第07讲 相似三角形的性质(提升训练)(解析版)

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第07讲 相似三角形的性质
【提升训练】
一、单选题
1．如图，，，分别交于点G，H，则下列结论中错误的是（ ）
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A． B． C． D．
2．如图，在菱形中，，，分别是，上的点（不与端点重合），且，连接，相交于点，连接与相交于点．下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确结论的序号是（ ）21cnjy.com
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A．①② B．①②④ C．②③④ D．①③④
3．如图，平行四边形的对角线、相交于点E，点O为的中点，连接并延长，交的延长线于点D，交于点G，连接、，若平行四边形的面积为48，则的面积为（ ）
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A．5.5 B．5 C．4 D．3
4．如图，是线段上除端点外的一点，将绕正方形的顶点顺时针旋转，得到．连接交于点．下列结论正确的是（ ）
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A． B． C． D．
5．如图，平行四边形的对角线相交于点，点为的中点，连接并延长，交的延长线于点，交于点，连接、，若平行四边形的面积为48，则的面积为（ ）
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A．4 B．5 C．2 D．3
6．如图，在菱形中，点分别是边的中点，连接．若菱形的面积为8，则的面积为（ ）
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A．2 B．3 C．4 D．5
7．如图，在中，的平分线交于点，交于点，交的延长线于点，则下列式子一定正确的是（ ）
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A． B． C． D．
8．如图，矩形纸片，，点，分别在，上，把纸片如图沿折叠，点，的对应点分别为，，连接并延长交线段于点，则的值为（ ）
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A． B． C． D．
9．如图，在ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD于点F交BC于点E，FG∥BC，若AC＝5，BC＝9，则FG的长为（ ）
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A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
10．如图，在和中，，，．连接CD，连接BE并延长交AC，AD于点F，G．若BE恰好平分，则下列结论错误的是（ ）
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A． B． C． D．
11．如图，已知菱形A，、、、分别是、、、边上的点，且满足，则四边形与菱形的面积比为（ ）
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A． B． C． D．
12．如图，与均为等边三角形，O为的中点，点D在边上，则的值为（ ）
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A． B． C． D．不能确定
13．如图，D、E、F分别是各边中点，则以下说法错误的是（ ）
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A．和的面积相等
B．四边形是平行四边形
C．若，则四边形是菱形
D．若，则四边形是矩形
14．如图，在等边三角形ABC中，BC＝6，且BD＝2，点P是边BC上一动点（D、P两点均不与端点重合），作，PE交边AC于点E．若CE＝a，当满足条件的点P有且只有一个时，则的值为（　　）
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A．4 B． C． D．5
15．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD恰好平分，若，BD＝3，则AC的长是（　　）【版权所有：21教育】
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A． B．3 C．2 D．6
16．一个矩形按如图1的方式分割成三个直角三角形，最小三角形的面积为，把较大两个三角形纸片按图2方式放置，图2中的阴影部分面积为，若，则矩形的长宽之比为（ ）
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A．2 B． C． D．
17．如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，DE∥BC，点F在CD的延长线上，AF∥BC，则下列结论不正确的是（　　）
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A． B． C． D．
18．如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD上一点，，连接BE交AC于点G，延长BE交CD的延长线于点F，则的值为（　　）
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A． B． C． D．
19．如图，四边形为正方形，的平分线交于点，将绕点顺时针旋转90°得到，延长交于点，连接，，与相交于点．有下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）21教育名师原创作品
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A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④
20．如图，在等边三角形中，，点是边上一点，且，点是边上一动点（，两点均不与端点重合），作，交边于点．若，当满足条件的点有且只有一个时，则的值为（ ）【出处：21教育名师】
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A．4 B．5 C． D．
21．如图，在纸片中，，点分别在上，连结，将沿翻折，使点A的对应点F落在的延长线上，若平分，则的长为（ ）
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A． B． C． D．
22．如图，在中，点在边上，点在边上，连接，过点作，分别交、于点、，过点作交于点．则下列式子中一定正确的是（ ）
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A． B． C． D．
23．如图，中，，、相交于点D，，，，则的面积是（ ）
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A． B． C． D．
24．如图，在中，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，使，分别延长，相交于点D，则线段的长为（ ）www-2-1-cnjy-com
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A．6 B．8 C．9 D．
25．如图，点E是正方形的边上的一点，且，延长交的延长线于点F，则和四边形的面积比为（ ）21世纪教育网版权所有
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A． B． C． D．
26．如图，在△ABC中，点D是AB上一点，且∠A＝∠BCD，S△ADC：S△BDC＝5：4，CD＝4，则AC长为（　　）
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A．5 B．6 C．9 D．
27．如图，已知等边三角形ABC绕点B顺时针旋转60°得BCD，点E、F分别为线段AC和线段CD上的动点，若AE＝CF， 则下列结论正确的有（　　）【来源：21cnj*y.co*m】
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①四边形ABDC为菱形；②ABE≌CBF；③BEF为等边三角形；④∠CFB＝∠CGE；⑤若CE=3，CF＝1，则．
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
28．小刚身高，测得他站立在阳光下的影子长为，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为，那么小刚举起的手臂超出头顶（　　）
A． B． C． D．
29．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°， ( http: / / www.21cnjy.com )边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为（－2，6）和（7，0）．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，平移的距离为（ ）21·世纪*教育网
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A．2 B．3 C．4 D．5
30．如图，梯形被对角线分成4个小三角形，已知与的面积分别为和．那么梯形的面积是（ ）．2·1·c·n·j·y
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A．144 B．140 C．160 D．无法确定
二、填空题
31．如图，在平面直角坐标系中，与轴交于点，已知点，，，是线段上一点，连接，若与相似，则的长为______．
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32．已知等边三角形的边长为4，线段，且，直线与直线交于点，则的面积为______．
33．如图，点E为正方形ABCD的边AD的中点，连接BE，CF⊥BE，点F为垂足，EF＝6，则CD的长为___．
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34．如图，在中，，，，点E在线段上，且，D是线段上的一点，连接，将四边形沿直线翻折，得到四边形，当点G恰好落在线段上时，________．
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35．如图，在△ABC中，AB=4，BC= ( http: / / www.21cnjy.com )5，点D、F分别在BC、AC上，CD=2BD，CF=2AF，BE交AD于点F，则△AFE面积的最大值是_________．
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三、解答题
36．如图，正方形中，P是对角线上的一个动点（不与点A，C重合），连接，将绕点B顺时针旋转得到，连接交于点E，的延长线与交于点F．
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（1）连接，求证；
（2）若，求的值．
37．如图，在以为直径的中，，弦与交于点，过点、分别作的切线交于点，并与延长线交于点．
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（1）求证：．
（2）已知：，的半径为3，求的长．
38．如图，与交于点O，，E为延长线上一点，过点E作，交的延长线于点F．
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（1）求证；
（2）若，求的长．
39．如图，在中，．
（1）尺规作图：过点作直线与交于点，使得，（其中与不平行，不写作法，保留作图痕迹．）；21*cnjy*com
（2）若，，求的值．
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40．在平面直角坐标系中，的位置如图所示，，AO，BO的长为方程的两个根（），直线轴，直线l从点A开始以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右平移秒，直线l与AB交于点D，与另外一边交于点E．21教育网
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（1）求点C的坐标；
（2）设直线l扫过的面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）直接写出t为何值时，与相似．
41．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，CE＝CD．
（1）求证：△ABD∽△ACE．
（2）已知，AD＝14，试求DE的长．
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42．如图，在平行四边形中，E为边的中点，连接，若的延长线和的延长线相交于点F．
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（1）求证：；
（2）连接和相交于点为G，若的面积为2，求平行四边形的面积．
