第一章 空间向量与立体几何单元测试-2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019））选择性必修第一册（Word含答案解析）
文档属性
| 名称 | 第一章 空间向量与立体几何单元测试-2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019））选择性必修第一册（Word含答案解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 983.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-10-10 11:18:39 | ||
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文档简介
第一章 空间向量与立体几何
一、单选题
1．如图在四面体中，，分别在棱，上且满足，，点是线段的中点，用向量，，表示向量应为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知空间三点，，在一条直线上，则实数的值是（ ）
A．2 B．4 C．-4 D．-2
3．长方体中，为棱的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知平面内有一点，平面的一个法向量为，则下列点P中，在平面内的是（ ）
A． B．
C． D．
5．我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”（chumeng）是底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体.如下图五面体是一个刍甍，其中四边形为矩形，其中，，与都是等边三角形，且二面角与相等，则长度的取值范围为（ ）
A．（2,14） B．（2,8） C．（0,12） D．（2,12）
6．在正方体中，在正方形中有一动点P，满足，则直线与平面所成角中最大角的正切值为（ ）
A．1 B． C． D．
7．已知在四面体中，点是棱上的点，且，点是棱的中点，若其中为实数，则的值是（ ）
A． B． C．－2 D．2
8．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是上底棱的中点，AB1与平面B1D1EF所成的角的大小是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
二、多选题
9．已知为直线的方向向量分别为平面的法向量(不重合)，那么下列说法中，正确的有（ ）
A． B．
C． D．
10．已知，,且与夹角为，则的取值可以是（ ）
A．17 B．-17 C．-1 D．1
11．如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则（ ）
A．直线BM，EN是相交直线
B．直线EN与直线AB所成角等于90°
C．直线EC与直线AB所成角等于直线EC与直线AD所成角
D．直线BM与平面ABCD所成角小于直线EN平面ABCD所成角
12．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形，，，底面ABCD，且，M、N分别为PC、PB的中点.则（ ）
A． B． C．平面ANMD D．BD与平面ANMD所在的角为30°
三、填空题
13．已知，1，，，0，，则__．
14．已知向量若，则实数x的值是___．
15．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝1，E为BC的中点，则点A到平面A1DE的距离是______．
16．如图：二面角α﹣l﹣β等于120°，A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，AB＝AC＝BD＝1，则CD的长等于__．
四、解答题
17．如图，在长方体中，，，为的中点. 平面与棱交于点.
（1）证明：平面；
（2）点为棱上一点，且，求直线与平面所成角的大小.
18．如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，BC＝3，AD＝DC＝1．把△ACD沿着AC翻折至△ACD1的位置，D1 平面ABC，连结BD1，如图2．
（1）当BD1＝2时，证明：平面ACD1⊥平面ABD1；
（2）当三棱锥D1﹣ABC的体积最大时，求点B到平面ACD1的距离，
19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝2AB＝2，，D为AA1的中点，点C在平面ABB1A1内的射影在线段BD上．
（1）求证：B1D⊥平面CBD；
（2）若△CBD是正三角形，求二面角C1﹣BD﹣C的余弦值．
20．如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，点E是PC的中点．
（1）求证：平面；
（2）若，求二面角的余弦值．
21．已知三棱锥中，，，为中点，点在棱上，且.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值.
22．如图,在四棱锥中,侧面底面,底面为梯形，
(1)证明:;
(2) 若为正三角形,求二面角的余弦值.
参考答案
1．A
【解析】解：∵在四面体中，分别在棱、上，且满足，
，点是线段的中点，
∴.
故选：A.
2．C
【解析】解：因为空间三点，，在一条直线上，
所以 ,
故.
所以 .
故选：C.
3．A
【解析】根据题意，建立如图所示直角坐标系：
则：
设平面的法向量为
则可得：
取
则 =
设直线与平面的夹角为
则，.
故选：A.
4．A
【解析】解：设平面内一点，则：
，
是平面的法向量，
，，
由得
把各选项的坐标数据代入上式验证可知适合．
故选：．
5．A
【解析】由于与都是等边三角形，且边长为，故高为.当和趋向于时，，如下图所示.
当和趋向于时，，如下图所示.
所以的取值范围是.
故选：A
6．D
【解析】正方体中,正方形内的点P满足
可知是平面内,以为直径的半圆上一点,设圆心为E,如下图所示:
当直线与平面所成最大角时,点位于圆心E与C点连线上
此时取得最小值.
则即为直线与平面所成的角
设正方体的边长为2,则,
所以
故选:D
7．B
【解析】
故
故选：
8．B
【解析】以D1为坐标原点，D1A1，D1C1，D1D为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，
所以,
设平面D1B1E的法向量为，则，可取，
又，
设AB1与平面B1D1EF所成的角为，则，
故AB1与平面B1D1EF所成的角为．
故选：B．
9．AB
【解析】∵平面不重合，
∴平面的法向量平行(垂直)等价于平面平行(垂直)，∴AB正确;
直线的方向向量平行(垂直)于平面的法向量等价于直线垂直(平行)于平面，∴CD都错误.
