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第06讲 一元二次方程的应用
【提升训练】
一、单选题
1．在数轴上有不同的两点A、B，其中点A表示的数是，点B表示的数是，如果A，B两点关于原点对称，那么的值是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A． B．0 C．2 D．0或2
【答案】C
【分析】
利用A，B两点关于原点对称，得到关于a的一元二次方程，解方程后检验即可．
【详解】
解：因为A，B两点关于原点对称，
∴，
解得，或；
因为A、B是不同的两点，
当时，，因此 不合题意，故舍去；
∴a 的值是2；
故选：C．
【点睛】
本题考查了数轴上关于原点对称的两点对应的数之 ( http: / / www.21cnjy.com )间的关系，涉及到了相反数的概念和解一元二次方程等内容，解决本题的关键是能正确列出方程并能正确求解，最后要检验结果是否符合题意．
2．如图，某小区在一块长为，宽为的矩形空地上新修三条宽度相同的小路，其中一条和矩形的一边平行，另外两条和矩形的另一边平行，空地剩下的部分种植花草，使得花草区域占地面积为．设小路的宽度为，则下列方程：21*cnjy*com
①；
②；
③．
其中正确的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．① B．② C．①② D．①②③
【答案】C
【详解】
设小路的宽度为，那么草坪的总长度和总宽度应该为，根据题意即可得出方程为或，故选C．
3．如图①，在矩形中，，对角线，相交于点，动点由点出发，沿向点运动．设点的运动路程为，的面积为，与的函数关系图象如图②所示，则对角线的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【详解】
略
4．每年春秋季节流感盛行，极具传染性如果一人得流感，不加干预，则经过两轮后共有81人得流感，则每人每轮平均会感染几人？设每人每轮平均感染人，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
设每人每轮平均感染x人，根据“两轮传染后共有81人患了流感”列出方程即可．
【详解】
设每人每轮平均感染人，由题意得，
x（x+1）+x+1=81，
即．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的运用，关键是读懂题意，找出题目中的等量关系，列出方程，本题的等量关系是两轮传染后共有81人患了流感．
5．国家统计局统计数据显示，我国快递 ( http: / / www.21cnjy.com )业务逐年增加，2018年至2020年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2018年至2020年快递业务收入的年平均增长率为x，根据题意可列出方程为（ ）
A．5000（1+2x）=7500
B．5000（1+x）＝7500
C．5000（1+x）2＝7500
D．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝7500
【答案】C
【分析】
根据题意可得等量关系：2018年的快递业务量 x(1+增长率)2=2020年的快递业务量，根据等量关系列出方程即可；
【详解】
设我国2018年至2020年快递业务收入的年平均增长率为x，
由题意得：5000(1+x)2=7500，
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程关 ( http: / / www.21cnjy.com )键是掌握平均变化率的方法，若设变化前的量为 a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1士x)2=b；
6．小明看到关于四川大凉山留守儿童的相关报道 ( http: / / www.21cnjy.com )后，想为这些孩子献一份爱心，六一儿童节当天他将三、四、五三个月挣得的800元零花钱成功捐出．已知三月份小明做家务挣得零花钱200元，设从三月份到五月份挣得零花钱的月平均增长率为x，则根据题意列出方程为（ ）
A．200（1＋2x）＝800 B．200×2（1＋x）＝800
C．200（1＋x）2＝800 D．200＋200（1＋x）＋200（1＋x）2＝800
【答案】D
【分析】
等量关系为：三月份零花钱+四月份零花钱+五月份零花钱=800，据此列出方程即可．
【详解】
解：设从三月份到五月份挣得零花钱的月平均增长率为x，
根据题意得：200+200（1+x）+200（1+x）2=800，
故选：D．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解决本题的关键是得到相应的等量关系，注意四月份的零花钱是在三月份零花钱的基础上得到的．
7．双十一来临前，某商场将一件衬衫的价格以 ( http: / / www.21cnjy.com )一个给定的百分比提升，双十一那天商场又按照新的价格以相同的百分比降低了这件衬衫的价格，最终，衬衫的价格为原价的84%，则这个给定的百分比为（ ）
A．16% B．36% C．40% D．50%
【答案】C
【分析】
把衬衫的价格看作1，设给定的百分 ( http: / / www.21cnjy.com )比为x，则提升后的价格为1+x，双十一的价格为(1+x)(1-x)，由题意可得方程，解方程即可得给定的百分比．
【详解】
把衬衫的价格看作1，设给定的百分比为x，则由题意得方程：(1+x)(1-x)=84%
解得：x=0.4或x=-0.4（舍去）
∴x=0.4
即提升的百分比为40%
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，关键两个：一是设衬衫的价格为1，二是找到等量关系．
8．《九章算术》“勾股”章有一题 ( http: / / www.21cnjy.com )：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈.问户高、广各几何.”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少（1丈＝10尺，1尺＝10寸）？若设门的宽为x寸，则下列方程中，符合题意的是（ ）
A．x2+12＝（x+0.68）2 B．x2+（x+0.68）2＝12
C．x2+1002＝（x+68）2 D．x2+（x+68）2＝1002
【答案】D
【分析】
1丈＝100寸，6尺8寸＝68寸， ( http: / / www.21cnjy.com )设门的宽为x寸，则门的高度为（x+68）寸，利用勾股定理及门的对角线长1丈（100寸），即可得出关于x的一元二次方程，此题得解.
【详解】
解：1丈＝100寸，6尺8寸＝68寸.
设门的宽为x寸，则门的高度为（x+68）寸，
依题意得：x2+（x+68）2＝1002.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的应用、由实际问题抽象出一元二次方程，准确计算是解题的关键．
9．如图，在中，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当的面积为时，则点P运动的时间是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．或 C． D．
【答案】A
【分析】
设出动点P，Q运动t秒，能使的面积为，用t分别表示出BP和BQ的长，利用三角形的面积计算公式即可解答．
【详解】
解：设动点P，Q运动t秒，能使的面积为，
则BP为(8-t)cm，BQ为2tcm，由三角形的面积公式列方程得
(8-t)×2t=15，
解得t1=3，t2=5（当t2=5，BQ=10，不合题意，舍去）
∴动点P，Q运动3秒，能使的面积为．
故选A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用．借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题．
10．如图，在长为32米、宽为12米的矩 ( http: / / www.21cnjy.com )形地面上修建如图所示的道路（图中的阴影部分）余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为300平方米，则可列方程为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
将每条道路平移到矩形的一边处，表示出新矩形的长和宽，利用矩形的面积的计算方法得到方程即可．
【详解】
解：根据题意得：；
故答案为：．
故选C．
【点睛】
本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程及矩形和平行四边形的面积的求解，将每条道路平移到矩形的一边处，表示出新矩形的长和宽是解本题的关键．
11．某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划第四季度的总营业额要达到9100万元，求该公司11、12两个月营业额的月均增长率．若设该公司11、12两个月营业额的月均增长率为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
设该公司11、12两个月营业额的月均增长率为，根据增长率公式列式即可；
【详解】
则可列方程为，
故选D．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程增长率公式的应用，准确分析列式是解题的关键．
12．某初中毕业班的第一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了张照片，如果全班有名学生，根据题意，列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
如果全班有x名学生，那么每名学生应该送的相片为（x-1）张，根据“全班共送了2550张相片”，可得出方程为x（x-1）=2550．
【详解】
解：∵全班有x名学生，
∴每名学生应该送的相片为（x-1）张，
∴x（x-1）=2550．
故选：B．
【点睛】
此题是一元二次方程的应用，其中x（x-1）不能和握手问题那样除以2，要注意题目中是共送，也是互送，所以要把握住关键语．
13．某种植物的主干长出若干 ( http: / / www.21cnjy.com )数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是31，设每个支干长出x个小分支，则下列方程中符合题意的是（ ）
A．1+x2=31 B．1+x+x2=31 C．x+x2=31 D．(1+x)2=31
【答案】B
【分析】
设每个支干长出x根小分支，则可表示出主干、支干和小分支的总数，由条件可列出方程，可求得答案．
【详解】
解：设每个支干长出x根小分支，
根据题意可得：1＋x＋x2＝31
故选：B．
【点睛】
此题主要考查一元二次方程的应用，找出题目中的等量关系，列出方程是解题的关键．
14．某市2019年年底自然保护区覆盖率 ( http: / / www.21cnjy.com )为15%，经过两年努力，预计该市2021年年底自然保护区覆盖率将会达到21.6%，则该市这两年自然保护区面积的平均增长率为（ ）
A．25% B．20% C．6.6% D．3.3%
【答案】B
【分析】
根据一元二次方程增长率应用公式计算即可；
【详解】
设这两年自然保护区面积的平均增长率为x，
依题意得，
解得：，（舍）；
故答案选B．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程增长率公式应用，准确计算是解题的关键．
15．电影《我和我的祖国》一上映，第一天 ( http: / / www.21cnjy.com )票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若增长率记作x，方程可以列为（ ）
A．3（1+x）＝10 B．3 （1+x）2＝10
C．3+3（1+x）2＝10 D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝10
【答案】D
【分析】
设平均每天票房的增长率为x，根据三天后累计票房收入达10亿元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】
解：设平均每天票房的增长率为x，
根据题意得：3+3（1+x）+3（1+x）2=10．
故选：D．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
16．为响应中央“房住不炒”的基本政策，某房企连续降价两次后的平均价格比降价之前减少了19%，则平均每次降价的百分率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
设降价前的房价为1，则降价后的房价为(1-19%)，根据增长率问题，一般增长后的量=增长前的量×（1+增长率）列出方程即可．
【详解】
解：设平均每次降低的百分率为x，
根据题意，得
（1-x）2=1-19%，
解得：=0.1=10%，=1.9（舍去）．
故选：B．
【点睛】
本题考查了求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．
17．由于新冠疫情影响，某口罩加工厂改进技术，扩大生产，从10月份开始，平均每个月生产量的增长率为，已知第四季度的生产量为2375万个，设10月份口罩的生产量为x万个，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据增长率分别表示出11月、12月的生产量，再依据第三季度的生产量为2375万个，列方程即可．
【详解】
解：根据题意，11月的生产量为：（万个）；
12月的生产量为：（万个）；
第三季度的生产量为2375万个，列出方程为：．
故选：C．
【点睛】
本题看考查了一元二次方程应用的增长率问题，解题关键是明确增长率问题的解题特征，注意所求为一季度产量．2·1·c·n·j·y
18．某县以“重点整治环境卫生”为抓 ( http: / / www.21cnjy.com )手，加强对各乡镇环保建设的投入，计划从2018年起到2020年累计投入5250万元，已知2018年投入1500万元，设投入经费的年平均增长率为x，根据题意，下列所列方程正确的是（ ）
A．1500 （1+x） 2＝5250
B．1500 （1+2x）＝5250
C．1500+1500x+1500x2＝5250
D．1500+1500 （1+x）+1500 （1+x） 2＝5250
【答案】D
【分析】
根据题意分别表示出2019年、2020年的投入进而得出等式；
【详解】
设投入经费的年平均增长率为x，根据题意得：
1500+1500 (1+x)+1500 (1+x) 2=5250；
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出每年的投入是解题关键．
19．疫情期间，育才中学为每个班级准备了免洗抑菌洗手液．去市场购买时发现当购买量不超过100瓶时，洗手液的单价为8元；超过100瓶时，每增加10瓶，每瓶单价就降低元，但最低价格不能低于每瓶5元．若学校购买洗手液共花费1200元，则购买洗手液的瓶数是（ ）
A．200 B．150 C．150或200 D．200或300
