2021-2022学年湘教版八年级数学上册《2.1三角形》同步练习 （word解析版）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年湘教版八年级数学上册《2.1三角形》同步练习 （word解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 193.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 湘教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-10-10 09:16:35 | ||
图片预览
文档简介
《2.1三角形》同步练习
一、选择题（ 本大题共10小题，共40分）
1．（4分）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．3，8，4 C．6，4，5 D．5，2，8
2．（4分）如图，图中三角形的个数共有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
3．（4分）若三角形ABC中，三个内角度数的比为3：5：8，则三角形ABC是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形
4．（4分）如图，CD是△ABC的角平分线，∠A=30°，∠B=66°，则∠BDC的度数是（ ）
A．96° B．84° C．76° D．72°
5．（4分）如图所示的图形中x的值是（ ）
A．60 B．40 C．70 D．80
6．（4分）如图，将△ADE沿DE折叠，折痕为DE，则图中∠1，∠2，∠3之间的关系中，下列式子中正确的是（ ）
A．∠3=2∠1+∠2 B．∠3=∠1+2∠2
C．∠3=∠1+∠2 D．∠3=180°﹣∠1﹣∠2
7．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ADC=90°，则△ABC斜边AB上的高为（ ）
A．CD B．AC C．BC D．BD
8．（4分）在△ABC中，∠A：∠B：∠C=3：4：8，则这个三角形一定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
9．（4分）给出下列说法：（1）等边三角形是等腰三角形；（2）三角形按边的相等关系分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；（3）三角形按角的大小分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．其中，正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．0
10．（4分）图中△ABC的外角是（ ）
A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4
二、填空题（ 本大题共5小题，共20分）
11．（4分）如图，已知点O是△ABC的重心，那么S△BOC：S△ABC= ．
12．（4分）如图，点G为△ABC的重心，若S△BGD=2cm2，则S△ABC= cm2．
13．（4分）如图，某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，又继续航行8海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°，则此时△ABP的面积为 平方海里．
14．（4分）如图△ABC中，AD是BC上的中线，BE是△ABD中AD边上的中线，若△ABC的面积是40，则△ABE的面积是 ．
15．（4分）如图，在△AEC中，点D和点F分别是AC和AE上的两点，连接DF，交CE的延长线于点B，若∠A=25°，∠B=45°，∠C=36°，则∠DFE= ．
三、解答题（ 本大题共5小题，共40分）
16．（8分）如图，已知AD、AE分别是Rt△ABC的高和中线，∠BAC=90°，AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm．
求证：（1）AD的长；
（2）△ACE的面积；
（3）△ACE和△ABE的周长的差．
17．（8分）如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．
（1）∠ABE=15°，∠BAD=40°，求∠BED的度数；
（2）若△ABC的面积为40，求△BDE的面积．
18．（8分）如图，在△ABC中，∠A=56°，∠ABD=30°，∠ACB=70°，且CE平分∠ACB，求∠DEC的度数．
19．（8分）如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．
（1）求证：∠A+∠C=∠B+D；
（2）如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，且与CD、AB分别相交于点M、N．
①以线段AC为边的“8字型”有 个，以点O为交点的“8字型”有 个；
②若∠B=100°，∠C=120°，求∠P的度数；
③若角平分线中角的关系改为“∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB”，试探究∠P与∠B、∠C之间存在的数量关系，并证明理由．
20．（8分）如图，在△ABC中，D是BC上一点，∠1=∠2+5°，∠3=∠4，∠BAC=85°，求∠2的度数．
参考答案与试题解析
一、选择题（ 本大题共10小题，共40分）
