥CD ，
∴∠QBA=∠QDC ， ∠QAB=∠QCD ，
∴△QAB∽△QCD
∴
同理可得
∵CD=EF
∴
∴
∴x=12
即小明距离路灯12m ．
（2）由
得
∴CD=6
即路灯高6m．
52．如图所示，一幢楼房AB背后有一台阶CD，台阶每层高0.2米，且AC＝17.2米，设太阳光线与水平地面的夹角为α，当α＝60°时，测得楼房在地面上的影长AE＝10米，现有一老人坐在MN这层台阶上晒太阳．（取1.73）
（1）求楼房的高度约为多少米？
（2）过了一会儿，当α＝45°时，问老人能否还晒到太阳？请说明理由．
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【答案】（1）楼房的高度约为17.3米；（2）当α＝45°时，老人仍可以晒到太阳．理由见解析.
【解析】
试题分析：（1）在Rt△ABE中，根据的正切值即可求得楼高；（2）当时，从点B射下的光线与地面AD的交点为F,与MC的交点为点H.可求得AF=AB=17.3米，又因CF=CH=17.3-17.2=0.1米，CM=0.2，所以大楼的影子落在台阶MC这个侧面上.即小猫仍可晒到太阳.
试题解析：解：（1）当当时，在Rt△ABE中，
∵,
∴BA=10tan60°=米.
即楼房的高度约为17.3米.
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当时，小猫仍可晒到太阳.理由如下：
假设没有台阶，当时，从点B射下的光线与地面AD的交点为F,与MC的交点为点H.
∵∠BFA=45°，
∴,此时的影长AF=BA=17.3米，
所以CF=AF-AC=17.3-17.2=0.1.
∴CH=CF=0.1米，
∴大楼的影子落在台阶MC这个侧面上.
∴小猫仍可晒到太阳.
考点：解直角三角形.
53．小敏家对面新建了一幢图书大厦，小敏在自家窗口测得大厦顶部的仰角为45°，大厦底部的仰角为30°，如图所示，量得两幢楼之间的距离为20米．
(1)求出大厦的高度BD；
(2)求出小敏家的高度AE.
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【答案】（1）大厦的高度BD为：（20+20）米；
（2）小敏家的高度AE为20米．
【解析】
试题分析：（1）易得四边形AEDC是矩形 ( http: / / www.21cnjy.com )，即可求得AC的长，然后分别在Rt△ABC与Rt△ACD中，利用三角函数的知识求得BC与CD的长，继而求得答案；
（2）结合（1），由四边形AEDC是矩形，即可求得小敏家的高度AE．
试题解析：（1）如图，∵AC⊥BD，
∴BD⊥DE，AE⊥DE，
∴四边形AEDC是矩形，
∴AC=DE=20米，
∵在Rt△ABC中，∠BAC=45°，
∴BC=AC=20米，
在Rt△ACD中，tan30°=，
∴CD=AC tan30°=20×=20（米），
∴BD=BC+CD=20+20（米）；
∴大厦的高度BD为：（20+20）米；
（2）∵四边形AEDC是矩形，
∴AE=CD=20米．
∴小敏家的高度AE为20米．
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题
54．如图所示，C城市在A城市正 ( http: / / www.21cnjy.com )东方向，现计划在A，C两城市间修建一条高速铁路（即线段AC），经测量，森林保护区的中心P在城市A的北偏东60°方向上，在线段AC上距A城市120km的B处测得P在北偏东30°方向上，已知森林保护区是以点P为圆心，100km为半径的圆形区域，请问计划修建的这条高速铁路是否穿越保护区，为什么．2-1-c-n-j-y
（参考数据：）
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【答案】这条高速公路不会穿越保护区，理由见解析．
【分析】
作PH⊥AC于H．求出PH与100比较即可解决问题．
【详解】
解：结论；不会．理由如下：
作PH⊥AC于H．
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由题意可知：∠EAP=60°，∠FBP=30°，
∴∠PAB=30°，∠PBH=60°，
∵∠PBH=∠PAB+∠APB，
∴∠BAP=∠BPA=30°，
∴BA=BP=120，
在Rt△PBH中，sin∠PBH=，
∴PH=PBsin60°=120×≈103.92，
∵103.80＞100，
∴这条高速公路不会穿越保护区．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用．
55．小明是个爱动脑筋的学生 ( http: / / www.21cnjy.com )，在学习了解直角三角形以后，一天他去测量学校的旗杆DF的高度，此时过旗杆的顶点F的阳光刚好过身高DE为1.6米的小明的头顶且在他身后形成的影长DC=2米．
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（1）若旗杆的高度FG是a米，用含a的代数式表示DG．
（2）小明从点C后退6米在A的测得旗杆顶点F的仰角为30°，求旗杆FG的高度．（点A、C、D、G在一条直线上，，结果精确到0.1）21*cnjy*com
【答案】（1）；（2）12.5米．
【解析】
试题分析：（1）利用△CDE∽△CGF的对应边成比例解答；
（2）通过解利用△CDE∽△CGF来求FG的高度．
解：（1）∵由题意知，FG∥DE，
∴△CDE∽△CGF，
∴，即，
∴；
（2）在直角△AFG中，∠A=30°，，
∵tanA=，tan30°=，
即=，
解得fg≈12.5．
答：电线杆PQ的高度约12.5米．
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考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
56．如图，已知在中，，.