【答案】A
【分析】
设购买洗手液x瓶，列出一元二次方程计算即可；
【详解】
设购买洗手液x瓶，
∵＜，
∴＞，
∴，
解得：，，
∵，
∴，
∴；
故答案选A．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的应用，准确计算是解题的关键．
20．疫情期间，若有1人染上“新冠”，不及时治疗，经过两轮传染后有361人染上“新冠”，平均一个人传染（ ）个人．
A．14 B．16 C．18 D．20
【答案】C
【分析】
据题意可得第一轮人数加第二轮人数，再加第三轮人数总数为361人，设平均每人感染x人，则列式为1+x+（x+1）x=361．即可解答．
【详解】
解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，得
x+1+（x+1）x＝361，
解得，x＝18或x＝﹣20（舍去）．
答：每轮传染中平均一个人传染了18个人．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握增长率问题．
21．《生物多祥性公约》第十五次缔约方大会（COP15）将于2021年5月17日至30日在云南省昆明市举办、昆明某景观园林公司为迎接大会召开，计划在一个长为32m，塞为20m的矩形场地（如图所示）上修建三条同样宽的道路，使其中两条与平行、另一条与平行，其余部分种草坪，若使每一块草坪的面积为，求道路的宽度、若设道路的宽度为，则满足的方程为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
将6块草坪拼在一起，便组成一个长为，宽为的矩形即可列出方程．
【详解】
解：道路的宽度为米，
将6块草坪拼在一起，便组成一个长为，宽为的矩形，
每块草坪的面积为
则有
故选：D．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键是读懂题目，将6个草坪拼接成一个矩形，利用等量关系列方程．
22．在元旦庆祝活动中，参加活动的同学互赠贺卡，共送贺卡张，设参加活动的同学有人，根据题意，可列方程（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
设参加活动的同学有x人，则每人送出（）张贺卡，根据参加活动的同学共送贺卡42张，即可得出关于x的一元二次方程．21*cnjy*com
【详解】
解：设参加活动的同学有x人，则每人送出（）张贺卡，
依题意得：．
故选：A．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23．一次围棋比赛，参赛的每两位棋手之间都要比赛一场，根据赛程计划共安排45场比赛，设本次比赛共有x个参赛棋手，则可列方程为（ ）
A．x（x﹣1）＝45 B．x（x+1）＝45
C．x（x﹣1）＝45 D．x（x+1）＝45
【答案】A
【分析】
关系式为：棋手总数×每个棋手需赛的场数÷2=45，把相关数值代入即可．
【详解】
解：本次比赛共有x个参赛棋手，
所以可列方程为：x（x1）=45．
故选：A．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2．
24．某产品成本价为100万元，由于改进技术，成本连续降低，每次降低%，连续两次降低后成本为64万元，则的值为（ ）
A．10 B．15 C．18 D．20
【答案】D
【分析】
设平均每次降低成本的百分率为x%的话，经过 ( http: / / www.21cnjy.com )第一次下降，成本变为100（1-x%）元，再经过一次下降后成本变为100（1-x%）（1-x%）元，根据两次降低后的成本是64元列方程求解即可．
【详解】
解：设平均每次降低成本的百分率为x%，根据题意得100（1-x%）（1-x%）=64，
解得x=20或180（不合题意，舍去）
故选：D．
【点睛】
考查了一元二次方程的应用的知识，是一道典型的数量调整问题，数量上调或下调x%后就变为原来的（1±x%）倍，调整2次就是（1±x%）2倍．
25．从盛满20升纯酒精的容器里倒出若干升 ( http: / / www.21cnjy.com )，然后用水注满，再倒出同样升数的混合液后，这时容器里剩下纯酒精5升．则每次倒出溶液的升数为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
【答案】D
【分析】
设每次倒出x升，则第一次倒出纯酒精x升，第二次倒出纯酒精升，然后根据题意列出方程求解即可．
【详解】
解：第一次倒出的是纯酒精，而第二次倒出的就不是纯酒精了．
若设每次倒出x升，则第一次倒出纯酒精x升，
第二次倒出纯酒精升，
根据20升纯酒精减去两次倒出的纯酒精，就等于容器内剩下的纯酒精的升数，
∴，
解得，（舍），
因此每次倒出溶液10升，
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意找到等量关系并列出方程是解题的关键．
26．一个菱形两条对角线的长是方程的两个根，则该菱形的面积为（ ）
A．12 B．6或12 C．8 D．6
【答案】D
【分析】
利用因式分解法求得方程的两根，进而根据菱形面积=对角线的积求解即可．
【详解】
解：，
（x-6）（x-2）=0，
∴x1=6，x2=2，
∵菱形的两条对角线长分别为6，2，
∴菱形面积为，
故选：D．
【点睛】
综合考查了菱形的性质及解一元二次方程；得到菱形的对角线长是解决本题的突破点；用到的知识点为：因式分解法解一元二次方程；菱形面积=对角线的积．21·世纪*教育网
27．如图，在长20米，宽12米的矩形A ( http: / / www.21cnjy.com )BCD空地中，修建4条宽度相等且都与矩形的各边垂直的小路，4条路围成的中间部分恰好是个正方形，且边长是路宽的2倍，小路的总面积是40平方米，若设小路的宽是x米，根据题意列方程，正确的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．32x+2x2＝40 B．x（32+4x）＝40
C．64x+4x2＝40 D．64x﹣4x2＝40
【答案】B
【分析】
设小路的宽度为x米，则小正方形 ( http: / / www.21cnjy.com )的边长为2x米，根据小路的横向总长度（20+2x）米和纵向总长度（12+2x）米，根据矩形的面积公式可得到方程．
【详解】
解：设道路宽为x米，则中间正方形的边长为2x米，
依题意，得：x(20+2x+12+2x)=40，
即x(32+4x)=40，
故选：B．
【点睛】
考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找到该小路的总的长度，利用矩形的面积公式列出方程并解答．
28．要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，则x满足的关系式为（ ）
A．x（x+1）＝90 B．x（x﹣1）＝90
C．x（x+1）＝90 D．x（x﹣1）＝90
【答案】D
【分析】
设有x个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛90场，可列出方程．
【详解】
解：设有x个队参赛，则
x（x﹣1）＝90．
故选：D．
【点睛】
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数做为等量关系列方程求解．
29．欧几里得的《原本》记载，方程x2+ax＝b2的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝BC．则该方程的一个正根是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．AC的长 B．CD的长 C．AD的长 D．BC的长
【答案】C
【分析】
在中，由勾股定理可得，结合，，即可得出，进而可得出AD的长是方程的一个正根．
【详解】
在中，由勾股定理可得
与方程相同，且AD的长度是正数
AD的长是方程的一个正根．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，利用勾股定理及各边的长得出是解题关键．
30．某商品的售价为100元，连续两次降价后售价降低了36元，则的值为（ ）
A．60 B．20 C．36 D．18
【答案】B
【分析】
起始价为100元，终止价为100-36=64元，根据题意列方程计算即可．
【详解】
∵起始价为100元，终止价为100-36=64元，
∴根据题意，得
100=64，
解得x=20或x=180（舍去），
故选B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的增长率问题，熟练掌握增长率问题的计算方法，正确布列方程是解题的关键．
31．某餐厅主营盒饭业务，每份盒饭的成本为元．若每份盒饭的售价为元，每天可卖出份．市场调查反映：如调整价格，每涨价元，每天要少卖出份．若该餐厅想让每天盒饭业务的利润达到元，设每份盒饭涨价元，则符合题意的方程是（ ）2-1-c-n-j-y
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
根据总利润=每盒的利润×销售量，而每盒的利润=售价-进价，再结合“每份盒饭的成本为元．若每份盒饭的售价为元，每天可卖出份．市场调查反映：如调整价格，每涨价元，每天要少卖出份”即可得出答案．
【详解】
解：每份盒饭涨价元后，利润为(16+x-12)元，
销售量为(360-40x)盒，
∴可得方程为，
故选A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的实际应用．正确理解题意，根据题意找到等量关系是解题的关键．
32．为切实解决群众看病贵的问题，药监部门对药品价格进行了两次下调．某种药品原价为元/瓶，经两次下调后价格变为元/瓶，该药品平均每次降价的百分率为（ ）21教育网
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意列方程求解即可．
【详解】
解：设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意得，
250（1-x）2=160，
解得，x1=0.2，x2=1.8（舍去），
答：该药品平均每次降价的百分率为20%；
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用—增长率（或下降率）问题，解题关键是熟知增长率（或下降率）问题的数量关系，结合题意列方程．
33．一人携带变异新冠状病毒，经过两轮传染后共有人感染，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列方程（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
患变异新冠状病毒的人把病毒传染给别 ( http: / / www.21cnjy.com )人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染了x个人，第二轮作为传染源的是(x+1)人，则传染x(x+1)人，根据共有121人感染列方程即可．
【详解】
解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题意得1+x+x(1+x)=121，
即(1+x)2=121，
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用-传播问题，要注意的是患变异新冠状病毒的人把病毒传染给别人，自己仍然是患者，人数应该累加．
34．学校准备举办“和谐校园”摄影作品展黛，现要在一幅长，宽的矩形作品四周外围上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原作品面积相等，设彩纸的宽度为，则满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
由彩纸的面积恰好与原画面面积相等，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】
解：依题意，得．
故选：D．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
35．为美化家园环境，提升城市形象，我 ( http: / / www.21cnjy.com )市近几年大力开展“五城联创”活动，2020年被评为国家文明城 市，推动了当地旅游产业的发展，2020年我市某景区旅游收入达到10亿元，预计到2022年该景区旅游收入将达到14.4亿元，则我市2021、2022年旅游收入的平均增长率为（ ）
A．4.4% B．12% C．20% D．24%
【答案】C
【分析】
利用一元二次方程的平均增长率列方程求解即可.
【详解】
解：设平均增长率为x，根据题意，得
10=14.4，
解得x=0.2或x=-2.2（舍去），
所以x=0.2即平均增长率为20%，
故选C.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的平均增长率问题,熟练掌握解题模型是解题的关键.
36．将一个正方形剪成①、②、③、④四块（如图1），恰能拼成如图2的矩形，若，则这个正方形的面积为（ ）【版权所有：21教育】
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C．9 D．
【答案】D
【分析】
从图中可以看出，正方形的边长＝a＋b，所以面 ( http: / / www.21cnjy.com )积＝（a＋b）2，矩形的长和宽分别是a＋2b，b，面积＝b（a＋2b），两图形面积相等，列出方程得＝（a＋b）2＝b（a＋2b），其中a＝1，求b的值，即可求得正方形的面积．
【详解】
解：根据图形和题意可得：
（a＋b）2＝b（a＋2b），其中a＝1，则方程是（1＋b）2＝b（1＋2b），
解得：b＝ ，
∴正方形的面积为（1＋）2＝．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了图形的剪拼，本题的关键是从两图形中，找到两图形的边长的值，然后利用面积相等列出等式求方程，解得b的值，从而求出边长，求面积．
37．我国古代数学家赵爽（公元世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程即为例说明，记载的方法是：构造如图，大正方形的面积是．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．则在下面四个构图中，能正确说明方程解法的构图是（ ）
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A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】C
【分析】
根据题意，画出方程x2-3x-10=0，即x（x-3）=10的拼图过程，由面积之间的关系可得出答案．
【详解】
解：方程x2-3x-10=0，即x（x-3）=10的拼图如图所示；
( http: / / www.21cnjy.com / )
中间小正方形的边长为x-（x-3）=3，其面积为9，
大正方形的面积：（x+x-3）2=4x（x-3）+9=4×10+9=49，其边长为7，
因此，C选项所表示的图形符合题意，
故选：C．
【点睛】