1．（4分）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．3，8，4 C．6，4，5 D．5，2，8
【分析】哪个选项中两条较小的边的和大于最大的边即可．
【解答】解：A、1+2=3，不能构成三角形，故此选项错误；
B、3+4＜8，不能构成三角形，故此选项错误；
C、6﹣5＜4＜6+5，能构成三角形，故此选项正确；
D、5+2＜8，不能构成三角形，故此选项错误．
故选：C．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
2．（4分）如图，图中三角形的个数共有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【分析】根据三角形的定义，找出图中所有的三角形，数出其个数即可得出结论．
【解答】解：图中是三角形的有：△AOC、△BOD、△AOB、△ABC、△ABD．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形，牢记三角形的定义是解题的关键．
3．（4分）若三角形ABC中，三个内角度数的比为3：5：8，则三角形ABC是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形
【分析】根据三角形的内角和是180度即可求解．
【解答】解：这个三角形的最大内角是：，
所以三角形是直角三角形；
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，理解定理是关键．
4．（4分）如图，CD是△ABC的角平分线，∠A=30°，∠B=66°，则∠BDC的度数是（ ）
A．96° B．84° C．76° D．72°
【分析】根据三角形内角和定理求出∠ACB的度数，再根据CD是△ABC的角平分线，即可求出∠ACD的度数；再根据三角形内角和外角的关系即可求出∠BDC的度数．
【解答】解：∵∠A=30°，∠B=66°，
∴∠ACB=180°﹣30°﹣66°=84°，
∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠ACD=∠ACB=×84°=42°．
∴∠BDC=∠A+∠ACD=30°+42°=72°．
故选：D．
【点评】此题考查了三角形的内角和定义、角平分线的定义和三角形内角与外角的关系，是一道好题．
5．（4分）如图所示的图形中x的值是（ ）
A．60 B．40 C．70 D．80
【分析】根据三角形的外角的性质构建方程即可解决问题；
【解答】解：由三角形的外角的性质可知：x+70=x+10+x，
解得x=60．
故选：A．
【点评】本题考查三角形的外角的性质、一元一次方程等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．
6．（4分）如图，将△ADE沿DE折叠，折痕为DE，则图中∠1，∠2，∠3之间的关系中，下列式子中正确的是（ ）
A．∠3=2∠1+∠2 B．∠3=∠1+2∠2
C．∠3=∠1+∠2 D．∠3=180°﹣∠1﹣∠2
【分析】根据四边形的内角和是360°和平角的定义求解．
【解答】解：∵将△ADE沿DE折叠，
∴∠A=∠A′，即∠1=∠A′，
∵∠4=180°﹣∠2﹣∠A′=180°﹣∠2﹣∠1，
又∵∠B+∠C=180﹣∠1，∠3+∠4+∠B+∠C=360°
∴∠3+180°﹣∠2﹣∠1+180°﹣∠1=360°
∴∠3=2∠1+∠2，
故选：A．
【点评】本题考查翻折变换（折叠问题），多边形的内角和定理．图形在折叠的过程，会出现全等的图形﹣﹣相等的线段、相等的角，是隐含的条件，注意运用．
7．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ADC=90°，则△ABC斜边AB上的高为（ ）
A．CD B．AC C．BC D．BD
【分析】根据三角形高线的定义即可得．
【解答】解：∵∠ADC=90°，
∴CD⊥AB，
∴CD是△ABC斜边上的高，
故选：A．
【点评】本题主要考查三角形的角平分线、中线和高，解题的关键是掌握从三角形的一个顶点向底边所在直线作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
8．（4分）在△ABC中，∠A：∠B：∠C=3：4：8，则这个三角形一定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
【分析】根据三角形的内角和=180°，列方程即可得到结论．
【解答】解：∵∠A：∠B：∠C=3：4：8，
∴设∠A=3α，∠B=4α，∠C=8α，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴3α+4α+8α=180°，
∴α=12°，
∴∠C=8α=96°，
∴这个三角形一定是钝角三角形，
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的内角和，熟记三角形的内角和=180°是解题的关键．
9．（4分）给出下列说法：（1）等边三角形是等腰三角形；（2）三角形按边的相等关系分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；（3）三角形按角的大小分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．其中，正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．0
【分析】根据三角形的分类、三角形的三边关系进行判断．
【解答】解：（1）等边三角形是一特殊的等腰三角形，正确；
（2）三角形按边分类可以分为不等边三角形和等腰三角形，错误；