(1)求的长；
(2)点D在边AB上，且AD=1，为边上一动点，连接DM．当是直角三角形时，求BM的长．
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【答案】（1）的长是12；（2）BM的长是5.4．
【解析】
试题分析：（1）作AH⊥BC于D，如图1，根据等腰三角形的性质得BH=CH，在Rt△ABH中利用正切的定义的tan∠B= ，设AH=4a，BH=3a，由勾股定理得到AB=5a，则5a=10，解得a=2，所以BC=2BH=12；（2）当时，设DM=4x，则BM=3x,由BM2+DM2=BD2,求得BM的长；当时，由tan∠B=求得DM＝15，不符合题意舍去，所以BM＝5.4；
试题解析：
(1) 作AH⊥BC于D，如图所示：
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∵AB=AC=10
∴BH=CH，
在Rt△ABH中，tan∠B=，
设AH=4a，BH=3a，
∴AB=
∴5a=10，解得a=2，
∴BC=2BH=12；
(2)若，如图所示：
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∵AD=1,AB=10,
∴BD=9,
设DM=4x，则BM=3x,由BM2+DM2=BD2,得x= 或x= （舍去）
∴BM=5.4;
若，如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵AD=1,AB=10,
∴BD=9,
∵tan∠B=，
∴BM=15，
因为15>12，所以BM=15应舍去；
所以当是直角三角形时，求BM的长为5.4。
57．如图，在平行四边形中，的平分线分别与、交于点、.
（1）求证：；
（2）当，时，求的值.
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【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】试题分析：（1）利用平行线的性质以及角平分线的定义，证明∠ABF=∠AFB，然后利用等角对等边即可证得；
（2）证明△AEF∽△CEB，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解．
试题解析：（1）平分
平行四边形
平行四边形
（2）
58．如图，AB为⊙O的直径，ED切⊙O于点C，过点A作AF⊥ED于点F，交⊙O于点G，连接AC
(1) 猜想线段AC、AB与AF之间的数量关系，并证明你的结论
(2) 若CF＝4，GF＝2，求⊙O的半径
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】(1) AC2＝AB·AF，理由见解析；（2）5.