本题考查完全平方公式的几何背景，通过图形直观，得出面积之间的关系，并用代数式表示出来是解决问题的关键．
38．将关于x的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】
先求得x2=x+1，再代入即可得出答案．
【详解】
解：∵x2-x-1=0，
∴x2=x+1，
∴=（x+1）2+x(x+1)-5x+3
=x2+2x+1+x +x-5x+3
=2x2-2x+4
=2(x+1)-2x+4
=2x+2-2x+4
=6，
故选：D．
【点睛】
本题考查了高次方程：通过适当的方法 ( http: / / www.21cnjy.com )，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．通过把一元二次方程变形为用一次式表示二次式，从而达到“降次”的目的，这是解决本题的关键．
39．某市年投入教育经费万元，年投入教育经费比年增加万元，若年至年该市投入教育经费的年平均增长奉为则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
年投入教育经费（1+增长率）2=年投入教育经费，据此列方程即可．
【详解】
解：年至年该市投入教育经费的年平均增长率为，
年投入教育经费万元，
年投入教育经费为，年投入教育经费为，
由题意得，，
故选A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键时读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系列出方程．
40．若国家对某种药品分两次降价，该药品的原价是25元，降价后的价格是16元，平均每次降价的百分率均为x，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
设平均每次降价的百分率为x，那么第一次降价后的售价是原来的（1-x），那么第二次降价后的售价是原来的（1-x）2，根据题意列方程即可．
【详解】
解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意列方程得
25（1-x）2=16．
故选：A．
【点睛】
此题考查了由实际问题一元二次方程抽象出一元二次方程，最基本数量关系：商品原价×（1+平均每次提价的百分率）=现在的价格．
二、填空题
41．某菜农在2020年11月 ( http: / / www.21cnjy.com )底投资1600元种植大棚黄瓜，春节期间，共采摘黄瓜400千克，当天就可以按6元/千克的价格售出．若将所采摘的黄瓜先储藏起来，其质量每天损失10千克，且每天需支付各种费用共40元，但每天每千克的价格能上涨0.5元（储藏时间不超过10天）．若该菜农想获得1175元的利润，需要将采摘的黄瓜储藏____天．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】5
【分析】
设储藏x天出售这批黄瓜可获利1175元，则需要支付费用40x元，损失10x千克，价格为（6+0.5x）元，根据获利1175元，列方程求解．
【详解】
解：设储藏x天出售这批黄瓜可获利1175元，
由题意得（6+0.5x）×（400-10x）-(1600+40x)=1175，
解得：x1=5，x2=15
∵储藏时间不超过10天，
∴x2=15舍去．
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．
42．如图，在正方形中，，以B为圆心，长为半径画弧，点E为弧上一点，于F，连接，若，则的值为________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】2
【分析】
过E作EG⊥BC于G，连结BE，设EF=x，由EF⊥CD，四边形ABCD为正方形，可证四边形EGCF为矩形，可求BG=4-x，在Rt△EBG中， EG=，在Rt△EGC中，CE=，由EC-EF=2，可得-x=2，移项两边平方得,解得,可求CE=,从而求得CF=2．
【详解】
解：过E作EG⊥BC于G，连结BE，
设EF=x，
∵EF⊥CD，四边形ABCD为正方形，
∴∠EFC=∠FCG=∠EGC=90°，AB=BC=BE=4，
∴四边形EGCF为矩形，
∴EF=GC=x，EG=FC，
∴BG=4-x，
在Rt△EBG中， EG=
在Rt△EGC中，CE=
∵EC-EF=2，
∴-x=2，
∴ =2+x，
两边平方得，
整理得，
解得，
∴CE=，
∴CF=
故答案为：2．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，，掌握正方形的性质。矩形的判定与性质，勾股定理，利用构造方程是解题关键．
43．如图，一次函数的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点E在线段上（不与点A，B重合），过点E分别作和的垂线，垂足为C，D．当矩形的面积为1时，点E的坐标为_________．
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【答案】或
【分析】
先根据一次函数的解析式求出点的坐标为，再设点的坐标为，从而可得，然后根据矩形的面积公式可得一个关于的一元二次方程，解方程即可得．
【详解】
解：对于一次函数，
当时，，解得，则，
由题意，设点的坐标为，则，
当矩形的面积为1时，
则，
解得或，均符合题意，
当时，，则，
当时，，则，
综上，点的坐标为或，
故答案为：或．
【点睛】
本题考查了一次函数的几何应用、一元二次方程的应用，正确解一元二次方程是解题关键．
44．如图，某小区规划在一个长为、宽为的矩形场地上修建三条同样宽的小路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草．若草坪部分的总面积为，则小路的宽度为________m．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】2
【分析】
设小路的宽度为xm，则根据平移的性质得草坪是一个长为(24-2x)m，宽为(10-x)m的矩形，根据其面积为，可得方程，解方程即可．www-2-1-cnjy-com
【详解】
设小路的宽度为xm，则由题意可得：(24-2x)×(10-x)=160
解方程，得：，
当时，10-x=-10<0，不合题意，舍去
所以
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用 ( http: / / www.21cnjy.com )，关键是利用平移性质，通过左右平移和上下平移，得到一个新的矩形，此时新矩形跟原矩形相比，长减小了两个路宽，宽减小了一个路宽，同时注意检验解的合理性．
45．为把我市创建成全国文明城市，某社区积极响应市政府号召，准备在 一块正方形的空地上划出部分区域栽种鲜花，如图中的阴影“┛”带，鲜花带一边宽1m．另一边宽2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长m，可列方程为_______．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】
【分析】
根据正方形的性质，矩形的判定，后表示出长方形的长与宽，计算即可．
【详解】
设原正方形的边长为x，则长方形的长为x-1，宽为x-2，
根据题意，得（x-1）（x-2）=18，
故答案为：（x-1）（x-2）=18．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，准确理解正方形的性质，正确列出方程是解题的关键．
三、解答题
46．随着农业技术的现代化，节水型灌溉得到逐步推广．喷灌和滴灌是比漫灌更节水的灌溉方式，喷灌和滴灌时每亩用水量分别是漫灌时的和．去年，新丰收公司用各100亩的三块试验田分别采用喷灌、滴灌和漫灌的灌溉方式，共用水15000吨．21世纪教育网版权所有
（1）请问用漫灌方式每亩用水多少吨？去年每块试验田各用水多少吨？
（2）今年该公司加大对农业灌溉的投入，喷灌和滴灌试验田的面积都增加了，漫灌试验田的面积减少了．同时，该公司通过维修灌溉输水管道，使得三种灌溉方式下的每亩用水量都进一步减少了．经测算，今年的灌溉用水量比去年减少，求的值．
（3）节水不仅为了环保，也与经济收益有关系． ( http: / / www.21cnjy.com )今年，该公司全部试验田在灌溉输水管道维修方面每亩投入30元，在新增的喷灌、滴灌试验田添加设备所投入经费为每亩100元．在（2）的情况下，若每吨水费为2.5元，请判断，相比去年因用水量减少所节省的水费是否大于今年的以上两项投入之和？
【答案】（1）漫灌方式每亩用水100吨，漫 ( http: / / www.21cnjy.com )灌、喷灌、滴灌试验田分别用水10000、3000、2000吨；（2）20；（3）节省水费大于两项投入之和
【分析】
（1）根据题意，设漫灌方式每亩用水吨，列出方程求解即可；
（2）由（1）结果，结合题意列出方程，求解方程；
（3）分别求出节省的水费，维修费，添加设备费，比较大小即可．
【详解】
（1）解：设漫灌方式每亩用水吨，则
，
，
漫灌用水：，
喷灌用水：，
滴灌用水：，
答：漫灌方式每亩用水100吨，漫灌、喷灌、滴灌试验田分别用水10000、3000、2000吨．
（2）由题意得，
，
解得（舍去），，所以．
（3）节省水费：元，
维修投入：元，
新增设备：元，
，
答：节省水费大于两项投入之和．
【点睛】
本题考查一元一次方程，一元二次方程实际应用，解一元二次方程，掌握题中等量关系正确列式计算是解题关键．21cnjy.com
47．古希腊数学家丢番图（公元250年前后）在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解．在欧几里得的《几何原本》中，形如的方程的图解法是：如图，以和b为两直角边作，再在斜边上截取，则的长就是所求方程的解．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）请用含字母的代数式表示的长；
（2）请利用你已学的知识说明该图解法的正确性，并说说这种解法的遗憾之处．
【答案】（1），；（2）正确性：的长就是方程的正根．遗憾之处：图解法不能表示方程的负根
【详解】
解：（1），
．
．（4分）
（2）用求根公式求得．（7分）
正确性：的长就是方程的正根．
遗憾之处：图解法不能表示方程的负根．
48．2020年春节期间人们积极响应政府关于疫情防控的号召，线上拜年、云聚会、春节视频分享等活动成为主要娱乐互动方式，拉动了移动流量的攀升．据了解，2020年春节假期期间，移动流量消费了约275万．而2018年春节假期期间我国移动流量共消费了约85万．若每年移动流量的平均增长率相同．
（1）求每年移动流量的平均增长率约为多少？
（2）若按此增长率再增长一次，则增长后的移动流量消费量约为多少？
【答案】（1）；（2）增长后的移动流量消费量约为495万．
【详解】
解：（1）设每年移动流量的平均增长率为x，
根据题意可得，
解得（不合题意，舍去）．
答：每年移动流量的平均增长率约为．
（2）若按此增长率再增长一次，则增长后的移动流量消费量约为（万）．
答：增长后的移动流量消费量约为495万．
49．在纪念山西博物院百年华诞中，该馆特推出主题为“百年传承，守正创新”的系列活动，旨在回顾历史，总结经验，凝练博物馆精神和文化，让最新的文化成果惠及社会公众．在活动期间，特别推出《山西古代陶瓷特展》、《明清山西书画艺术》、《董其昌书画艺术》、《安第斯文明特展》、《山西博物院百年历程特展》和《山西北朝墓葬壁画艺术》六大主题展览．为此，该馆决定在一层的靠墙处，用55米长的可拆卸的屏风墙围成三个相连的矩形展厅．如图所示，展厅的总面积为200平方米．为了方便游客进出，在展厅的四周（除围墙）和各场地之间留出了1米的缺口作为出入口．若设米，且（考虑到场地因素）．21·cn·jy·com
（1）求该展厅的长度为多少米；
（2）该馆现有两名布置场馆的师 ( http: / / www.21cnjy.com )傅，已知王师傅平均每天布置展厅的面积是刘师傅的1.5倍，刘师傅独自完成布置工作比王师傅独自完成多2天，则刘师傅平均每天可完成布置展厅的面积为多少平方米．
【答案】（1）展厅的长度为5米；（2）刘师傅平均每天可布置展厅平方米．
【详解】
解：（1）由题意可得，的长为x米，
则的长为米，
根据题意得：，
解得，（舍去）．
答：展厅的长度为5米；
（2）设刘师傅平均每天可完成布置展厅的面积为m平方米，则王师傅平均每天可完成布置展厅的面积为1.5m平方米．
根据题意得，
解得.
经检验，是原分式方程的解，且符合实际．
答：刘师傅平均每天可布置展厅平方米．
50．某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产A产 ( http: / / www.21cnjy.com )品，乙车间生产B产品，去年两个车间生产产品的数量相同且全部售出．已知A产品的销售单价比B产品的销售单价高100元，1件A产品与1件B产品售价和为500元．
（1）A、B两种产品的销售单价分别是多少元？
（2）随着5G时代的到来，工业互联网进入了快速发展时期．今年，该工厂计划依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制B产品的生产车间．预计A产品在售价不变的情况下产量将在去年的基础上增加a%；B产品产量将在去年的基础上减少a%，但B产品的销售单价将提高3a%．则今年A、B两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加%．求a的值．
【答案】（1）A产品的销售单价为300元，B产品的销售单价为200元；（2）20
【分析】
（1）设B产品的销售单价为x元，则A产品的销售单价为（x+100）元，根据题意列出方程解出即可；
（2）设去年每个车间生产产品的数量为t件，根据题意根据题意列出方程解出即可；
【详解】
解：（1）设B产品的销售单价为x元，则A产品的销售单价为（x+100）元．
根据题意，得
．
解这个方程，得．
则．
答：A产品的销售单价为300元，B产品的销售单价为200元．
（2）设去年每个车间生产产品的数量为t件，根据题意，得
设a%=m，则原方程可化简为．
解这个方程，得（舍去）．
∴a=20．
答：a的值是20．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程 ( http: / / www.21cnjy.com )的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元二次方程．
51．问题提出：
如果在一个平面内画出条直线，最多可以把这个平面分成几部分？
问题探究：
为解决问题，我们经常采用一 ( http: / / www.21cnjy.com )般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进到复杂的情形，在探究的过程中，通过归纳得出一般性的结论，进而拓展应用．www.21-cn-jy.com
探究一：
如图1，当在平面内不画（0条）直线时，显然该平面只有1部分，可记为．
探究二：
如图2，当在平面内画1条直线时，该平面最多被分成了2部分，比前一次多了1部分，可记为．
探究三：
当在平测内而2条使线，若两条直线平行（如图3），该平面被分成3部分；若两条直线相变（如图4），交点将第2条直线分成2段，每一段将平面多分出1部分，因此比前一次多2部分，该平面分成4部分，因此当在平面内画2条直线时，该平面最多被分成4部分，可记为，我们获得的直接经验是：直线相交时，平面被分成的部分多