43．如图，为正方形对角线上的一点，连接并延长交于点，过作分别交，于，．
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（1）如图1，求证：；
（2）如图2，点与点关于直线对称，连接并延长交直线于点，连接．
①设的度数为，求的度数：
②猜想与之间的数量关系，并证明．
44．如图，△ABC中，AC＝8，BC＝12，∠BAC＝2∠B．点P是BC边上一点，点C关于AP的对称点恰好落在AB边上的点D处．
（1）求证：△PAC∽△ABC；
（2）求线段AB的长；
（3）已知Q是AD上一个动点，将△BPQ沿直线PQ折叠得△EPQ，EP与线段AQ相交于点F．若m≤≤n，求m＋n的值．
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45．如图，线段是圆的直径，延长至点，使，点是线段的中点，交圆于点，点是圆上的一动点（不与点，重合），连接，，．
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（1）求证：是圆的切线；
（2）求的值．
46．在菱形中，，点、分别是边、上两点，满足，与相交于点．
（1）如图1，连接．求证：；
（2）如图2，连接．
①求证：；
②若，，求线段的长（用含、的代数式表示）．
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47．如图，为四边形内一点，为的中点，，，，
（1）若，，求的长；
（2）求证：；
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48．如图，在矩形中，对角线，相交于点，平分，交于点，作于点，分别交，于点，．
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（1）判断的形状并说明理由；
（2）求证：；
（3）记的面积为，的面积为，当，时，求矩形的面积．
49．如图，在中，，于，作于，是中点，连交于点．
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（1）求证：；
（2）若，，求的值．
50．如图，在四边形中，，过点D作于E，若．
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（1）求证：；
（2）连接交于点，若，求DF的长．
51．如图，在矩形中，，为上一点，将沿折叠，使点正好落在边上的处，作的平分线交于，交的延长线于，若，则的长为______．
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52．如图，在平行四边形中，对角线，交于点O．过点O作的垂线，交延长线于点E，交于F，交于点N，若，，．www.21-cn-jy.com
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（1）求证：；
（2）求的长．
53．如图，四边形是矩形，E是边上一点，过点F作，交的延长线于点F，连接．
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（1）判断四边形的形状并说明理由；
（2）连接，若，，，求四边形的面积．
54．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别与边和边的延长线交于点，，与边交于点，垂足为点，连接、．21*cnjy*com
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（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求出的长．
55．如图，在矩形ABCD的BC边上取一点 ( http: / / www.21cnjy.com )E，连接AE，使得AE＝EC，在AD边上取一点F，使得DF＝BE，连接CF．过点D作DG⊥AE于G．
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（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若AB＝4，BE＝3，求DG的长．
56．已知：如图，在中，，垂足为点，，点为边上一点，且，联结并延长，交边于点．
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（1）求证：；
（2）过点作的平行线交的延长线于点，联结．如果，求证：四边形是矩形．
57．如图，在矩形中，，点E在的延长线上，点F在上，且．
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（1）已知．
①求的度数；
②当时，求的值；
（2）求证：直线一定平分边．
58．如图，∠CAE＝∠BAD，∠E＝∠C．
（1）△ADE与△ABC相似吗？为什么？
（2）如果AB＝3AD，S△ABC＝9，那么△ADE的面积为多少？
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59．如图（1），P为ABC所在平面上一点，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则点P叫做ABC的费马点．21·cn·jy·com
（1）若点P是等边三角形三条中线的交点，点P　　（填是或不是）该三角形的费马点．
（2）如果点P为锐角ABC的费马点，且∠ABC＝60°．求证：ABP∽BCP；
（3）已知锐角ABC，分别以AB、AC为边向外作正ABE和正ACD，CE和BD相交于P点．如图（2）
①求∠CPD的度数；
②求证：P点为ABC的费马点．
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60．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，以C为顶点作等腰直角△CMN，使∠CMN＝90°，连接BN，射线NM交BC于点D．【来源：21·世纪·教育·网】
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（1）如图1，若点A，M，N在一条直线上．
①求证：BN+CM＝AM；
②若AM＝6，BN＝2，求BD的长；
（2）如图2．若AB＝4，CN ( http: / / www.21cnjy.com )＝2，将△CMN绕点C逆时针旋转一周，在旋转过程中射线NM交AB于点H，当三角形DBH是直角三角形时，请你直接写出CD的长．2-1-c-n-j-y
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第07讲 相似三角形的性质
【提升训练】
一、单选题
1．如图，，，分别交于点G，H，则下列结论中错误的是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据平行线分线段成比例定理得出比例式，再根据需要变形，结合相似三角形对应边成比例即可判断各个选项．
【详解】
解：∵AB∥CD，
∴，
∴A选项正确，不符合题目要求；
∵AE∥DF，
∴∠CGE=∠CHD。∠CEG=∠D，
∴△CEG∽△CDH，
∴,
∴,
∵AB∥CD，
∴,
∴,
∴,
∴ ，
∴B选项正确，不符合题目要求；
∵AB∥CD，AE∥DF，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴AF=DE，
∵AE∥DF，
∴，
∴；
∴C选项正确，不符合题目要求；
∵AE∥DF，
∴△BFH∽△BAG，
∴，
∵ABFA
∴
∴D选项不正确，符合题目要求．
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定的应用，能根据定理得出比例式是解此题的关键．21世纪教育网版权所有
2．如图，在菱形中，，，分别是，上的点（不与端点重合），且，连接，相交于点，连接与相交于点．下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确结论的序号是（ ）21·cn·jy·com
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A．①② B．①②④ C．②③④ D．①③④
【答案】B
【分析】
①根据等边三角形的三条边都相等，三个内角都为60°的性质，利用全等三角形的判定定理SAS证得结论；
②根据全等得出∠ADE=∠DBF，根据三角形外角性质得出即可；
③因为点E、F分别是AB、AD上任意的点（不与端点重合），当点E，F分别是AB，AD中点时，CG⊥BD；
④过点F作FP∥AE于P点，根据题意有FP：AE=DF：DA=1：3，则FP：BE=1：6=FG：BG，即BG=6GF．
【详解】
解：①∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB
又
∴AD=AB=BD
∴△ABD是等边三角形，
∴∠A=∠ADB=60°，
在△AED与△DFB中，
，
∴△AED≌△DFB（SAS），
∴DE=BF，
∴①正确；
②由①得△AED≌△DFB
∴∠ADE=∠DBF
∵△ABD是等边三角形，
∴∠ADB=60°，
∴∠BGE=∠BDE+∠DBF=∠BDE+∠ADE=∠ADB=60°，
∴②正确；
③当点E，F分别是AB，AD中点时，
由（1）知，△ABD，△BDC为等边三角形，
∵点E，F分别是AB，AD中点，
∴∠BDE=∠DBG=30°，
∴DG=BG，
∴△GDC≌△BGC，
∴∠DCG=∠BCG，
∴CH⊥BD，
即CG⊥BD，
∴③错误；
④过点F作FP∥AE交DE于P点，如图，
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∵AF=2DF，
∴FP：AE=DF：DA=1：3，
∵AE=DF，AB=AD，
∴BE=2AE，
∴FP：BE=FP：2AE=1：6，
∵FP∥AE，
∴PF∥BE，
∴FG：BG=FP：BE=1：6，
即BG=6GF，故本选项正确；
所以，正确的结论是①②④，
故选B．
【点睛】
此题综合考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，掌握菱形的性质是解题的关键．21*cnjy*com
3．如图，平行四边形的对角线、相交于点E，点O为的中点，连接并延长，交的延长线于点D，交于点G，连接、，若平行四边形的面积为48，则的面积为（ ）
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A．5.5 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【分析】
由题意易得，进而可得，则有，然后根据相似比与面积比的关系可求解．
【详解】
解：∵四边形是平行四边形，
∴，AE=EF，，
∵平行四边形的面积为48，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵和同高不同底，
∴，
故选C．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的性质与 ( http: / / www.21cnjy.com )判定、平行四边形的性质及三角形中位线，熟练掌握相似三角形的性质与判定、平行四边形的性质及三角形中位线是解题的关键．
4．如图，是线段上除端点外的一点，将绕正方形的顶点顺时针旋转，得到．连接交于点．下列结论正确的是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据旋转的性质可以得到△EAF是等腰直角三角形，然后根据相似三角形的判定和性质，以及平行线分线段成比例定理即可作出判断．
【详解】
解：根据旋转的性质知：∠EAF=90°，故A选项错误；
根据旋转的性质知：∠EAF=90°，EA=AF，则△EAF是等腰直角三角形，
∴EF=AE，即AE：EF=1：，故B选项错误；
若C选项正确，则，即，
∵∠AEF=∠HEA=45°，
∴△EAF△EHA，
∴∠EAH∠EFA，
而∠EFA=45°，∠EAH45°，
∴∠EAH∠EFA，
∴假设不成立，故C选项错误；
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD∥AB，即BH∥CF，AD=BC，
∴EB：BC=EH：HF，即EB：AD=EH：HF，故D选项正确；
故选：D
【点睛】
本题考查了旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，正确运用反证法是解题的关键．
5．如图，平行四边形的对角线相交于点，点为的中点，连接并延长，交的延长线于点，交于点，连接、，若平行四边形的面积为48，则的面积为（ ）
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A．4 B．5 C．2 D．3
【答案】C
【分析】
由题意易得，进而可得，则有，然后根据相似比与面积比的关系可求解．
【详解】
解：∵四边形是平行四边形，
∴，AE=EF，，
∵平行四边形的面积为48，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∵和同高不同底，
∴，
故选C．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的性质与判定 ( http: / / www.21cnjy.com )、平行四边形的性质及三角形中位线，熟练掌握相似三角形的性质与判定、平行四边形的性质及三角形中位线是解题的关键．
6．如图，在菱形中，点分别是边的中点，连接．若菱形的面积为8，则的面积为（ ）
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A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】