【解析】
试题分析：（1）连结OC，然后依据 ( http: / / www.21cnjy.com )切线的性质可知OC⊥DE，从而可证明OC∥AF，然后依据平行线的性质和等腰三角形的性质可证明∠BAC=∠CAF，故可证明△ABC∽△ACF，依据相似三角形的性质可得到线段AC、AB与AF之间的数量关系；（2）证明△CGF∽△ACF，依据相似三角形的性质可求得AF的长，依据勾股定理可求得AC的长，然后依据（1）中的结论求解即可．
试题解析： (1) AC2＝AB·AF，理由如下：
连接OC
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵ED与⊙O相切于点C
∴OC⊥ED
∵AF⊥ED
∴OC∥AF
∵OA＝OC
∴∠OAC＝∠OCA
∵∠OCA＝∠CA
∴∠BAC＝∠FAC
∵AB为⊙O的直径
∴∠ACB＝90°
∴Rt△ABC∽Rt△ACF
∴
即AC2＝AB·AF
（2）∵DE为⊙O的切线，∴∠GCF=∠CAF．又∵∠AFC=∠CFG．∴△CGF∽△ACF，∴，AF==8．在Rt△ACF中，依据勾股定理可求得AC=4．由（1）可知：AB==10．∴OA=OB=5．∴⊙O的半径为5．
【点睛】本题主要考查的是切线的性质、圆周角定理、相似三角形的性质和判定，掌握此类问题的辅助线的作法是解题的关键．
59．钟楼是云南大学的标志性建筑之一，某校 ( http: / / www.21cnjy.com )教学兴趣小组要测量钟楼的高度，如图，他们在点A处测得钟楼最高点C的仰角为45°，再往钟楼方向前进至点B处测得最高点C的仰角为54°，AB=7m，根据这个兴趣小组测得的数据，计算钟楼的高度CD．（tan36°≈0.73，结果保留整数）．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】26m．
【解析】试题分析：首先根据题意得 ( http: / / www.21cnjy.com )：∠CAD=45°，∠CBD=54°，AB=7m，在Rt△ACD中，易求得BD=AD﹣AB=CD﹣7；在Rt△BCD中，可得BD=CD tan36°，即可得CD tan36°=CD﹣7，继而求得答案．
试题解析：根据题意得：∠CAD=45°，∠CBD=54°，AB=112m，
∵在Rt△ACD中，∠ACD=∠CAD=45°，
∴AD=CD，
∵AD=AB+BD，
∴BD=AD﹣AB=CD﹣7（m），
∵在Rt△BCD中，tan∠BCD=，∠BCD=90°﹣∠CBD=36°，
∴tan36°=，
∴BD=CD tan36°，
∴CD tan36°=CD﹣7，
∴CD=≈26（m）．
答：天塔的高度CD约为：26m．
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
60．某大型购物商场在一楼和二楼之 ( http: / / www.21cnjy.com )间安装自动扶梯AC，截面如图所示，一楼和二楼地面平行（即AB所在的直线与CD平行），层高AD为8米，∠ACD=20°，为使得顾客乘坐自动扶梯时不至于碰头，A、B之间必须达到一定的距离．
（1）要使身高2.26米的姚明乘坐自动扶梯时不碰头，那么A、B之间的距离至少要多少米？（精确到0.1米）
（2）如果自动扶梯改为由AE、EF、FC三段 ( http: / / www.21cnjy.com )组成（如图中虚线所示），中间段EF为平台（即EF∥DC），AE段和FC段的坡度i=1：2，求平台EF的长度．（精确到0.1米）
（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）6.3；（2）6.2
【解析】
试题分析：（1）连接AB，作BG⊥AB交AC于点G，在Rt△ABG中，利用已知条件求出AB的长即可；
（2）设直线EF交AD于点P，作CQ⊥ ( http: / / www.21cnjy.com )EF于点Q，设AP=x，则PE=2x，PD=8﹣x，在Rt△ACD中利用已知数据可求出CD的长，进而可求出台EF的长度．
试题解析：（1）连接AB，作BG⊥AB交AC于点G，则∠ABG=90°
∵AB∥CD，∴∠BAG=∠ACD=20°，
在Rt△ABG中，，
∵BG=2.26，tan20°≈0.36，
∴，
∴AB≈6.3，
答：A、B之间的距离至少要6.3米．
（2）设直线EF交AD于点P，作CQ⊥EF于点Q，
∵AE和FC的坡度为1：2，
∴，
设AP=x，则PE=2x，PD=8﹣x，
∵EF∥DC，
∴CQ=PD=8﹣x，
∴FQ=2（8﹣x）=16﹣2x，
在Rt△ACD中，，
∵AD=8，∠ACD=20°，
∴CD≈22.22
∵PE+EF+FQ=CD，
∴2x+EF+16﹣2x=22.22，
∴EF=6.22≈6.2
答：平台EF的长度约为6.2米．
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【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
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第06讲 利用相似三角形测高
【提升训练】
一、单选题
1．学校教学楼前面有一根高 ( http: / / www.21cnjy.com )是4.2米的旗杆，在某时刻太阳光下的影子长是6.3米，与此同时， 在旗杆周边的一棵大树在地面上投影出的影子长是9米，则此大树的高度是（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A．4.8米 B．8.4米 C．6米 D．9米
2．如图，在中，，通过测量，并计算的面积，所得面积与下列数值最接近的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
3．在中，点分别在上，且与相交于点，已知的面积为10，的面积为20，的面积为16，则四边形区域的面积等于（ ）【版权所有：21教育】
A．22 B．24 C．36 D．44
