豫西名校2021－2022学年上期第一次联考
高二数学试题
（考试时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知数列{an}的通项公式为an＝2n＋2，则a4＝
A．12 B．14 C．16 D．18
2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝6，b＝6，则的值是
A． B． C． D．
3．在△ABC中．b＝，a＝2，B＝，则此三角形
A．无解 B．有一解 C．有两解 D．解的个数不确定
4．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acos B＋bcos A＝a，则△ABC为
A．直角三角形 B．等腰直角三角形
C．等边三角形 D．等腰三角形
5．已知在数列{an}中a1＝1，a2＝2，且an＋2＝2an＋1＋an＋1，则a5＝
A．3 B．15 C．37 D．63
6．已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且有a1＋a9＝2，b4＋b6＝8，则的值为
A． B． C．2 D．3
7．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足a:b:c＝2:4:5，则等于
A．－ B．－ C． D．－
8．已知{an}是等差数列，且a3－1是a2和a5的等差中项，则{an}的公差为
A．－2 B．－1 C．1 D．2
9．“大玉米”是郑州新地标，被称为“中原第一高楼”，也被称为是世界上一座独一无二的标志性建筑．它是圆柱塔式建筑，夜晚其布景灯采用黄色设计，外形宛如一根“大玉米”．某人在地面上点C测得塔底B在南偏西70°，楼顶A的仰角为45°，此人沿南偏东50°方向前进280m到点D，测得楼顶A的仰角为30°．按照此人的测量进行估算，则“大玉米”的高约为（参考数据4202＝176400）
A．280m B．150m C．290m D．170m
10．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝n2，bn＝，则bn的最小值为
A．－16 B．－15 C．－13 D．－11
11．已知数列{an}满足a1＝1，an－an＋1＝（n∈N*），则a10的值为
A． B． C．1 D．2
12．如图，在△ABC中，已知AB＝3，∠BAC＝，BC边上存在点D，使＝2，且AD＝，那么AC的长是
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．在△ABC中，已知AB＝2，C＝，则△ABC的外接圆的半径是______．
14．已知等差数列{an}为递增数列，a2，a4是方程x2－14x＋40＝0的两个根，则a20＝_____．
15．今年多地发生洪水，一小船从C处以2米/分钟的速度沿着北偏东10°的方向顺河而下，在C点南偏东50°距离为4m的B处有一救生艇，沿着北偏西20°的方向快速拦截，若要拦截成功，则救生艇速度至少为_______米/分钟．
16．已知等差数列{an}的前n项和Sn有最小值，且－1＜＜0，则使得Sn＞0成立的n的最小值是______．
三、解答题（本大题共6小题，共计70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（本小题满分10分）
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．根据下列条件求相应的值．
（1）已知a＝3，B＝，C＝，求b；
（2）已知b＝4，c＝2，a＝2，求最大角．
18．（本小题满分12分）
在等差数列{an}中，已知a3＝－1，a8＝14．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值．
19．（本小题满分12分）
设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2＋2n．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，求不等式Tn＜的解集．
20．（本小题满分12分）
已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bsin C＋ccos B＋c＝0．
（1）求角B；
（2）若b＝2，求c＋2a的取值范围．
21．（本小题满分12分）
已知等差数列{an}中，公差d＞0，a1＋a4＋a7＝－6，a2·a4·a6＝24．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）Sn为数列{|an|}的前n项和，求Sn．
22．（本小题满分12分）