连接，相交于点，交于点，先根据菱形的性质可得，再根据三角形中位线定理可得，然后根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得，最后利用三角形的面积公式即可得．
【详解】
解：如图，连接，相交于点，交于点，
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四边形是菱形，且它的面积为8，
，
点分别是边的中点，
，
，，
，
，
，
则的面积为，
故选：B．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握菱形的性质是解题关键．
7．如图，在中，的平分线交于点，交于点，交的延长线于点，则下列式子一定正确的是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据平行四边形的性质可得 ( http: / / www.21cnjy.com )AB//CD，AD//BC，根据平行线的性质及角平分线的定义可得∠ABF=∠AFB=∠FBC=∠G，可得AB=AF，BC=CG，根据相似三角形的判定与性质逐一判断即可得答案．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AD//BC，AB=CD，
∴∠AFB=∠FBC，∠ABF=∠G，
∵BG为∠ABC的角平分线，
∴∠ABF=∠FBC，
∴∠ABF=∠AFB=∠FBC=∠G，
∴AB=AF，BC=CG，
∵AD//BC，
∴△AFE∽△CBE，
∴，
∴，故A选项正确，
∵AD//BC，
∴△GFD∽△GBC，
∴，故B选项错误，
∵AB//CG，
∴△ABE∽△CGE，
∴，
∵CG≠DG，
∴≠，故C选项错误，
∵AB//CG，
∴△ABF∽△DGF，
∴，故D选项错误，
故选：A．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．
8．如图，矩形纸片，，点，分别在，上，把纸片如图沿折叠，点，的对应点分别为，，连接并延长交线段于点，则的值为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据折叠性质则可得出是的垂直平分线，则由直角三角形性质及矩形性质可得∠AEO=∠AGD，∠FHE＝∠D＝90°，根据相似三角形判定推出△EFH∽△GAD，再利用矩形判定及性质证得FH＝AB，即可求得结果．
【详解】
解：如图，过点F作FH⊥AD于点H，
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∵点，的对应点分别为，，
∴，，
∴EF是AA＇的垂直平分线．
∴∠AOE=90°．
∵四边形是矩形，
∴∠BAD＝∠B＝∠D＝90°．
∴∠OAE＋∠AEO=∠OAE＋∠AGD，
∴∠AEO=∠AGD．
∵FH⊥AD，
∴∠FHE＝∠D＝90°．
∴△EFH∽△GAD．
∴．
∵∠AHF＝∠BAD＝∠B＝90°，
∴四边形ABFH是矩形．
∴FH＝AB．
∴；
故选：A．
【点睛】
本题考查了矩形的折叠问题，掌握折叠的性质、矩形及相似三角形的判定与性质是解题的关键．
9．如图，在ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD于点F交BC于点E，FG∥BC，若AC＝5，BC＝9，则FG的长为（ ）
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A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
【答案】A
【分析】
根据题意证明出△ACF≌△ECF，得到AF＝EF，AC＝EC，再根据FG∥BC，得到△AGF∽△ABE ，最后算出FG的长．
【详解】
解：∵CD平分∠ACB，AE⊥CD，
∴∠ACF＝∠ECF，∠AFC＝∠EFC＝90°，
在△ACF和△ECF中，
，
∴△ACF≌△ECF（ASA），
∴AF＝EF，AC＝EC，
∴AE＝2AF，
∵AC＝5，BC＝9，
∴EC＝5，
∴BE＝BC﹣EC＝9﹣5＝4，
∵FG∥BC，
∴△AGF∽△ABE，
∴，
∴，
∴GF＝2，
即FG＝2，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质、全等 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及相似三角形的判定与性质，解题关键在于弄清题意，证明出三角形全等，再根据平行证明出三角形相似．
10．如图，在和中，，，．连接CD，连接BE并延长交AC，AD于点F，G．若BE恰好平分，则下列结论错误的是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据即可证明，再利用全等三角形的性质以及等腰三角形的性质，结合相似三角形的判定和性质，即可一一判断2·1·c·n·j·y
【详解】
，故选项A正确；
平分
，故选项B正确；
即
，故选项C错误；
，故选项D正确；
故答案选：C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质， ( http: / / www.21cnjy.com )等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的判定，能利用全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质是解题关键．
11．如图，已知菱形A，、、、分别是、、、边上的点，且满足，则四边形与菱形的面积比为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据菱形的性质，可证得过点F作于点M，交AB的延长线于点N，可证得，最后通过分别计算菱形ABCD和四边形EFGH的面积，可求出它们的面积之比．
【详解】
解：过点F作于点M，交AB的延长线于点N，如图所示．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，AB∥CD．∠A=∠C，∠D=∠ABC．
∴∠DMN+∠ANM=180°．
∴∠ANM=180°-∠DMN=180°-90°=90°．
∴MN⊥AB．
设菱形的边长为a，则
在和中，
同理可证：
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∵AB∥CD，
设FM=h，则FN=2h，MN=3h．
∵菱形ABCD的面积
∴四边形EFGH的面积
故选：B
【点睛】
本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、图形的面积等知识点，熟知菱形的性质、全等三角形的判定与性质、图形面积的计算方法是解题的关键．
12．如图，与均为等边三角形，O为的中点，点D在边上，则的值为（ ）
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A． B． C． D．不能确定
【答案】A
【分析】
连接、，由已知可以推出，推出，根据锐角三角函数即可推出的值．
【详解】
解：连接、，
( http: / / www.21cnjy.com / )
与均为等边三角形，为、的中点，
，，，，
，
，
即，
，
．
故选：．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定及性质、等边三角形的性质，本题的关键在于找到需要证相似的三角形，找到对应边的比即可．
13．如图，D、E、F分别是各边中点，则以下说法错误的是（ ）
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A．和的面积相等
B．四边形是平行四边形
C．若，则四边形是菱形
D．若，则四边形是矩形
【答案】C
【分析】
根据中位线的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形、菱形、矩形的判定定理逐一判断各个选项，即可得到答案．
【详解】
解： ∵点D、E、F分别是△ABC三边的中点，
∴DE、DF为△ABC得中位线，
∴ED∥AC，且ED＝AC＝AF；同理DF∥AB，且DF＝AB＝AE，
∴四边形AEDF一定是平行四边形，故B正确；
∴，
∴， ，
∴和的面积相等，故A正确；
∵，
∴DF＝AB=AE，
∴四边形不一定是菱形，故C错误；
∵∠A＝90°，则四边形AEDF是矩形，故D正确；
故选：C．
【点睛】
本题考查三角形中位线性质定理和平行四边形、矩形、菱形的判定定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握上述性质定理和判定定理是解题的关键．
14．如图，在等边三角形ABC中，BC＝6，且BD＝2，点P是边BC上一动点（D、P两点均不与端点重合），作，PE交边AC于点E．若CE＝a，当满足条件的点P有且只有一个时，则的值为（　　）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．4 B． C． D．5
【答案】C
【分析】
先证明，利用三角形相似建立等式，再根据根的判别式等于0建立方程求解．
【详解】
∵是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∵满足条件的点P有且只有一个，
∴方程有两个相等的实数根，
，
解得：，
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形相似的判定定理及性质，方程的思想，解题的关键是：掌握相似三角形的判定定理及建立方程进行求解．
15．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD恰好平分，若，BD＝3，则AC的长是（　　）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．3 C．2 D．6
【答案】A
【分析】
根据题意，由垂直平分线的性质得到 ( http: / / www.21cnjy.com )∠B＝∠DCB，AB＝5，再由角平分线得到∠ACD＝∠DCB＝∠B，结合∠A＝∠A，证得△ACD∽△ABC，进而根据对应边成比例即可求得AC的长．
【详解】
∵BC的垂直平分线MN交AB于点D，BD＝3，
∴CD＝BD＝3，
∴∠B＝∠DCB，
∵，
∴AB＝AD+BD＝5，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠DCB＝∠B，
∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴＝，即＝，
解得，AC＝，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了垂直平分线的性质及三角形相似的判定及性质，熟练掌握相关几何知识是解决本题的关键．
16．一个矩形按如图1的方式分割成三个直角三角形，最小三角形的面积为，把较大两个三角形纸片按图2方式放置，图2中的阴影部分面积为，若，则矩形的长宽之比为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．2 B． C． D．
【答案】A
【分析】
图中直角三角形比较多，通过分析之间的关系转化为线段比，所求的长宽等于两个三角形的相似比，面积比等于相似比的平方，从而求得线段比．
【详解】
如图（1），设的面积为；
如图（2）由题意，知，则
又
矩形的长宽之比为2．
( http: / / www.21cnjy.com / )
故选A．
【点睛】
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等边对等角，相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形，本题中找到之间的关系是解题的关键．
17．如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，DE∥BC，点F在CD的延长线上，AF∥BC，则下列结论不正确的是（　　）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由AF∥BC，DE∥BC，得到AF∥DE，根据平行线分线段成比例定理和三角形相似判定与性质即可得到结论．
【详解】
解：∵DE∥BC，
∴
∴，即
∴，即
∵AF∥BC,DE∥BC，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴AF∥DE,
∴,
∴
故选项A正确，
∵AF∥DE，
∴，即
故B正确，
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠ACB，
∴△ADE∽△ABC，
∴ 故C正确，
∵AF∥DE，
∴
∵AF∥BC，
∴∠FAD=∠B，∠F=∠DCB，
∴△AFD∽△BCD，
∴
∴，故D不正确．
故选:D．
【点睛】
本题考查平行线分线段成比例定理，三角形相似判定与性质，掌握平行线分线段成比例定理，三角形相似判定与性质是解题关键．
18．如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD上一点，，连接BE交AC于点G，延长BE交CD的延长线于点F，则的值为（　　）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先根据平行四边形的性质得到AB∥CD，则可判断△ABG∽△CFG，△ABE∽△DFE，于是根据相似三角形的性质和AE＝2ED即可得结果．
【详解】
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△ABG∽△CFG，
∴＝
∵△ABE∽△DFE，
∴＝，
∵AE＝2ED，
∴AB＝2DF，
∴＝，
∴＝．