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探究四：
当在平面内画3条直线，若3条直线相交于一点（如图 5），该平面被分成6部分；若3条直线的交点都不相同时（如图6），第3条直线与前两条直线有2个交点，该直线被2个交点分成了3段，每段将平面多分出1部分，所以比前一次多出3 部分，该平面被分成7部分．因此当在平面内画3条直线时，该平面最多被分成7部分，可记为．我们获得的经验是：直线相交的交点个数越多，平面被分成的部分就越多．所以直接探索直线交点个数最多的情况即可．
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探究五：
当在平面内画4条直线（如图7），第4条直线与前3条直线有3 个交点，该直线被3个交点分成了4段，每段将平面多分出1部分，所以比前一次多出4部分，该平面被分成11分．因此当在平面内画4条直线时，该平面最多被分成11部分，可记为．
探究六：
在平面内面5条直线，最多可以把这个平面分成几部分？（仿照前面的探究方法，写出解答过程，不需画图）
__________
问题解决：
如果在一个平面内画出条直线，最多可以把这个平面分成 部分．
应用与拓展：
（1）如果一个平面内的10条直线将平面分成了50个部分，再增加2条直线，则该平面至多被分成 个部分．
（2）如果一个平面被直线分成了497部分，那么直线的条数至少有 条．
（3）一个正方体蛋糕切5刀，被分成的块数至多为 块．
【答案】探究六：16；问题解决：1+；应用与拓展：（1）73；（2）31条．（3）16．
【分析】
探究六：平面中画出第5条直线时，新增的一条直 ( http: / / www.21cnjy.com )线与已知的4条直线最多有4个交点，这4个交点会把新增的这条直线分成5部分，从而多出5个部分，即总共会得到1+1+2+3+4+5=16个部分；
问题解决：寻找出规律得出结论，最后求和即可得出结论；
应用与拓展：
（1）根据10条直线将平面分成了50个部分，少了6个部分，再按12条直线，计算出平面的个数减去6，即可得出结论；
（2）根据公式1+=497，那计算得出结果即可；
（3）当切1刀时，块数为1+1=2 ( http: / / www.21cnjy.com )块；
当切2刀时，块数为1+1+2=4块；
当切3刀时，块数为1+1+2+3=7块；
当切4刀时，块数为1+1+2+3+4=11块；
当切5刀时，块数为1+1+2+3+4+5=16块；
…
继而可得出切n刀时所得的蛋糕块数．
【详解】
解：探究六：根据规律得，平面中画出第5 ( http: / / www.21cnjy.com )条直线时，新增的一条直线与已知的4条直线最多有4个交点，这4个交点会把新增的这条直线分成5部分，从而多出5个部分，即总共会得到1+1+2+3+4+5=16个部分，所以，5条直线最多可以把平面分割成16个部分；
问题解决：根据规律得，n条直线最多可以把平面分割成1+1+2+3+4+…+n=1+，
故答案为1+；
应用与拓展：
（1）如果一个平面内的10条直线时，最多可分为1+=部分，现在只有50个部分，少了6个部分，当再增加2条直线，即n=12时，则最多有个部分；
（2）当被分成了497部分时，1+=497，解得(舍去)，那么直线的条数至少有31条．
（3）当切1刀时，块数为1+1=2块；
当切2刀时，块数为1+1+2=4块；
当切3刀时，块数为1+1+2+3=7块；
…
当切n刀时，块数=1+（1+2+3…+n）=1+．
则切5刀时，块数为1+=16块；
故答案为：16．
【点睛】
本题考查了规律的寻找，连续n个正整数的和的公式，解本题的关键是申清题意，找出变化规律，是一道中等难度的题目．
52．重庆小面是重庆美食的名片之一，深受外地 ( http: / / www.21cnjy.com )游客和本地民众欢迎．某面馆向食客推出经典特色重庆小面，顾客可到店食用（简称“堂食”小面），也可购买搭配佐料的袋装生面（简称“生食”小面）．已知3份“堂食”小面和2份“生食”小面的总售价为31元，4份“堂食”小面和1份“生食”小面的总售价为33元．
（1）求每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是多少元？
（2）该面馆在4月共卖出“堂食”小面4500份，“生食”小面2500份，为回馈广大食客，该面馆从5月1日起每份“堂食”小面的价格保持不变，每份“生食”小面的价格降低．统计5月的销量和销售额发现：“堂食”小面的销量与4月相同，“生食”小面的销量在4月的基础上增加，这两种小面的总销售额在4月的基础上增加．求a的值．
【答案】（1）每份“堂食”小面价格是7元，“生食”小面的价格是5元．（2）a的值为8．
【分析】
（1）设每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是x、y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）根据题意列出一元二次方程，解方程即可．
【详解】
解：（1）设每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是x、y元，根据题意列方程组得，，
解得，，
答：每份“堂食”小面价格是7元，“生食”小面的价格是5元．
（2）根据题意得，，
解得，（舍去），，
答：a的值为8．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用和一元二次方程的应用，解题关键是找准题目中的等量关系，列出方程，熟练运用相关知识解方程．
53．2020年12月25日，太原市地 ( http: / / www.21cnjy.com )铁2号线一期线路正式投入载客初期运营，历时四年9个月的建设后，太原人终于能乘坐自己的地铁了．在2号线轨道铺设作业中，为了提前完成铺轨任务，采用了新型轮胎式铺轨机和全自动混凝土布料机，使得每天铺设轨道的长度比原计划多120米，原计划300天的铺轨任务，仅用了120天就全部完成．
（1）求原计划每天铺设轨道多少米？
（2）图2所示是太原地铁内关于“五台山”和“平遥古城”的一幅旅游广告图，整幅图是在两张风景区图片的基础上，四周镶以宽度相等的木质框架而成．若两张风景区图片的长都为3米，宽都为2米，镶上木质框架后整幅旅游广告图的面积是两张风景区图片总面积的．求镶上的木质框架的宽为多少米？
( http: / / www.21cnjy.com / )
图1
( http: / / www.21cnjy.com / )
图2
【答案】（1）80米；（2）0.2米
【分析】
（1）设原计划每天铺设轨道x米，根据等量关系，列出一元一次方程，即可求解；
（2）设镶上的木质框架的宽为y米．根据“镶上木质框架后整幅旅游广告图的面积是两张风景区图片总面积的”列出一元二次方程，即可求解．
【详解】
解：（1）设原计划每天铺设轨道x米．
根据题意，得300x=120（x+120）．
解得x=80．
答：原计划每天铺设轨道80米；
（2）设镶上的木质框架的宽为y米．
根据题意，得．
解得y1=-3.2（不合题意，舍去），y2=0.2．
答：镶上的木质框架的宽度为0.2米．
【点睛】
本题主要考查一元一次方程与一元二次方程的实际应用，找出等量关系，列出方程，是解题的关键．
54．第30届菏泽国际牡丹文化旅游节于4月1日至5月10日举办，主题为“赞盛世牡丹，品魅力菏泽”．为了宣传牡丹制品，某商店欲购进两种牡丹制品，若购进种牡丹制品5件，种牡丹制品3件，共需450元；若购进种牡丹制品10件，种牡丹制品8件，共需1000元．
（1）购进两种牡丹制品每件各需多少元？
（2）该商店购进足够多的两种牡丹制品，在销售中发现，种牡丹制品售价为每件80元，每天可销售100件，现在决定对种牡丹制品在每件80元的基础上降价销售，每件每降价1元，多售出20件，该商店对种牡丹制品降价销售后每天销量超过200件；种牡丹制品销售状况良好，每天可获利7000元，为使销售两种牡丹制品每天总获利为10000元，种牡丹制品每件降价多少元？
【答案】（1）购进种牡丹制品每件需60元，种牡丹制品每件需50元；（2）种牡丹制品每件降价10元
【分析】
（1）设购进种牡丹制品每件需元，种牡丹制品每件需元，根据单价乘以件数，把两种商品的费用相加得总费用，列二元一次方程组求解即可；
（2）设种牡丹制品每件降价元，则根据“每件每降价1元，多售出20件，该商店对种商品降价销售后每天销量超过200件”，可得；再由题意可得的利润为；结合每天可获利7000元，，两种商品每天获利10000元，列方程即可求出的值．
【详解】
解：（1）设购进种牡丹制品每件需元，种牡丹制品每件需元，
则由题意得：，
解得：，
答：购进种牡丹制品每件需60元，种牡丹制品每件需50元．
（2）设种牡丹制品每件降价元，
则由题意得：，
化简得：，
，
答：种牡丹制品每件降价10元．
【点睛】
本题综合考查了二元一次方程组、一元一次不等式和一元二次方程在实际问题中的应用，根据实际问题准确找出等量关系是解决问题的关键．
55．根据农业部提出“大力发展 ( http: / / www.21cnjy.com )农村产业，实现乡村全面振兴”的方针，我市精准扶贫，指导某县大力发展枇杷种，去年、今年枇杷产量连续获得大丰收．该县某种植户枇杷销售采用线下销售和线上销售两种模式．
（1）今年该种植户枇杷产量为3600千克，全部售出．其中线上销量不超过线下销量的3倍．求线下销量至少多少千克？
（2）该种植户去年枇杷线下销售均价为15元/千克，销售量为900千克．线上销售均价为12元/千克，销售量为1800千克．今年线下销售均价上涨了，但销售量下降了，线上销售均价上涨了，销售量与去年持平．今年枇杷的销售总金额比去年销售总金额减少了，求的值．
【答案】（1）线下销量至少900千克；（2）
【分析】
（1）设线下销量为x千克，根据题意，列出不等式求解即可；
（2）根据题意，分别表示出今年线下和线上销量与均价，然后根据“今年枇杷的销售总金额比去年销售总金额减少了”列出一元二次方程求解即可．
【详解】
解：（1）设线下销量为x千克，则线上销量为千克，
由题意：，
解得：，
答：线下销量至少900千克．
（2）由题意，今年线下销售均价为，销售量为，
线上销售均价为，销售量为1800千克，
根据题意，建立方程：
令，整理得，，
解得：或（不符合题意，舍去），
即：，
∴．
【点睛】
本题考查一元一次不等式以及一元二次方程的实际应用，理解题意，找准数量关系，准确建立出方程，灵活运用换元思想是解题关键．
56．某服装店自2018年以来，销售成衣数量在稳健地上涨，2018年全年售出10000件成衣，2020年全年售出14400件成衣．
（1）求该服装店2018年到2020年成衣销售量的年平均增长率；
（2）若服装店售出成衣数量还将保持相同的年平均增长率，请你预算2022年该服装店售出成衣将达到多少件
【答案】（1）20%；（2）20736件
【分析】
（1）设该服装店2018年到 ( http: / / www.21cnjy.com )2020年成衣销售量的年平均增长率为x．2019年成衣销售量10000+10000x=10000(1+x)；2020年成衣销售量在2019年基础上平均增长率为x，10000(1+x)+ 10000(1+x) x=10000(1+x) (1+x)=10000 (1+x)2，利用2020年售出14400件成衣构造方程求解即可．
（2）利用增长率公式计算即可
【详解】
解：（1）设该服装店2018年到2020年成衣销售量的年平均增长率为x．
依题意，得，
解得，（舍去）．
答：该服装店2018年到2020年成衣销售量的年平均增长率为20%．
（2）（件）．
答：2022年该服装店售出成衣将达到20736件．
【点睛】
本题考查列一元二次方程解增长率应用题，掌握列一元二次方程解增长率应用题的方法与步骤，抓住等量关系用两种方式表示同一量，列出方程是解题关键．
57．巫山脆李又名巫山大李子，果形端正、质地脆嫩、汁多味香．某水果商将收购的巫山脆李包装成、两种礼盒通过某网络平台进行销售，礼盒每盒的售价比礼盒每盒的售价贵35元，5月份第一周售出了200盒礼盒和300盒礼盒，总销售额为73000元．
（1）求、两种礼盒的售价分别是多少元？
（2）进入6月份，各地李子大量上市，李子的价格受到一定冲击，该水果商决定将礼盒的售价保持不变，礼盒的售价降低，销售一周，、两种礼盒的销量分别比5月份第一周的销量减少了、增加了，总销售额恰好不变，求的值．
【答案】（1）、两种礼盒的售价分别是125元和160元；（2）
【分析】
（1）设种礼盒的售价是x元，种礼盒的售价是（x+35）元，列出方程解方程即可；
（2）根据总销售额恰好不变，列出方程，解方程即可．
【详解】
解：（1）设种礼盒的售价是x元，种礼盒的售价是（x+35）元，根据题意列方程得，200x+300（x+35）=73000，【来源：21cnj*y.co*m】
解得，x=125，125+35=160，
答：、两种礼盒的售价分别是125元和160元；
（2）根据题意可列方程得，，
解得，（舍去），，
答：的值为．
【点睛】
本题考查了一元一次方程和一元二次方程的应用，解题关键是熟练运用方程思想建立方程，准确解方程．
58．春暖花开，万物复苏．某校为了提升全校 ( http: / / www.21cnjy.com )师生的学习工作环境，积极开展校园美化活动．学校在4月12日购买了绿植20盆、花卉40盆，其中花卉比绿植每盆贵20元，一共花费了2600元．
（1）求绿植和花卉单价分别是多少元？
（2）布置完校园后，师生们热情高涨，意犹未尽，15日学校决定再次购买一批同样的绿植和花卉装扮教学楼走廊．此时绿植的售价下降，购买数量比12日增加，花卉售价不变，购买数量比12日增加了，结果15日的费用比12日的费用增加了，求的值．
【答案】（1）绿植单价是30元，花卉单价是50元；（2）．
【分析】
（1）设绿植的单价为元，则花卉的单价为元，根据题意可列出关于x的方程，解出x即可求出答案．
（2）根据题意可直接列出关于a的方程，解出a即可．
【详解】
解：（1）设绿植的单价为元，则花卉的单价为元，
由题意可列方程：，
解得：，
花卉单价：元．
答：绿植单价是30元，花卉单价是50元．
（2）根据题意可列方程：，
整理得：，
解得：，．
∵，
∴．
【点睛】
本题考查一元一次方程和一元二次方程的实际应用．根据题意找出等量关系列出方程是解答本题的关键．
59．夏季是葡萄上市的季节，某超市7月购 ( http: / / www.21cnjy.com )进巨玫瑰和金手指两个品种的葡萄进行销售．已知巨玫瑰葡萄的售价为40元/千克，金手指葡萄的售价为50元/千克，统计发现，第一周共卖岀两个品种的葡萄800千克．
（1）若卖出巨玫瑰葡萄的总销售额不低于金手指葡萄的，求至少卖岀巨玫瑰葡萄多少千克；
（2）由于7月份第二周葡萄大量上市，该店决定对两 品种的葡萄进行降价销售．巨玫瑰葡萄降价，金手指葡萄降价，结果巨玫瑰葡萄的销量在（1）中的最小销量下增加，而金手指葡萄的销量在（1）中最高销量基础上增加了，最终7月份第二周的总销售额为36000元，求的值．
【答案】（1）至少卖出巨玫瑰葡萄400千克；（2）a的值为50．
【分析】
（1）设卖出巨玫瑰葡萄x千克，则金手指葡萄卖出（800-x）千克，由题意易得，然后求解即可；
（2）由题意易得，然后求解即可．
【详解】
解：（1）设卖出巨玫瑰葡萄x千克，则金手指葡萄卖出（800-x）千克，由题意得：
，
解得：，
答：至少卖出巨玫瑰葡萄400千克．
（2）由题意得：
，
令，化简得：，
解得：（舍去），
∴．
【点睛】
本题主要考查一元一次不等式及一元二次方程的应用，熟练掌握一元一次不等式及一元二次方程的应用是解题的关键．
