第07讲 相似三角形的性质(基础训练)(解析版)

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第07讲 相似三角形的性质
【基础训练】
一、单选题
1．如图，已知∽，则下列哪条线段与的比等于相似比（ ）．
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A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据相似三角形的性质，找出对应边，即可．
【详解】
解：∵∽，
∴，
故选C．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例，是解题的关键．
2．要制作两个形状相同的三角形框架，其 ( http: / / www.21cnjy.com )中一个三角形的边长分别为8cm，10cm和12cm，另一个三角形的最短边长为2cm，则它的最长边为（ ）2·1·c·n·j·y
A．3cm B．4cm C．4.5cm D．5cm
【答案】A
【分析】
设另一个三角形的最长边为，利用相似三角形的性质即可得．
【详解】
解：设另一个三角形的最长边为，
∵两个三角形的形状相同，即这两个三角形相似，
∴，
解得，
即另一个三角形的最长边为，
故选：A．
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．
3．如图，在△ABC中，点D，点E分别在边AB，AC上（不与端点重合），连接DE，若DE∥BC，则＝（ ）21·世纪*教育网
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A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
首先根据DE∥BC得到△ADE∽△ABC，然后得到三角形对应边的比即可得到结果．
【详解】
解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
故选：C．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定与性质，利用平行证明相似，再准确的得到对应边的比是解本题的关键．
4．在“算经十书”中，《九 ( http: / / www.21cnjy.com )章算术》是中国古代记载最全面完整的一部著作，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系，而《海岛算经》则是中国最早的一部测量数学专著，使“中国在数学测量学的成就，超越西方约一千年”，这两本著作是下列哪位数学家留给后世的宝贵数学遗产．（ ）www-2-1-cnjy-com
A． ( http: / / www.21cnjy.com / )杨辉 B． ( http: / / www.21cnjy.com / )祖冲之
C． ( http: / / www.21cnjy.com / )秦九韶 D． ( http: / / www.21cnjy.com / )刘徽
【答案】D
【分析】
根据数学史料知识做出回答即可．
【详解】
解：杨辉是南宋杰出的数学家，他是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家．除此成就之外，还有一项重大贡献,就是“杨辉三角”．故不符合题意；
祖冲之是中国南北朝时期杰出的数学家，算出圆周率(π)的真值在3.1415926和3.1415927之间，相当于精确到小数第7位，简化成3.1415926，祖冲之因此入选世界纪录协会世界第一位将圆周率值计算到小数第7位的数学家，故不符合题意；
秦九韶是南宋数学家，著作有《数书九章》，故不符合题意；
《九章算术》与《海岛算经》是魏晋时期伟大的数学家刘徽的著作，是中国最宝贵的数学遗产．故符合题意；
故选：
【点睛】
本题考查的是数学史料知识，熟悉数学史是解题的关键．
5．如图，为测量楼高，在适当位置竖立一根高的标杆，并在同一时刻分别测得其落在地面上的影长，则楼高为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
在同一时刻物高和影长成正比 ( http: / / www.21cnjy.com )，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解．
【详解】
∵，
∴，
∴AB＝16（米）．
故选：B．
【点睛】
考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
6．两个相似三角形的周长比为1：4，那么它们的对应边上的高的比为（ ）
A．1：4 B．1：2 C．1：16 D．不同的对应边上的高的比不同
【答案】A
【分析】
直接根据相似三角形的性质即可得出结论．
【详解】
解：∵两个相似三角形的周长比为1：4，
∴它们的对应边上的高比为1：4．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形对应高的比等于相似比是解答此题的关键．
7．在某一时刻，测得一根高为的竹杆的影长为，同时测得一栋楼的影长为，则这栋楼的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据同一时刻物高与影长成正比即可得出结论．
【详解】
解：设这栋楼的高度为xm，
∵在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一栋楼的影长为90m，
∴，
解得：x=54．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．
8．如图，在ABC中，DE∥BC，AD＝5，AB＝12，AE＝3，则AC的长是（ ）
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A． B． C．20 D．15
【答案】A
【分析】
根据相似三角形的性质求解即可．
【详解】
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
即：，
解得：，
故选：A．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的基本性质是解题关键．
9．如果，，则的面积与的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求．
【详解】
解：∵△ABC∽△DEF，且，
∴的面积与的面积之比为．
故选：D．
【点睛】
本题考查相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方．
10．已知相似，，，则（ ）
A． B． C． D．或
【答案】B
【分析】
根据相似三角形对应角相等即可求出答案
【详解】
∵
∴
∴
故选B
【点睛】
本题考查相似三角形的性质，牢记对应角相等是解题关键.