故选：A．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质进行解题．
19．如图，四边形为正方形，的平分线交于点，将绕点顺时针旋转90°得到，延长交于点，连接，，与相交于点．有下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④
【答案】D
【分析】
①由旋转的性质得≌，可得；②由正方形的性质得，即，进而可得；
③先证明≌（SAS），可得，根据，AE平分可得进而可得；④先证明∽，可得，即，故可求解．
【详解】
①∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝CB，∠ABC＝∠CBF＝90°，
∵AG⊥CF，
∴∠AGF＝90°，
∴∠GAF＋∠F＝90°，
∵∠BCF＋∠F＝90°，
∴∠GAF＝∠BCF，
∴△ABE≌△CBF（ASA），
∴，故此小题结论正确；
②由正方形的性质得，
∵AE平分
∴，
∴，
∴；故此小题结论正确；
③∵∠CBF＝90°，FG＝CG，
∴BG＝CG，
∴∠CBG＝∠BCG，
∵∠ABC＝∠DCB＝90°，
∴∠ABG＝∠DCG，
∵AB＝DC，
∴△ABG≌△DCG（SAS），
∴，
∵，AE平分
∴
∴
∴
故此小题结论正确；
④∵△ABG≌△DCG，
∴∠CDG＝∠BAG＝∠CAG，
∵∠DCH＝∠ACE，
∴△DCH∽△ACE，
∴，
∴，
故此小题结论正确；
由上可知，正确的结论是①②③④，故选D．
【点睛】
本题主要是正方形的一个综合 ( http: / / www.21cnjy.com )题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判断，角平分线的性质，相似三角形的性质与判定，直角三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，涉及的知识点多，综合性强，难度较大．灵活运用这些知识解题是关键．
20．如图，在等边三角形中，，点是边上一点，且，点是边上一动点（，两点均不与端点重合），作，交边于点．若，当满足条件的点有且只有一个时，则的值为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．4 B．5 C． D．
【答案】D
【分析】
先利用三角形相似的判定定理证明三角形相似，再 ( http: / / www.21cnjy.com )根据相似的性质建立等量关系，最后把满足条件的点只有一个是，转化成方程的根只有一个，利用根的判别式求解．
【详解】
解：等边三角形，
，
,，
，
，
又，
，
，
若令，则有：，
由题意只有一个解，
，
解得：，
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角形相似的判定及性质的应用和一元二次方程只有一个解时，，解题的关键是：熟练掌握三角形相似的判定及性质．
21．如图，在纸片中，，点分别在上，连结，将沿翻折，使点A的对应点F落在的延长线上，若平分，则的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先根据勾股定理求出AB，再根据折 ( http: / / www.21cnjy.com )叠性质得出∠DAE=∠DFE，AD=DF，然后根据角平分线的定义证得∠BFD=∠DFE=∠DAE，进而证得∠BDF=90°，证明Rt△ABC∽Rt△FBD，可求得AD的长．
【详解】
解：∵，
∴=5，
由折叠性质得：∠DAE=∠DFE，AD=DF，则BD=5﹣AD，
∵平分，
∴∠BFD=∠DFE=∠DAE，
∵∠DAE+∠B=90°，
∴∠BDF+∠B=90°，即∠BDF=90°，
∴Rt△ABC∽Rt△FBD，
∴即，
解得：AD=，
故选：D．
【点睛】
本题考查折叠性质、角平分线的定义 ( http: / / www.21cnjy.com )、勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握折叠性质和相似三角形的判定与性质是解答的关键．
22．如图，在中，点在边上，点在边上，连接，过点作，分别交、于点、，过点作交于点．则下列式子中一定正确的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据相似三角形的判定与性质逐一进行判断即可．
【详解】
解：A.∵
∴
∴，故选项A错误；
B. ∵
∴
∴，故选项B错误；
C.∵
∴
∴，
∵
∴
∴，
∵
∴
∴
∴，故选项C正确；
D.∵
∴
∴，故选项D错误，
故先C．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答此题的关键．
23．如图，中，，、相交于点D，，，，则的面积是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
过点C作的延长线于点，由等高三角形的面积性质得到，再证明，解得，分别求得AE、CE长，最后根据的面积公式解题．
【详解】
解：过点C作的延长线于点，
( http: / / www.21cnjy.com / )
与是等高三角形，
设
，
故选：A．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定与性质、正切等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
24．如图，在中，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，使，分别延长，相交于点D，则线段的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．6 B．8 C．9 D．
【答案】C
【分析】
利用平行线的性质以及旋转的性质得到，再利用相似三角形的性质求解即可；
【详解】
∵将绕点C按逆时针方向旋转得到，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴；
故答案选C．
【点睛】
本题主要考查了旋转的应用和相似三角形的判定与性质，准确计算是解题的关键．
25．如图，点E是正方形的边上的一点，且，延长交的延长线于点F，则和四边形的面积比为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由题意易得△ADE∽△FCE，△CFE∽△BFA，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得，，所以 即可得出结论．
【详解】
解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD∥BC，AB∥DC且AD＝BC=AB=CD，
∴△ADE∽△FCE，
∴
∴
∵AB∥DC，
∴△CFE∽△BFA，
∴
∴
∴
故答案选：C
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、此题难度适中，注意数形结合思想的应用．
26．如图，在△ABC中，点D是AB上一点，且∠A＝∠BCD，S△ADC：S△BDC＝5：4，CD＝4，则AC长为（　　）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．5 B．6 C．9 D．
【答案】B
【分析】
先根据S△ADC：S△BDC＝5：4得到S△BDC：S△BCA＝4：9，证明△BDC∽△BCA得到，即可求出AC．
【详解】
解：∵S△ADC：S△BDC＝5：4，
∴S△BDC：S△BCA＝4：9，
∵∠A＝∠BCD，∠B＝∠B，
∴△BDC∽△BCA，
∴，
∴ ，
∵CD＝4，
∴AC=6．
故选：B
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，证明△BDC∽△BCA，求出相似比是解题关键．
27．如图，已知等边三角形ABC绕点B顺时针旋转60°得BCD，点E、F分别为线段AC和线段CD上的动点，若AE＝CF， 则下列结论正确的有（　　）
( http: / / www.21cnjy.com / )
①四边形ABDC为菱形；②ABE≌CBF；③BEF为等边三角形；④∠CFB＝∠CGE；⑤若CE=3，CF＝1，则．
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】A
【分析】
由等边三角形和旋转的性质结合菱形的判定定理即可知①正确；直接利用“SAS”即可判定，即②正确；由全等三角形的性质可知，，再结合，即求出，即证明为等边三角形，即③正确；由三角形外角性质得：，再根据，即可证明 ，故④正确；根据AE=CF即可求出BC的长，再根据④结合题意，易证，即，即可求出CG的长，最后即可求出BG的长，即可判断⑤正确．
【详解】
由等边三角形和旋转的性质可知，即四边形为菱形，故①正确；
∵在和中，，
∴，故②正确；
∵，
∴，，
∵，
∴，即，
∴为等边三角形，故③正确；
∵，，
又∵，，
∴，故④正确；
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，故⑤正确．
综上，①②③④⑤都正确，个数为5个．
故选A．
【点睛】
本题考查等边三角形的判定 ( http: / / www.21cnjy.com )和性质，图形旋转的性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，三角形外角性质以及相似三角形的判定和性质．熟练掌握各知识点并利用数形结合的思想是解答本题的关键．
28．小刚身高，测得他站立在阳光下的影子长为，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为，那么小刚举起的手臂超出头顶（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据在同一时物体的高度和影长成正比，设出手臂竖直举起时总高度，即可列方程解出的值，再减去身高即可得出小刚举起的手臂超出头顶的高度．
【详解】
解：设手臂竖直举起时总高度，列方程得：
，
解得，
，
所以小刚举起的手臂超出头顶的高度为．
故选：B．
【点睛】
本题考查相似三角形的应用，平行投影等知识，解答此题的关键是明确在同一时刻物体的高度和影长成正比．
29．如图，在△ABC中，∠ACB＝90 ( http: / / www.21cnjy.com )°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为（－2，6）和（7，0）．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，平移的距离为（ ）21教育网
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A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】
根据已知条件得到AC=6，OC ( http: / / www.21cnjy.com )=2，OB=7，求得BC=9，根据正方形的性质得到DE=OC=OE=2，求得O′E′=O′C′=2，根据相似三角形的性质得到BO′=3，于是得到结论．【版权所有：21教育】
【详解】
解：如图，设正方形D′C′O′E′是正方形OCDE沿x轴向右平移后的正方形，
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∵顶点A，B的坐标分别为（-2，6）和（7，0），
∴AC=6，OC=2，OB=7，
∴BC=9，
∵四边形OCDE是正方形，
∴DE=OC=OE=2，
∴O′E′=O′C′=2，
∵E′O′⊥BC，
∴∠BO′E′=∠BCA=90°，
∴E′O′∥AC，
∴△BO′E′∽△BCA，
∴，
∴，
∴BO′=3，
∴OO′=7-3=4，
故选：C．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，坐标与图形性质，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
30．如图，梯形被对角线分成4个小三角形，已知与的面积分别为和．那么梯形的面积是（ ）．
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A．144 B．140 C．160 D．无法确定
【答案】A
【分析】
先求出AO:OC的比值，然后再说明△AOB∽△COD，进而求得△COD、△AOB的面积，最后根据图形求出梯形的面积即可．
【详解】
解：∵与的面积分别为和
∴AO:OC=25:35=5:7
∵AB//CD
∴∽
∴
∴
∴梯形的面积为：．
故选A．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定与性质、梯形 ( http: / / www.21cnjy.com )的性质以及三角形面积的计算方法，掌握数形结合思想、等高三角形的面积比等于对应底的比以及相似三角形的面积比等于相似比的平方成为解答本题的关键．
二、填空题
31．如图，在平面直角坐标系中，与轴交于点，已知点，，，是线段上一点，连接，若与相似，则的长为______．
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【答案】2或4
【分析】
是一个直角三角形，若与相似，必须证明是直角三角形，再用相似三角形的性质即可求出点M的坐标．
【详解】
如图，
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∵A(1,4) ， C(3,0) ， D(0,3) ，
∴ ，，，
；
∴是直角三角形
∵点M在x轴上，设点M的坐标是（x，0），
∽
∴
∴=1
∴
当时，CM=2；当时CM=4，
故答案为：2或4．
【点睛】
此题考查相似三角形的性质，熟悉掌握相似三角形的性质是解题的关键．
32．已知等边三角形的边长为4，线段，且，直线与直线交于点，则的面积为______．
【答案】或