美化环境，建设美好家园，大家一直在行动．现有一个直角三角形的绿地，∠C＝90°，计划在△MNC区域建设一个游乐场，其中AC＝5米，BC＝5米，∠MCN＝30°．
(1)若AM＝4米，求△MNC的周长；
(2)设∠ACM＝θ，求游乐场区域△MNC面积的最小值，并求出此时θ的值．
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高二数学参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D A C D C B D A A C B B
1 D a = 2
n+2 a = 24 +2=18
． 【解析】通项公式为 n ， 4 ．
a b sin A a 4
2 A a = 8, b = 6 = = =． 【解析】在△ ABC中，因 ，由正弦定理 得： ，
sin A sin B sin B b 3
sin A 4
所以 的值是 ．
sin B 3
π
3．C B =【解析】因为b = 10， a = 2 3， ，
3
π
C AB d = a sin B = 2 3 sin = 3所以顶点 到 的距离 ，
3
因为b = 10， d < 10 < a，所以此三角形有两解．
4．D【解析】 已知 a cosB +bcos A = a，由正弦定理可得 sin AcosB + sin Bcos A = sin A
sin(B + A) = sin A
即 ，sinC = sin A ,因为在△ ABC内，所以C = A，△ ABC为等腰三角
形．
5 a = 2a + a +1 a =1，a = 2．C【解析】因为 n+2 n+1 n 且 1 2 ，
a = 2a + a +1=6 a = 2a + a +1=15 a = 2a + a +1=37
则 3 2 1 ， 4 3 2 ， 5 4 3 ．
6 B {an}，{bn}． 【解析】因为 为等差数列，
a1 + a9 ×9
S a 1
a + a = a + a =2a = 2 a =1 b = 4 9 = 2 = 5 =
故 2 8 5 5 5 ，即 5 ，同理可得： 5 ，所以
T b +
．
b
9 1 9 × b 49 5
2
7．D【解析】因为 a :b :c = 2 : 4 :5 a = 2k,b = 4k,c = 5k (k > 0)， 不妨设 ，
a2 + b2 c2 4k 2 +16k 2 25k 2 5
则cosC = = = ，
2ab 16k 2 16
1 8
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sin AcosC 1 5 5
= ( ) =
所以
sin B 2 16 32
8 {a } d a + a = 2(a 1)．A【解析】设等差数列 n 的公差为 ．由已知条件，得 2 5 3 ，
a1 + d + (a1 + 4d ) = 2(a1 + 2d 1) d = 2即 ，解得 ．
9 A AB ⊥ BCD． 【解析】如图所示， 平面 ，其中
∠ACB = 45 ,∠ADB = 30 ,∠BCE = 70 ,∠DCE = 50，
AB = x m △BCD
设塔高 ，BC = x,BD = 3x,在 中，由余弦定理得
( 3x)2 = x2 + 2802 2x 280cos120°，
2
整理得： x 140x 140×280 = 0，由求根公式可得 x = 280，或 x=-140（舍去）
S =n210 C ∵ ∴a =1． 【解析】 n ， 1 ，
n ≥ 2 a = S S =n2 (n 1)2 =2n 1
当 时， n n n 1
{a } a = 2n 1.
综上，数列 n 的通项公式为 n
an+1 2n +1 12= 12= 1 f x = 1
．记 ( ) ，
10 an 11 2n 11 2n 11 2x
f (x) ( ∞,5.5) (5.5,+∞)
在 与 上都是增函数，
an+ 1 a0 < n 5 n+
1
对数列 ，当 时， 递增且都大于 1，
10 an 10 an
a
n 6 n+
a + 1 n 1
当 时， 递增且都小于 1，数列 13的最小项是第 6项，值为 ．
10 an 10 an
a a a a 1
11 B (n+1)(n+2) = n n+1 (n∈N* ) n n+1 = (n∈N * )． 【解析】因为 ，所以 ，
a a + a a (n +1)(n + 2)n n 1 n n+1
2 8
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an an+1 1 1 1 1 1 1 1= = =
所以
anan+1 (n +1) (n + 2) n + +
，即 ，
1 n 2 an+1 an n +1 n + 2
1 1 1 1 1 1 1 1
当n≥ 2 = 时， + +…+ +
an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 a1