60．目前我国的高铁技术世界领 ( http: / / www.21cnjy.com )先，营业里程稳居世界第一．现新开“重庆－昆明”和“重庆－香港”的两条高铁线，试乘阶段推出车票共800张，并且“重庆－香港”车票数量不少于“重庆－昆明”车票数量的3倍．
（1）求至少推出多少张“重庆－香港”车票；
（2）试乘阶段两种车票的价格均为每张450元．为了促进车票的销量，现决定两种车票的价格均减少，结果实际“重庆－香港”车票数量在（1）问条件下的最少车票数量上增加，“重庆－昆明”车票数量增加了，这样这两条高铁车票的总金额为396000元，求的值．
【答案】（1）600张；（2）20
【分析】
（1）设推出张“重庆香港”车票，则推出张“重庆昆明”车票，根据推出“重庆香港”车票数量不少于“重庆昆明”车票数量的3倍，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论；
（2）根据总价单价数量结合实际这两条高铁车票的总金额为396000元，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】
解：（1）设推出张“重庆香港”车票，则推出张“重庆昆明”车票，
依题意，得：，
解得：．
答：至少推出600张“重庆香港”车票．
（2）依题意，得：
，
整理，得：，
解得：，．
经检验：不合题意，取
答：的值为20．
【点睛】
本题考查了一元一次不等式的应用以及一元二次 ( http: / / www.21cnjy.com )方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
61．每年的“双十二”接近 ( http: / / www.21cnjy.com )寒冬，各商家抓住这一季节交替之际，许多商家利用这一契机进行了打折销售活动．某淘宝网店推出了甲、乙两款取暖器，已知甲款取暖器每台的进价为40元，标价为60元；乙款取暖器每台的进价为120元，标价为160元．
（1）若该网店在去年“双十二”当天按标价销售，共卖了200台甲、乙两款取暖器，结果发现利润不低于6400元，求乙款取暖器至少卖了多少台？
（2）现在正值销售旺季，为减少乙款取暖器的库存，该网店决定今年的“双十二”当天进行促销活动．甲款取暖器的售价每台在标价的基础上提高，乙款取暖器售价每台在标价的基础上降低，在实际销售过程中甲款取暖器销售量比（1）中的甲款最多销售量增加了；乙款取暖器销售量比（1）中的乙款最少销售量增加了，最终乙款取暖器的销售额是甲款取暖器的销售额4倍，求m的值．
【答案】（1）120台；（2）
【分析】
（1）设乙款取暖器卖了x台，则甲款 ( http: / / www.21cnjy.com )取暖器卖了（200-x）台，根据总利润=每台的利润×销售数量，结合总利润不低于6400元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论；
（2）利用销售总额=销售单价× ( http: / / www.21cnjy.com )销售数量，结合乙款取暖器的销售额是甲款取暖器的销售额4倍，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】
解：（1）设乙款取暖器卖了x台，则甲款取暖器卖了（200-x）台，
依题意得：（60-40）（200-x）+（160-120）x≥6400，
解得：x≥120．
答：乙款取暖器至少卖了120台．
（2）依题意得：160（1-m%）×120（1+2m%）=4×60（1+m%）×（200-120）（1+m%），
整理得：m2-m=0，
解得：m1=，m2=0（不合题意，舍去）．
答：m的值为．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用以及一 ( http: / / www.21cnjy.com )元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
62．考虑到市民“五一”假期短途出行需求，某旅行社推出和两个旅行产品．“五一”前一周，接待参加和的游客共人，其中选择的人数不低于选择人数的．
（1）“五一”前一周选择的游客至少有多少人？
（2）己知“五一”前一周，价格为元/人，价格为元/人， 且选择的游客人数恰好是（）中的最小值．“五一”假期期间，为了提高销量，的售价比前一周售价下降，选择的人数比前一周的最少人数增加，的售价比前一周的售价下降，选择的人数与前一周相同．结果“五一”假期期间总销售额为元，求的值．
【答案】（1）至少300人；（2）10．
【分析】
（1）设选择B的人数为x，则选择A的人数为（700-x）人，根据题意建立不等式求解即可；
（2）根据题意，分别确定两种方案中的人数和单价，计算两种方案的销售额的和，建立方程求解即可．
【详解】
（1）设选择B的人数为x，则选择A的人数为（700-x）人，根据题意，得
x≥（700-x），
解得x≥300，
∴“五一”前一周选择的游客至少有300人；
（2）根据题意，得700（1-）×300（1+）+360（1-）×（700-300）=354000，整理，得，
解得a=10或a=0（舍去），
故a的值为10．
【点睛】
本题考查了不等式的生活实际应用，一元二次方程的销售实际应用，正确理解题意，准确建立不等式和一元二次方程是解题的关键．
63．某小微企业在网上销售两种品牌木制休闲用品．今年2月，一共销售两种品牌木制休闲用品共件，其中品牌木制休闲用品每件售价元，品牌木制休闲用品每件售价元，2月全部售完这些木制休闲用品，所得总销售额不低于元．
（1）品牌木制休闲用品最多销售多少件？
（2）为了促进销量，今年3月，该店开展了优惠活动，品牌木制休闲用品的售价比2月的价格优惠，品牌木制休闲用品的售价比2月的价格优惠，结果3月售出的品牌木制休闲用品数量比2月总销售额最低时售出的品牌木制休闲用品数量增加了，售出的品牌木制休闲用品数量比2月总销售额最低时售出的品牌木制休闲用品数量增加了，结果3的总销售额比2月最低销售额增加了，求的值．
【答案】（1）；（2）40
【分析】
（1）设品牌木制休闲用品售出件，则品牌木制休闲用品售出件，从而可得：，再解不等式即可得到答案；
（2）根据题意逐一分析得到月份的两种品牌的销售量与销售单价，再列方程，解方程可得答案．
【详解】
解：（1）设品牌木制休闲用品售出件，则品牌木制休闲用品售出件，
依题意得：，
解得：．
答：品牌木制休闲用品最多售出件．
（2）依题意得：，
令
整理得：，
经检验：不合题意，舍去，
．
答：的值为．
【点睛】
本题考查的是一元一次不等式的应用，一元二次方程的应用，弄懂题意，确定不等关系与相等关系是解题的关键．
64．某超市经过记录发现近期龙眼的日销售量（kg）与售价（元/kg）有下表关系：
10 12 15 20
196 176.4 147 98
（1）请直接回答以上数据符合一次函数、反比例函数或二次函数中的哪一种？并求出与之间的函数解析式；
（2）已知龙眼的进货价是8元/kg，售价不能 ( http: / / www.21cnjy.com )超过进货价的2倍，经调查平均每100kg龙眼会有2kg损耗，如果希望龙眼的每日利润是1005元，那么龙眼的售价应该定为多少元/kg？
【答案】（1）是的一次函数；；（2）15元/kg
【分析】
（1）由表可知，售价每增加1元，销售量就减少9.8千克，确定是的一次函数，再用待定系数法求解析式即可；
（2）根据题意列出一元二次方程求解即可．
【详解】
解：（1）由表可知，售价每增加1元，销售量就减少9.8千克，所以，是的一次函数
设这个函数解析式是，将、分别代入得：
解得：
所求的函数解析式是．
（2）依题意得：，
解得：， （不合题意，舍去）
答：龙眼的售价应该定为15元/kg．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用和一元二次方程，解题关键是准确判断出两个变量是一次函数关系并求出解析式，再根据题意列出方程．
65．我区某中学响应习总书 ( http: / / www.21cnjy.com )记“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间”活动，现需要购进100个某品牌的足球供学生使用．经调查，该品牌足球2016年的单价是200元，今年的单价为162元．
（1）求2016年到今年该品牌足球单价平均每年降低的百分率；
（2）购买期间发现该品牌足球在A、B两个体育用品店有不同的促销方案，A店买十送一，B店全场九折，通过计算说明到哪个店购买足球更优惠．
【答案】（1）2016年到今年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为10%；（2）去B店购买足球更优惠
【分析】
（1）设2016年到今年该品牌足球单价 ( http: / / www.21cnjy.com )平均每年降低的百分率为x，根据2016年及今年该品牌足球的单价，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
（2）根据A店的优惠政策可求出A店实际需要购买的足球个数为91个，分别求出在A，B两店购买这批足球所需的总费用，比较后即可得出结论．
【详解】
解：（1）设2016年到今年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x，
根据题意得：200（1﹣x）2＝162，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（舍去）．
答：2016年到今年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为10%；
（2）A店买十送一，A店实际需要购买的足球个数为91个，
在A店购买需要的费用为162×91＝14742（元），
在B店购买需要的费用为162×100×＝14580（元），
∵14742元＞14580元，
∴去B店购买足球更优惠．
答：去B店购买足球更优惠．
【点睛】
本题考查一元二次方程增长率问题的应用，掌握一元二次方程的增长率应用的解法与步骤，会利用方案设计解决问题．
66．扶贫工作小组对果农进 ( http: / / www.21cnjy.com )行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场，与去年相比，今年这种水果的产量增加了25%，每千克的平均批发价降低了1元，批发销售总额增加了20%．
（1）已知去年这种水果批发销售总额为10万元．求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元？
（2）今年某水果店从果农处直接批发 ( http: / / www.21cnjy.com )，专营这种水果，调查发现，若每千克的平均销售价为41元，则每天可售出300千克；若每千克的平均销售价每降低3元，每天可多卖出180千克，当水果店一天的利润为7260元时，求这种水果的平均售价．（计算利润时，其它费用忽略不计）
【答案】（1）24元；（2）35元
【分析】
（1）设这种水果今年每千克的平均批发价是x ( http: / / www.21cnjy.com )元，则这种水果去年每千克的平均批发价是（x＋1）元，根据今年的批发销售总额比去年增加了20%，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设每千克的平均销售价降低了 ( http: / / www.21cnjy.com )y元，则每千克的平均利润为（17﹣y）元，每天的销售量为（300＋60y）千克，利用总利润＝每千克的平均利润×每天的销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】
解：（1）设这种水果今年每千克的平均批发价是x元，则这种水果去年每千克的平均批发价是（x＋1）元，
依题意得：（1＋20%）（x＋1）＝（1＋25%）x，
解得：x＝24．
答：这种水果今年每千克的平均批发价是24元．
（2）设每千克的平均销售价降低了y元，则每千克的平均利润为41﹣y﹣24＝（17﹣y）元，每天的销售量为300＋＝（300＋60y）千克，
依题意得：（17﹣y）（300＋60y）＝7260，
整理得：y2﹣12y＋36＝0，
解得：y1＝y2＝6，
∴41﹣y＝35（元）．
答：这种水果的平均售价为35元．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次 ( http: / / www.21cnjy.com )方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
67．学海书店购一批故事书进行销售 ( http: / / www.21cnjy.com )，其进价为每本40元，如果按每本故事书50元进行出售，每月可以售出500本故事书，后来经过市场调查发现，若每本故事书涨价1元，则故事书的销量每月减少20本．
（1）若学海书店要保证每月销售此种故事书盈利6000元，同时又要使购书者得到实惠，则每本故事书需涨价多少元？
（2）若使该故事书的月销量不低于300本，则每本故事书的售价应不高于多少元？
【答案】（1）5元；（2）60元
【分析】
（1）设每本故事书需涨价x元，根据 ( http: / / www.21cnjy.com )“每本故事书涨价1元，则故事书的销量每月减少20本”表示出销售量，由售价-进价=利润列出方程，求出方程的解即可得到结果；
（2）设每本故事书的售价为m元，由关键描述语“该故事书的月销量不低于300本”列出不等式．
【详解】
（1）解：设每本故事书需涨价x元，由题意，得
，
解得，（不合题意，舍去）．
答：每本故事书需涨5元；
（2）解：设每本故事书的售价为m元，
则，
解得，
答：每本故事书的售价应不高于60元．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，弄清“每本故事书涨价1元，则故事书的销量每月减少20本”是解本题的关键．
68．某商家4月份花36000元购进一批巧克力售完后，5月份用78000元购进一批相同的巧克力，数量是4月份的2倍，但每件进价涨了10元．
（1）5月份进了这批巧克力多少份？
（2）该经销商6月份以每件400元卖出一部分巧克力，7月份，经销商决定将一批巧克力通过网上销售以及实体店销售两种形式进行，网上销售的售价在每件400元的基础上下调元，实体店销售每件仍为400元．结果，7月份的两种销售形式的销售总量比6月份增加了，并且网上销售量占销售总量的75%，7月份的销售总金额比6月份提高了，求的值．
【答案】（1）600份；（2）20．
【分析】
（1）设4月份进了这批巧克力份，从而可得5月份购进份，再根据“5月份比4月份的每件进价涨了10元”建立方程，解方程即可得；
（2）设6月份的销售总量为份，从而可得7月份网上销售量和实体店销售量，再根据“销售总金额每件的售价销售量”，结合“7月份的销售总金额比6月份提高了”建立方程，解方程即可得．
【详解】
解：（1）设4月份进了这批巧克力份，则5月份购进了份，
由题意得：，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，且符合题意，
则，
答：5月份购进了这批巧克力600份；
（2）设6月份的销售总量为份，则7月份网上销售量为份，实体店销售量为份，
由题意得：，
整理得：，
解得或（不符题意，舍去），
答：的值为20．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用、一元二次方程的应用，依据题意，正确找出等量关系，并建立方程是解题关键．