【分析】
画出图形，求出△ABC的面积，再根据相似比求出边长比，进而求出面积．
【详解】
解：如图，当点D在A点右侧时，BD1交AC于E1，当点D在A点左侧时，直线BD2交直线AC于E2，
∵，且，
∴△A D1 E1∽△CB E1，△A D2 E2∽△CB E2，
∴，，
∵等边三角形的边长为4，
∴等边三角形的为，
∴，；
故答案为：或．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查了等边三角形的面积和相似三角形的判定与性质，解题关键是画出准确图形，根据D点的位置进行分类讨论，熟练进行计算．21·世纪*教育网
33．如图，点E为正方形ABCD的边AD的中点，连接BE，CF⊥BE，点F为垂足，EF＝6，则CD的长为___．
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【答案】
【分析】
利用三角形相似的判定与性质及勾股定理，找到边与边之间的关系，再根据建立含未知数的方程，求解即可．
【详解】
解：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
，
，
，
即，
解得：，
，
故答案是：．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质 ( http: / / www.21cnjy.com )、勾股定理等，解题的关键是：通过利用相似三角形的判定与性质、勾股定理，找到边之间的等量关系建立方程进行求解．
34．如图，在中，，，，点E在线段上，且，D是线段上的一点，连接，将四边形沿直线翻折，得到四边形，当点G恰好落在线段上时，________．
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【答案】
【分析】
过点F作FM⊥AC于点M，由折叠的性质得FG=，∠EFG=，EF=AE=1，再证明，得，，进而即可求解．
【详解】
解：过点F作FM⊥AC于点M，
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∵将四边形沿直线翻折，得到四边形，当点G恰好落在线段上，
∴FG=，∠EFG=，EF=AE=1，
∴EG=，
∵∠FEM=∠GEF，∠FME=∠GFE=90°，
∴，
∴，
∴=，，
∴AM=AE+EM=，
∴．
故答案是：．
【点睛】
本题主要考查折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，添加辅助线构造”母子相似三角形“是解题的关键．
35．如图，在△ABC中，AB= ( http: / / www.21cnjy.com )4，BC=5，点D、F分别在BC、AC上，CD=2BD，CF=2AF，BE交AD于点F，则△AFE面积的最大值是_________．
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【答案】
【分析】
连接DF，先根据相似三角形判定与性质证明,得到,进而根据CD=2BD，CF=2AF，得到,根据△ABC中，AB=4，BC=5，得到当AB⊥BC时，△ABC面积最大，即可求出△AFE面积的最大值．
【详解】
解：如图，连接DF，
∵CD=2BD，CF=2AF，
∴，
∵∠C=∠C，
∴△CDF∽△CBA，
∴,∠CFD=∠CAB，
∴DF∥BA，
∴△DFE∽△ABE，
∴,
∴,
∵CF=2AF，
∴,
∴,
∵CD=2BD，
∴,
∴,
∵△ABC中，AB=4，BC=5，
∴，当AB⊥BC时，△ABC面积最大，为，
此时△AFE面积最大为．
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故答案为：
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质与判定，根据相似三角形的性质与判定得到,理解等高三角形的面积比等于底的比是解题关键．
三、解答题
36．如图，正方形中，P是对角线上的一个动点（不与点A，C重合），连接，将绕点B顺时针旋转得到，连接交于点E，的延长线与交于点F．
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（1）连接，求证；
（2）若，求的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）的值为．
【分析】
（1）证明△ABP≌△CBQ（SAS）可得结论．
（2）由，可以得，证明得，代入求解即可．
【详解】
解：（1）证明：∵线段绕点B顺时针旋转得到，
∴．
∴四边形是正方形，
∴．
∴．
∵．
∴．
∴．
（2）∵四边形是正方形，，
∴．
由（1）知，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴的值为．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
37．如图，在以为直径的中，，弦与交于点，过点、分别作的切线交于点，并与延长线交于点．
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（1）求证：．
（2）已知：，的半径为3，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）6
【分析】
（1）连结，根据切线的性质得到，再根据直角三角形两锐角互余的关系进行等量代换，得出结论；
（2）由，的半径为3，得到，再根据（1）的结论与勾股定理列出方程求出，，再根据切线性质证明，利用对应边成比例求出结果．
【详解】
（1）证明：连结，如图，
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∵为的切线，
∴，
∴，即，
∵，
∴，∴，
而，
∴，∴，
∵，∴；
（2）解：∵，的半径为3，
∴，
∵，∴，
在中，，，则，，
∵，∴，
解得，∴，，
∵为的切线，
∴，∴，
而，
∴，
∴，即，∴．
【点睛】
本意考查了切线的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质，解题的关键在于利用切线的性质与勾股定理计算边长与证明角相等，再证明三角形相似．
38．如图，与交于点O，，E为延长线上一点，过点E作，交的延长线于点F．
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（1）求证；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】
（1）直接利用“AAS”判定两三角形全等即可；
（2）先分别求出BE和DC的长，再利用相似三角形的判定与性质进行计算即可．
【详解】
解：（1）∵，
又∵，
∴；
（2）∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的长为．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质 ( http: / / www.21cnjy.com )、平行线分线段成比例的推论、相似三角形的判定与性质等，解决本题的关键是牢记相关概念与公式，能结合图形建立线段之间的关联等，本题较基础，考查了学生的几何语言表达和对基础知识的掌握与应用等．
39．如图，在中，．
（1）尺规作图：过点作直线与交于点，使得，（其中与不平行，不写作法，保留作图痕迹．）；
（2）若，，求的值．
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【答案】（1）见解析；（2）24
【分析】
（1）利用作一个角等于已知角方法作∠HDP=∠GBF，利用相似三角形的判定定理即可；
（2）根据，可得即可．
【详解】
解：（1）过点B以任意长为 ( http: / / www.21cnjy.com )半径画弧交角的两边分别为F、G，再以点D为圆心以BF长为半径画弧交AD于H，再以点H为圆心，FG长为半径画弧交前弧于P，则∠HDP=∠GBF，过点D作射线DP交AB于点E，
如图所示，
∵∠ADE=∠ABC，∠EAD=∠CAB，
∴，
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（2）∵，
∴，
∴．
∵，，
∴AC=AD+DC=3+5=8，
∴．
【点睛】
本题考查作一个角等于已知角，三角形相似判定与性质，掌握作一个角等于已知角的方法与步骤，三角形相似判定与性质是解题关键．
40．在平面直角坐标系中，的位置如图所示，，AO，BO的长为方程的两个根（），直线轴，直线l从点A开始以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右平移秒，直线l与AB交于点D，与另外一边交于点E．
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（1）求点C的坐标；
（2）设直线l扫过的面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）直接写出t为何值时，与相似．
【答案】（1）；（2）；（3），，，．
【分析】
（1）利用因式分解法解一元二次方程，得到，，继而证明，根据正切的定义解得，据此得到点C的坐标；
（2）当时，由正切定义解得，当时，由正切定义解得，继而根据三角形面积公式解题；
（3）当时，分两种情况讨论：①，②
当时，分两种情况讨论：③，④，再结合相似三角形的性质解题．
【详解】
解：（1）解方程，
得，
，
，
，，
；
（2）由题意，可设，，
当时，
，
；
当时，
，
，
，
综上所述，；
（3）当时，
( http: / / www.21cnjy.com / )
，
若与相似时，
则①
即
；
②
即
；
当时，
( http: / / www.21cnjy.com / )
则③
即
；
④
即
；
综上所述，，，，．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定与性质、解一元二次方程、勾股定理、正切等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．www.21-cn-jy.com
41．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，CE＝CD．
（1）求证：△ABD∽△ACE．
（2）已知，AD＝14，试求DE的长．
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【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）根据角平分线的定义得到∠ ( http: / / www.21cnjy.com )BAD＝∠CAD，根据等腰三角形的性质得到∠CED＝∠CDE，根据三角形外角的性质得到∠B＝∠ACE，于是得到结论；
（2）根据△ABD∽△ACE得到，可求得AE的值，由DE＝AD﹣AE即可得到结论．
【详解】
（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵CE＝CD，
∴∠CED＝∠CDE，
∵∠CDE＝∠B+∠BAD，∠CED＝∠ACE+∠CAD，
∴∠B＝∠ACE，
∴△ABD∽△ACE；
（2）解：∵△ABD∽△ACE，
∴，
∴
∴，
∵AD＝14，
∴AE＝
∴DE＝14＝．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
42．如图，在平行四边形中，E为边的中点，连接，若的延长线和的延长线相交于点F．
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（1）求证：；
（2）连接和相交于点为G，若的面积为2，求平行四边形的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）24．
【分析】
（1）根据E是边DC的中点，可以得到，再根据四边形ABCD是平行四边形，可以得到，再根据，即可得到，则答案可证；
（2）先证明，根据相似三角形的性质得出，，进而得出，由得，则答案可解．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
∴，
∵点E为DC的中点，
∴，
在和中
∴，
∴，
∴；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，点E为DC的中点，
∴，，
∴，，
∴，
∵的面积为2，
∴，即，
∵
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
43．如图，为正方形对角线上的一点，连接并延长交于点，过作分别交，于，．
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（1）如图1，求证：；
（2）如图2，点与点关于直线对称，连接并延长交直线于点，连接．
①设的度数为，求的度数：
②猜想与之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析；（2）①；②．证明见解析．
【分析】
（1）作，垂足为，得∠NHB=90°，由四边形ABCD为正方形，可得∠B=∠NAB=90°，可证四边形ABHN为矩形，可证即可；
（2）①，由点与点关于直线对称，与四边形是正方形，可得，，，在等腰中，，由外角性质；
②.连接，，由对称性可知，，由勾股定理，，可证，可得．
【详解】
证明：（1）作，垂足为，
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∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B=∠NAB=90°，∠NHB=90°，
∴∠B=∠NAB=∠NHB=90°，
∴四边形ABHN为矩形，
∴，
，
，又，
，
，
；
（2）①.