（3）三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，正确．
综上所述，正确的结论2个．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形．注意：等边三角形一定是等腰三角形，但是等腰三角形不一定是等边三角形．
10．（4分）图中△ABC的外角是（ ）
A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4
【分析】三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
【解答】解：△ABC的外角是∠3，
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形外角，解题时注意：三角形的一边与另一边的延长线组成的角．
二、填空题（ 本大题共5小题，共20分）
11．（4分）如图，已知点O是△ABC的重心，那么S△BOC：S△ABC= 1：3 ．
【分析】延长BO交AC于D，根据重心的性质得到AD=DC，BO=2OD，根据三角形的面积公式计算．
【解答】解：延长BO交AC于D，
∵点O是△ABC的重心，
∴AD=DC，BO=2OD，
∴S△ADB=S△BDC=S△ABC，S△BOC=2S△ODC，
∴S△BOC=S△BDC，
∴S△BOC：S△ABC=1：3，
故答案为：1：3．
【点评】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，三角形的面积计算，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．
12．（4分）如图，点G为△ABC的重心，若S△BGD=2cm2，则S△ABC= 12 cm2．
【分析】由点G为△ABC的重心，推出AG=2DG，可得S△ABG=2S△BDG=4cm2，推出S△ABD=6cm2，由BD=DC，推出S△ABC=2S△ABD即可解决问题；
【解答】解：∵点G为△ABC的重心，
∴AG=2DG，
∴S△ABG=2S△BDG=4cm2，
∴S△ABD=6cm2，
∵BD=DC，
∴S△ABC=2S△ABD=12cm2．
故答案为12．
【点评】本题考查三角形的重心，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
13．（4分）如图，某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，又继续航行8海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°，则此时△ABP的面积为 16 平方海里．
【分析】先过P作AB的垂线PD，在直角△BPD中可以求得∠PAD的度数是30°，即可证明△APB是等腰三角形，即可求解．
【解答】解：过P作PD⊥AB于点D，
∵∠PBD=90°﹣60°=30°
且∠PBD=∠PAB+∠APB，∠PAB=90﹣75=15°
∴∠PAB=∠APB，
∴BP=AB=8（海里），
∴PD=BP=4（海里），
∴△ABP的面积为8×4÷2=16平方海里．
故答案为：16．
【点评】此题考查的是三角形的面积、解直角三角形的应用，解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．正确证明△APB是等腰三角形是解决本题的关键．
14．（4分）如图△ABC中，AD是BC上的中线，BE是△ABD中AD边上的中线，若△ABC的面积是40，则△ABE的面积是 10 ．
【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，求出面积比，即可解答．
【解答】解：∵AD是BC上的中线，
∴S△ABD=S△ACD=S△ABC，
∵BE是△ABD中AD边上的中线，
∴S△ABE=S△BED=S△ABD，
∴S△ABE=S△ABC，
∵△ABC的面积是40，
∴S△ABE=×40=10．
故答案为：10．
【点评】本题主要考查了三角形面积的求法，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，是解答本题的关键．
15．（4分）如图，在△AEC中，点D和点F分别是AC和AE上的两点，连接DF，交CE的延长线于点B，若∠A=25°，∠B=45°，∠C=36°，则∠DFE= 106° ．
【分析】根据三角形的外角的性质求出∠FEB的度数，再根据三角形外角的性质计算即可．
【解答】解：∵∠FEB是△AEC的一个外角，
∴∠FEB=∠A+∠C=61°，
∵∠DFE是△BFE的一个外角，
∴∠DFE=∠B+∠FEB=106°，
故答案为106°．
【点评】本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
三、解答题（ 本大题共5小题，共40分）
16．（8分）如图，已知AD、AE分别是Rt△ABC的高和中线，∠BAC=90°，AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm．
求证：（1）AD的长；
（2）△ACE的面积；
（3）△ACE和△ABE的周长的差．
【分析】（1）利用“面积法”来求线段AD的长度；
（2）△AEC与△ABE的等底同高的两个三角形，它们的面积相等．
（3）由于AE是中线，那么BE=CE，于是△ACE的周长﹣△ABE的周长=AC+AE+CE﹣（AB+BE+AE），化简可得△ACE的周长﹣△ABE的周长=AC﹣AB，易求其值．
【解答】解：∵∠BAC=90°，AD是边BC上的高，
∴AB AC=BC AD，