1 1 1 1 1 1 1= +
+…+
+
n n +1 n 1 n 2 3 1
1 1 3n +1
= +1= (n ≥ 2)
，
2 n +1 2n + 2
2n + 2 20 + 2 22
n =1 a
当 时，上式成立，故 n = a10 = =，故 ．
3n +1 30 +1 31
1 2
12 B D DE //AB ,BD = 2DC DE = AB , AE = AC．【解析】过点 作 ，所以 且 在△ ADE
3 3
2π
∠AED=
中， ， AD= 7 ,DE =1，则由余弦定理可得，
3
1
AD2 = DE2 + AE2 2DE AE cos∠AED得 7 =1+ AE 2 2AE( )，
2
2
解得 AE = 2 AE = AC（负值舍去）, ,所以 AC = 3．
3
A
E
C
B D
二、填空题
13．2
AB 2
= = 4 = 2R
【解析】由正弦定理可得 sinC 1 ,所以△ ABC的外接圆的半径是 2．
2
14 58．
a2 = 4 a2 =10
a a 2，
【解析】因为 2 4是方程 x 14x + 40 = 0的两个根，所以 ，或 ，
a4 =10 a4 = 4
a2 = 4
{a
又因数列 n} 2d = a a = 6 d = 3,a =1 a =3n-2 a =58为递增数列，所以 ，故 4 2 ， 1 ，故 n ， 20 ．
a4 =10
15．6
3 8
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A ∠ACB =120° ∠B = 30°
【解析】设在 处两船相遇，则由题意得 ， ，
AC = BC
则△ ABC是等腰三角形，所以 ，则 AC = 4 3，
AB2 = AC2 + BC2由余弦定理 2AC BC cos ACB，∠
( )2 2 1 AB2 = 4 3 + (4 3) 2×4 3×4 3× =144即 ，所以 AB =12，
2
小船需 2 A分钟到 处，则救生艇 2分钟至少航行12米，速度至少为 6米/分钟．
16． 42
{a } n S
【解析】因为等差数列 n 的前 项和 n有最小值，
a
{ 1< 21a < 0
所以等差数列 n} d > 0的公差 ，又因为 ，
a22
42 (a + a< ) 42(a + a )a21 0,a > 0,a + a > 0 = 1 42 = 21 22所以 22 21 22 ，所以 S ，42 > 0
2 2
41(a1 + a41 ) 41×2a
S = = 2141 = 41a < 0 S > 0 n，所以使得 n 成立的 的最小值是 42．21
2 2
三、解答题
17．【解析】
π 5π π
1 A = π = （ ） ， 2分
3 12 4
3 b
= 3
b = 6
由正弦定理可得 π π ，解得 ． 5分
sin sin 2
4 3
2 A （ ）根据大边对大角，可得最大角为 ， 6分
b2 + c2 a2 42 + 22 (2 7)2 1
又 cos A = = = ， 8分
2bc 2×4×2 2
0° < A<180°
∵ ．∴ A = 120° ． 10分
18．【解析】
1 a = 1 a =14 a +2d = 1 a +7d =143 8 （ ）由 ， 可得： 1 ， 1 ， 2分
a = 7
1 d = 3 可得： ， ， 4分
an = 7 + 3(n 1) = 3n 10 故 ． 6分
4 8
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a + a
2 1 an = 3n 10 Sn=
1 n n
（ ）由（ ）知： ， 故 8分
2
7 + 3n 10 (3n 17)n
= n =
， 9分
2 2
n = 3
当 时， 10分
(3×3 17)3
Sn = 12 的最小值为 ． 12分
2
19．【解析】
n = 1 a = S =1+2=3
（1）令 ，则 1 1 ， 2分
n ≥ a 2 22
当 时， n = Sn Sn 1 = (n + 2n) [(n 1) + 2(n 1)] = 2n +1 ， 4分
当 n=1时，a1=3也符合上式，
{an} an = 2n+1 即数列 的通项公式为 ． 5分
2 1 an=2n+1（ ）由（ ）得 ，
1 1 1 1
bn = = ( ) 则 ， 7分
(2n +1)(2n + 3) 2 2n +1 2n +3
1 1 1 1 1 1 1 1 1
Tn = b1 + b2 + +bn = ( ) + ( ) + + ( )所以
2 3 5 2 5 7 2 2n +1 2n + 3
1 1 1 n
= ( ) =
． 10分
2 3 2n + 3 6n + 9
1 n 1
T <
n <故 可化为： ，故 n < 9，
7 6n + 9 7
1
T <
n {1, 2,3, 4,5,6,7,8} 故不等式 的解集为 ． 12分
