广东省汕头市澄海区高级中学2021-2022学年高二上学期第一次月考数学试题（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 广东省汕头市澄海区高级中学2021-2022学年高二上学期第一次月考数学试题（Word版含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-10-09 18:53:38 | ||
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文档简介
澄海中学2021-2022学年度第一学期第一次月考
高二级数学科试题
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分．考试时间120分钟．
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、座位号、准考证号用2B铅笔涂写在答题卡上．
2.答选择题时，必须用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．
3.答非选择题时，必须用黑色签字笔或钢笔，将答案写在答题卡上规定的位置上.
4.考试结束后，监考人将答题卡收回，试卷考生自己保管．
第一部分（选择题，共60分）
一、单项选择题：本大题共有8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把它选出后在答题卡规定的位置上用铅笔涂黑．
1.已知集合，则集合A∩B=（ ）
A． B． C． D．
2．复数z满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．如下图，直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．设为定义在上的偶函数，且在上为增函数，则的大小顺序是（ ）
A． B．
C． D．
5．为了得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）
A．向右平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向左平移个单位
6．已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
7．在四面体中，底面，，，则四面体的外接球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
8.己知是第四象限角，化简为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分）
9．如果，，那么直线经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10.已知空间中三点，则下列结论正确的有（ ）
A．与是共线向量
B．与共线的单位向量是
C．与夹角的余弦值是
D．平面的一个法向量是
11．已知，表示平面，，表示直线，以下命题中不正确的选项是（ ）
A．假设，，那么
B．假设，，，那么
C．假设，，那么
D．假设，，，，那么
12．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6．从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”．丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）
A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立
C．乙与丙不相互独立 D．丙与丁相互独立
第二部分（非选择题，共90分）
三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卷相应横线上.
13. 若经过，两点的直线的倾斜角为，则________.
14.如图所示，点、、分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，，平面的一个法向量为，平面与平面的夹角为，则________.
15．若实数满足，则的最大值是___________.
16. 已知正方形的边长为4，E，F分别为AD，BC的中点，以EF为棱将正方形ABCD折成如图所示的60°的二面角，点M在线段AB上. 直线DE与平面EMC所成的角为60°，则面MCE与面CEF夹角余弦值为___________.
四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
温馨提示: 考生请注意在答题卷规定区域内用黑色笔作答,超出指定区域答题不给分.
17．（本小题满分10分）已知△ABC的三个顶点分别为，，.
（1）求边所在直线的方程；
（2）求边上的中线所在直线的方程.
18．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面是矩形，是
的中点，平面，且，.
（1）求与平面所成角的正弦；
（2）求点到面PBC的距离.
19．（本小题满分12分）
2021年是中国共产党建党100周年，为了使全体党员进一步坚定理想信念，传承红色基因，市教育局以“学党史、悟思想、办实事、开新局”为主题进行“党史”教育，并举办由全体党员参加的“学党史”知识竞赛．竞赛共设100个小题，每个小题1分，共100分．现随机抽取1000名党员的成绩进行统计，并将成绩分成以下七组：，，，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图．
（1）根据频率分布直方图，求这1000名党员成绩的众数，中位数；
（2）用分层随机抽样的方法从低于80分的党员中抽取5人，若在这5人中任选2人进行问卷调查，求这2人中至少有1人成绩低于76分的概率．
20. （本小题满分12分）
如图，在多面体中，△是等边三角形，△是等腰直角三角形，
，平面平面，平面，点为的中点，
连接.
(Ⅰ) 求证：∥平面；
(Ⅱ) 若，求三棱锥的体积.