故选AB.
10．AC
【解析】解:因为,
且，,与夹角为.
所以,
解得或.
故选:AC
11．ABD
【解析】解：∵点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，
∴BM 平面BDE，EN 平面BDE，
∵BM是△BDE中DE边上的中线，EN是△BDE中BD边上的中线，
∴直线BM，EN是相交直线，故A正确；
取CD中点G，连接NG，可知NG⊥CD，则EN⊥CD，
又AB∥CD，∴EN⊥AB，即直线EN与直线AB所成角等于90°，故B正确；
由题意，∠ECD＝60°为直线EC与直线AB所成角，由AD⊥平面ECD，可知直线EC与直线AD所成角为90°，
故C错误；
过M作MH⊥CD于H，连接BH，则∠MBH为直线BM与平面ABCD所成角，∠ENG为直EN平面ABCD所成角．
由图可知，直线BM与平面ABCD所成角小于直线EN平面ABCD所成角，故D正确．
故选：ABD．
12．CD
【解析】对A，若，又，则面，与底面ABCD矛盾，故A错误；
对B，若，则平面，则，在题中给出的直角梯形中，显然不可能，故B错误；
对C，，，所以平面ANMD ，故C正确；
对D，连接DN，因为平面ADMN，所以是BD与平面ADMN所成的角在中，，所以BD与平面ADMN所成的角为，故D正确；
故选：CD.
13．
【解析】，，
，
．
故答案为：．
14．﹣4或1．
【解析】解：因为向量，，，所以3（x﹣4）+2（x2+2）+3x＝0，整理得到x2+3x﹣4＝0，解得x＝﹣4或1．
故答案为：﹣4或1．
15．
【解析】在长方体在 ，
， ， ，
，
，
，
设点到平面的距离为，
，
解得： ，
故答案为：
16．2
【解析】∵A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，
，
因为，所以，
因为，
所以
故答案为：2
17．（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）由长方体的性质知：面面，
∵，且、面，
∴面，
∴平面.
（2）构建以D为原点，为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，则，，，，
∵平面与棱交于点，易知，而为的中点，
∴为中点，则，
∴，，，
若为面的一个法向量，则，令，即，
∴，又，则，
∴直线与平面所成角为.
18．（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）证明：在图1中，，则图2中，，
在△中，，，，可得，
又，平面，
平面，平面平面；
（2）解：当三棱锥的体积最大时，平面平面，
过作，则平面，并求得．
，．
设点到平面的距离为，
由，得，即．
故点到平面的距离为．
19．（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）证明：设点C在平面ABB1A1内的射影E，则E∈BD，CE 平面CBD，CE⊥平面ABB1A1，
因为B1D 平面ABB1A1，所以CE⊥B1D．
在△ABD中，AB＝AD＝1，，则，
在△A1B1D中，A1B1＝A1D＝1，，则，
故，故BD⊥B1D，
因CE∩BD＝E，故B1D⊥平面CBD．
（2）以D为坐标原点，，所在的直线分别为x，y轴正半轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则D(0，0，0)，B(0，1，0)，B1()，
由△CBD是正三角形可知C()，∴C1()
∴，，，
∴平面CBD的一个法向量，
设面C1BD的法向量，
则，令，
得
∴，
由图可知二面角C1﹣BD﹣C的平面角为锐角，
∴二面角C1﹣BD﹣C的余弦值为．
20．（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）证明：连接AC，与BD相交于F，连接EF．
∵底面ABCD是正方形，∴F为AC中点，
又E是PC的中点，∴，
∵平面，平面，
∴平面．
（2）∵PD⊥底面ABCD，平面，∴，
又∵底面ABCD是正方形，∴两两垂直.
以D为原点，分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
∵，∴，，，
取平面的一个法向量，设平面的一个法向量为，
，，
可得，令，得，即，
∴.
∴二面角的余弦值为.
21．（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）证明：连接，，
在三角形中：，，则，，.
在中：，为的中点，则，且.
在中：，，，满足：
根据勾股定理逆定理得到，
故平面；
（2）因为，，两两垂直，建立空间直角坐标系如图所示.
因为，
则，，，，由所以，
设平面的法向量为，则
令，得.
因为平面，所以为平面的法向量，所以与所成角的余弦为.
所以二面角的余弦值为.
22．（1）证明见解析 （2）
【解析】（1）证明：因为，又底面为直角梯形
面底面
因为面底面,平面ABCD,
所以BD⊥平面
所以.