11．已知，点对应点，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
直接根据相似三角形的性质判断，在中求出即可．
【详解】
∵，
∴，
在中，，
∴，
故选：B．
【点睛】
本题考查相似三角形的性质，理解相似三角形的基本性质是解题关键．
12．已知△ABC的各边长分别为2、5、6，与其相似的另一个△A′B′C′的最大边为18，则△ABC与的面积比等于（　　）2-1-c-n-j-y
A．1：3 B．1：6 C．1：9 D．4：9
【答案】C
【分析】
根据两个三角形的最长边确定两个相似三角形的相似比，然后根据相似比确定面积的比即可．
【详解】
解：∵△ABC的各边长分别为2、5、6，与其相似的另一个的最大边为18，
∴两三角形的相似比为6：18＝1：3，
∴△ABC与的面积比为（1：3）2＝1：9，
故选：C．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质，熟记相似三角形的性质是解题的关键．
13．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，E是边AC上一点，AE＝5，ED⊥AB，垂足为点D，则AD的长是（　　）21cnjy.com
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A．16 B． C．6 D．4
【答案】D
【分析】
由题意可得∠ADE＝∠C，∠A＝∠A，从而可判定△ADE∽△ACB，由相似三角形的性质得出比例式，再将相关线段的长代入计算即可得出答案．21教育名师原创作品
【详解】
解：∵ED⊥AB，
∴∠ADE＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠ADE＝∠C，
又∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴AD∶AC＝AE∶AB，
∵AB＝10，AC＝8，AE＝5，
∴AD∶8＝5∶10，
∴AD＝4．
故选：D．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
14．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积为4，则△ABC的面积为（ ）
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A．16 B．12 C．10 D．8
【答案】A
【分析】
直接利用三角形中位线定理得出DEBC，DE=BC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．
【详解】
解：∵在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，
∴DEBC，DE=BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵=，
∴，
∵△ADE的面积为4，
∴△ABC的面积为：16，
故选：A．
【点睛】
考查了三角形的中位线以及相似三角形的判定与性质，正确得出△ADE∽△ABC是解题关键．
15．如图，与相交于点平行，则与的面积之比为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由，可证，利用相似三角形性质面积比等于相似比的平方即可．
【详解】
解：，
，
，
，
，
．
故选：D．
【点睛】
本题考查三角形相似判定与性质,掌握三角形相似判定与性质是解题关键．
16．如图，中，D、E分别在、上，，，则与的面积之比为（ ）
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A．1：9 B．1：4 C．1：3 D．1：2
【答案】A
【分析】
根据DE∥BC得到△ADE∽△ABC，再结合相似比是AD：AB＝1：3，因而面积的比是1：9．
【详解】
解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵AD：DB＝1：2，
∴AD：AB＝1：3，
∴S△ADE：S△ABC＝1：9．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．
17．如图，已知．
（1）以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交于点M，交于点N．
（2）分别以M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P．
（3）作射线交于点D．
（4）分别以A，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于G，H两点．
（5）作直线，交，分别于点E，F．
依据以上作图，若，，，则的长是（ ）
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A． B．1 C． D．4
【答案】C
【分析】
连接，则，根据相似三角形对应边成比例即可得出结果
【详解】
如图，连接
垂直平分
,
平分
同理可知
四边形是平行四边形
又
平行四边形是菱形
又
，
解得：
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故选C
【点睛】
本题考查了由已知作图分析角平分线的 ( http: / / www.21cnjy.com )性质，垂直平分线的性质，相似三角形，菱形的性质与判定，熟知上述各类图形的判定或性质是解题的基础，寻找未知量与已知量之间的等量关系是关键．
18．如图，在矩形中，，，点E为中点，P、Q为边上两个动点，且，当四边形周长最小时，的长为（　　）【来源：21cnj*y.co*m】
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A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】
四边形周长等于,其中为定值，即求最小值，，作F关于BC的对称点,当共线时最小，此时的P位置即为所求．
【详解】
解：如图：四边形周长等于,
作使
则，
作F关于BC的对称点,连接，交于点
四边形周长=，其中为定值，
当共线时最小，即四边形周长最小
四边形是矩形，，
则
，
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故选C．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，将军饮马，线段和最小值问题，相似三角形的性质与判定，正确的作出辅助线，转化未知线段为已知线段的长是解题的关键．21*cnjy*com
19．如图，中，，，下列式子错误的是（ ）
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A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
利用，，得出，，以及平行四边形，进而得出比例式，再对每一项进行判断即可．
【详解】
解：，，
，，，且四边形是平行四边形．
，，，．
．
所以A，B，D正确，C错误．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查的是相似三角形的判定与性质，以及平行线分线段成比例定理，解题关键是灵活运用定理列出比例式．21*cnjy*com
20．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，为与正方形网格线的交点，下列结论正确的是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由题意易得CE∥AB，然后根据相似三角形的性质与判定、直角三角形斜边中线定理及全等三角形的判定可排除选项．21教育网
【详解】
解：∵每个小正方形的边长都为1，
∴，
∴，，故C错误；
∴△BCD是直角三角形，
∴，
∵，
∴，故B错误；
∴，故D正确；
∵为与正方形网格线的交点，
∴CE∥AB，
∴，
∴，
∴，
∴，故A错误；
故选D．
【点睛】
本题主要考查勾股定理的逆定理、相似三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形的性质与判定及直角三角形斜边中线定理，熟练掌握勾股定理的逆定理、相似三角形的性质与判定及直角三角形斜边中线定理是解题的关键．
21．如图，已知零件的外径，现用一个交叉卡钳（两条尺长和相等，）量零件的内孔直径，若，量的，则零件的厚度为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先根据题意证明△AOB∽△COD，再根据相似三角形对应边成比例求出AB，问题得解．
【详解】
解：∵两条尺长AC和BD相等，OC＝OD，
∴OA＝OB，
∵OC：AC＝1：3，
∴OC：OA＝1：2，
∴OD：OB＝OC：OA＝1：2，
∵∠COD＝∠AOB，
∴△AOB∽△COD，
∴CD：AB＝OC：OA＝1：2，
∵CD＝10mm，
∴AB＝20mm，
∴零件的厚度为mm．
故选：B
【点睛】