点与点关于直线对称，且四边形是正方形，
，，
，
在等腰中，，
又，
；
②.
证明：连接，，
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由对称性可知，
即是等腰直角三角形，
∴FC，
，
∵四边形ABCD为正方形，
∴，
，
，
又，
，
，
．
【点睛】
本题考查正方形性质，矩形判定与性质， ( http: / / www.21cnjy.com )三角形全等判定与性质，轴对称性质，等腰直角三角形，三角形外角性质，勾股定理，三角形相似判定与性质，掌握正方形性质，矩形判定与性质，三角形全等判定与性质，轴对称性质，等腰直角三角形，三角形外角性质，勾股定理，三角形相似判定与性质．
44．如图，△ABC中，AC＝8，BC＝12，∠BAC＝2∠B．点P是BC边上一点，点C关于AP的对称点恰好落在AB边上的点D处．
（1）求证：△PAC∽△ABC；
（2）求线段AB的长；
（3）已知Q是AD上一个动点，将△BPQ沿直线PQ折叠得△EPQ，EP与线段AQ相交于点F．若m≤≤n，求m＋n的值．
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【答案】（1）见详解；（2）AB=10；（3）
【分析】
（1）由题意易得∠BAP=∠CAP，则有∠B=∠CAP，然后问题可求证；
（2）由（1）可得，AP=BP，然后可得，，然后问题可求解；
（3）由题意可得如图，由（1）（2）可得，则有BD=2，进而可得△EFQ∽△AFP，设DQ=x，则EQ=BQ=2+x，则有，然后根据可分别进行求解m、n的值，最后问题可求解．
【详解】
（1）证明：由折叠的性质可得∠BAP=∠CAP，
∵∠BAC＝2∠B，
∴∠B=∠CAP=∠BAP，
∵∠C=∠C，
∴△APC∽△BAC；
（2）解：由（1）可得△APC∽△BAC，∠B=∠CAP=∠BAP，
∴AP=BP，
∵AC＝8，BC＝12，
∴，
∴，，
∴；
（3）由题意可得如图所示：
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由（1）（2）可得，则有BD=2，
由折叠的性质可得∠B=∠E，
∴∠BAP=∠E，
∵∠EFQ=∠AFP，
∴△EFQ∽△AFP，
设DQ=x，则EQ=BQ=2+x，
∴，即，
∵，
∴的值随x的增大而增大，
∵，
∴当点Q与点D重合时，取最小值，即x=0时，则；
当点E与点A重合时，则根据折叠的性质可得点Q为AB的中点，
∴BQ=AQ=5，
∴DQ=x=3，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的性质与判定及一次函数的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定及一次函数的性质是解题的关键．
45．如图，线段是圆的直径，延长至点，使，点是线段的中点，交圆于点，点是圆上的一动点（不与点，重合），连接，，．
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（1）求证：是圆的切线；
（2）求的值．
【答案】（1）见解析；（2）．
【分析】
（1）证明是圆的切线，只要证明，根据三角形相似的判定定理中两边对应成比例且夹角相等，证明即可；
（2）同（1）一样，根据三角形相似的判定定理中两边对应成比例且夹角相等，证明，需要用到等量代换．
【详解】
（1）如图中，连接，，
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点是线段的中点，交于点，
垂直平分，
．
解法一：
在中，，
，
是等边三角形，
，
，且为的外角，
．
，
．
.
是的切线；
解法二：
，，
，
又，
，
，
为圆的切线；
（2）连接，
由已知可得：.
，
又，
，
．
【点睛】
本题考查了三角形相似的判定定理及性质，解题的关键是：明确用判定定理中的两边对应成比例且夹角相等来证明相似．【来源：21·世纪·教育·网】
46．在菱形中，，点、分别是边、上两点，满足，与相交于点．
（1）如图1，连接．求证：；
（2）如图2，连接．
①求证：；
②若，，求线段的长（用含、的代数式表示）．
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【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②
【分析】
（1）四边形是菱形，，则是等边三角形，根据，，，即可得到三角形全等；
（2）①连接，延长到点，使，连接，求证出，是等边三角形，即可以证明；
②由①中的条件可证，所以，即可以求出DG．
【详解】
（1）证明：∵四边形是菱形，，
∴ ，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵
∴．
（2）①证明：连接，延长到点，使，连接．
由（1）知，
∴，
，，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，，
∴
∴是等边三角形，
∴．
②由①可知，
∵，∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
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【点睛】
本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定与 ( http: / / www.21cnjy.com )性质、全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等有关知识，需要综合利用初中所学知识，结合题目条件，灵活运用才能解决问题；正确作出辅助线是解决这题的关键．2-1-c-n-j-y
47．如图，为四边形内一点，为的中点，，，，
（1）若，，求的长；
（2）求证：；
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【答案】（1）；（2）见解析
【分析】
（1）证明△OCE∽△DCO，根据相似三角形的性质即可求解；
（2）延长至点，使得，连接，证明，再证明，由此即可证得结论．
【详解】
（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴△OCE∽△DCO，
∴，
∴，
∵CD=4，为的中点，
∴CE=2，
∴；
（2）延长至点，使得，连接，
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又∵ ，，
∴ ，
∴，，
∴，又，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质，正确证得三角形相似及全等是解决问题的关键．
48．如图，在矩形中，对角线，相交于点，平分，交于点，作于点，分别交，于点，．
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（1）判断的形状并说明理由；
（2）求证：；
（3）记的面积为，的面积为，当，时，求矩形的面积．
【答案】（1）△AFG是等腰三角形，理由见解析；（2）见解析；（3）12
【分析】
（1）根据角平分线定义和全等三角形的判定证明△AFH≌△AGH，则有AF=AG，进而可判断△AFG为等腰三角形；
（2）取DF的中点M，连接O ( http: / / www.21cnjy.com )M，由中位线的性质可得BF=2OM，OM∥BF，根据平行线的性质和对顶角相等证得∠OGM=∠OMG，再根据等角对等边得OG=OM，即可证得结论；
（3）过D作DN⊥AC于N，由三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形的面积公式和面积比求得DN的长，进而由勾股定理求得AN，再证明△ADC∽△AND，利用相似三角形性质可求得CD，然后由矩形面积公式求解即可.