∴AD===4.8（cm），
即AD的长度为4.8cm；
（2）如图，∵△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，AB=6cm，AC=8cm，
∴S△ABC=AB AC=×6×8=24（cm2）．
又∵AE是边BC的中线，
∴BE=EC，
∴BE AD=EC AD，即S△ABE=S△AEC，
∴S△AEC=S△ABC=12（cm2）．
∴△AEC的面积是12cm2．
（3）∵AE为BC边上的中线，
∴BE=CE，
∴△ACE的周长﹣△ABE的周长=AC+AE+CE﹣（AB+BE+AE）=AC﹣AB=8﹣6=2（cm），
即△ACE和△ABE的周长的差是2cm．
【点评】本题考查了三角形的面积．
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=×底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
17．（8分）如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．
（1）∠ABE=15°，∠BAD=40°，求∠BED的度数；
（2）若△ABC的面积为40，求△BDE的面积．
【分析】（1）利用三角形的外角的性质即可解决问题；
（2）根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形即可解决问题；
【解答】解：（1）∵∠BED=∠EBA+∠BAE，）∠ABE=15°，∠BAD=40°，
∴∠BED=55°．
（2）∵S△ABC=40，BD=CD，
∴S△ABD=S△ABC=20，
∵AE=ED，
∴S△BDE=S△ABD=10．
【点评】本题考查三角形的面积，三角形的中线的性质，三角形的外角等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
18．（8分）如图，在△ABC中，∠A=56°，∠ABD=30°，∠ACB=70°，且CE平分∠ACB，求∠DEC的度数．
【分析】在△BCE中，根据∠DEC=∠CBD+∠BCE，只要求出∠CBD，∠BCE即可；
【解答】解：在△ABC中，
∵∠A=56°，∠ACB=70°，
∴∠ABC=54°，
∵∠ABD=30°，
∴∠CBD=∠ABC﹣∠ABD=24°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE=∠ACB=35°，
∴在△BCE中，∠DEC=∠CBD+∠BCE=59°．
【点评】本题考查三角形的外角的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
19．（8分）如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．
（1）求证：∠A+∠C=∠B+D；
（2）如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，且与CD、AB分别相交于点M、N．
①以线段AC为边的“8字型”有 3 个，以点O为交点的“8字型”有 4 个；
②若∠B=100°，∠C=120°，求∠P的度数；
③若角平分线中角的关系改为“∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB”，试探究∠P与∠B、∠C之间存在的数量关系，并证明理由．
【分析】（1）根据三角形的内角和即可得到结论；
（2）①以线段AC为边的“8字型”有3个，以点O为交点的“8字型”有4个；
②根据角平分线的定义得到∠CAP=∠BAP，∠BDP=∠CDP，再根据三角形内角和定理得到∠CAP+∠C=∠CDP+∠P，∠BAP+∠P=∠BDP+∠B，两等式相减得到∠C﹣∠P=∠P﹣∠B，即∠P=（∠C+∠B），然后把∠C=120°，∠B=100°代入计算即可；
③与②的证明方法一样得到3∠P=∠B+2∠C．
【解答】（1）证明：在图1中，有∠A+∠C=180°﹣∠AOC，∠B+∠D=180°﹣∠BOD，
∵∠AOC=∠BOD，
∴∠A+∠C=∠B+∠D；
（2）解：①3；4；
故答案为：3，4；
②以M为交点“8字型”中，有∠P+∠CDP=∠C+∠CAP，
以N为交点“8字型”中，有∠P+∠BAP=∠B+∠BDP
∴2∠P+∠BAP+∠CDP=∠B+∠C+∠CAP+∠BDP，
∵AP、DP分别平分∠CAB和∠BDC，
∴∠BAP=∠CAP，∠CDP=∠BDP，
∴2∠P=∠B+∠C，
∵∠B=100°，∠C=120°，
∴∠P=（∠B+∠C）=（100°+120°）=110°；
③3∠P=∠B+2∠C，其理由是：
∵∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB，
∴∠BAP=∠CAB，∠BDP=∠CDB，
以M为交点“8字型”中，有∠P+∠CDP=∠C+∠CAP，
以N为交点“8字型”中，有∠P+∠BAP=∠B+∠BDP
∴∠C﹣∠P=∠CDP﹣∠CAP=（∠CDB﹣∠CAB），
∠P﹣∠B=∠BDP﹣∠BAP=（∠CDB﹣∠CAB）．
∴2（∠C﹣∠P）=∠P﹣∠B，
∴3∠P=∠B+2∠C．
【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．也考查了角平分线的定义．
20．（8分）如图，在△ABC中，D是BC上一点，∠1=∠2+5°，∠3=∠4，∠BAC=85°，求∠2的度数．
【分析】设∠2=x°，则∠1=（x+5）°，∠3=∠4=（2x+5）°，在△ABC中，根据三角形内角和定理得出方程，求出方程的解即可．
【解答】解：设∠2=x°，则∠1=∠2+5°=（x+5）°，