（2）如图所示，建立空间直角坐标系，
设平面的法向量为
所以，令
设平面的法向量为
令
设二面角的平面角为 .由图观察为钝角
一、单选题
1．如图在四面体中，，分别在棱，上且满足，，点是线段的中点，用向量，，表示向量应为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知空间三点，，在一条直线上，则实数的值是（ ）
A．2 B．4 C．-4 D．-2
3．长方体中，为棱的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知平面内有一点，平面的一个法向量为，则下列点P中，在平面内的是（ ）
A． B．
C． D．
5．我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”（chumeng）是底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体.如下图五面体是一个刍甍，其中四边形为矩形，其中，，与都是等边三角形，且二面角与相等，则长度的取值范围为（ ）
A．（2,14） B．（2,8） C．（0,12） D．（2,12）
6．在正方体中，在正方形中有一动点P，满足，则直线与平面所成角中最大角的正切值为（ ）
A．1 B． C． D．
7．已知在四面体中，点是棱上的点，且，点是棱的中点，若其中为实数，则的值是（ ）
A． B． C．－2 D．2
8．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是上底棱的中点，AB1与平面B1D1EF所成的角的大小是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
二、多选题
9．已知为直线的方向向量分别为平面的法向量(不重合)，那么下列说法中，正确的有（ ）
A． B．
C． D．
10．已知，,且与夹角为，则的取值可以是（ ）
A．17 B．-17 C．-1 D．1
11．如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则（ ）
A．直线BM，EN是相交直线
B．直线EN与直线AB所成角等于90°
C．直线EC与直线AB所成角等于直线EC与直线AD所成角
D．直线BM与平面ABCD所成角小于直线EN平面ABCD所成角
12．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形，，，底面ABCD，且，M、N分别为PC、PB的中点.则（ ）
A． B． C．平面ANMD D．BD与平面ANMD所在的角为30°
三、填空题
13．已知，1，，，0，，则__．
14．已知向量若，则实数x的值是___．
15．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝1，E为BC的中点，则点A到平面A1DE的距离是______．
16．如图：二面角α﹣l﹣β等于120°，A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，AB＝AC＝BD＝1，则CD的长等于__．
四、解答题
17．如图，在长方体中，，，为的中点. 平面与棱交于点.
（1）证明：平面；
（2）点为棱上一点，且，求直线与平面所成角的大小.
18．如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，BC＝3，AD＝DC＝1．把△ACD沿着AC翻折至△ACD1的位置，D1 平面ABC，连结BD1，如图2．
（1）当BD1＝2时，证明：平面ACD1⊥平面ABD1；
（2）当三棱锥D1﹣ABC的体积最大时，求点B到平面ACD1的距离，
19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝2AB＝2，，D为AA1的中点，点C在平面ABB1A1内的射影在线段BD上．
（1）求证：B1D⊥平面CBD；
（2）若△CBD是正三角形，求二面角C1﹣BD﹣C的余弦值．
20．如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，点E是PC的中点．
（1）求证：平面；
（2）若，求二面角的余弦值．
21．已知三棱锥中，，，为中点，点在棱上，且.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值.
22．如图,在四棱锥中,侧面底面,底面为梯形，
(1)证明:;
(2) 若为正三角形,求二面角的余弦值.
参考答案
1．A
【解析】解：∵在四面体中，分别在棱、上，且满足，
，点是线段的中点，
∴.
故选：A.
2．C
【解析】解：因为空间三点，，在一条直线上，
所以 ,
故.
所以 .
故选：C.
3．A
【解析】根据题意，建立如图所示直角坐标系：
则：
设平面的法向量为
则可得：
取
则 =
设直线与平面的夹角为
则，.
故选：A.
4．A
【解析】解：设平面内一点，则：
，
是平面的法向量，
，，
由得
把各选项的坐标数据代入上式验证可知适合．
故选：．
5．A
【解析】由于与都是等边三角形，且边长为，故高为.当和趋向于时，，如下图所示.
当和趋向于时，，如下图所示.
所以的取值范围是.
故选：A
6．D
【解析】正方体中,正方形内的点P满足
可知是平面内,以为直径的半圆上一点,设圆心为E,如下图所示:
当直线与平面所成最大角时,点位于圆心E与C点连线上
此时取得最小值.
则即为直线与平面所成的角
设正方体的边长为2,则,
所以
故选:D
7．B
【解析】
故
故选：
8．B
【解析】以D1为坐标原点，D1A1，D1C1，D1D为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，
所以,
设平面D1B1E的法向量为，则，可取，
又，
设AB1与平面B1D1EF所成的角为，则，
故AB1与平面B1D1EF所成的角为．
故选：B．
9．AB
【解析】∵平面不重合，
∴平面的法向量平行(垂直)等价于平面平行(垂直)，∴AB正确;
直线的方向向量平行(垂直)于平面的法向量等价于直线垂直(平行)于平面，∴CD都错误.