【详解】
（1）△AFG是等腰三角形，理由为:
∵AE平分∠BAC，
∴∠FAH=∠GAH，
∵DF⊥AE，
∴∠AHF=∠AHG=90°，又AH=AH，
∴△AFH≌△AGH(ASA)，
∴AF=AG，
∴△AFG是等腰三角形；
（2）取DF的中点M，连接OM，
∵四边形ABCD是矩形，
∴O为AC的中点，则OM是△DBF的中位线，
∴BF=2OM，OM∥BF，
∴∠AFG=∠OMG，
∵△AFG是等腰三角形，
∴∠AFG=∠AGF，又∠AGF=∠OGM，
∴∠OGM=∠OMG，
∴OM=OG，
∴BF=2OG；
（3）过D作DN⊥AC于N，
∵
又BF=2OG，AD=4，
∴DN=，
∴AN=，
∵∠DAC=∠NAD，∠ADC=∠AND，
∴△ADC∽△AND，
∴即，
∴CD=3，
∴矩形ABCD的面积为3x4=12．
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【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定 ( http: / / www.21cnjy.com )与性质、全等三角形的判定与性质、中位线的性质、平行线的性质`、三角形及矩形的的面积公式、勾股定理、相似三角形的判定与性质、角平分线的定义等知识，解答的关键熟练掌握相关知识的联系与运用，属于中档题，综合性强，难度适中.
49．如图，在中，，于，作于，是中点，连交于点．
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（1）求证：；
（2）若，，求的值．
【答案】（1）证明见详解；（2）
【分析】
（1）只要证明△DAE∽△CAD，可得，推出AD2＝AC AE即可解决问题；
（2）利用直角三角形斜边中线定理求出DF，再根据DF∥AC，可得，由此可得，再利用第一问的结论，即可解决问题；
【详解】
（1）证明：∵AD⊥BC于D，作DE⊥AC于E，
∴∠ADC＝∠AED＝90°，
∵，于，
∴∠DAE＝∠DAC，
∴△DAE∽△CAD，
∴，
∴AD2＝AC AE，
∵AC＝AB，
∴AD2＝AB AE．
（2）解：如图，连接DF．
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∵AB＝5，∠ADB＝90°，BF＝AF，
∴DFAB，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝DC，
∴DF∥AC，
∴，
∴
∵AD2＝AB AE．
∴
∴．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质、平行 ( http: / / www.21cnjy.com )线分线段成比例定理等知识，解题的关键是准确寻找相似三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．www-2-1-cnjy-com
50．如图，在四边形中，，过点D作于E，若．
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（1）求证：；
（2）连接交于点，若，求DF的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）过D作BC的垂线，交BC的延长线于点G，连接BD，证明四边形BEDG为正方形，得到条件证明△ADE≌△CDG，可得AD=CD；
（2）根据∠ADE=30°，AD=6，得到AE，DE，从而可得BE，BG，设DF=x，证明△AEF∽△ABC，得到比例式，求出x值即可．
【详解】
解：（1）过D作BC的垂线，交BC的延长线于点G，连接BD，
∵∠DEB=∠ABC=∠G=90°，DE=BE，
∴四边形BEDG为正方形，
∴BE=DE=DG，∠BDE=∠BDG=45°，
∵∠ADC=90°，即∠ADE+∠CDE=∠CDG+∠CDE=90°，
∴∠ADE=∠CDG，又DE=DG，∠AED=∠G=90°，
∴△ADE≌△CDG（ASA），
∴AD=CD；
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（2）∵∠ADE=30°，AD=6，
∴AE=CG=3，DE=BE==，
∵四边形BEDG为正方形，
∴BG=BE=，
BC=BG-CG=-3，
设DF=x，则EF=-x，
∵DE∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴，即，
解得：x=，
即DF的长为．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形．
51．如图，在矩形中，，为上一点，将沿折叠，使点正好落在边上的处，作的平分线交于，交的延长线于，若，则的长为______．
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【答案】
【分析】
过点N作NG⊥BF于点G，证明△ABF∽△GNF得，证明△ABN≌△GBN得AN=GN=x，AF= 2+x，在Rt△BAF中，由勾股定理列出方程求解即可．
【详解】
过点N作NG⊥BF于点G，如图，
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∵沿折叠后，点正好落在边上的处，
∴BF=BC=4，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD⊥AD，
∴∠A=90°，
在Rt△ABF和Rt△GNF中，∠AFB=∠GFN，∠FAB=∠FGN=90°，
∴△ABF∽△GNF
∴
设GN=x，则AB=2x，
∵BM是的平分线
∴∠ABN=∠GBN，
在Rt△ABN和Rt△GBN中，，BN=BN，∠ABN=∠GBN，
∴△ABN≌△GBN，
∴AN=GN=x
∴AF=AN+NF=2+x
在Rt△BAF中，由勾股定理得，，即：
解得，
∴，
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查了矩形的折叠、全等三角形的判定与性质，勾股定理以及相似三角形的判定与性质等知识，证明△ABF∽△GNF是解答此题的关键．
52．如图，在平行四边形中，对角线，交于点O．过点O作的垂线，交延长线于点E，交于F，交于点N，若，，．
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（1）求证：；
（2）求的长．
【答案】（1）见解析；（2）2
【分析】
（1）由“ASA”可证△AOF≌△CON，可得OF=ON，即可得结论；
（2）由直角三角形的性质可求BN=6，通过证明△EAF∽△EBN，可得，即可求解．
【详解】
解：证明：（1）如图所示；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AO=OC，BO=OD，
∴∠DAO=∠BCO，
在△AOF与△CON中，
，
∴△AOF≌△CON（ASA），
∴OF=ON，
∵EF=OF，
∴EF=EN；
（2）∵EF⊥BD，
∴∠BON=90°，
∵∠OBN=30°，BO=BD=，
∴BN=，
∵AF∥BN，
∴△EAF∽△EBN，
∴，
∴，
∴AF=2．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，掌握相似三角形的判定方法是本题的关键．21教育名师原创作品
53．如图，四边形是矩形，E是边上一点，过点F作，交的延长线于点F，连接．
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（1）判断四边形的形状并说明理由；
（2）连接，若，，，求四边形的面积．
【答案】（1）平行四边形，见解析；（2）
【分析】
（1）根据AEDF，ADEF，证明即可；
（2）利用勾股定理计算AB，利用计算AD，面积可求．
【详解】
解：（1）四边形是平行四边形．
理由如下：
∵四边形是矩形，
∴．
∵，
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∴四边形是平行四边形．
（2）∵四边形是矩形，
∴．
在中，，，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，平行四边 ( http: / / www.21cnjy.com )形的判定和性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，熟记平行四边形的判定定理，相似三角形的判定定理是解题的关键．【出处：21教育名师】
54．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别与边和边的延长线交于点，，与边交于点，垂足为点，连接、．
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（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求出的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）通过三角形全等，求证出四边相等进而得出四边形是菱形
（2）方法一：连接CE，设AE=CE=x，则DE=6-x，再根据勾股定理进行计算，即可得到AE的长．方法二：通过求证，利用对应边成比例进而求出AE的长
【详解】
（1）证明：∵是的垂直平分线，
∴，，，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴；
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
（2）解法一：连接，
∵在的垂直平分线上，
∴，
设，则，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴中，，
即，
解得，
即的长为．
解法二：∵四边形是矩形，
∴，，
∴中，，
∴，
∵是的垂直平分线，垂足为点，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
即，
解得．
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【点睛】
本题主要考查了矩形的性质以及菱形的判定、相似三角形对应边成比例．解题时注意：线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
55．如图，在矩形ABCD的BC边 ( http: / / www.21cnjy.com )上取一点E，连接AE，使得AE＝EC，在AD边上取一点F，使得DF＝BE，连接CF．过点D作DG⊥AE于G．
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（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若AB＝4，BE＝3，求DG的长．
【答案】（1）见解析；（2）DG＝．
【分析】
（1）根据矩形的性质判定四边形AECF是平行四边形，根据AF=FC，即可得结论；
（2）根据矩形和菱形的性质证明△ADG∽△EAB，对应边成比例即可求出DG的长．
【详解】
解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵BE＝DF，
∴AD﹣DF＝BC﹣BE，
即AF＝EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AE＝EC，
∴四边形AECF是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，AD＝BC，