21. （本小题满分12分）
已知函数．
（1）求的最小正周期和单调递增区间；
（2）求函数在区间上的值域
（3）在锐角中，角A、B、C的对边分别为，，，若，，求面积的最大值．
22．（本小题满分12分）
已知函数是定义在[，1]上的奇函数，且．
（1）求a，b的值；
（2）判断在[，1]上的单调性，并用定义证明；
（3）设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数k的取值范围．
2021-2022第一学期高二数学第一次月考考试参考答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B A D A D B D B ACD CD ABD BC
二、填空题
【答案】2 14. 【答案】 15. 【答案】 16. 【答案】
7． 【答案】D如图，在四面体中，底面，，，可得，所以，补形为长方体，则过一个顶点的三条棱长分别为1，1，，则长方体的对角线长为，则三棱锥的外接球的半径为1．其表面积为．故选：D．
8.【答案】B【详解】∵为第四象限角，
∴.故选：B
12．解：由题意可得，P（甲）＝，P（乙）＝，，P（丁）＝，
P（甲丙）＝0≠P（甲）P（丙），P（甲丁）＝P（甲）P（丁）＝，
P（乙丙）＝，P（丙丁）＝0≠P（丁）P（丙）．故选：BC．
16. 详解：由已知可得，EF⊥AE，EF⊥DE，所以EF⊥平面ADE，所以平面ABFE⊥平面ADE.取AE的中点H为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
所以，
所以
设 (0≤t≤4)，则，设平面EMC的法向量，则所以，取y=-2，则，所以.因为DE与平面EMC所成的角为60°，所以
所以，解得t=1或t=3，t=1或t=3时，直线DE与平面EMC所成的角为60°.
取ED的中点Q，则为平面CEF的法向量.因为点Q的坐标为
所以 ， ，设MCE与面CEF夹角为.
所以.
所以当t=1时， ，.当t=3时， .
17．（1）由两点式得边所在直线的方程为，即；5分
（2）由题意，得点的坐标为（－4，2）， 7分
由两点式，得所在直线的方程为，即.10分
18．【详解】（1）因为底面是矩形，平面，
所以以为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
EMBED Equation.DSMT4 ，，，，，
，，，…………2分
设平面的法向量，
则，令，即，…………4分
设与平面所成角为，则…………6分
（2），，…………7分
设平面的法向量则，令，即，9分
设点到面PBC的距离为，则…………12分
19．【详解】（1）由频率分布直方图可得，1000名党员成绩的众数为，……2分
成绩在的频率为，
成绩在的频率为，
故中位数位于之间，中位数是………………………………5分．
（2）∵与的党员人数的比值为2:3，
采用分层随机抽样方法抽取5人，则在中抽取2人，中抽3人，
设抽取人的编号为，，抽取人的编号为，，，…………7分
则从5人中任选2人进行问卷调查对应的样本空间为：
，，，，，，，，，，共10个样本点， ………………9分
这2人中至少有1人成绩低于76分的有：
，，，，，，，共7个样本点，11分
故这2人中至少有1人成绩低于76分的概率．………………………………12分
20. (Ⅰ)证明：∵ △是等腰直角三角形，，点为的中点，
∴ . ………………………………………1分
∵ 平面平面，平面∩平面，平面，
∴ 平面.………………………………2分
∵ 平面,
∴ ∥.………………………………………3分
∵ 平面,平面,
∴ ∥平面.………………………………4分
(Ⅱ)解法1：由(Ⅰ)知∥平面,
∴ 点到平面的距离等于点到平面的距离.
过作，垂足为点，
∵ 平面,平面,
∴ . ………………………………………6分
∵ 平面,平面,，
∴ 平面. ………………………………………7分
∵ ，△是等边三角形，
∴ ，，.………………………………9分
∴ ………………………………………10分
.
∴ 三棱锥的体积为. …………12分
解法2: 由(Ⅰ)知∥平面,
∴ 点到平面的距离等于点到平面的距离. …………………5分
∵ ，△是等边三角形，
∴ ，. ………………………………………6分
连接, 则, . ……………………………7分
∴ ………………………………………10分
.
∴ 三棱锥的体积为. ………………………………………12分
21. 解：（1）
3分
∴的最小正周期． …………………………4分
由得
∴的单调递增区间为 ……6分
（2）
∴函数在区间上的值域为
（3）由，由为锐角，得．……………………8分
由余弦定理，得．……10分
∴，当且仅当时等号成立．…………………………………………11分
∴．∴面积的最大值为． ……12分
22．【详解】（1）依题意函数是定义在[，1]上的奇函数，所以，，所以，经检验，该函数为奇函数.…………………3分
（2）在上递增，证明如下：任取，
，…………6分
其中，所以，
故在上递增.……………………………………………………7分
（3）由于对任意的，总存在，使得成立，所以.……………8分
.……………………………………9分
当时，在上递增，，所以.………10分
当时，在上递减，，所以.……………11分
综上所述，.…………………12分
第5页
高二级数学科试题
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分．考试时间120分钟．
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、座位号、准考证号用2B铅笔涂写在答题卡上．
2.答选择题时，必须用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．
3.答非选择题时，必须用黑色签字笔或钢笔，将答案写在答题卡上规定的位置上.