7
20．【解析】
（1）因为bsinC + 3 c cosB + c = 0，
由正弦定理可得 sin B sinC + 3 sinC cosB + sinC = 0， 2分
∵sinC ≠ 0，则 sin B + 3 cosB +1= 0，即 sin B + 3 cosB = 1，
π π 1
2sin B + = 1 sin B + = 即 ，所以， ， 4分
3 3 2
π π 4π π 7π 5π
因为0 < B < π < B + < B + = B = ，则 ，所以 ，解得 ． 6分
3 3 3 3 6 6
5 8
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a b c
（2 = = = 4 ）由正弦定理知： ， 8分
sin A sin B sinC
3c + 2a = 4( 3 sin C + 2sin A) π = 4 3 sin A + 2sin A
6
1 3 3 1 π= 4 3 cos A sin A + 2sin A = 4 cos A+ sin A = 4sin A+ ， 2 2 2 2 3
10分
π π π π
0 < A < < A+ <
因为 ,所以 ，
6 3 3 2
π
2 3 < 4sin A+ < 4 , 3c + 2a∈ 2 3,4 所以 ( )． 12分
3
21．【解析】
a + a = a + a = 4
a + a + a = 1 7 2 66 a
（1）由 1 4 7 得 4 = 2，则 ，
a2 a6 = 12
a2 = 6 a1 = 8
d > 0 又 ，∴ ，则 ． 3分
a6 = 2 d = 2
an = 2n 10 ∴ ． 5分
10 2n,1≤ n ≤ 5
2 an = 2n 10 |an | = |2n 10|= （ ）因为 ，故 7分
2n 10,n ≥ 6
8+ (2n 10)
1≤ n ≤ S = a a a = ×n = n25 + 9n
所以当 时， n 1 2 n ， 8分
2
n ≥ 6 Sn =| a1 | + | a2 | + + | a5 | +(| a6 | + + | an |)当 时，
=( a1 a2 a5 ) + (a6 + + an )= (a1+a2 + +a5 ) + (a6 + + an )
= (a1+a2 + + an ) 2(a1+a2 + +a5 )
( 8+ 2n 10)
= ×n + 40 = n2 9n + 40
， 11分
2
n2 +9n,1≤ n ≤ 5
S =
∴ n （ ）． 12分
n2
n∈ N
9n + 40,n ≥ 6
6 8
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22．【解析】
（1）由题 AC = 5米， BC = 5 3米， AC ⊥ BC ，
AC 3
B = 30° A = 60°
∴ tan B = = ，∴ ，∴ ， 2分
BC 3
△ACM
在 中，
由余弦定理可得CM 2 = AC2 + AM 2 2AC AM cos A
1
= 25+16 2×5×4× = 21 CM = 21 ，则 ， 5分
2
21
由余弦定理得 cos∠AMC = ，∠CMA+∠CMN =180°，
14
21 5 7
cos∠CMN = ， sin∠CMN = ,
14 14
° 21
在△CMN中， sin∠CNM = sin(∠CMN + 30 ) = ,
7
CM NM 7
= NM =
由正弦定理得， ， ，
sin ∠CNM sin30° 2
CM CN
= 5 7
得CN = ，
sin∠CNM sin∠CMN 2
7 + 5 7
MNC △ 的周长为：CM + NM +CN = 21 + ． 6分
2
CN CA 5 5 3
2 △CAN = = （ ）在 中，由 ，得CN = ， 8分
sin 60° sin (90° θ ) cosθ 2cosθ
CM CA 5 3
△ACM =
又在 中，由
sin60° sin ( ) CM =60° +θ ，得 ，2sin (θ + 60°)
1 75 75 1
S CMN = CM CN sin 30° = = △
所以 2 16sin (θ + 60°)cosθ 16 1 3
sinθ cosθ + cos2 θ
2 2
75 1 75
= =
8 sin 2θ 3 cos 2θ 3 8sin (2θ + 60°)+ 4 3 ， 10分+ +
2 2 2
7 8
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2θ +60° = 90°
所以当且仅当 ，
75
θ = 215° △CMN 2 3 m
即 时， 的面积取最小值为 ( ) ． 12分
4
8 8
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