在Rt△ABE中，AB＝4，BE＝3，
根据勾股定理，得
AE＝＝＝5，
∵四边形AECF是菱形，
∴EC＝AE＝5，
∴AD＝BC＝BE+EC＝3+5＝8，
∵AD∥BC，
∴∠EAD＝∠AEB，
∵DG⊥AE，
∴∠DGA＝∠B＝90°，
∴△ADG∽△EAB，
∴＝，即＝，
∴DG＝．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．
56．已知：如图，在中，，垂足为点，，点为边上一点，且，联结并延长，交边于点．
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（1）求证：；
（2）过点作的平行线交的延长线于点，联结．如果，求证：四边形是矩形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）证明△ACD≌△BED，得到∠CAD=∠EBD，∠ACD=∠BED，利用余角的性质得到∠BFC=90°，即可证明；
（2）证明△AEG∽△DCA得到，再结合，DE=DC，可推出AG=DC，结合AD⊥BC，从而证明四边形ADCG为矩形．
【详解】
解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠BDE=90°，
在△ACD与△BED中，
，
∴△ACD≌△BED（SAS），
∴∠CAD=∠EBD，∠ACD=∠BED，
∵∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠EBD+∠ACD=90°，
在△BCF中，∠BFC=180°-（∠EBD+∠ACD）=90°，
即BF⊥AC；
（2）∵AG∥BC，
∴∠AGE=∠EBD，由（1）可知：∠EBD=∠CAD，
∴∠AGE=∠CAD，
又∵∠AEG=∠BED=∠ACD，
∴△AEG∽△DCA，
∴，
∴，
∵，又DE=DC，
∴，
∴AG=DC，又AG∥CD，
∴四边形ADCG是平行四边形，
∵AD⊥BC，
∴四边形ADCG为矩形．
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【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形的判定和性质，平行线的性质，矩形的判定，解题的关键是证明相似三角形，进行等量代换得到线段的关系．21cnjy.com
57．如图，在矩形中，，点E在的延长线上，点F在上，且．
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（1）已知．
①求的度数；
②当时，求的值；
（2）求证：直线一定平分边．
【答案】（1）①；②；（2）见解析
【分析】
（1）①由“ASA”可证△ABG≌△ABE，可得BE＝BG＝BF，可证∠EFG＝90°，即可求解；②先求出∠AED＝∠DEC＝30°，由锐角三角函数可求，即可求解；
（2）通过证明△HFD∽△BFE，△AHF∽△GFB，可得，即可求解．
【详解】
解：（1）①延长交于点G
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在矩形中，
又，
，
．
又，
是直角三角形，
，
．
则的度数为90．
②，
．
∵设，
∴．
∵，
．
，
．
又
是等边三角形
∵在中，
，
∵在矩形中，，
，
，
即，
．
（2）延长交于点H，
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，
．
，
，
．
，
．
，
，
，
．
，
，即直线一定平分边．
【点睛】
本题是四边形综合题，考查了正方形的 ( http: / / www.21cnjy.com )性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键．
58．如图，∠CAE＝∠BAD，∠E＝∠C．
（1）△ADE与△ABC相似吗？为什么？
（2）如果AB＝3AD，S△ABC＝9，那么△ADE的面积为多少？
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【答案】（1）相似，理由见解析；（2）1
【分析】
（1）证得∠DAE＝∠BAC，由相似三角形的判定定理可得出结论；
（2）求出，由相似三角形的性质可求出答案．
【详解】
解：（1）△ADE与△ABC相似，
理由：∵∠CAE＝∠BAD，
∴∠CAE+∠CAD＝∠BAD+∠CAD，
即∠DAE＝∠BAC，
又∵∠E＝∠C，
∴△ADE∽△ABC；
（2）∵AB＝3AD，
∴，
∵△ADE∽△ABC，
∴，
∵S△ABC＝9，
∴△ADE的面积为1．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定 ( http: / / www.21cnjy.com )与性质．（1）中掌握相似三角形的判定定理，并能结合题设条件选择合适的定理是解题关键；（2）中理解相似三角形面积比等于相似比的平方是解题关键．21*cnjy*com
59．如图（1），P为ABC所在平面上一点，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则点P叫做ABC的费马点．
（1）若点P是等边三角形三条中线的交点，点P　　（填是或不是）该三角形的费马点．
（2）如果点P为锐角ABC的费马点，且∠ABC＝60°．求证：ABP∽BCP；
（3）已知锐角ABC，分别以AB、AC为边向外作正ABE和正ACD，CE和BD相交于P点．如图（2）
①求∠CPD的度数；
②求证：P点为ABC的费马点．
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【答案】（1）是；（2）见解析；（3）①60°，②见解析
【分析】
（1）由等边三角形的性质证明 可得 同法可得： 从而可得结论；
（2）由为锐角ABC的费马点，且∠ABC＝60°，证明∠PAB＝∠PBC，∠APB＝∠BPC＝120°，从而可得△ABP∽△BCP；
（3）①如图2所示：由△ABE与△ACD都为等边三角形，证明△ACE≌△ADB（SAS），利用全等三角形的性质可得∠CPD＝∠6＝∠5＝60°； ② 先证明△ADF∽△PCF，可得 再证明△AFP∽△DFC．可得∠APC＝∠CPD+∠APF＝120°，再证明∠BPC＝120°，从而可得结论．
【详解】
解：（1）如图1所示：
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∵AB＝BC，BM是AC的中线，
∴MB平分∠ABC．
同理：AN平分∠BAC，PC平分∠BCA．
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABP＝30°，∠BAP＝30°．
∴∠APB＝120°．
同理：∠APC＝120°，∠BPC＝120°．
∴P是△ABC的费马点．
故答案为：是．
（2）为锐角ABC的费马点，且∠ABC＝60°．
∠APB＝∠BPC＝120°，
∠PAB+∠PBA＝180°﹣∠APB＝60°，∠PBC+∠PBA＝∠ABC＝60°，
∴∠PAB＝∠PBC，
∴△ABP∽△BCP．
（3）如图2所示：
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①∵△ABE与△ACD都为等边三角形，
∴∠BAE＝∠CAD＝60°，AE＝AB，AC＝AD，
∴∠BAE+∠BAC＝∠CAD+∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，
在△ACE和△ABD中，
∴△ACE≌△ADB（SAS），
∴∠1＝∠2，
∵∠3＝∠4，
∴∠CPD＝∠6＝∠5＝60°；
②证明：
△ADF∽△PCF，
∵∠AFP＝∠CFD，
∴△AFP∽△DFC．
∴∠APF＝∠ACD＝60°，
∴∠APC＝∠CPD+∠APF＝120°，
∴∠BPC＝120°，
∴∠APB＝360°﹣∠BPC﹣∠APC＝120°，
∴P点为△ABC的费马点．
【点睛】
本题考查的是等边三角形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，确定图中隐含的全等三角形与相似三角形是解题的关键．
60．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，以C为顶点作等腰直角△CMN，使∠CMN＝90°，连接BN，射线NM交BC于点D．
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（1）如图1，若点A，M，N在一条直线上．
①求证：BN+CM＝AM；
②若AM＝6，BN＝2，求BD的长；
（2）如图2．若AB＝4，C ( http: / / www.21cnjy.com )N＝2，将△CMN绕点C逆时针旋转一周，在旋转过程中射线NM交AB于点H，当三角形DBH是直角三角形时，请你直接写出CD的长．
【答案】（1）①见解析；②BD＝；（2）CD的值为或2．
【分析】
（1）①过C作CF⊥CN，交 ( http: / / www.21cnjy.com )AN于F，由△CMN是等腰直角三角形，∠CNM＝45°，CM＝MN，可证△ACF≌△BCN（SAS），线段和AM＝BN+CM；
②由AM＝6，BN＝2, 可求CM＝MN＝4，由△ACF≌△BCN，可得∠MCD＝∠CBN，ACM∥BN，可证△MCD∽△NBD，可得，ND＝，在Rt△DNB中，BD＝ ；
（2）若∠BDH＝90°，如图2，此时点M与点D重合，△CMN是等腰直角三角形，CN＝2，可求CD＝，若∠BHD＝90°，如图3，∠BHD＝90°，∠B＝45°，可得CD＝CN＝2．
【详解】
（1）①过C作CF⊥CN，交AN于F，
∵△CMN是等腰直角三角形，
∴∠CNM＝45°，CM＝MN，
∵CF⊥CN，∠ACB＝90°，
∴∠FCN＝∠ACB，∠CFN＝∠CNF＝45°，
∴∠ACF＝∠BCN，CF＝CN，且AC＝BC，
∴△ACF≌△BCN（SAS），
∴AF＝BN，
∵CF＝CN，CM⊥MN，
∴MF＝MN＝CM，
∴AM＝AF+FM＝BN+CM；
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②∵AM＝6，BN＝2，BN+CM＝AM，
∴CM＝MN＝4，
∵△ACF≌△BCN，
∴∠CAF＝∠CBN，
∵∠CAF+∠ACF＝∠CFN＝45°，∠BCN+∠MCD＝∠MCN＝45°，
∴∠CAF＝∠MCD，且∠CAF＝∠CBN，
∴∠MCD＝∠CBN，
∴ACM∥BN，
∴△MCD∽△NBD，∠CMD＝∠BND＝90°，
∴，
∴MD＝2ND，
∵MD+ND＝MN＝4，
∴ND＝，
在Rt△DNB中，BD＝ ；
（2）若∠BDH＝90°，如图2，此时点M与点D重合，
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∵△CMN是等腰直角三角形，CN＝2，
∴CM＝MN＝，
∴CD＝，
若∠BHD＝90°，如图3，
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∵∠BHD＝90°，∠B＝45°，
∴∠BDH＝45°，
∴∠CDN＝45°＝∠N，
∴CD＝CN＝2，
综上所述，CD的值为或2．
【点睛】
本题考查等腰直角三角形判定与性质，三角形全 ( http: / / www.21cnjy.com )等判定与性质，三角形相似判定与性质，勾股定理，掌握等腰直角三角形判定与性质，三角形全等判定与性质，三角形相似判定与性质，勾股定理以及分类思想，熟练运用这些性质进行推理是解题关键．【来源：21cnj*y.co*m】
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