4.考试结束后，监考人将答题卡收回，试卷考生自己保管．
第一部分（选择题，共60分）
一、单项选择题：本大题共有8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把它选出后在答题卡规定的位置上用铅笔涂黑．
1.已知集合，则集合A∩B=（ ）
A． B． C． D．
2．复数z满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．如下图，直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．设为定义在上的偶函数，且在上为增函数，则的大小顺序是（ ）
A． B．
C． D．
5．为了得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）
A．向右平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向左平移个单位
6．已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
7．在四面体中，底面，，，则四面体的外接球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
8.己知是第四象限角，化简为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分）
9．如果，，那么直线经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10.已知空间中三点，则下列结论正确的有（ ）
A．与是共线向量
B．与共线的单位向量是
C．与夹角的余弦值是
D．平面的一个法向量是
11．已知，表示平面，，表示直线，以下命题中不正确的选项是（ ）
A．假设，，那么
B．假设，，，那么
C．假设，，那么
D．假设，，，，那么
12．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6．从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”．丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）
A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立
C．乙与丙不相互独立 D．丙与丁相互独立
第二部分（非选择题，共90分）
三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卷相应横线上.
13. 若经过，两点的直线的倾斜角为，则________.
14.如图所示，点、、分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，，平面的一个法向量为，平面与平面的夹角为，则________.
15．若实数满足，则的最大值是___________.
16. 已知正方形的边长为4，E，F分别为AD，BC的中点，以EF为棱将正方形ABCD折成如图所示的60°的二面角，点M在线段AB上. 直线DE与平面EMC所成的角为60°，则面MCE与面CEF夹角余弦值为___________.
四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
温馨提示: 考生请注意在答题卷规定区域内用黑色笔作答,超出指定区域答题不给分.
17．（本小题满分10分）已知△ABC的三个顶点分别为，，.
（1）求边所在直线的方程；
（2）求边上的中线所在直线的方程.
18．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面是矩形，是
的中点，平面，且，.
（1）求与平面所成角的正弦；
（2）求点到面PBC的距离.
19．（本小题满分12分）
2021年是中国共产党建党100周年，为了使全体党员进一步坚定理想信念，传承红色基因，市教育局以“学党史、悟思想、办实事、开新局”为主题进行“党史”教育，并举办由全体党员参加的“学党史”知识竞赛．竞赛共设100个小题，每个小题1分，共100分．现随机抽取1000名党员的成绩进行统计，并将成绩分成以下七组：，，，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图．
（1）根据频率分布直方图，求这1000名党员成绩的众数，中位数；
（2）用分层随机抽样的方法从低于80分的党员中抽取5人，若在这5人中任选2人进行问卷调查，求这2人中至少有1人成绩低于76分的概率．
20. （本小题满分12分）
如图，在多面体中，△是等边三角形，△是等腰直角三角形，
，平面平面，平面，点为的中点，
连接.
(Ⅰ) 求证：∥平面；
(Ⅱ) 若，求三棱锥的体积.