∠3=∠4=∠1+∠2=x°+（x+5）°=（2x+5）°，
∵，在△ABC中，∠BAC=85°，
∴∠2+∠4=180°﹣∠BAC，
即x+2x+5=180﹣85，
解得：x=30，
即∠2=30°
【点评】本题考查了三角形的内角和定理和三角形的外角性质，能得出关于x的方程是解此题的关键．第1页（共3页）
一、选择题（ 本大题共10小题，共40分）
1．（4分）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．3，8，4 C．6，4，5 D．5，2，8
2．（4分）如图，图中三角形的个数共有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
3．（4分）若三角形ABC中，三个内角度数的比为3：5：8，则三角形ABC是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形
4．（4分）如图，CD是△ABC的角平分线，∠A=30°，∠B=66°，则∠BDC的度数是（ ）
A．96° B．84° C．76° D．72°
5．（4分）如图所示的图形中x的值是（ ）
A．60 B．40 C．70 D．80
6．（4分）如图，将△ADE沿DE折叠，折痕为DE，则图中∠1，∠2，∠3之间的关系中，下列式子中正确的是（ ）
A．∠3=2∠1+∠2 B．∠3=∠1+2∠2
C．∠3=∠1+∠2 D．∠3=180°﹣∠1﹣∠2
7．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ADC=90°，则△ABC斜边AB上的高为（ ）
A．CD B．AC C．BC D．BD
8．（4分）在△ABC中，∠A：∠B：∠C=3：4：8，则这个三角形一定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
9．（4分）给出下列说法：（1）等边三角形是等腰三角形；（2）三角形按边的相等关系分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；（3）三角形按角的大小分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．其中，正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．0
10．（4分）图中△ABC的外角是（ ）
A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4
二、填空题（ 本大题共5小题，共20分）
11．（4分）如图，已知点O是△ABC的重心，那么S△BOC：S△ABC= ．
12．（4分）如图，点G为△ABC的重心，若S△BGD=2cm2，则S△ABC= cm2．
13．（4分）如图，某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，又继续航行8海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°，则此时△ABP的面积为 平方海里．
14．（4分）如图△ABC中，AD是BC上的中线，BE是△ABD中AD边上的中线，若△ABC的面积是40，则△ABE的面积是 ．
15．（4分）如图，在△AEC中，点D和点F分别是AC和AE上的两点，连接DF，交CE的延长线于点B，若∠A=25°，∠B=45°，∠C=36°，则∠DFE= ．
三、解答题（ 本大题共5小题，共40分）
16．（8分）如图，已知AD、AE分别是Rt△ABC的高和中线，∠BAC=90°，AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm．
求证：（1）AD的长；
（2）△ACE的面积；
（3）△ACE和△ABE的周长的差．
17．（8分）如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．
（1）∠ABE=15°，∠BAD=40°，求∠BED的度数；
（2）若△ABC的面积为40，求△BDE的面积．
18．（8分）如图，在△ABC中，∠A=56°，∠ABD=30°，∠ACB=70°，且CE平分∠ACB，求∠DEC的度数．
19．（8分）如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．
（1）求证：∠A+∠C=∠B+D；
（2）如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，且与CD、AB分别相交于点M、N．
①以线段AC为边的“8字型”有 个，以点O为交点的“8字型”有 个；
②若∠B=100°，∠C=120°，求∠P的度数；
③若角平分线中角的关系改为“∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB”，试探究∠P与∠B、∠C之间存在的数量关系，并证明理由．
20．（8分）如图，在△ABC中，D是BC上一点，∠1=∠2+5°，∠3=∠4，∠BAC=85°，求∠2的度数．
参考答案与试题解析
一、选择题（ 本大题共10小题，共40分）
1．（4分）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．3，8，4 C．6，4，5 D．5，2，8
【分析】哪个选项中两条较小的边的和大于最大的边即可．
【解答】解：A、1+2=3，不能构成三角形，故此选项错误；
B、3+4＜8，不能构成三角形，故此选项错误；
C、6﹣5＜4＜6+5，能构成三角形，故此选项正确；