69．魅力重庆，风景秀美，其中享有“鬼城”之称的丰都，世界闻名，吸引大批游客前来．旅游业的发展带动美食经济，中央电视台也曾在“欢乐中国行”栏目中力推“胡辣壳抄手、仙家豆腐乳、麻辣鸡块”等丰都美食．某麻辣鸡店铺推出“到店消费”和“美味到家”两种营销方式，其中“到店消费”按元/斤付费，“美味到家”按元/斤，邮费自付的方式付费．年月“到店消费”的销售量比“美味到家”的销售量高斤，总营业额为元．
（1）求该店2月份“到店消费”和“美味到家”的销售量分别是多少斤？
（2）为了提高大众知名度，店面决定在3月份搞促销活动，同比2月份“到店消费”的单价下降了，“美味到家”的单价不变，但购买则送凉拌鸡杂一份，3月底统计发现“到店消费”和“美味到家”销售量同比2月份分别提升了和，总营业额比2月份的总营业额提升了元，求的值．
【答案】（1）该店2月份“到店消费”的销售量为120斤，“美味到家”的销售量为108斤；（2）16．
【分析】
（1）设该店2月份“到店消费”的销售量为x斤， “美味到家”的销售量为y斤，根据题意列出方程组，解方程组即可求解；
（2）由题意可得方程72（1-a%）×120 ( http: / / www.21cnjy.com )（1+25a%）+80×108（1+10a%）=17280×（1+15a%），解方程即可求得a的值．
【详解】
（1）解：设该店2月份“到店消费”的销售量为x斤， “美味到家”的销售量为y斤，由题意可得，
，
解得，．
答：该店2月份“到店消费”的销售量为120斤，“美味到家”的销售量为108斤．
（2）由题意可得，
72（1-a%）×120（1+25a%）+80×108（1+10a%）=17280×（1+15a%），
化简得，，
解得，a=16或a=0（舍去）．
答：的值为16．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组及一元二次方程的应用，根据题意正确列出方程（组）是解决问题的关键．
70．“早黑宝”葡萄品种是农科院研 ( http: / / www.21cnjy.com )制的优质新品种，市场调查发现，当“早黑宝”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，若售价每降价1元，每天可多售出50千克，为了推广宣传，基地决定降价促销，同时尽可能减少库存，已知该基地“早黑宝”的平均成本价为12元/千克，若使销售“早黑室”每天获利1750元，则售价应降低多少元？21教育名师原创作品
【答案】售价应降低3元．
【分析】
设售价应降低元，则每天可售出千克，每千克的利润为（20-12-y）元，根据每天获利1750元，可得方程，解方程即可．
【详解】
设售价应降低元，则每天可售出千克
根据题意，得
整理得，
解得，
要减少库存
不合题意，舍去
答：售价应降低3元．
【点睛】
本题考查了一元二次方程在物品销售中应用，要注意的是：降价则减利润，降价增加销量，此外，所列方程可以化简则应尽量化简．
71．如图，在足够大的空地上有一段长为的旧墙，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园，其中．已知矩形菜园的一边靠墙，修筑另三边一共用了木栏．若所围成的矩形菜园的面积为，求的长．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】2m
【分析】
设AB＝x米，则AD＝米，根据矩形的面积公式得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，故可求出AD的长．
【详解】
解：设的长为，则的长为．
依题意，得，
解得，．
当时，（不符合题意，舍去）．
当时，．
∴的长为．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
72．《杨辉算法》中有这么一道题：“ ( http: / / www.21cnjy.com )直田积九十六步，只云长阔共二十步，问长多几何？”意思是：一块矩形田地的面积为96平方步，只知道它的长与宽共20步，问它的长比宽多了多少步？
【答案】长比宽多4步．
【分析】
设矩形田地的宽为步，则长为步，根据矩形田地的面积为96平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】
解：设矩形田地的宽为步，则长为步，
依题意，得：
解得：，，
由得：
∴，，
∴矩形田地的长比宽多4步．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
73． 2019年底，湖北省 ( http: / / www.21cnjy.com )武汉市发现一种新型冠状病毒感染引起的急性呼吸道传染病，到2020初，新冠肺炎席卷全国，掀起一场史无前例的防疫“战斗”．【出处：21教育名师】
（1）在“新冠”初期，有2人感染了“新冠”，经过两轮传染后共有288人感染了“新冠”，则每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）某小区物管为预防业 ( http: / / www.21cnjy.com )主感染传播，购买A型和B型两种口罩，购买A型口罩花费了3000元，购买B型口罩花费了2000元，且购买A型口罩数量是购买B型口罩数量的3倍，已知购买一个B型口罩比购买一个A型口罩多花2元．则该物业购买A、B两种口罩的单价各为多少元？
【答案】（1）每轮传染中平均一个人传染了11人；（2）该物业购买A种口罩的单价为2元，B种口罩的单价为4元．
【分析】
（1）设每轮传染中平均一个人传染了x人， ( http: / / www.21cnjy.com )根据2人感染“新冠”经过两轮传染后共有288人感染“新冠”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设该物业购买A种3M口罩的单价为y元，则B种3M口罩的单价为（y+3）元，列出分式方程，解方程即可得解．
【详解】
解：（1）设每轮传染中平均一个人传染了x人，
依题意，得：2+2x+x（2+2x）＝288，
解得：x1＝11，x2＝﹣13（不合题意，舍去）．
答：每轮传染中平均一个人传染了11人．
（2）设该物业购买A种口罩的单价为y元，则B种口罩的单价为（y+2）元，
由题意得，，
解得，y＝2，
经检验y＝2是原方程的解，
则y+2＝4，
答：该物业购买A种口罩的单价为2元，B种口罩的单价为4元．
【点睛】
本题考查的是分式方程的应用，一元二次方程的应用，掌握利用一元二次方程解决传播问题，利用分式方程解决商品购买问题是解题的关键．
74．为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召，确保粮食安全，优选品种，提高产量，某农业科技小组对原有的玉米品种进行改良种植研究．在保持去年种植面积不变的情况下，预计玉米平均亩产量将在去年的基础上增加．因为优化了品种，预计每千克售价将在去年的基础上上涨，全部售出后预计总收入将增加．求的值．
【答案】10．
【分析】
根据题意，列出一元二次方程，然后求解即可．
【详解】
解：根据题意可得：
解之得： ，（不合题意，舍去）
．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，正确的理解题意是解题的关键．
75．平遥牛肉久负盛名．据史料记载， ( http: / / www.21cnjy.com )清代时已誉满三晋．其制作工艺独特，用料讲究，所产牛肉营养丰富，具有扶胃健脾之功效．某特产店以每千克110元的价格购进一批平遥牛肉，当按每千克140元的价格出售时，平均每天可销售30千克．“十一”期间，为了尽可能扩大销售量，商家决定降价销售．经调查发现，每千克降价1元，每天可多卖2千克．若该经销商想要每天获利1000元，则每千克应降价多少元？
【答案】若该经销商想要每天获利1000元，则每千克应降价10元
【分析】
设每千克应降价x元，则每千克 ( http: / / www.21cnjy.com )的销售利润为（140﹣x﹣110）元，平均每天可销售（30+2x）千克，根据总利润＝每千克的销售利润×平均每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合为了尽可能扩大销售量，即可确定x的值．
【详解】
解：设每千克应降价x元，则每千克的销售利润为（140﹣x﹣110）元，平均每天可销售（30+2x）千克，
依题意得：（140﹣x﹣110）（30+2x）＝1000，
整理得：x2﹣15x+50＝0，
解得：x1＝5，x2＝10．
又∵为了尽可能扩大销售量，
∴x＝10．
答：若该经销商想要每天获利1000元，则每千克应降价10元．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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第06讲 一元二次方程的应用
【提升训练】
一、单选题
1．在数轴上有不同的两点A、B，其中点A表示的数是，点B表示的数是，如果A，B两点关于原点对称，那么的值是（ ）21*cnjy*com
A． B．0 C．2 D．0或2
2．如图，某小区在一块长为，宽为的矩形空地上新修三条宽度相同的小路，其中一条和矩形的一边平行，另外两条和矩形的另一边平行，空地剩下的部分种植花草，使得花草区域占地面积为．设小路的宽度为，则下列方程：
①；
②；
③．
其中正确的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．① B．② C．①② D．①②③
3．如图①，在矩形中，，对角线，相交于点，动点由点出发，沿向点运动．设点的运动路程为，的面积为，与的函数关系图象如图②所示，则对角线的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．3 B．4 C．5 D．6
4．每年春秋季节流感盛行，极具传染性如果一人得流感，不加干预，则经过两轮后共有81人得流感，则每人每轮平均会感染几人？设每人每轮平均感染人，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．国家统计局统计数据显示 ( http: / / www.21cnjy.com )，我国快递业务逐年增加，2018年至2020年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2018年至2020年快递业务收入的年平均增长率为x，根据题意可列出方程为（ ）
A．5000（1+2x）=7500
B．5000（1+x）＝7500
C．5000（1+x）2＝7500
D．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝7500
6．小明看到关于四川大凉山 ( http: / / www.21cnjy.com )留守儿童的相关报道后，想为这些孩子献一份爱心，六一儿童节当天他将三、四、五三个月挣得的800元零花钱成功捐出．已知三月份小明做家务挣得零花钱200元，设从三月份到五月份挣得零花钱的月平均增长率为x，则根据题意列出方程为（ ）
A．200（1＋2x）＝800 B．200×2（1＋x）＝800
C．200（1＋x）2＝800 D．200＋200（1＋x）＋200（1＋x）2＝800
7．双十一来临前，某商场将一件衬衫的价格以一 ( http: / / www.21cnjy.com )个给定的百分比提升，双十一那天商场又按照新的价格以相同的百分比降低了这件衬衫的价格，最终，衬衫的价格为原价的84%，则这个给定的百分比为（ ）
A．16% B．36% C．40% D．50%
8．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户 ( http: / / www.21cnjy.com )高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈.问户高、广各几何.”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少（1丈＝10尺，1尺＝10寸）？若设门的宽为x寸，则下列方程中，符合题意的是（ ）
A．x2+12＝（x+0.68）2 B．x2+（x+0.68）2＝12
C．x2+1002＝（x+68）2 D．x2+（x+68）2＝1002
9．如图，在中，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当的面积为时，则点P运动的时间是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．或 C． D．
10．如图，在长为32米、宽为12米的矩形 ( http: / / www.21cnjy.com )地面上修建如图所示的道路（图中的阴影部分）余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为300平方米，则可列方程为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．
C． D．
11．某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划第四季度的总营业额要达到9100万元，求该公司11、12两个月营业额的月均增长率．若设该公司11、12两个月营业额的月均增长率为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
12．某初中毕业班的第一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了张照片，如果全班有名学生，根据题意，列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
13．某种植物的主干长出若干数目的支干，每 ( http: / / www.21cnjy.com )个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是31，设每个支干长出x个小分支，则下列方程中符合题意的是（ ）
A．1+x2=31 B．1+x+x2=31 C．x+x2=31 D．(1+x)2=31
14．某市2019年年底自然保护区覆 ( http: / / www.21cnjy.com )盖率为15%，经过两年努力，预计该市2021年年底自然保护区覆盖率将会达到21.6%，则该市这两年自然保护区面积的平均增长率为（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A．25% B．20% C．6.6% D．3.3%
15．电影《我和我的祖国》一上映，第 ( http: / / www.21cnjy.com )一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若增长率记作x，方程可以列为（ ）
A．3（1+x）＝10 B．3 （1+x）2＝10
C．3+3（1+x）2＝10 D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝10
16．为响应中央“房住不炒”的基本政策，某房企连续降价两次后的平均价格比降价之前减少了19%，则平均每次降价的百分率为（ ）
A． B． C． D．