4．如图，AC⊥BC，，D是AC上一点，连接BD，与∠ACB的平分线交于点E，连接AE，若，，则BC＝（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．8 C． D．10
5．如图，在△ABC中，，分别以AB、BC、CA边向△ABC外作正方形ABDE、BCMN、CAFG，连接EF、GM、ND，设△AEF、△CGM、△BND的积分别为S1、S2、S3，则下列结论正确的( )
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．
C． D．
6．在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C＝45°，sinB＝，AD＝1．则△ABC的面积为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1 B． C． D．2
7．如图，在△ABC中，点 ( http: / / www.21cnjy.com )D、E分别在AC、AB上，BD与CE交于点O，若四边形AEOD的面积记为S1，S△BEO＝S2，S△BOC＝S3，S△COD＝S4，则S1 S3与S2 S4的大小关系为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．S1 S3＜S2 S4 B．S1 S3＝S2 S4
C．S1 S3＞S2 S4 D．不能确定
8．如图，阳光通过窗口A ( http: / / www.21cnjy.com )B照射到室内，在地面上留下4米宽的亮区DE，已知亮区DE到窗口下的墙脚的距离CE=5米，窗口高米，那么窗口底部离地面的高度BC为（ ）21cnjy.com
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A．2米 B．2.5米 C．3米 D．4米
9．如图，已知于，于，要计算，两地的距离，甲、乙、丙、丁四组同学分别测量了部分线段的长度和角的度数，得到以下四组数据：甲：，；乙：，，； 丙：和；丁：，，．其中能求得，两地距离的有（ ）21教育名师原创作品
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A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
10．如图，在同一时刻，身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2.5米，一棵大树的影长为5米，则这棵树的高度为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1.5米 B．2.3米 C．3.2米 D．7.8米
11．如图，上体育课，九年级三班的甲、乙两名同学分别站在、的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲，乙同学相距米．甲身高米，乙身高米，则甲的影长是（ ）
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A．4米 B．5米 C．6米 D．7米
12．如图，为了测量油桶内油面的高度，将一根细木棒自油桶边缘的小孔插入桶内，测得木棒插入部分的长为，木棒上沾油部分的长为，桶高为，那么桶内油面的高度是（ ）
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A．32 cm B．30 cm C．50 cm D．48 cm
13．为测量一河两岸相对电线杆、之间的距离，有四位同学分别测量出了一下四组数据：
①，；②，，；③，，；④，，；
能根据所测数据，求出、间距离的共有（ ）
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A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
14．如图为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其顶点均位于某两网格线的交点上，若灰色三角形面积为平方厘米，则此方格纸的面积为（ ）【出处：21教育名师】
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A．11平方厘米 B．12平方厘米 C．13平方厘米 D．14平方厘米
15．如图，点D、E分别 ( http: / / www.21cnjy.com )在AB、AC上，BE、CD相交于点F，设S四边形EADF＝S1，S△BDF＝S2，S△BCF＝S3，S△CEF＝S4，则S1S3与S2S4的大小关系是( )
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A．不能确定 B．S1S3＜S2S4 C．S1S3＝S2S4 D．1S3＞S2S4
16．如图，在针孔成像问题中，根据图形尺寸可知像 的长是物AB长的（ ）
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A．3倍 B．不知AB的长度，无法计算 C． D．
17．数学兴趣小组的小明想测量教学楼前的一棵 ( http: / / www.21cnjy.com )树的高度．下午课外活动时他测得一根长为1m的竹竿的影长是0.8m．但当他马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图）．他先测得留在墙壁上的树影高为1.2m，又测得地面的影长为2.6m，请你帮他算一下，下列哪个数字最接近树高（ ）m．
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A．3.04 B．4.45 C．4.75 D．3.8
18．如图所示，某同学拿着一把有刻度 ( http: / / www.21cnjy.com )的尺子，站在距电线杆30m的位置，把手臂向前伸直，将尺子竖直，看到尺子遮住电线杆时尺子的刻度为12cm，已知臂长60cm，则电线杆的高度为（ ）