D、5+2＜8，不能构成三角形，故此选项错误．
故选：C．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
2．（4分）如图，图中三角形的个数共有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【分析】根据三角形的定义，找出图中所有的三角形，数出其个数即可得出结论．
【解答】解：图中是三角形的有：△AOC、△BOD、△AOB、△ABC、△ABD．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形，牢记三角形的定义是解题的关键．
3．（4分）若三角形ABC中，三个内角度数的比为3：5：8，则三角形ABC是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形
【分析】根据三角形的内角和是180度即可求解．
【解答】解：这个三角形的最大内角是：，
所以三角形是直角三角形；
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，理解定理是关键．
4．（4分）如图，CD是△ABC的角平分线，∠A=30°，∠B=66°，则∠BDC的度数是（ ）
A．96° B．84° C．76° D．72°
【分析】根据三角形内角和定理求出∠ACB的度数，再根据CD是△ABC的角平分线，即可求出∠ACD的度数；再根据三角形内角和外角的关系即可求出∠BDC的度数．
【解答】解：∵∠A=30°，∠B=66°，
∴∠ACB=180°﹣30°﹣66°=84°，
∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠ACD=∠ACB=×84°=42°．
∴∠BDC=∠A+∠ACD=30°+42°=72°．
故选：D．
【点评】此题考查了三角形的内角和定义、角平分线的定义和三角形内角与外角的关系，是一道好题．
5．（4分）如图所示的图形中x的值是（ ）
A．60 B．40 C．70 D．80
【分析】根据三角形的外角的性质构建方程即可解决问题；
【解答】解：由三角形的外角的性质可知：x+70=x+10+x，
解得x=60．
故选：A．
【点评】本题考查三角形的外角的性质、一元一次方程等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．
6．（4分）如图，将△ADE沿DE折叠，折痕为DE，则图中∠1，∠2，∠3之间的关系中，下列式子中正确的是（ ）
A．∠3=2∠1+∠2 B．∠3=∠1+2∠2
C．∠3=∠1+∠2 D．∠3=180°﹣∠1﹣∠2
【分析】根据四边形的内角和是360°和平角的定义求解．
【解答】解：∵将△ADE沿DE折叠，
∴∠A=∠A′，即∠1=∠A′，
∵∠4=180°﹣∠2﹣∠A′=180°﹣∠2﹣∠1，
又∵∠B+∠C=180﹣∠1，∠3+∠4+∠B+∠C=360°
∴∠3+180°﹣∠2﹣∠1+180°﹣∠1=360°
∴∠3=2∠1+∠2，
故选：A．
【点评】本题考查翻折变换（折叠问题），多边形的内角和定理．图形在折叠的过程，会出现全等的图形﹣﹣相等的线段、相等的角，是隐含的条件，注意运用．
7．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ADC=90°，则△ABC斜边AB上的高为（ ）
A．CD B．AC C．BC D．BD
【分析】根据三角形高线的定义即可得．
【解答】解：∵∠ADC=90°，
∴CD⊥AB，
∴CD是△ABC斜边上的高，
故选：A．
【点评】本题主要考查三角形的角平分线、中线和高，解题的关键是掌握从三角形的一个顶点向底边所在直线作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
8．（4分）在△ABC中，∠A：∠B：∠C=3：4：8，则这个三角形一定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
【分析】根据三角形的内角和=180°，列方程即可得到结论．
【解答】解：∵∠A：∠B：∠C=3：4：8，
∴设∠A=3α，∠B=4α，∠C=8α，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴3α+4α+8α=180°，
∴α=12°，
∴∠C=8α=96°，
∴这个三角形一定是钝角三角形，
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的内角和，熟记三角形的内角和=180°是解题的关键．
9．（4分）给出下列说法：（1）等边三角形是等腰三角形；（2）三角形按边的相等关系分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；（3）三角形按角的大小分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．其中，正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．0
【分析】根据三角形的分类、三角形的三边关系进行判断．
【解答】解：（1）等边三角形是一特殊的等腰三角形，正确；
（2）三角形按边分类可以分为不等边三角形和等腰三角形，错误；
（3）三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，正确．
综上所述，正确的结论2个．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形．注意：等边三角形一定是等腰三角形，但是等腰三角形不一定是等边三角形．
