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2021-2022学年度高三阶段性监测
数学
本试卷共4页,共150分,考试时间120分钟
、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的
已知集合A={刘1x<2,B={x()21,则AnB=
A.[0,2)
B.[-1,0]
C.[-1,0)
D.(-∞,2)
2.已知命题p:丑x∈R,x2+2x+3=0,则命题p的否定是
彐x∈R
+2x+3>0
B.Wx∈R,x2+2x+3≤0
C.Vx∈R,x2+2x+3≠0
D.Vx∈R
+2x+3=0
+1In xI
3.函数f(x)=
的图像大致为
A
B
C
4.甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛,决出第1名到第5名的名次.甲和乙去
询问成绩,回答者对甲说:“很遗憾,你和乙都没有得到冠军”,对乙说:“你不会是最差的”
从这两个回答分析,这5人的名次排列所有可能的情况共有
A.18种
B.36种
C.54种
D.72种
5.已知某圆锥轴截面的顶角为120,过圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为2,
则该圆锥的底面半径为
乃3
B. 13
C.23
D.233
6.下图是2020年2月15日至3月2日某市新冠肺炎新增确诊病例的折线统计图.则下列说法
不正确的是
高三数学第1页(共6页)
2020年2月15日—3月2日某市新冠肺炎新增确诊病例
2000
1800
1690
(1,1
l660
1600
1400
15481600
1200
1000
800
565
600
改6l5
54l
464
370383
400
420
193
200
319314
348
313
0
2月15日16日17日18日1日2日21日22日23日24日25日36日27日日(日31211
A.2020年2月19日该市新增新冠肺炎确诊病例大幅下降至三位数
B.该市新冠肺炎疫情防控取得了阶段性的成果,但防控要求不能降低
C.2020年2月19日至3月2日该市新增新冠肺炎确诊病例低于400人的有8天
D.2020年2月15日到3月2日该市新冠肺炎新增确诊病例一直呈下降趋势
7.在四棱锥P一ABCD中,底面是边长为4的正方形,且PA=2,PB=PD=2√5,则四棱
锥外接球的表面积为
A.4丌
B.8丌
C.36丌
D.144兀
8.已知函数f(x)满足:对任意的x∈R,f(x)+/(S-x)=-1,若函数y=/(x)与
1-x
图像的交点为(x,y)=1,2,…,m),则∑(x+y)的值为
2x-5
A.0
B. n
C. 2n
D. 3n
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的四个选项中,有多项
符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9已知二项展开式(a+b)=Ca"+Cab+…+Cab4+…+Cb",n∈N',则下列说
法正确的是
A.二项展开式中,与首末两端“等距离”的两个二项式系数一定相等
n+1
B.二项展开式中,当k<
时,C随k的增加而减小;当k>+1
时,C随k的增加而
2
2
增加
C.二项展开式中,奇数项的二项式系数的和一定等于偶数项的二项式系数的和
D二项式展开式中,第k项的通项公式T=Cnab,k=1,2,3,…,〃
10.函数y=ln(x+4)-1的图象恒过定点A,若点A在直线l:mx+my+1=0上,其中
n>0,则
高三数学第2页(共6页高三数学试题参考答案
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。
1-4： BCBC 5-8：ADCC
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
9.AC 10. ABD 11. BCD 12. BC
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
26 2
13. a b（写出一个满足要求的不等式即可） 14.
3
5
15. 16. 64 ； 7 (第一空 2 分，第二空 3 分)
9
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.解：（1）设年龄在[50，60）的人数为 x，则最后三组人数之和为 3x，
所以四组总人数为 4x=800，得 x=200，
所以，年龄在[50，60）的人数为 200人. ·······4分
（2）频率分布直方图中，年龄在[30，40）的群体有 200人，[40，50）的群体有 300人，
[50，60）的群体有 200人，[60，70）的群体有 100人； ·······5分
由题意，年龄在[30，40）和[40，50）的支持人数为 6+9=15，[50，60）和[60，70）的
人数为 12+13=25．
填表如下
年龄分布是否支持 [30，40）和[40，50） [50，60）和[60，70） 合计
支持 15 25 40
不支持 485 275 760
合计 500 300 800
······7分
高二数学第 1 页 （共 6 页）
2 800 15 275 25 485K 所以 ≈11.228＞10.828，
40 760 300 500
∴能在犯错误的概率不超过 0.001的前提下认为年龄与支持率有关． ·······10分
18.解： （1）证明：在CC1 上取点M 使得CM 2MC1 ,连DM ,MF ,…………1分
因为D1E 2ED,DD1 //CC1,DD1=CC1 ,所以 ED MC1,ED //MC1,
所以四边形DMC1E为平行四边形， DM //EC1 . …………2分
因为MF //DA,MF=DA,所以M、F、A、D四点共面，
所以四边形MFAD为平行四边形， DM //AF , EC1//AF ， ……………4分
所以 E,C1,F , A四点共面. ………………6分
（2） , · ………………7分
理由如下：连结 B,D交 A,C于点 O,
在长方体 ABCD A1B1C1D1中 BB1 平面 ABCD，所以 AC BB1，由题意知底面
ABCD为正方形，所以 AC BD，因为 BB1 I BD B,BB1、BD 平面 BB1D1D ,因
此 AC 平面BB1D1D , ····· ···10分 O
连接OE,OF ,则 AEO, AFO ,在Rt AEO和 Rt AFO中，
AO 2 , AE 2, AF 5
2 ,
则 sin 1 10 sin 所以， . ·· ····· ···12分
2 10
（法二建系也可）
19.解：（1）由题意知，设 A,B 两点的横坐标为 x1, x2 ，且O, A,B三点在同一条直线
上. ………………2分
高二数学第 2 页 （共 6 页）
x1 yA log8x1 log x log 8 log x y则 2 1 2 2 1 C , ………………5分
x2 yB log8x2 log28 log2x2 log2x2 yD
所以，O,C,D三点在同一条直线上. ………………6分
(2)当 BC // x轴时， log2x1 log8 x2 ，即 x
3
2 x1 ，………………8分
x1 log x log x由（1）知 8 1 8 1 1 x 3，即 2 3x1，所以 x1 3x1，…10分x2 log8x2 3log8x1 3
因为 x1 0，所以解得： x1 3, yA log8 3,
即 A点的坐标为 ( 3, log8 3) . ………………12分
20.解： (1) 表中 20人的体温数据中，用智能体温计与水银体温计测温结果相同的序号
是 01，04，06，07，09，12，13，14，16，18，19，20，共有 12种情况.… 1分
12 3
由此估计所求概率为 . ……………3分
20 5
（2）随机变量 X 的所有可能取值为 X 0,1, 2,3 .………… 4分
3
由(1)可知，用智能体温计测量该社区 1人“测温准确”的概率为 .