17．由于新冠疫情影响，某口罩加工厂改进技术，扩大生产，从10月份开始，平均每个月生产量的增长率为，已知第四季度的生产量为2375万个，设10月份口罩的生产量为x万个，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
18．某县以“重点整治环境 ( http: / / www.21cnjy.com )卫生”为抓手，加强对各乡镇环保建设的投入，计划从2018年起到2020年累计投入5250万元，已知2018年投入1500万元，设投入经费的年平均增长率为x，根据题意，下列所列方程正确的是（ ）21cnjy.com
A．1500 （1+x） 2＝5250
B．1500 （1+2x）＝5250
C．1500+1500x+1500x2＝5250
D．1500+1500 （1+x）+1500 （1+x） 2＝5250
19．疫情期间，育才中学为每个班级准备了免洗抑菌洗手液．去市场购买时发现当购买量不超过100瓶时，洗手液的单价为8元；超过100瓶时，每增加10瓶，每瓶单价就降低元，但最低价格不能低于每瓶5元．若学校购买洗手液共花费1200元，则购买洗手液的瓶数是（ ）www.21-cn-jy.com
A．200 B．150 C．150或200 D．200或300
20．疫情期间，若有1人染上“新冠”，不及时治疗，经过两轮传染后有361人染上“新冠”，平均一个人传染（ ）个人．2·1·c·n·j·y
A．14 B．16 C．18 D．20
21．《生物多祥性公约》第十五次缔约方大会（COP15）将于2021年5月17日至30日在云南省昆明市举办、昆明某景观园林公司为迎接大会召开，计划在一个长为32m，塞为20m的矩形场地（如图所示）上修建三条同样宽的道路，使其中两条与平行、另一条与平行，其余部分种草坪，若使每一块草坪的面积为，求道路的宽度、若设道路的宽度为，则满足的方程为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．
C． D．
22．在元旦庆祝活动中，参加活动的同学互赠贺卡，共送贺卡张，设参加活动的同学有人，根据题意，可列方程（ ）【版权所有：21教育】
A． B． C． D．
23．一次围棋比赛，参赛的每两位棋手之间都要比赛一场，根据赛程计划共安排45场比赛，设本次比赛共有x个参赛棋手，则可列方程为（ ）
A．x（x﹣1）＝45 B．x（x+1）＝45
C．x（x﹣1）＝45 D．x（x+1）＝45
24．某产品成本价为100万元，由于改进技术，成本连续降低，每次降低%，连续两次降低后成本为64万元，则的值为（ ）
A．10 B．15 C．18 D．20
25．从盛满20升纯酒精的容器里倒出若 ( http: / / www.21cnjy.com )干升，然后用水注满，再倒出同样升数的混合液后，这时容器里剩下纯酒精5升．则每次倒出溶液的升数为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
26．一个菱形两条对角线的长是方程的两个根，则该菱形的面积为（ ）
A．12 B．6或12 C．8 D．6
27．如图，在长20米，宽12米的矩形AB ( http: / / www.21cnjy.com )CD空地中，修建4条宽度相等且都与矩形的各边垂直的小路，4条路围成的中间部分恰好是个正方形，且边长是路宽的2倍，小路的总面积是40平方米，若设小路的宽是x米，根据题意列方程，正确的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．32x+2x2＝40 B．x（32+4x）＝40
C．64x+4x2＝40 D．64x﹣4x2＝40
28．要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，则x满足的关系式为（ ）
A．x（x+1）＝90 B．x（x﹣1）＝90
C．x（x+1）＝90 D．x（x﹣1）＝90
29．欧几里得的《原本》记载，方程x2+ax＝b2的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝BC．则该方程的一个正根是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．AC的长 B．CD的长 C．AD的长 D．BC的长
30．某商品的售价为100元，连续两次降价后售价降低了36元，则的值为（ ）
A．60 B．20 C．36 D．18
31．某餐厅主营盒饭业务，每份盒饭的成本为元．若每份盒饭的售价为元，每天可卖出份．市场调查反映：如调整价格，每涨价元，每天要少卖出份．若该餐厅想让每天盒饭业务的利润达到元，设每份盒饭涨价元，则符合题意的方程是（ ）21*cnjy*com
A． B．
C． D．
32．为切实解决群众看病贵的问题，药监部门对药品价格进行了两次下调．某种药品原价为元/瓶，经两次下调后价格变为元/瓶，该药品平均每次降价的百分率为（ ）
A． B． C． D．
33．一人携带变异新冠状病毒，经过两轮传染后共有人感染，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列方程（ ）
A． B． C． D．
34．学校准备举办“和谐校园”摄影作品展黛，现要在一幅长，宽的矩形作品四周外围上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原作品面积相等，设彩纸的宽度为，则满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
35．为美化家园环境，提升城市形象，我市近 ( http: / / www.21cnjy.com )几年大力开展“五城联创”活动，2020年被评为国家文明城 市，推动了当地旅游产业的发展，2020年我市某景区旅游收入达到10亿元，预计到2022年该景区旅游收入将达到14.4亿元，则我市2021、2022年旅游收入的平均增长率为（ ）21世纪教育网版权所有
A．4.4% B．12% C．20% D．24%
36．将一个正方形剪成①、②、③、④四块（如图1），恰能拼成如图2的矩形，若，则这个正方形的面积为（ ）
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A． B． C．9 D．
37．我国古代数学家赵爽（公元世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程即为例说明，记载的方法是：构造如图，大正方形的面积是．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．则在下面四个构图中，能正确说明方程解法的构图是（ ）【出处：21教育名师】
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A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
38．将关于x的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
39．某市年投入教育经费万元，年投入教育经费比年增加万元，若年至年该市投入教育经费的年平均增长奉为则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
40．若国家对某种药品分两次降价，该药品的原价是25元，降价后的价格是16元，平均每次降价的百分率均为x，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
41．某菜农在2020年11月底投资1 ( http: / / www.21cnjy.com )600元种植大棚黄瓜，春节期间，共采摘黄瓜400千克，当天就可以按6元/千克的价格售出．若将所采摘的黄瓜先储藏起来，其质量每天损失10千克，且每天需支付各种费用共40元，但每天每千克的价格能上涨0.5元（储藏时间不超过10天）．若该菜农想获得1175元的利润，需要将采摘的黄瓜储藏____天．
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42．如图，在正方形中，，以B为圆心，长为半径画弧，点E为弧上一点，于F，连接，若，则的值为________．
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43．如图，一次函数的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点E在线段上（不与点A，B重合），过点E分别作和的垂线，垂足为C，D．当矩形的面积为1时，点E的坐标为_________．
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44．如图，某小区规划在一个长为、宽为的矩形场地上修建三条同样宽的小路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草．若草坪部分的总面积为，则小路的宽度为________m．
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45．为把我市创建成全国文明城市，某社区积极响应市政府号召，准备在 一块正方形的空地上划出部分区域栽种鲜花，如图中的阴影“┛”带，鲜花带一边宽1m．另一边宽2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长m，可列方程为_______．
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三、解答题
46．随着农业技术的现代化，节水型灌溉得到逐步推广．喷灌和滴灌是比漫灌更节水的灌溉方式，喷灌和滴灌时每亩用水量分别是漫灌时的和．去年，新丰收公司用各100亩的三块试验田分别采用喷灌、滴灌和漫灌的灌溉方式，共用水15000吨．
（1）请问用漫灌方式每亩用水多少吨？去年每块试验田各用水多少吨？
（2）今年该公司加大对农业灌溉的投入，喷灌和滴灌试验田的面积都增加了，漫灌试验田的面积减少了．同时，该公司通过维修灌溉输水管道，使得三种灌溉方式下的每亩用水量都进一步减少了．经测算，今年的灌溉用水量比去年减少，求的值．
（3）节水不仅为了环保，也与经济收 ( http: / / www.21cnjy.com )益有关系．今年，该公司全部试验田在灌溉输水管道维修方面每亩投入30元，在新增的喷灌、滴灌试验田添加设备所投入经费为每亩100元．在（2）的情况下，若每吨水费为2.5元，请判断，相比去年因用水量减少所节省的水费是否大于今年的以上两项投入之和？
47．古希腊数学家丢番图（公元250年前后）在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解．在欧几里得的《几何原本》中，形如的方程的图解法是：如图，以和b为两直角边作，再在斜边上截取，则的长就是所求方程的解．
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（1）请用含字母的代数式表示的长；
（2）请利用你已学的知识说明该图解法的正确性，并说说这种解法的遗憾之处．
48．2020年春节期间人们积极响应政府关于疫情防控的号召，线上拜年、云聚会、春节视频分享等活动成为主要娱乐互动方式，拉动了移动流量的攀升．据了解，2020年春节假期期间，移动流量消费了约275万．而2018年春节假期期间我国移动流量共消费了约85万．若每年移动流量的平均增长率相同．
（1）求每年移动流量的平均增长率约为多少？
（2）若按此增长率再增长一次，则增长后的移动流量消费量约为多少？
49．在纪念山西博物院百年华诞中，该馆特推出主题为“百年传承，守正创新”的系列活动，旨在回顾历史，总结经验，凝练博物馆精神和文化，让最新的文化成果惠及社会公众．在活动期间，特别推出《山西古代陶瓷特展》、《明清山西书画艺术》、《董其昌书画艺术》、《安第斯文明特展》、《山西博物院百年历程特展》和《山西北朝墓葬壁画艺术》六大主题展览．为此，该馆决定在一层的靠墙处，用55米长的可拆卸的屏风墙围成三个相连的矩形展厅．如图所示，展厅的总面积为200平方米．为了方便游客进出，在展厅的四周（除围墙）和各场地之间留出了1米的缺口作为出入口．若设米，且（考虑到场地因素）．
（1）求该展厅的长度为多少米；
（2）该馆现有两名布置场馆的师傅，已知王 ( http: / / www.21cnjy.com )师傅平均每天布置展厅的面积是刘师傅的1.5倍，刘师傅独自完成布置工作比王师傅独自完成多2天，则刘师傅平均每天可完成布置展厅的面积为多少平方米．
50．某工厂有甲、乙两个车 ( http: / / www.21cnjy.com )间，甲车间生产A产品，乙车间生产B产品，去年两个车间生产产品的数量相同且全部售出．已知A产品的销售单价比B产品的销售单价高100元，1件A产品与1件B产品售价和为500元．
（1）A、B两种产品的销售单价分别是多少元？
（2）随着5G时代的到来，工业互联网进入了快速发展时期．今年，该工厂计划依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制B产品的生产车间．预计A产品在售价不变的情况下产量将在去年的基础上增加a%；B产品产量将在去年的基础上减少a%，但B产品的销售单价将提高3a%．则今年A、B两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加%．求a的值．
51．问题提出：
如果在一个平面内画出条直线，最多可以把这个平面分成几部分？
问题探究：
为解决问题，我们经常采用一般问 ( http: / / www.21cnjy.com )题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进到复杂的情形，在探究的过程中，通过归纳得出一般性的结论，进而拓展应用．
探究一：
如图1，当在平面内不画（0条）直线时，显然该平面只有1部分，可记为．
探究二：
如图2，当在平面内画1条直线时，该平面最多被分成了2部分，比前一次多了1部分，可记为．
探究三：
当在平测内而2条使线，若两条直线平行（如图3），该平面被分成3部分；若两条直线相变（如图4），交点将第2条直线分成2段，每一段将平面多分出1部分，因此比前一次多2部分，该平面分成4部分，因此当在平面内画2条直线时，该平面最多被分成4部分，可记为，我们获得的直接经验是：直线相交时，平面被分成的部分多21·世纪*教育网
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探究四：
当在平面内画3条直线，若3条直线相交于一点（如图 5），该平面被分成6部分；若3条直线的交点都不相同时（如图6），第3条直线与前两条直线有2个交点，该直线被2个交点分成了3段，每段将平面多分出1部分，所以比前一次多出3 部分，该平面被分成7部分．因此当在平面内画3条直线时，该平面最多被分成7部分，可记为．我们获得的经验是：直线相交的交点个数越多，平面被分成的部分就越多．所以直接探索直线交点个数最多的情况即可．
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探究五：
当在平面内画4条直线（如图7），第4条直线与前3条直线有3 个交点，该直线被3个交点分成了4段，每段将平面多分出1部分，所以比前一次多出4部分，该平面被分成11分．因此当在平面内画4条直线时，该平面最多被分成11部分，可记为．
探究六：
在平面内面5条直线，最多可以把这个平面分成几部分？（仿照前面的探究方法，写出解答过程，不需画图）
__________
问题解决：