故选AB.
10．AC
【解析】解:因为,
且，,与夹角为.
所以,
解得或.
故选:AC
11．ABD
【解析】解：∵点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，
∴BM 平面BDE，EN 平面BDE，
∵BM是△BDE中DE边上的中线，EN是△BDE中BD边上的中线，
∴直线BM，EN是相交直线，故A正确；
取CD中点G，连接NG，可知NG⊥CD，则EN⊥CD，
又AB∥CD，∴EN⊥AB，即直线EN与直线AB所成角等于90°，故B正确；
由题意，∠ECD＝60°为直线EC与直线AB所成角，由AD⊥平面ECD，可知直线EC与直线AD所成角为90°，
故C错误；
过M作MH⊥CD于H，连接BH，则∠MBH为直线BM与平面ABCD所成角，∠ENG为直EN平面ABCD所成角．
由图可知，直线BM与平面ABCD所成角小于直线EN平面ABCD所成角，故D正确．
故选：ABD．
12．CD
【解析】对A，若，又，则面，与底面ABCD矛盾，故A错误；
对B，若，则平面，则，在题中给出的直角梯形中，显然不可能，故B错误；
对C，，，所以平面ANMD ，故C正确；
对D，连接DN，因为平面ADMN，所以是BD与平面ADMN所成的角在中，，所以BD与平面ADMN所成的角为，故D正确；
故选：CD.
13．
【解析】，，
，
．
故答案为：．
14．﹣4或1．
【解析】解：因为向量，，，所以3（x﹣4）+2（x2+2）+3x＝0，整理得到x2+3x﹣4＝0，解得x＝﹣4或1．
故答案为：﹣4或1．
15．
【解析】在长方体在 ，
， ， ，
，
，
，
设点到平面的距离为，
，
解得： ，
故答案为：
16．2
【解析】∵A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，
，
因为，所以，
因为，
所以
故答案为：2
17．（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）由长方体的性质知：面面，
∵，且、面，
∴面，
∴平面.
（2）构建以D为原点，为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，则，，，，
∵平面与棱交于点，易知，而为的中点，
∴为中点，则，
∴，，，
若为面的一个法向量，则，令，即，
∴，又，则，
∴直线与平面所成角为.
18．（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）证明：在图1中，，则图2中，，
在△中，，，，可得，
又，平面，
平面，平面平面；
（2）解：当三棱锥的体积最大时，平面平面，
过作，则平面，并求得．
，．
设点到平面的距离为，
由，得，即．
故点到平面的距离为．
19．（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）证明：设点C在平面ABB1A1内的射影E，则E∈BD，CE 平面CBD，CE⊥平面ABB1A1，
因为B1D 平面ABB1A1，所以CE⊥B1D．
在△ABD中，AB＝AD＝1，，则，
在△A1B1D中，A1B1＝A1D＝1，，则，
故，故BD⊥B1D，
因CE∩BD＝E，故B1D⊥平面CBD．
（2）以D为坐标原点，，所在的直线分别为x，y轴正半轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则D(0，0，0)，B(0，1，0)，B1()，
由△CBD是正三角形可知C()，∴C1()
∴，，，
∴平面CBD的一个法向量，
设面C1BD的法向量，
则，令，
得
∴，
由图可知二面角C1﹣BD﹣C的平面角为锐角，
∴二面角C1﹣BD﹣C的余弦值为．
20．（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）证明：连接AC，与BD相交于F，连接EF．
∵底面ABCD是正方形，∴F为AC中点，
又E是PC的中点，∴，
∵平面，平面，
∴平面．
（2）∵PD⊥底面ABCD，平面，∴，
又∵底面ABCD是正方形，∴两两垂直.
以D为原点，分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
∵，∴，，，
取平面的一个法向量，设平面的一个法向量为，
，，
可得，令，得，即，
∴.
∴二面角的余弦值为.
21．（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）证明：连接，，
在三角形中：，，则，，.
在中：，为的中点，则，且.
在中：，，，满足：
根据勾股定理逆定理得到，
故平面；
（2）因为，，两两垂直，建立空间直角坐标系如图所示.
因为，
则，，，，由所以，
设平面的法向量为，则
令，得.
因为平面，所以为平面的法向量，所以与所成角的余弦为.
所以二面角的余弦值为.
22．（1）证明见解析 （2）
【解析】（1）证明：因为，又底面为直角梯形
面底面
因为面底面,平面ABCD,
所以BD⊥平面
所以.
（2）如图所示，建立空间直角坐标系，
设平面的法向量为
所以，令
设平面的法向量为
令
设二面角的平面角为 .由图观察为钝角