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A．2.4m B．24m C．0.6m D．6m
19．一个油桶高0.8m ， 桶内 ( http: / / www.21cnjy.com )有油，一根长lm的木棒从桶盖小口插入桶内，一端到达桶底，另一端恰好在小口处，抽出木棒量得浸油部分长0.8m，则油桶内的油的高度是（ ）
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A．0.8m B．0.64m C．1m D．0.7m
20．如图，△ABC中，D，E分别是BC上两点，且BD=DE=EC，则图中面积相等的三角形有（ ）
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A．4对 B．5对 C．6对 D．7对
21．如图，顶角为36°的等腰三角形，其底边与腰之比等，这样的三角形称为黄金三角形，已知腰AB=1，△ABC为第一个黄金三角形，△BCD为第二个黄金三角形，△CDE为第三个黄金三角形，以此类推，第2014个黄金三角形的周长( )
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A． B． C． D．
22．如图是小明设计用手电 ( http: / / www.21cnjy.com )来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么该古城墙的高度是( )21*cnjy*com
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A．6米 B．8米 C．18米 D．24米
23．某校数学兴趣小组为测 ( http: / / www.21cnjy.com )量学校旗杆AC的高度，在点F处竖立一根长为1.5米的标杆DF，如图所示，量出DF的影子EF的长度为1米，再量出旗杆AC的影子BC的长度为6米，那么旗杆AC的高度为( )
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A．6米 B．7米 C．8.5米 D．9米
24．如图，小明用长为3m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB=12m，则旗杆AB的高为（ ）
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A．7 m B．8 m C．6m D．9m
25．高4米的旗杆在水平地面上的影长5米，此时测得附近一个建筑物的影子长20米，则该建筑物的高是 （ ）
A．16米 B．20米 C．24米 D．30米
26．如图，在同一时刻，身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2.5米，一棵大树的影长为5米，则这棵树的高度为
A．7.8米 B．3.2米 C．2.3米 D．1.5米
27．如图，一个小球由地面沿着坡度i=1：2的坡面向上前进了10m，此时小球距离地面的高度为（ ）
A．5m B．m C．m D．m
28．如图，为测量某物体AB的 ( http: / / www.21cnjy.com )高度，在D点测得A点的仰角为30°，朝物体AB方向前进20米，到达点C，再次测得点A的仰角为60°，则物体AB的高度为（ ）
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A．10米 B．10米 C．20米 D．米
29．如图，已知矩形ABCD，AB=6 ( http: / / www.21cnjy.com )，BC=8，E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE相交于I，与BD相交于H，则四边形BEIH的面积为（ ）
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A． B． C． D．
30．如图，测量小玻璃管 ( http: / / www.21cnjy.com )口径的量具ABC ， AB的长为12cm，AC被分为60等份．如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处（DE∥AB），那么小玻璃管口径DE是（ ）
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A．8cm B．10cm C．20cm D．60cm
二、填空题
31．已知，是的高，且，所在直线相交所成的4个角中，有一个角的度数是，则的度数为_______．
32．小明和他的同学在太阳下行走，小明身高米，他的影长为米，他同学的身高为米，则此时他的同学的影长为__________米．
33．如图，小正方形边长为1，则△ABC中AC边上的高等于_____．
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34．如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，过点作于点，下列四个结论：
①；②；
③点到各边的距离相等；④设，，则．
其中正确的结论是__________．（填所有正确结论的序号）
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35．如图，某小区门口的栏杆从水平位置 ( http: / / www.21cnjy.com )AB绕固定点O旋转到位置DC，已知栏杆AB的长为3.5米，OA的长为3米，点C到AB的距离为0.3米，支柱OE的高为0.6米，那么栏杆端点D离地面的距离为____________米
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三、解答题