如果在一个平面内画出条直线，最多可以把这个平面分成 部分．
应用与拓展：
（1）如果一个平面内的10条直线将平面分成了50个部分，再增加2条直线，则该平面至多被分成 个部分．2-1-c-n-j-y
（2）如果一个平面被直线分成了497部分，那么直线的条数至少有 条．
（3）一个正方体蛋糕切5刀，被分成的块数至多为 块．
52．重庆小面是重庆美食 ( http: / / www.21cnjy.com )的名片之一，深受外地游客和本地民众欢迎．某面馆向食客推出经典特色重庆小面，顾客可到店食用（简称“堂食”小面），也可购买搭配佐料的袋装生面（简称“生食”小面）．已知3份“堂食”小面和2份“生食”小面的总售价为31元，4份“堂食”小面和1份“生食”小面的总售价为33元．
（1）求每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是多少元？
（2）该面馆在4月共卖出“堂食”小面4500份，“生食”小面2500份，为回馈广大食客，该面馆从5月1日起每份“堂食”小面的价格保持不变，每份“生食”小面的价格降低．统计5月的销量和销售额发现：“堂食”小面的销量与4月相同，“生食”小面的销量在4月的基础上增加，这两种小面的总销售额在4月的基础上增加．求a的值．
53．2020年12月25日，太原市地铁2号 ( http: / / www.21cnjy.com )线一期线路正式投入载客初期运营，历时四年9个月的建设后，太原人终于能乘坐自己的地铁了．在2号线轨道铺设作业中，为了提前完成铺轨任务，采用了新型轮胎式铺轨机和全自动混凝土布料机，使得每天铺设轨道的长度比原计划多120米，原计划300天的铺轨任务，仅用了120天就全部完成．
（1）求原计划每天铺设轨道多少米？
（2）图2所示是太原地铁内关于“五台山”和“平遥古城”的一幅旅游广告图，整幅图是在两张风景区图片的基础上，四周镶以宽度相等的木质框架而成．若两张风景区图片的长都为3米，宽都为2米，镶上木质框架后整幅旅游广告图的面积是两张风景区图片总面积的．求镶上的木质框架的宽为多少米？
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图1
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图2
54．第30届菏泽国际牡丹文化旅游节于4月1日至5月10日举办，主题为“赞盛世牡丹，品魅力菏泽”．为了宣传牡丹制品，某商店欲购进两种牡丹制品，若购进种牡丹制品5件，种牡丹制品3件，共需450元；若购进种牡丹制品10件，种牡丹制品8件，共需1000元．21·cn·jy·com
（1）购进两种牡丹制品每件各需多少元？
（2）该商店购进足够多的两种牡丹制品，在销售中发现，种牡丹制品售价为每件80元，每天可销售100件，现在决定对种牡丹制品在每件80元的基础上降价销售，每件每降价1元，多售出20件，该商店对种牡丹制品降价销售后每天销量超过200件；种牡丹制品销售状况良好，每天可获利7000元，为使销售两种牡丹制品每天总获利为10000元，种牡丹制品每件降价多少元？
55．根据农业部提出“大力发展农 ( http: / / www.21cnjy.com )村产业，实现乡村全面振兴”的方针，我市精准扶贫，指导某县大力发展枇杷种，去年、今年枇杷产量连续获得大丰收．该县某种植户枇杷销售采用线下销售和线上销售两种模式．
（1）今年该种植户枇杷产量为3600千克，全部售出．其中线上销量不超过线下销量的3倍．求线下销量至少多少千克？
（2）该种植户去年枇杷线下销售均价为15元/千克，销售量为900千克．线上销售均价为12元/千克，销售量为1800千克．今年线下销售均价上涨了，但销售量下降了，线上销售均价上涨了，销售量与去年持平．今年枇杷的销售总金额比去年销售总金额减少了，求的值．
56．某服装店自2018年以来，销售成衣数量在稳健地上涨，2018年全年售出10000件成衣，2020年全年售出14400件成衣．21教育网
（1）求该服装店2018年到2020年成衣销售量的年平均增长率；
（2）若服装店售出成衣数量还将保持相同的年平均增长率，请你预算2022年该服装店售出成衣将达到多少件
57．巫山脆李又名巫山大李子，果形端正、质地脆嫩、汁多味香．某水果商将收购的巫山脆李包装成、两种礼盒通过某网络平台进行销售，礼盒每盒的售价比礼盒每盒的售价贵35元，5月份第一周售出了200盒礼盒和300盒礼盒，总销售额为73000元．
（1）求、两种礼盒的售价分别是多少元？
（2）进入6月份，各地李子大量上市，李子的价格受到一定冲击，该水果商决定将礼盒的售价保持不变，礼盒的售价降低，销售一周，、两种礼盒的销量分别比5月份第一周的销量减少了、增加了，总销售额恰好不变，求的值．
58．春暖花开，万物复苏．某校为了提升 ( http: / / www.21cnjy.com )全校师生的学习工作环境，积极开展校园美化活动．学校在4月12日购买了绿植20盆、花卉40盆，其中花卉比绿植每盆贵20元，一共花费了2600元．
（1）求绿植和花卉单价分别是多少元？
（2）布置完校园后，师生们热情高涨，意犹未尽，15日学校决定再次购买一批同样的绿植和花卉装扮教学楼走廊．此时绿植的售价下降，购买数量比12日增加，花卉售价不变，购买数量比12日增加了，结果15日的费用比12日的费用增加了，求的值．
59．夏季是葡萄上市的季节，某超 ( http: / / www.21cnjy.com )市7月购进巨玫瑰和金手指两个品种的葡萄进行销售．已知巨玫瑰葡萄的售价为40元/千克，金手指葡萄的售价为50元/千克，统计发现，第一周共卖岀两个品种的葡萄800千克．
（1）若卖出巨玫瑰葡萄的总销售额不低于金手指葡萄的，求至少卖岀巨玫瑰葡萄多少千克；
（2）由于7月份第二周葡萄大量上市，该店决定对两 品种的葡萄进行降价销售．巨玫瑰葡萄降价，金手指葡萄降价，结果巨玫瑰葡萄的销量在（1）中的最小销量下增加，而金手指葡萄的销量在（1）中最高销量基础上增加了，最终7月份第二周的总销售额为36000元，求的值．
60．目前我国的高铁技术世界领先， ( http: / / www.21cnjy.com )营业里程稳居世界第一．现新开“重庆－昆明”和“重庆－香港”的两条高铁线，试乘阶段推出车票共800张，并且“重庆－香港”车票数量不少于“重庆－昆明”车票数量的3倍．
（1）求至少推出多少张“重庆－香港”车票；
（2）试乘阶段两种车票的价格均为每张450元．为了促进车票的销量，现决定两种车票的价格均减少，结果实际“重庆－香港”车票数量在（1）问条件下的最少车票数量上增加，“重庆－昆明”车票数量增加了，这样这两条高铁车票的总金额为396000元，求的值．
61．每年的“双十二”接近寒冬，各商家 ( http: / / www.21cnjy.com )抓住这一季节交替之际，许多商家利用这一契机进行了打折销售活动．某淘宝网店推出了甲、乙两款取暖器，已知甲款取暖器每台的进价为40元，标价为60元；乙款取暖器每台的进价为120元，标价为160元．
（1）若该网店在去年“双十二”当天按标价销售，共卖了200台甲、乙两款取暖器，结果发现利润不低于6400元，求乙款取暖器至少卖了多少台？
（2）现在正值销售旺季，为减少乙款取暖器的库存，该网店决定今年的“双十二”当天进行促销活动．甲款取暖器的售价每台在标价的基础上提高，乙款取暖器售价每台在标价的基础上降低，在实际销售过程中甲款取暖器销售量比（1）中的甲款最多销售量增加了；乙款取暖器销售量比（1）中的乙款最少销售量增加了，最终乙款取暖器的销售额是甲款取暖器的销售额4倍，求m的值．
62．考虑到市民“五一”假期短途出行需求，某旅行社推出和两个旅行产品．“五一”前一周，接待参加和的游客共人，其中选择的人数不低于选择人数的．
（1）“五一”前一周选择的游客至少有多少人？
（2）己知“五一”前一周，价格为元/人，价格为元/人， 且选择的游客人数恰好是（）中的最小值．“五一”假期期间，为了提高销量，的售价比前一周售价下降，选择的人数比前一周的最少人数增加，的售价比前一周的售价下降，选择的人数与前一周相同．结果“五一”假期期间总销售额为元，求的值．
63．某小微企业在网上销售两种品牌木制休闲用品．今年2月，一共销售两种品牌木制休闲用品共件，其中品牌木制休闲用品每件售价元，品牌木制休闲用品每件售价元，2月全部售完这些木制休闲用品，所得总销售额不低于元．
（1）品牌木制休闲用品最多销售多少件？
（2）为了促进销量，今年3月，该店开展了优惠活动，品牌木制休闲用品的售价比2月的价格优惠，品牌木制休闲用品的售价比2月的价格优惠，结果3月售出的品牌木制休闲用品数量比2月总销售额最低时售出的品牌木制休闲用品数量增加了，售出的品牌木制休闲用品数量比2月总销售额最低时售出的品牌木制休闲用品数量增加了，结果3的总销售额比2月最低销售额增加了，求的值．
64．某超市经过记录发现近期龙眼的日销售量（kg）与售价（元/kg）有下表关系：
10 12 15 20
196 176.4 147 98
（1）请直接回答以上数据符合一次函数、反比例函数或二次函数中的哪一种？并求出与之间的函数解析式；
（2）已知龙眼的进货价是8元/kg， ( http: / / www.21cnjy.com )售价不能超过进货价的2倍，经调查平均每100kg龙眼会有2kg损耗，如果希望龙眼的每日利润是1005元，那么龙眼的售价应该定为多少元/kg？
65．我区某中学响应习总书记“ ( http: / / www.21cnjy.com )足球进校园”的号召，开设了“足球大课间”活动，现需要购进100个某品牌的足球供学生使用．经调查，该品牌足球2016年的单价是200元，今年的单价为162元．
（1）求2016年到今年该品牌足球单价平均每年降低的百分率；
（2）购买期间发现该品牌足球在A、B两个体育用品店有不同的促销方案，A店买十送一，B店全场九折，通过计算说明到哪个店购买足球更优惠．
66．扶贫工作小组对果农进行 ( http: / / www.21cnjy.com )精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场，与去年相比，今年这种水果的产量增加了25%，每千克的平均批发价降低了1元，批发销售总额增加了20%．
（1）已知去年这种水果批发销售总额为10万元．求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元？
（2）今年某水果店从果农处直接批发，专营这 ( http: / / www.21cnjy.com )种水果，调查发现，若每千克的平均销售价为41元，则每天可售出300千克；若每千克的平均销售价每降低3元，每天可多卖出180千克，当水果店一天的利润为7260元时，求这种水果的平均售价．（计算利润时，其它费用忽略不计）21教育名师原创作品
67．学海书店购一批故事书进行销售，其进价 ( http: / / www.21cnjy.com )为每本40元，如果按每本故事书50元进行出售，每月可以售出500本故事书，后来经过市场调查发现，若每本故事书涨价1元，则故事书的销量每月减少20本．
（1）若学海书店要保证每月销售此种故事书盈利6000元，同时又要使购书者得到实惠，则每本故事书需涨价多少元？【来源：21·世纪·教育·网】
（2）若使该故事书的月销量不低于300本，则每本故事书的售价应不高于多少元？
68．某商家4月份花36000元购进一批巧克力售完后，5月份用78000元购进一批相同的巧克力，数量是4月份的2倍，但每件进价涨了10元．
（1）5月份进了这批巧克力多少份？
（2）该经销商6月份以每件400元卖出一部分巧克力，7月份，经销商决定将一批巧克力通过网上销售以及实体店销售两种形式进行，网上销售的售价在每件400元的基础上下调元，实体店销售每件仍为400元．结果，7月份的两种销售形式的销售总量比6月份增加了，并且网上销售量占销售总量的75%，7月份的销售总金额比6月份提高了，求的值．
69．魅力重庆，风景秀美，其中享有“鬼城”之称的丰都，世界闻名，吸引大批游客前来．旅游业的发展带动美食经济，中央电视台也曾在“欢乐中国行”栏目中力推“胡辣壳抄手、仙家豆腐乳、麻辣鸡块”等丰都美食．某麻辣鸡店铺推出“到店消费”和“美味到家”两种营销方式，其中“到店消费”按元/斤付费，“美味到家”按元/斤，邮费自付的方式付费．年月“到店消费”的销售量比“美味到家”的销售量高斤，总营业额为元．
（1）求该店2月份“到店消费”和“美味到家”的销售量分别是多少斤？
（2）为了提高大众知名度，店面决定在3月份搞促销活动，同比2月份“到店消费”的单价下降了，“美味到家”的单价不变，但购买则送凉拌鸡杂一份，3月底统计发现“到店消费”和“美味到家”销售量同比2月份分别提升了和，总营业额比2月份的总营业额提升了元，求的值．
70．“早黑宝”葡萄品种是农科院研制的优 ( http: / / www.21cnjy.com )质新品种，市场调查发现，当“早黑宝”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，若售价每降价1元，每天可多售出50千克，为了推广宣传，基地决定降价促销，同时尽可能减少库存，已知该基地“早黑宝”的平均成本价为12元/千克，若使销售“早黑室”每天获利1750元，则售价应降低多少元？
71．如图，在足够大的空地上有一段长为的旧墙，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园，其中．已知矩形菜园的一边靠墙，修筑另三边一共用了木栏．若所围成的矩形菜园的面积为，求的长．
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72．《杨辉算法》中有这么一 ( http: / / www.21cnjy.com )道题：“直田积九十六步，只云长阔共二十步，问长多几何？”意思是：一块矩形田地的面积为96平方步，只知道它的长与宽共20步，问它的长比宽多了多少步？
73． 2019年底，湖 ( http: / / www.21cnjy.com )北省武汉市发现一种新型冠状病毒感染引起的急性呼吸道传染病，到2020初，新冠肺炎席卷全国，掀起一场史无前例的防疫“战斗”．
（1）在“新冠”初期，有2人感染了“新冠”，经过两轮传染后共有288人感染了“新冠”，则每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）某小区物管为预防业 ( http: / / www.21cnjy.com )主感染传播，购买A型和B型两种口罩，购买A型口罩花费了3000元，购买B型口罩花费了2000元，且购买A型口罩数量是购买B型口罩数量的3倍，已知购买一个B型口罩比购买一个A型口罩多花2元．则该物业购买A、B两种口罩的单价各为多少元？
74．为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召，确保粮食安全，优选品种，提高产量，某农业科技小组对原有的玉米品种进行改良种植研究．在保持去年种植面积不变的情况下，预计玉米平均亩产量将在去年的基础上增加．因为优化了品种，预计每千克售价将在去年的基础上上涨，全部售出后预计总收入将增加．求的值．www-2-1-cnjy-com
75．平遥牛肉久负盛名．据史料记载，清代时 ( http: / / www.21cnjy.com )已誉满三晋．其制作工艺独特，用料讲究，所产牛肉营养丰富，具有扶胃健脾之功效．某特产店以每千克110元的价格购进一批平遥牛肉，当按每千克140元的价格出售时，平均每天可销售30千克．“十一”期间，为了尽可能扩大销售量，商家决定降价销售．经调查发现，每千克降价1元，每天可多卖2千克．若该经销商想要每天获利1000元，则每千克应降价多少元？
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