21. （本小题满分12分）
已知函数．
（1）求的最小正周期和单调递增区间；
（2）求函数在区间上的值域
（3）在锐角中，角A、B、C的对边分别为，，，若，，求面积的最大值．
22．（本小题满分12分）
已知函数是定义在[，1]上的奇函数，且．
（1）求a，b的值；
（2）判断在[，1]上的单调性，并用定义证明；
（3）设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数k的取值范围．
2021-2022第一学期高二数学第一次月考考试参考答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B A D A D B D B ACD CD ABD BC
二、填空题
【答案】2 14. 【答案】 15. 【答案】 16. 【答案】
7． 【答案】D如图，在四面体中，底面，，，可得，所以，补形为长方体，则过一个顶点的三条棱长分别为1，1，，则长方体的对角线长为，则三棱锥的外接球的半径为1．其表面积为．故选：D．
8.【答案】B【详解】∵为第四象限角，
∴.故选：B
12．解：由题意可得，P（甲）＝，P（乙）＝，，P（丁）＝，
P（甲丙）＝0≠P（甲）P（丙），P（甲丁）＝P（甲）P（丁）＝，
P（乙丙）＝，P（丙丁）＝0≠P（丁）P（丙）．故选：BC．
16. 详解：由已知可得，EF⊥AE，EF⊥DE，所以EF⊥平面ADE，所以平面ABFE⊥平面ADE.取AE的中点H为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
所以，
所以
设 (0≤t≤4)，则，设平面EMC的法向量，则所以，取y=-2，则，所以.因为DE与平面EMC所成的角为60°，所以
所以，解得t=1或t=3，t=1或t=3时，直线DE与平面EMC所成的角为60°.
取ED的中点Q，则为平面CEF的法向量.因为点Q的坐标为
所以 ， ，设MCE与面CEF夹角为.
所以.
所以当t=1时， ，.当t=3时， .
17．（1）由两点式得边所在直线的方程为，即；5分
（2）由题意，得点的坐标为（－4，2）， 7分
由两点式，得所在直线的方程为，即.10分
18．【详解】（1）因为底面是矩形，平面，
所以以为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
EMBED Equation.DSMT4 ，，，，，
，，，…………2分
设平面的法向量，
则，令，即，…………4分
设与平面所成角为，则…………6分
（2），，…………7分
设平面的法向量则，令，即，9分
设点到面PBC的距离为，则…………12分
19．【详解】（1）由频率分布直方图可得，1000名党员成绩的众数为，……2分
成绩在的频率为，
成绩在的频率为，
故中位数位于之间，中位数是………………………………5分．
（2）∵与的党员人数的比值为2:3，
采用分层随机抽样方法抽取5人，则在中抽取2人，中抽3人，
设抽取人的编号为，，抽取人的编号为，，，…………7分
则从5人中任选2人进行问卷调查对应的样本空间为：
，，，，，，，，，，共10个样本点， ………………9分
这2人中至少有1人成绩低于76分的有：
，，，，，，，共7个样本点，11分
故这2人中至少有1人成绩低于76分的概率．………………………………12分
20. (Ⅰ)证明：∵ △是等腰直角三角形，，点为的中点，
∴ . ………………………………………1分
∵ 平面平面，平面∩平面，平面，
∴ 平面.………………………………2分
∵ 平面,
∴ ∥.………………………………………3分
∵ 平面,平面,
∴ ∥平面.………………………………4分
(Ⅱ)解法1：由(Ⅰ)知∥平面,
∴ 点到平面的距离等于点到平面的距离.
过作，垂足为点，
∵ 平面,平面,
∴ . ………………………………………6分
∵ 平面,平面,，
∴ 平面. ………………………………………7分
∵ ，△是等边三角形，
∴ ，，.………………………………9分
∴ ………………………………………10分
.
∴ 三棱锥的体积为. …………12分
解法2: 由(Ⅰ)知∥平面,
∴ 点到平面的距离等于点到平面的距离. …………………5分
∵ ，△是等边三角形，
∴ ，. ………………………………………6分
连接, 则, . ……………………………7分
∴ ………………………………………10分
.
∴ 三棱锥的体积为. ………………………………………12分
21. 解：（1）
3分
∴的最小正周期． …………………………4分
由得
∴的单调递增区间为 ……6分
（2）
∴函数在区间上的值域为
（3）由，由为锐角，得．……………………8分
由余弦定理，得．……10分
∴，当且仅当时等号成立．…………………………………………11分
∴．∴面积的最大值为． ……12分
22．【详解】（1）依题意函数是定义在[，1]上的奇函数，所以，，所以，经检验，该函数为奇函数.…………………3分
（2）在上递增，证明如下：任取，
，…………6分
其中，所以，
故在上递增.……………………………………………………7分
（3）由于对任意的，总存在，使得成立，所以.……………8分
.……………………………………9分
当时，在上递增，，所以.………10分
当时，在上递减，，所以.……………11分
综上所述，.…………………12分
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