此题考查相似三角形的应用，把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，求出零件的内孔直径AB是解题关键．
22．如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知路灯高，树影，树AB与路灯O的水平距离，则树的高度AB长是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用相似三角形的性质得到对应边成比例，列出等式后求解即可．
【详解】
解：由题可知，，
∴,
∴，
∴，
故选A．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与应用，解决本题 ( http: / / www.21cnjy.com )的关键是能读懂题意，建立相似关系，得到对应边成比例，完成求解即可，本题较基础，考查了学生对相似的理解与应用等．
23．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积是3cm2，则四边形BDEC的面积为（ ）
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A．12cm2 B．9cm2 C．6cm2 D．3cm2
【答案】B
【分析】
由三角形的中位线定理可得DE=BC，DE∥BC，可证△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质，即可求解．
【详解】
解：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE=BC，DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵S△ADE=3，
∴S△ABC=12，
∴四边形BDEC的面积=12-3=9(cm2)，
故选：B．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
24．如图，中，为边上的一点，过点作的平行线交于点，连接，过点作的平行线交于点，则下列结论中不一定成立的是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据DF∥BE，DE∥BC找到对应线段成比例或相似三角形对应线段的比相等可判断．
【详解】
解：A选项：∵DF∥BE，∴，A选项比例式正确，不符合题意；
B选项：∵DF∥BE，∴，B选项比例式正确，不符合题意；
C选项：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，
∵DF∥BE，∴△ADF∽△ABE，∴，
∴，C选项比例式正确，不符合题意；
D选项：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，
DEDF，∴D选项比例式不正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质，解题的关键是找准对应线段．
25．如图，在中，，若，则与的面积之比是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据相似三角形的判定定理得到△ADE∽△ABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．
【详解】
解：∵，
∴AD：AB＝1：4，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
故选：D．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
26．如图，、交于点，，则下列结论一定正确的是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质即可得到结论．
【详解】
解：，
，
，故A不正确，
，
，，
，故B不正确，
，，
，，
，故C正确，
，
，，
，故D不正确．
故选：C．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，解决本题的关键是掌握相似三角形的性质．
27．如图，在平行四边形中，，，的面积为25，则四边形的面积为（ ）
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A．25 B．9 C．21 D．16
【答案】C
【分析】
根据平行四边形的性质，求得的面积，利用三角形相似的性质即可求得四边形的面积．
【详解】
解：因为，，
∴△DEF∽△DAB，
所以，
所以，
又因为四边形是平行四边形，
所以，的面积为25，所以的面积为25，
所以的面积为4，
则四边形的面积为21．
故选：C．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质，理解相似三角形的面积比与相似比的关系式解题的关键．
28．如图，点D，E分别在△ABC的 ( http: / / www.21cnjy.com )边AB，AC上，DE的延长线交BC的延长线于点F，DG∥BC交AC于点G，则下列式子一定正确的是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
通过证明△DEG∽△FEC，可得，即可求解．
【详解】
解：∵DG∥BC，
∴△DEG∽△FEC，
∴，
故选：C．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是本题的关键．
29．如图，把沿着的方向平移到的位置，它们重叠部分的面积是面积的一半，若，则移动的距离是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
移动的距离可以视为BE或CF的长度，根据题意可知△ABC与重叠部分为相似三角形，且面积比为2：1，所以EC：BC=1：，推出EC的长，利用线段的差求BE的长．
【详解】
解：∵△ABC沿BC边平移到△DEF的位置，
∴AB∥DE，
∴△ABC∽△HEC，
∴，
∴EC：BC=1：，
∵BC=2，
∴EC=，
∴BE=BC-EC=2-．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定和性质、平移的性质，关键在于证明△ABC∽△HEC．
30．如图，在 ABCD中，点M，N分别是A ( http: / / www.21cnjy.com )D、BC的中点，点O是CM，DN的交点，CM、DN的延长线交AB于点P、Q．若 ABCD的面积为192，则△POQ的面积为（　　）
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A．72 B．144 C．208 D．216
【答案】D
【分析】
由题意易得AM=DM，BN=CN，则易证PA=CD=BQ，然后设平行四边形ABCD的高为h，则可得△POQ的高为，进而问题可求解．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB，CD∥AB，
∴∠DCM=∠P，
∵点M，N分别是AD、BC的中点，
∴AM=DM，BN=CN，
∵∠AMP=∠DMC，
∴△AMP≌△DMC（AAS），
∴AP=CD，
同理可证CD=BQ，
∴PA=CD=BQ，
∵CD∥AB，
∴△COD∽△POQ，
∴，
设平行四边形ABCD的高为h，则有△POQ的高为，
∵，
∴；
故选D．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的性质及平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的性质及平行四边形的性质是解题的关键．
二、填空题
31．如图，已知，则_________．
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【答案】
【分析】
先根据等高的两个三角形的面积比等于边长比，得出，再根据△AOD∽△COB得出，再根据等高的两个三角形的面积比等于边长比计算即可
【详解】
解：作AE⊥BC，CF⊥BD
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∵
∴△ABD和△BCD等高，高均为AE
∴
∵AD∥BC
∴△AOD∽△COB
∴
∵△BOC和△DOC等高，高均为CF
∴
∴
故答案为：
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质、等高的两个三角形的面积比等于边长比，熟练掌握三角形的面积的特点是解题的关键【出处：21教育名师】
32．如图，正方形纸片ABCD的边长为12，点F是AD上一点，将沿CF折叠，点D落在点G处，连接DG并延长交AB于点E．若，则GE的长为________．
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【答案】
【分析】
因为折叠，则有，从而可知，利用线段比求出DG的长，即可求出EG．
【详解】
如图, 四边形ABCD是正方形，
，
因为折叠，，设垂足为H，
，
，
，
，
，
，，DE=，
，
，