36．已知不等臂跷跷板AB长为3米，当AB ( http: / / www.21cnjy.com )的一端点A碰到地面时，（如图1）点B离地高1.5米；当AB的另一端点B碰到地面时，（如图2）点A离地高1米，求跷跷板AB的支撑点O到地面的距离为多少米？
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37．已知在中，，，，将绕点顺时针旋转60°，得到，点在上，连接．
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（1）如图①，求线段的长；
（2）如图②，连接，作，垂足为，求的长度；
（3）如图③，点是线段的中点，点是线段上的动点（不与点重合），求周长的最小值．
38．如图所示，在离某建筑物处有一棵树，在某时刻，长的竹竿垂直地面，影长为，此时，树的影子有一部分映在地面上，还有一部分影子映在建筑物的墙上，墙上的影高为，那么这棵树高约有多少米？www.21-cn-jy.com
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39．将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC．
（1）试猜想AE与BF有何关系？说明理由．
（2）若△ABC的面积为3cm2，求四边形ABFE的面积．
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40．已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h1，h2，h3，△ABC的高为h．
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（1）若点P在一边BC上，如图①，此时h3＝0，求证：h1+h2+h3＝h；
（2）当点P在△ABC内，如图②，以及点 ( http: / / www.21cnjy.com )P在△ABC外，如图③，这两种情况时，上述结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，h1，h2，h3与h之间又有怎样的关系，请说出你的猜想，并说明理由．
41．如图，雨后初晴，小明在运动场上玩，当他在E点时发现前面2米处有一处积水C，从积水中看到旗杆顶端的倒影，若旗杆底部B距积水处40米，此时眼睛距地面1.5米.求旗杆的高度.
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42．某中学平整的操场上有一根旗杆（如图），一数学兴趣小组欲测量其高度，现在测量工具有皮尺、标杆，请你用所学的知识，帮助他们设计测量方案.21·cn·jy·com
（1）画出你设计的测量平面图；
（2）简述测量方法，并写出测量的数据.（长度用a，b，c…表示）
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43．在同一时刻两根木杆在太阳光下的影子 ( http: / / www.21cnjy.com )如图所示，其中木杆AB=2米，它的影子BC=1.6米，木杆PQ的影子有一部分落在墙上，PM=1.2米，MN=0.8米，求木杆PQ的长度.www-2-1-cnjy-com
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44．如图，小山上有一座铁塔AB，在山脚 ( http: / / www.21cnjy.com )D处测得点A的仰角为60°，测得点B的仰角为45°，在E处测得点A的仰角为30°（C、D、E在同一条直线上），并测得DE = 90 m，求小山BC和铁塔AB的高（精确到0.1 m）.21*cnjy*com
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45．如图，在矩形ABCD中，A ( http: / / www.21cnjy.com )B=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发，用t秒表示移动的时间(0≤t≤6)那么:
(1)当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？
(2)对四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果有关的结论；
(3)当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？
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46．如图，小明欲测量一座古塔的高度，他拿出一根竹杆竖直插在地面上，然后自己退后，使眼睛通过竹杆的顶端刚好看到塔顶，若小明眼睛离地面，竹杆顶端离地面，小明到竹杆的距离，竹杆到塔底的距离，求这座古塔的高度．2-1-c-n-j-y
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47．阳光通过窗口照射到室 ( http: / / www.21cnjy.com )内，在地面上留下2.7m宽的亮区（如图所示），已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC．
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48．周末，小华和小亮想用所学的数 ( http: / / www.21cnjy.com )学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D竖起标杆DE，使得点E与点C、A共线．21教育网
已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝8.5m．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB．