10．（4分）图中△ABC的外角是（ ）
A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4
【分析】三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
【解答】解：△ABC的外角是∠3，
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形外角，解题时注意：三角形的一边与另一边的延长线组成的角．
二、填空题（ 本大题共5小题，共20分）
11．（4分）如图，已知点O是△ABC的重心，那么S△BOC：S△ABC= 1：3 ．
【分析】延长BO交AC于D，根据重心的性质得到AD=DC，BO=2OD，根据三角形的面积公式计算．
【解答】解：延长BO交AC于D，
∵点O是△ABC的重心，
∴AD=DC，BO=2OD，
∴S△ADB=S△BDC=S△ABC，S△BOC=2S△ODC，
∴S△BOC=S△BDC，
∴S△BOC：S△ABC=1：3，
故答案为：1：3．
【点评】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，三角形的面积计算，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．
12．（4分）如图，点G为△ABC的重心，若S△BGD=2cm2，则S△ABC= 12 cm2．
【分析】由点G为△ABC的重心，推出AG=2DG，可得S△ABG=2S△BDG=4cm2，推出S△ABD=6cm2，由BD=DC，推出S△ABC=2S△ABD即可解决问题；
【解答】解：∵点G为△ABC的重心，
∴AG=2DG，
∴S△ABG=2S△BDG=4cm2，
∴S△ABD=6cm2，
∵BD=DC，
∴S△ABC=2S△ABD=12cm2．
故答案为12．
【点评】本题考查三角形的重心，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
13．（4分）如图，某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，又继续航行8海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°，则此时△ABP的面积为 16 平方海里．
【分析】先过P作AB的垂线PD，在直角△BPD中可以求得∠PAD的度数是30°，即可证明△APB是等腰三角形，即可求解．
【解答】解：过P作PD⊥AB于点D，
∵∠PBD=90°﹣60°=30°
且∠PBD=∠PAB+∠APB，∠PAB=90﹣75=15°
∴∠PAB=∠APB，
∴BP=AB=8（海里），
∴PD=BP=4（海里），
∴△ABP的面积为8×4÷2=16平方海里．
故答案为：16．
【点评】此题考查的是三角形的面积、解直角三角形的应用，解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．正确证明△APB是等腰三角形是解决本题的关键．
14．（4分）如图△ABC中，AD是BC上的中线，BE是△ABD中AD边上的中线，若△ABC的面积是40，则△ABE的面积是 10 ．
【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，求出面积比，即可解答．
【解答】解：∵AD是BC上的中线，
∴S△ABD=S△ACD=S△ABC，
∵BE是△ABD中AD边上的中线，
∴S△ABE=S△BED=S△ABD，
∴S△ABE=S△ABC，
∵△ABC的面积是40，
∴S△ABE=×40=10．
故答案为：10．
【点评】本题主要考查了三角形面积的求法，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，是解答本题的关键．
15．（4分）如图，在△AEC中，点D和点F分别是AC和AE上的两点，连接DF，交CE的延长线于点B，若∠A=25°，∠B=45°，∠C=36°，则∠DFE= 106° ．
【分析】根据三角形的外角的性质求出∠FEB的度数，再根据三角形外角的性质计算即可．
【解答】解：∵∠FEB是△AEC的一个外角，
∴∠FEB=∠A+∠C=61°，
∵∠DFE是△BFE的一个外角，
∴∠DFE=∠B+∠FEB=106°，
故答案为106°．
【点评】本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
三、解答题（ 本大题共5小题，共40分）
16．（8分）如图，已知AD、AE分别是Rt△ABC的高和中线，∠BAC=90°，AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm．
求证：（1）AD的长；
（2）△ACE的面积；
（3）△ACE和△ABE的周长的差．
【分析】（1）利用“面积法”来求线段AD的长度；
（2）△AEC与△ABE的等底同高的两个三角形，它们的面积相等．
（3）由于AE是中线，那么BE=CE，于是△ACE的周长﹣△ABE的周长=AC+AE+CE﹣（AB+BE+AE），化简可得△ACE的周长﹣△ABE的周长=AC﹣AB，易求其值．
【解答】解：∵∠BAC=90°，AD是边BC上的高，
∴AB AC=BC AD，
∴AD===4.8（cm），
即AD的长度为4.8cm；
（2）如图，∵△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，AB=6cm，AC=8cm，
∴S△ABC=AB AC=×6×8=24（cm2）．
又∵AE是边BC的中线，
∴BE=EC，
∴BE AD=EC AD，即S△ABE=S△AEC，