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故答案为．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理，找到是解题的关键．
33．如图，在中，点D，E分别是的中点，与相交于点F，若，则的长是______．
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【答案】9
【分析】
根据中位线定理得到DE=AB，DE∥AB，从而证明△DEF∽△ABF，得到，求出EF，可得BE．
【详解】
解：∵点D，E分别为BC和AC中点，
∴DE=AB，DE∥AB，
∴△DEF∽△ABF，
∴，
∵BF=6，
∴EF=3，
∴BE=6+3=9，
故答案为：9．
【点睛】
本题考查了三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是根据中位线的性质证明△DEF∽△ABF．
34．如图，在矩形中，E是的中点，，垂足为F．若，，则的长为________．
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【答案】
【分析】
利用相似三角形的判定与性质求解即可．
【详解】
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B=∠BAD=90°，∠BAE+∠DAF=90°，
∵DF⊥AE，
∴∠AFD=90°，∠FAD+∠ADF=90°，
∴∠BAE=∠FDA，
∴△ABE∽△DFA，
∴，
由题意，AD=BC=4，AB=6，
∵E为BC的中点，
∴BE=2，
在Rt△ABE中，，
∴，
∴解得：，
故答案为：．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定与性质，熟练运用相似三角形的判定与性质是解题关键．
35．莆田湄洲岛，是亿万妈祖信徒敬仰的圣地，这里的妈祖庙更是名扬四海．在湄洲妈祖庙的正殿前方上建造了一尊巨型石雕妈祖像，面向台湾海峡，为海峡两岸同胞共同瞻仰．小颖想测量雕像的高，她先测得雕像的影长为，并在同一时刻测得一根长为的竹竿的影长是．请你帮她算一下，石雕妈祖像高是______m．21世纪教育网版权所有
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【答案】14.35
【分析】
根据题意作出图形，根据相似三角形的判定与性质即可求解．
【详解】
解：如图，设石雕妈祖像高为AB，影长为BE，同一时刻竹竿高度为CD，竹竿影长为DE，
∵AB∥CD，
∴△ABE∽△CDE，
∴，
即，
∴AB=14.35m．
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故答案为：14.35
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用，理解题意，画出图形熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
三、解答题
36．如图，在中，在上，，．
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（1）求证：∽；
（2）若，求的值．
【答案】（1）见详解；（2）
【分析】
（1）由题意易得，然后问题可求证；
（2）由（1）及题意易得，然后根据相似三角形的面积比与相似比的关系可得，然后问题可求解．
【详解】
（1）证明：∵，，
∴，
∴；
（2）解：由（1）可知，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
37．如图，已知，是的两条中线，P是它们的交点．求证：．
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【答案】见解析
【分析】
连接，是中位线，利用中位线的性质结合三角形相似即可求解．
【详解】
解：证明：连接，如图：
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，是的两条中线．
、是AB、AC的中点．
且．
．
．
．
【点睛】
本题考查三角形中位线的性质，三角形相似的判 ( http: / / www.21cnjy.com )定和性质，关键在于找到中位线和三角形相似．本题的交点P还是三角形的重心，三角形的重心将中线分的线段比是2：1．
38．如图，在和中，，．
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（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）9．
【分析】
（1）先根据角的和差可得，再根据相似三角形的判定即可得证；
（2）根据相似三角形的性质即可得．
【详解】
证明：（1），
，即，
在和中，，
；
（2）由（1）已证：，
，
，，
，
解得或（不符题意，舍去），
则的长为9．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
39．如图，中，平分，是上一点，．
（1）求证：．
（2）已知，，试求的长．
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【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）根据角平分线的定义得到∠BAD=∠CA ( http: / / www.21cnjy.com )D，根据等腰三角形的性质得到∠CED=∠CDE，根据三角形外角的性质得到∠B=∠ACE，于是得到结论；www.21-cn-jy.com
（2）根据△ABD∽△ACE得到，可求得AE的值，由DE=AD-AE即可得到结论．
【详解】
（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵CE=CD，
∴∠CED=∠CDE，
∵∠CDE=∠B+∠BAD，∠CED=∠ACE+∠CAD，
∴∠B=∠ACE，
∴△ABD∽△ACE；
（2）解：∵△ABD∽△ACE，
∴，
∵，
∴，
∵AD=14，
∴AE=，
∴DE=14-=．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
40．如图，是的中位线，请判断中位线与边的关系，并说明理由．
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【答案】∥，=，理由见详解
【分析】
先证明，从而得，∠ADE=∠ABC，进而即可得到结论．
【详解】
解：∥，=，理由如下：
∵是的中位线，
∴D，E分别是AB，AC的中点，
∴，
又∵∠A=∠A，
∴，
∴，即：=，
∴∠ADE=∠ABC，
∴∥．
【点睛】
本题主要考查中位线的定义，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，是解题的关键．
41．如图，在中，，，，，，，求：
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（1）与的度数；
（2）的长．
【答案】（1）∠AED=∠C=75°；（2）
【分析】
（1）证明△AED∽△ACB，可得结果；
（2）利用△AED∽△ACB，得到比例式，即可解答．
【详解】
解：（1）∵∠A=65°，∠B=40°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=75°，
∵∠ADE=∠B，∠A=∠A，
∴△AED∽△ACB，
∴∠AED=∠C=75°，
（2）由（1）知，△AED∽△ACB，
∴，
∴，
∴BC=．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质．本题属于中档题目，能够找到相似的条件即可．
42．如图，，相交于点D，．
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（1）若，，求的长．
（2）若，求的度数．
【答案】（1）6；（2）80°
【分析】
（1）根据相似三角形的性质可得，可得BD；
（2）根据相似三角形的性质可得，，再利用三角形内角和可得∠D．
【详解】
解：（1）∵，
∴，
即，
∴．
（2）∵，
∴，，
∴
．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例，对应角相等．
43．如图，在中，是延长线上一点，交于点，已知，求的面积．
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【答案】18
【分析】
由平行四边形的对边平行且相等，可得△CDF∽△BEF．又因，可得相似三角形的相似比为，然后根据相似三角形面积之比等于相似比的平方即可求△CDF的面积．【来源：21·世纪·教育·网】
【详解】
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD=AB，且CD∥AB，
∴△CDF∽△BEF，
∵，
∴，
∴，即，
解得S△CDF＝18．
【点睛】
此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：熟记相似三角形面积之比等于相似比的平方．