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49．如图，小明为了测量一高 ( http: / / www.21cnjy.com )楼MN的高，在离N点20m的A处放了一个平面镜，小明沿NA后退到C点，正好从镜中看到楼顶M点，若AC=1.5m，小明的眼睛离地面的高度为1.6m，请你帮助小明计算一下楼房MN的高度. （精确到0.1m）．
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50．如图所示，在水平桌面上的两个“E”，当点P1，P2，O在一条直线上时，在点O处用①号“E”测得的视力与用②号“E”测得的视力相同．
(1)图中b1，b2，l1，l2满足怎样的关系式？
(2)若b1＝3.2 cm，b2＝2 cm，①号“E”的测量距离l1＝8 cm，要使测得的视力相同，则②号“E”的测量距离l2应为多少？
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51．小明利用灯光下自己的 ( http: / / www.21cnjy.com )影子长度来测量路灯的高度．如图，CD和EF是两等高的路灯，相距27m，身高1.5m的小明（AB）站在两路灯之间（D、B、F共线），被两路灯同时照射留在地面的影长BQ=4m，BP=5m．
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(1)小明距离路灯多远？
(2)求路灯高度．
52．如图所示，一幢楼房AB背后有一台阶CD，台阶每层高0.2米，且AC＝17.2米，设太阳光线与水平地面的夹角为α，当α＝60°时，测得楼房在地面上的影长AE＝10米，现有一老人坐在MN这层台阶上晒太阳．（取1.73）
（1）求楼房的高度约为多少米？
（2）过了一会儿，当α＝45°时，问老人能否还晒到太阳？请说明理由．
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53．小敏家对面新建了一幢图书大厦，小敏在自家窗口测得大厦顶部的仰角为45°，大厦底部的仰角为30°，如图所示，量得两幢楼之间的距离为20米．
(1)求出大厦的高度BD；
(2)求出小敏家的高度AE.
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54．如图所示，C城市在A城市正东方向， ( http: / / www.21cnjy.com )现计划在A，C两城市间修建一条高速铁路（即线段AC），经测量，森林保护区的中心P在城市A的北偏东60°方向上，在线段AC上距A城市120km的B处测得P在北偏东30°方向上，已知森林保护区是以点P为圆心，100km为半径的圆形区域，请问计划修建的这条高速铁路是否穿越保护区，为什么．【来源：21·世纪·教育·网】
（参考数据：）
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55．小明是个爱动脑筋的学生，在学 ( http: / / www.21cnjy.com )习了解直角三角形以后，一天他去测量学校的旗杆DF的高度，此时过旗杆的顶点F的阳光刚好过身高DE为1.6米的小明的头顶且在他身后形成的影长DC=2米．
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（1）若旗杆的高度FG是a米，用含a的代数式表示DG．
（2）小明从点C后退6米在A的测得旗杆顶点F的仰角为30°，求旗杆FG的高度．（点A、C、D、G在一条直线上，，结果精确到0.1）21世纪教育网版权所有
56．如图，已知在中，，.
(1)求的长；
(2)点D在边AB上，且AD=1，为边上一动点，连接DM．当是直角三角形时，求BM的长．
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57．如图，在平行四边形中，的平分线分别与、交于点、.
（1）求证：；
（2）当，时，求的值.
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58．如图，AB为⊙O的直径，ED切⊙O于点C，过点A作AF⊥ED于点F，交⊙O于点G，连接AC
(1) 猜想线段AC、AB与AF之间的数量关系，并证明你的结论
(2) 若CF＝4，GF＝2，求⊙O的半径
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59．钟楼是云南大学的标志性建筑之一，某校教 ( http: / / www.21cnjy.com )学兴趣小组要测量钟楼的高度，如图，他们在点A处测得钟楼最高点C的仰角为45°，再往钟楼方向前进至点B处测得最高点C的仰角为54°，AB=7m，根据这个兴趣小组测得的数据，计算钟楼的高度CD．（tan36°≈0.73，结果保留整数）．
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60．某大型购物商场在一 ( http: / / www.21cnjy.com )楼和二楼之间安装自动扶梯AC，截面如图所示，一楼和二楼地面平行（即AB所在的直线与CD平行），层高AD为8米，∠ACD=20°，为使得顾客乘坐自动扶梯时不至于碰头，A、B之间必须达到一定的距离．2·1·c·n·j·y
（1）要使身高2.26米的姚明乘坐自动扶梯时不碰头，那么A、B之间的距离至少要多少米？（精确到0.1米）21·世纪*教育网
（2）如果自动扶梯改为由AE ( http: / / www.21cnjy.com )、EF、FC三段组成（如图中虚线所示），中间段EF为平台（即EF∥DC），AE段和FC段的坡度i=1：2，求平台EF的长度．（精确到0.1米）
（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）
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