∴S△AEC=S△ABC=12（cm2）．
∴△AEC的面积是12cm2．
（3）∵AE为BC边上的中线，
∴BE=CE，
∴△ACE的周长﹣△ABE的周长=AC+AE+CE﹣（AB+BE+AE）=AC﹣AB=8﹣6=2（cm），
即△ACE和△ABE的周长的差是2cm．
【点评】本题考查了三角形的面积．
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=×底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
17．（8分）如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．
（1）∠ABE=15°，∠BAD=40°，求∠BED的度数；
（2）若△ABC的面积为40，求△BDE的面积．
【分析】（1）利用三角形的外角的性质即可解决问题；
（2）根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形即可解决问题；
【解答】解：（1）∵∠BED=∠EBA+∠BAE，）∠ABE=15°，∠BAD=40°，
∴∠BED=55°．
（2）∵S△ABC=40，BD=CD，
∴S△ABD=S△ABC=20，
∵AE=ED，
∴S△BDE=S△ABD=10．
【点评】本题考查三角形的面积，三角形的中线的性质，三角形的外角等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
18．（8分）如图，在△ABC中，∠A=56°，∠ABD=30°，∠ACB=70°，且CE平分∠ACB，求∠DEC的度数．
【分析】在△BCE中，根据∠DEC=∠CBD+∠BCE，只要求出∠CBD，∠BCE即可；
【解答】解：在△ABC中，
∵∠A=56°，∠ACB=70°，
∴∠ABC=54°，
∵∠ABD=30°，
∴∠CBD=∠ABC﹣∠ABD=24°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE=∠ACB=35°，
∴在△BCE中，∠DEC=∠CBD+∠BCE=59°．
【点评】本题考查三角形的外角的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
19．（8分）如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．
（1）求证：∠A+∠C=∠B+D；
（2）如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，且与CD、AB分别相交于点M、N．
①以线段AC为边的“8字型”有 3 个，以点O为交点的“8字型”有 4 个；
②若∠B=100°，∠C=120°，求∠P的度数；
③若角平分线中角的关系改为“∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB”，试探究∠P与∠B、∠C之间存在的数量关系，并证明理由．
【分析】（1）根据三角形的内角和即可得到结论；
（2）①以线段AC为边的“8字型”有3个，以点O为交点的“8字型”有4个；
②根据角平分线的定义得到∠CAP=∠BAP，∠BDP=∠CDP，再根据三角形内角和定理得到∠CAP+∠C=∠CDP+∠P，∠BAP+∠P=∠BDP+∠B，两等式相减得到∠C﹣∠P=∠P﹣∠B，即∠P=（∠C+∠B），然后把∠C=120°，∠B=100°代入计算即可；
③与②的证明方法一样得到3∠P=∠B+2∠C．
【解答】（1）证明：在图1中，有∠A+∠C=180°﹣∠AOC，∠B+∠D=180°﹣∠BOD，
∵∠AOC=∠BOD，
∴∠A+∠C=∠B+∠D；
（2）解：①3；4；
故答案为：3，4；
②以M为交点“8字型”中，有∠P+∠CDP=∠C+∠CAP，
以N为交点“8字型”中，有∠P+∠BAP=∠B+∠BDP
∴2∠P+∠BAP+∠CDP=∠B+∠C+∠CAP+∠BDP，
∵AP、DP分别平分∠CAB和∠BDC，
∴∠BAP=∠CAP，∠CDP=∠BDP，
∴2∠P=∠B+∠C，
∵∠B=100°，∠C=120°，
∴∠P=（∠B+∠C）=（100°+120°）=110°；
③3∠P=∠B+2∠C，其理由是：
∵∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB，
∴∠BAP=∠CAB，∠BDP=∠CDB，
以M为交点“8字型”中，有∠P+∠CDP=∠C+∠CAP，
以N为交点“8字型”中，有∠P+∠BAP=∠B+∠BDP
∴∠C﹣∠P=∠CDP﹣∠CAP=（∠CDB﹣∠CAB），
∠P﹣∠B=∠BDP﹣∠BAP=（∠CDB﹣∠CAB）．
∴2（∠C﹣∠P）=∠P﹣∠B，
∴3∠P=∠B+2∠C．
【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．也考查了角平分线的定义．
20．（8分）如图，在△ABC中，D是BC上一点，∠1=∠2+5°，∠3=∠4，∠BAC=85°，求∠2的度数．
【分析】设∠2=x°，则∠1=（x+5）°，∠3=∠4=（2x+5）°，在△ABC中，根据三角形内角和定理得出方程，求出方程的解即可．
【解答】解：设∠2=x°，则∠1=∠2+5°=（x+5）°，
∠3=∠4=∠1+∠2=x°+（x+5）°=（2x+5）°，
∵，在△ABC中，∠BAC=85°，
∴∠2+∠4=180°﹣∠BAC，
即x+2x+5=180﹣85，
解得：x=30，
即∠2=30°
【点评】本题考查了三角形的内角和定理和三角形的外角性质，能得出关于x的方程是解此题的关键．第1页（共3页）
同课章节目录