44．九年级活动小组计划利用所 ( http: / / www.21cnjy.com )学的知识测量操场旗杆高度．测量方案如下：如图，小卓在小越和旗杆之间的直线BM上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM上的对应位置为点C，镜子不动，小卓看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D时看到旗杆顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记点C重合，这时测得小卓眼睛与地面的高度ED＝1.5米，CD＝1米，然后在阳光下，小越从D点沿DM方向走了15.8米到达F处此时旗杆的影子顶端与小越的影子顶端恰好重合，测得FG＝1.6米，FH＝3.2米，已知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM若测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据图中提供的相关信息求出旗杆的高AB．
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【答案】15米
【分析】
直接利用相似三角形的判定与性质得出AB＝1.5BC，进而得出BC的长，即可得出答案．
【详解】
解：由题意可得：∠BCA＝∠ECD，∠ABC＝∠EDC，
故△ABC∽△EDC，
则，
即＝1.5，
∴AB＝1.5BC，
∵GF∥AB，
∴△GFH∽△ABH，
∴，
∴，
解得：BC＝10，
经检验，BC＝10是上述分式方程的解且符合实际意义，
故AB＝1.5BC＝15米．
答：旗杆的高AB为15米．
【点睛】
本题考查相似三角形的实际应用，准确判断出相似三角形，理解相似三角形的性质是解题关键．
45．已知：如图，在 ABCD中，点E、F分别在边BC、边BC的延长线上，四边形AEFD是菱形，菱形的对角线AF分别交DE、DC于点P、Q，．
求证：（1）四边形ABCD为矩形；
（2）BE DQ＝FQ PE．
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【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）通过证明△ABF∽△EPF，可得结论；
（2）通过证明△DPQ∽△FCQ，可得结论．
【详解】
证明：（1）∵四边形ADFE是菱形，
∴AF⊥DE，
∴∠EPF＝90°，
∵，∠PFE＝∠AFB，
∴△ABF∽△EPF，
∴∠ABE＝∠EPF＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝EF，
∴EC+CF＝BE+CE，
∴BE＝CF，
∵∠DPF＝∠QCF＝90°，∠CQF＝∠PQD，
∴△DPQ∽△FCQ，
∴，
∴，
∴BE DQ＝FQ PE．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定及性质和矩形的判定，掌握相似三角形的判定及性质是关键．
46．如图，与相交于点E，，，，求的长．
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【答案】
【分析】
通过证明△BCE∽△ADE，得到，从而求出DE，可得CD．
【详解】
解：∵AD∥BC，
∴△BCE∽△ADE，
∴，
又∵CE=2，，
∴，
∴DE=，
∴CD=CE+DE=2+=．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是本题的关键．
47．如图，CD是直角△ABC斜边AB上的中线，点E位于边AC上，且．
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（1）求证：△CDE∽△ACB；
（2）当DA∶EA＝时，求△CDE与△ABC的面积比．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）根据直角三角形斜边上的中线等 ( http: / / www.21cnjy.com )于斜边的一半可得DC＝DA＝DB，所以∠DCA＝∠A，根据已知条件和三角形外角定义即可得∠DEC＝∠B，进而可得结论；
（2）令EA＝k，DA＝，CE＝x，根据△CDE∽△ABC，对应边成比例可得x＝3k，进而根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可得结论．
【详解】
（1）∵CD是直角△ABC斜边上的中线，
∴DC＝DA＝DB，
∴∠DCA＝∠A．
在△ADE中，∠DEC＝∠A＋∠ADE．
又∠ADE＝∠B－∠A，即∠B＝∠A＋∠ADE，
∴∠DEC＝∠B．
∴△CDE∽△ACB．
（2）令EA＝k，DA＝，CE＝x．
由△CDE∽△ACB，
得，即，
解得，（舍）．
所以．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．
48．如图，等腰，AC=BC＞AB，射线AD与BC交于点D．
（1）在射线AD上求作一点E，使得∠CAE=∠AEB；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
（2）在（1）的条件下，若CD=2BD，AC=12，求BE的值．
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【答案】（1）见解析；（2）BE=6．
【分析】
（1）可作∠CBE=∠C，利用内错角相等两直线平行得到AC∥BE，利用平行线的性质即可求解；
（2）证明△ACD△EBD，利用相似三角形的性质即可求解．
【详解】
解：（1）如图所示，点E即为所作的点．
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（2）证明：∵∠CAE=∠AEB，∠CBE=∠C，
∴△ACD△EBD，
∴，
∵CD=2BD，AC=12，
∴，
∴BE=6．
【点睛】
本题主要考查作一个角等于已知角，相似三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
49．如图所示，小明在地面上放置一个 ( http: / / www.21cnjy.com )平面镜C，选择合适的位置，刚好在平面镜C中看到旗杆DE的顶部，此时小明与平面镜C的水平距离BC为2m，旗杆底部与平面镜的水平距离CE为16m．若小明的眼睛与地面的距离AB为1.6m，试求旗杆DE的高度．
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【答案】米
【分析】
如图，，，，利用题意得，则可判断，然后利用相似比计算出的长．
【详解】
解：由题意得，
，
，
，
即．
答：旗杆的高度为．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质和应用，熟悉相关性质是解题的关键．
50．如图，△ABC是一块锐角 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形的材料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少mm．
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【答案】这个正方形零件的边长是48mm．
【分析】
设正方形的边长为x，表示出AI的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式，然后进行计算即可得解．
【详解】
设正方形的边长为x mm，
则AI＝AD﹣x＝80﹣x，
∵EFHG是正方形，
∴EF∥GH，
∴△AEF∽△ABC，
∴，
即，
解得x＝48 mm，
∴这个正方形零件的边长是48mm．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应高的比等于对应边的比，表示出AI的长度，然后列出比例式是解题的关键．
51．如图，在 ABCD中，点E在DC上，AC与BE相交于点F，若AB＝12，CE＝8，AF＝9，求FC的长．
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【答案】6
【分析】
根据平行四边形的性质得出AB∥CD，从而得出△CEF∽△ABF，得出比例式，即可得出答案．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△CEF∽△ABF，
∴
∵AB＝12，CE＝8，AF＝9，
∴FC=6．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
52．如图，已知，求证：．
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【答案】见解析
【分析】
根据相似三角形的性质推出，，进而由相似三角形的判定得出结论．
【详解】
证明：∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键.