5
0 3
3 3 8
所以 P(X 0) C 0 3 1 ；……… 5分
5 5 125
1 2
1 3 3 36P(X 1) C3 1 ；………6分
5 5 125
2 1
C 2 3 3 54P(X 2) 3 1
；………7分
5 5 125
3 0
3 3 3 27P(X 3) C 3 1 ；……… 8分
5 5 125
所以 X 的分布列为
X 0 1 2 3
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8 36 54 27
P
125 125 125 125
…… 10分
8 36 54 27 225 9
故 X 的数学期望 E（X） 0 1 2 3 .……… 12分
125 125 125 125 125 5
21.解：（1）证明：取 PD的中点 N，连接 AN,MN………1分
MN / /CD,MN 1则 CD，又 AB / /CD, AB 1 CD，
2 2
所以MN / /AB,MN AB，则四边形 ABMN 为平行四边形，
所以 AN / /BM ， ………………2分
因为 BM 平面PAD ,所以 BM//平面 PAD.………3分
（2）由（1）知 AN / /BM ，又 BM 平面 PCD，∴ AN 平面 PCD，
∴ AN PD, AN CD . ……………4分
由 ED EA即PD PA及 N为 PD的中点，可得 PAD
为等边三角形，
∴ PDA 600， …………………5分
又 EDC 1500，∴ CDA 900即CD AD，………6
分
又 AD AN A , ∴CD 平面 PAD. …………7分
（3） AB / /CD，∴ PCD为直线PC与 AB所成的角，
PD 1
由（2）可得 PDC 900，∴ tan PCD ，∴CD 2PD，
CD 2
设 PD 1，则CD 2, PA AD AB 1， …………………………8分
取 AD的中点O，连接 PO，易知PO 平面 ABCD过O作 AB的平行线，
可建立如图所示的空间直角坐标系O xyz，
则D( 1 ,0,0),B(1 ,1,0),P(0,0, 3) ，
2 2 2
………………9分
所以DB 1,1,0 ,PB 1 ,1,
3 3 3
2 2
,BM ,0,
4 4
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x y 0n·DB 0
设 n
x, y, z 为平面PBD的法向量，则{ ，即 1 ，n·PB 0 x y
3
z 0
2 2
取 x 3，则 n1 3, 3, 3 为平面 PBD的一个法向量，……………10分
又平面 BCD的法向量 n2 (0,0,1)， 则 cos n
n ·n 3 7
1,n2 1
2 ，
n 71 n2 21
由图易知 二面角 P BD C的平面角为钝角，
所以二面角 P BD C 7余弦值为 . ………………………12分
7
22.(12分）解：(1)由题意得， f (x)的定义域为 (0, ) ,
f (x) 1 k , f (1) 1 k
x
切线 l与直线 y 1平行， f (1) 1 k 0，故 k 1 . ………3分
f (x) 1 x ,
x
由 f (x) 0得0 x 1，此时 f (x)在 (0,1)上单调递增；由 f (x) 0 ,得 x 1， f (x)
在 (1, )上单调递减；
所以， f (x)在 (0,1)上单调递增, f (x)在 (1, )上单调递减. ………6分
(2) f (x) ln x x 1, g(x) x ln x x x ln x x (x 1) 0
x x ln x x 1, (x 1)在 (1, )上恒成立, ………7 分
x 1
(x) x ln x x (x 1) (x) x ln x 2令 ,则 ，
x 1 (x 1)2
令 h(x) x ln x 2(x 1)， h (x) 1 1 0，
x
h(x)在 (1, )上单调递增.且 h(3) 1 ln 3 0， h(4) 2 2ln 2 0，
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所以方程 h(x) 0在 1, 上存在唯一的实数根 x0，且 x0 3,4 ，
则 h(x0 ) x0 ln x0 2 0，所以 ln x0 x0 2， ① ………9 分
当1 x x0 时， h(x) 0，即m (x) 0；
当 x x0时， h(x) 0，即m (x) 0，
(x) x ln x x所以函数 在 1, x0 上单调递减，在 x0 , 上单调递增．x 1
所以 (x) (x ) x 0 ln x0 x0min 0 ，x0 1
x ln x x
把①代入得， (x 0 0 00 ) x0 ， x 3,4 ， ………11 分x0 1
所以 (x)min x0 3,4 ，
故整数 的最大值是3． ………12 分
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