53．如图所示，∠C＝90°，BC＝8c ( http: / / www.21cnjy.com )m，cosA＝3︰5，点P从点B出发，沿BC向点C以2cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CA向点A以1cm/s的速度移动，如果P、Q分别从B、C同时出发，过多少秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似？【版权所有：21教育】
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【答案】当运动时间为s或s时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似
【分析】
由题意易得，，则有，，，则可分①当时，则，②当时，则，进而根据相似三角形的性质可求解．
【详解】
解：∵∠C＝90°，cosA＝3︰5，
∴，
∵BC＝8cm，
∴，，
∵点P从点B出发，沿BC向点C以2cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CA向点A以1cm/s的速度移动，设运动时间为t秒，则有：，
∴，
①当时，则，
∴，即，
解得：，
②当时，则，
∴，即，
解得：；
综上所述：当运动时间为s或s时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的性质及三角函数，熟练掌握相似三角形的性质及三角函数是解题的关键．
54．如图，已知，，，，求BD和BC的长．
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【答案】；BC＝12．
【分析】
根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可．
【详解】
解：∵AD＝4，CD＝2AD，
∴CD＝8，
∵，
∴＝＝，即＝＝，
解得，AB＝9，BC＝12，
∴BD＝AB﹣AD＝5．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质；掌握相似三角形对应边成比例是关键．
55．如图，一路灯距地面 ( http: / / www.21cnjy.com )5.6米，身高1.6米的小方从距离灯的底部（点O）5米的A处，沿OA所在的直线行走到点C时，人影长度增长3米，求小方行走的路程．
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【答案】7.5米
【分析】
设出影长AB的长，利用身高与影长成正比可以求得AB的长，然后在利用相似三角形求得AC的长即可．
【详解】
解：∵AE⊥OD，OG⊥OD，
∴AB//OG，
∴△AEB∽△OGB，
∴，即
解得：AB＝2m；
∵OA所在的直线行走到点C时，人影长度增长3米，
∴DC＝5m
同理可得△DFC∽△DGO，
∴
即，
解得：AC＝7.5m．
所以小方行走的路程为7.5m．
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【点睛】
本题主要考查的是相似三角形在实际中的中心投影的应用，根据题意得出相似三角形，利用对应边成比例是解答本题的关键．
56．如图，小红同学正在使用手电筒进行物理 ( http: / / www.21cnjy.com )光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度DE＝3.5m，点F到地面的高度CF＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为CD＝4m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上．
（1）求BC的长．
（2）求灯泡到地面的高度AG．
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【答案】（1）3m；（2）1.2m
【分析】
（1）直接利用相似三角形的判定与性质得出BC的长；
（2）根据相似三角形的性质列方程进而求出AG的长．
【详解】
解：（1）由题意可得：FC∥DE，
则△BFC∽△BED，
故，
即，
解得：BC＝3，
经检验，BC＝3是上述分式方程的解，
∴BC的长为3m；
（2）∵AC＝5.4m，
∴AB＝5.4﹣3＝2.4（m），
∵光在镜面反射中的入射角等于反射角，
∴∠FBC＝∠GBA，
又∵∠FCB＝∠GAB，
∴△BGA∽△BFC，
∴，
∴，
解得：AG＝1.2（m），
∴灯泡到地面的高度AG为1.2m．
【点睛】
此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键．
57．如图，是一块锐角三角形余料，边长，高，现在要把它加工成长方形零件，且满足，在上，分别在上，求矩形的面积．
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【答案】矩形的面积
【分析】
设，则，，由题意易得，则有，进而可得，然后问题可求解．
【详解】
解：设，则，，
四边形为矩形，
，
，，
∴，
，
，
，
∴FH=72，
矩形的面积，
答：矩形的面积．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
58．如图，∠BAD=∠CAE，∠B=∠D，
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（1）求证：；
（2）若3AB=2AD，且DE=6，求BC的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】
（1）根据∠BAD=∠CAE，可证得∠DAE=∠BAC，然后用相似三角形判定方法直接判定即可；
（2）利用 ABC∽ ADE，得到对应边成比例，然后计算即可．
【详解】
（1）∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD+∠BAE=∠CAE+∠BAE，
∴∠DAE=∠BAC，
∵∠B=∠D，
∴在 ABC和 ADE中，∠DAE=∠BAC，∠B=∠D，∠E=∠C，
∴ ABC∽ ADE；
(2)由（1）知 ABC∽ ADE，且3AB=2AD，
∴==，
∵DE=6，
∴．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定和性质，能够证明相似并用相似的性质计算边长是解题的关键．
59．如图，梯形中，，对角线、相交于点，如果，的面积为4，那么求：
（1）；
（2）．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）由与是等高三角形，得到，由已知，解得，据此解题即可；
（2）由平行判定，再利用相似三角形面积比等于相似比的平方，解出，最后根据解题即可．
【详解】
解：（1）∵，，
∴，
∵
∴
（2） ∵
∴
∴
的面积为4，
∴
与是等底同高的两个三角形，
∴
∴．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定与性质、三角形面积公式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．21·cn·jy·com
60．如图，已知是的高，，点E为上一点，连接、交于点F，且．
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（1）求证：．
（2）若，，，则等于多少？
【答案】（1）见详解；（2）
【分析】
（1）由题意易得，，进而可证，然后问题可求解；
（2）由（1）得：，则有，进而可证，然后可得，最后问题可求解．
【详解】
（1）证明：∵是的高，，
∴，，
∵，
∴（ASA），
∴；
（2）解：由（1）得：，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵， ，
∴，即，
∴．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
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第07讲 相似三角形的性质
【基础训练】
一、单选题
1．如图，已知∽，则下列哪条线段与的比等于相似比（ ）．
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
2．要制作两个形状相同的三角形框架，其中一 ( http: / / www.21cnjy.com )个三角形的边长分别为8cm，10cm和12cm，另一个三角形的最短边长为2cm，则它的最长边为（ ）21教育网
A．3cm B．4cm C．4.5cm D．5cm
3．如图，在△ABC中，点D，点E分别在边AB，AC上（不与端点重合），连接DE，若DE∥BC，则＝（ ）21cnjy.com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
4．在“算经十书”中，《九章算 ( http: / / www.21cnjy.com )术》是中国古代记载最全面完整的一部著作，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系，而《海岛算经》则是中国最早的一部测量数学专著，使“中国在数学测量学的成就，超越西方约一千年”，这两本著作是下列哪位数学家留给后世的宝贵数学遗产．（ ）21·cn·jy·com
A． ( http: / / www.21cnjy.com / )杨辉 B． ( http: / / www.21cnjy.com / )祖冲之
C． ( http: / / www.21cnjy.com / )秦九韶 D． ( http: / / www.21cnjy.com / )刘徽
5．如图，为测量楼高，在适当位置竖立一根高的标杆，并在同一时刻分别测得其落在地面上的影长，则楼高为（ ）21世纪教育网版权所有
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A． B． C． D．
6．两个相似三角形的周长比为1：4，那么它们的对应边上的高的比为（ ）
A．1：4 B．1：2 C．1：16 D．不同的对应边上的高的比不同
7．在某一时刻，测得一根高为的竹杆的影长为，同时测得一栋楼的影长为，则这栋楼的高度为（ ）www.21-cn-jy.com
A． B． C． D．
8．如图，在ABC中，DE∥BC，AD＝5，AB＝12，AE＝3，则AC的长是（ ）
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A． B． C．20 D．15
9．如果，，则的面积与的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
10．已知相似，，，则（ ）
A． B． C． D．或
11．已知，点对应点，若，，则（ ）
A． B． C． D．
12．已知△ABC的各边长分别为2、5、6，与其相似的另一个△A′B′C′的最大边为18，则△ABC与的面积比等于（　　）2·1·c·n·j·y
A．1：3 B．1：6 C．1：9 D．4：9
13．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，E是边AC上一点，AE＝5，ED⊥AB，垂足为点D，则AD的长是（　　）【版权所有：21教育】
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A．16 B． C．6 D．4
14．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积为4，则△ABC的面积为（ ）
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A．16 B．12 C．10 D．8
15．如图，与相交于点平行，则与的面积之比为（ ）
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A． B． C． D．
16．如图，中，D、E分别在、上，，，则与的面积之比为（ ）
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A．1：9 B．1：4 C．1：3 D．1：2
17．如图，已知．
（1）以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交于点M，交于点N．
（2）分别以M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P．
（3）作射线交于点D．
（4）分别以A，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于G，H两点．
（5）作直线，交，分别于点E，F．
依据以上作图，若，，，则的长是（ ）
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A． B．1 C． D．4
18．如图，在矩形中，，，点E为中点，P、Q为边上两个动点，且，当四边形周长最小时，的长为（　　）www-2-1-cnjy-com
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A．2 B．3 C．4 D．5
19．如图，中，，，下列式子错误的是（ ）
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A． B．
C． D．
20．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，为与正方形网格线的交点，下列结论正确的是（ ）【出处：21教育名师】
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A． B． C． D．
21．如图，已知零件的外径，现用一个交叉卡钳（两条尺长和相等，）量零件的内孔直径，若，量的，则零件的厚度为（ ）21教育名师原创作品
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A． B． C． D．
22．如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知路灯高，树影，树AB与路灯O的水平距离，则树的高度AB长是（ ）2-1-c-n-j-y
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A． B． C． D．
23．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积是3cm2，则四边形BDEC的面积为（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
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A．12cm2 B．9cm2 C．6cm2 D．3cm2
24．如图，中，为边上的一点，过点作的平行线交于点，连接，过点作的平行线交于点，则下列结论中不一定成立的是（ ）21*cnjy*com
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A． B． C． D．
25．如图，在中，，若，则与的面积之比是（ ）
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A． B． C． D．
26．如图，、交于点，，则下列结论一定正确的是（ ）
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A． B． C． D．
27．如图，在平行四边形中，，，的面积为25，则四边形的面积为（ ）
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A．25 B．9 C．21 D．16
28．如图，点D，E分别在△A ( http: / / www.21cnjy.com )BC的边AB，AC上，DE的延长线交BC的延长线于点F，DG∥BC交AC于点G，则下列式子一定正确的是（ ）
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A． B． C． D．
29．如图，把沿着的方向平移到的位置，它们重叠部分的面积是面积的一半，若，则移动的距离是（ ）
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A． B． C． D．
30．如图，在 ABCD中，点M，N分别是A ( http: / / www.21cnjy.com )D、BC的中点，点O是CM，DN的交点，CM、DN的延长线交AB于点P、Q．若 ABCD的面积为192，则△POQ的面积为（　　）
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A．72 B．144 C．208 D．216
二、填空题
31．如图，已知，则_________．
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32．如图，正方形纸片ABCD的边长为12，点F是AD上一点，将沿CF折叠，点D落在点G处，连接DG并延长交AB于点E．若，则GE的长为________．
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33．如图，在中，点D，E分别是的中点，与相交于点F，若，则的长是______．
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34．如图，在矩形中，E是的中点，，垂足为F．若，，则的长为________．
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35．莆田湄洲岛，是亿万妈祖信徒敬仰的圣地，这里的妈祖庙更是名扬四海．在湄洲妈祖庙的正殿前方上建造了一尊巨型石雕妈祖像，面向台湾海峡，为海峡两岸同胞共同瞻仰．小颖想测量雕像的高，她先测得雕像的影长为，并在同一时刻测得一根长为的竹竿的影长是．请你帮她算一下，石雕妈祖像高是______m．【来源：21·世纪·教育·网】
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三、解答题
36．如图，在中，在上，，．
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（1）求证：∽；
（2）若，求的值．
37．如图，已知，是的两条中线，P是它们的交点．求证：．
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38．如图，在和中，，．
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（1）求证：；
（2）若，，求的长．
39．如图，中，平分，是上一点，．
（1）求证：．
（2）已知，，试求的长．
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40．如图，是的中位线，请判断中位线与边的关系，并说明理由．
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41．如图，在中，，，，，，，求：
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（1）与的度数；
（2）的长．
42．如图，，相交于点D，．
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（1）若，，求的长．
（2）若，求的度数．
43．如图，在中，是延长线上一点，交于点，已知，求的面积．
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44．九年级活动小组计划利用所学的知识测 ( http: / / www.21cnjy.com )量操场旗杆高度．测量方案如下：如图，小卓在小越和旗杆之间的直线BM上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM上的对应位置为点C，镜子不动，小卓看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D时看到旗杆顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记点C重合，这时测得小卓眼睛与地面的高度ED＝1.5米，CD＝1米，然后在阳光下，小越从D点沿DM方向走了15.8米到达F处此时旗杆的影子顶端与小越的影子顶端恰好重合，测得FG＝1.6米，FH＝3.2米，已知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM若测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据图中提供的相关信息求出旗杆的高AB．21*cnjy*com
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45．已知：如图，在 ABCD中，点E、F分别在边BC、边BC的延长线上，四边形AEFD是菱形，菱形的对角线AF分别交DE、DC于点P、Q，．
求证：（1）四边形ABCD为矩形；
（2）BE DQ＝FQ PE．
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46．如图，与相交于点E，，，，求的长．
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47．如图，CD是直角△ABC斜边AB上的中线，点E位于边AC上，且．
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（1）求证：△CDE∽△ACB；
（2）当DA∶EA＝时，求△CDE与△ABC的面积比．
48．如图，等腰，AC=BC＞AB，射线AD与BC交于点D．
（1）在射线AD上求作一点E，使得∠CAE=∠AEB；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
（2）在（1）的条件下，若CD=2BD，AC=12，求BE的值．
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49．如图所示，小明在地面上放置一个平面镜C ( http: / / www.21cnjy.com )，选择合适的位置，刚好在平面镜C中看到旗杆DE的顶部，此时小明与平面镜C的水平距离BC为2m，旗杆底部与平面镜的水平距离CE为16m．若小明的眼睛与地面的距离AB为1.6m，试求旗杆DE的高度．
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50．如图，△ABC是一 ( http: / / www.21cnjy.com )块锐角三角形的材料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少mm．
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51．如图，在 ABCD中，点E在DC上，AC与BE相交于点F，若AB＝12，CE＝8，AF＝9，求FC的长．
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52．如图，已知，求证：．
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53．如图所示，∠C＝90°，BC＝8cm ( http: / / www.21cnjy.com )，cosA＝3︰5，点P从点B出发，沿BC向点C以2cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CA向点A以1cm/s的速度移动，如果P、Q分别从B、C同时出发，过多少秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似？21·世纪*教育网
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54．如图，已知，，，，求BD和BC的长．
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55．如图，一路灯距地面5. ( http: / / www.21cnjy.com )6米，身高1.6米的小方从距离灯的底部（点O）5米的A处，沿OA所在的直线行走到点C时，人影长度增长3米，求小方行走的路程．
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56．如图，小红同学正在使用 ( http: / / www.21cnjy.com )手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度DE＝3.5m，点F到地面的高度CF＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为CD＝4m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上．
（1）求BC的长．
（2）求灯泡到地面的高度AG．
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57．如图，是一块锐角三角形余料，边长，高，现在要把它加工成长方形零件，且满足，在上，分别在上，求矩形的面积．
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58．如图，∠BAD=∠CAE，∠B=∠D，
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（1）求证：；
（2）若3AB=2AD，且DE=6，求BC的长．
59．如图，梯形中，，对角线、相交于点，如果，的面积为4，那么求：
（1）；
（2）．
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60．如图，已知是的高，，点E为上一点，连接、交于点F，且．
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（1）求证：．
（2）若，，，则等于多少？
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