苏科版八年级数学上册 3.2 勾股定理的逆定理(共49张PPT)

(共49张PPT)
新课导入
提问
这个命题的题设和结论分别是什么？
如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c， 那么a2+b2=c2．
题设：直角三角形的两直角边长为a，b，斜边长为c .结论：a2+b2=c2．
命题1
如果将题设和结论反过来，这个命题还成立吗？
答案就藏在课本中，我们一起来看看吧！
思考
（第一课时）
学习目标
1.了解命题、逆命题等概念，并会写一个命题的逆命题。
2.会判断一个命题和逆命题的真假，知道定理与逆定理的关系。
3.通过探究得到勾股定理的逆定理，经历“实验测量——猜想——论证”的探究过程，体会“构造法”证明数学命题的基本思路。
4.学会运用勾股定理的逆定理判别一个三角形是不是直角三角形。
推进新课
知识点 1
互逆命题
　据说，古埃及人曾用如图所示的方法画直角.
这种方法对吗？
3
4
5
三边分别为3，4，5，
满足关系：32+42=52，
则该三角形是直角三角形．
探究
操作：用圆规、直尺画一个△ABC, 使它的三边长分别为：
（1）、6cm、8cm、10cm （男同学做）
（2）、5cm、12cm、13cm （女同学做）
1.测量：用你的量角器分别测量一下上述各三角形的最大角的度数。
2.判断:请判断一下上述你所画的三角形的形状.
3.思考：上述你所画三角形的三边有什么关系？
由前面几个例子，我们可以作出什么猜想？
如果三角形ABC的三边长a，b，c满足 a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形．
归纳
命题1 如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
命题2 如果三角形ABC的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
观察
这两个命题有什么不同？
题设
结论
结论
题设
我们把像这样，题设和结论正好相反的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.
小结
练习
说出下列命题的逆命题.这些逆命题成立吗？
（1）两条直线平行，内错角相等；
（2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；
（1）内错角相等，两直线平行； 成立
（2）如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等； 不成立
说出下列命题的逆命题.这些逆命题成立吗？
（3）全等三角形的对应角相等；
（4）在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上.
（3）对应角相等的两个三角形全等；不成立
（4）角平分线上的点到角两边的距离相等；成立
知识点 2
勾股定理的逆定理
命题2正确吗？如何证明呢？
思考
A'　
B'　
C' 　
？
三角形全等 　　
∠C是直角　　　
△ABC是直角三角形　　
A　
B　
C　
a
b
c
a
A　
B　
C　
a
b
c
A'　
B'　
C' 　
a
证明:作一个△A'B'C'，使∠ C'=90°，B'C'=a，C'A'=b.
∵ ∠ C'=90°，∴ A'B'2= a2+b2=c2，
∴ A'B' =c.
∴ △ ABC ≌△ A'B'C'（SSS）.
∴ ∠C=∠C'=90°.
BC=a=B'C'，CA=b=C'A'，AB=c=A'B'.
在△ABC和△A'B'C'中
小结
勾股定理的逆定理如果三角形ABC的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
作用：判定一个三角形三边满足什么条件时为直角三角形．　
符号语言：
在△ABC中，
∵ a2 + b2 = c2
∴ △ABC是直角三角形
勾股定理的逆定理
例1　判断由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形：
（1）a=15，b=8，c=17；
（2）a=13，b=14，c=15.
分析：只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方．
解：(1)
∵152+82 =225+64=289，
　172 =289，
∴152+82 =172.
∴这个三角形是直角三角形．
　　像15，17，8 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．
解：(2)
∵132+142 =169+196=365，
　 152 =225，
∴132+142 ≠152.
∴这个三角形不是直角三角形．
练习
1.如果三条线段长a,b,c满足a2=c2-b2，这三条线段组成的三角形是不是直角三角形？为什么？
解：这三条线段组成的三角形是直角三角形.
因为由 a2=c2-b2，所以有a2+b2=c2，由勾股定理的逆定理知这个三角形是直角三角形.
2.下列各组数能否作为一个直角三角形的三边长 为什么？
(1) 5，12，13
(2) 6，8，10
(3) 15，20，25
√
√
√
练习
如图，有一块地，已知，AD=4m，
CD=3m，∠ADC=90°，AB=13m，
BC=12m。求这块地的面积。
A
B
C
3
4
13
12
D
综合应用
（姐妹题：课本34页第5题）
课堂小结
勾股定理的逆定理
命题和逆命题
勾股定理的逆定理
勾股数
作业
课本34页第1.2.3.4题
知识点 3
用勾股定理的逆定理解决实际问题
例2　如图，某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16n mile，“海
天”号每小时航行12n mile.它们离开
港口一个半小时后分别位于点Q、R
处，且相距30n mile.如果知道“远航”
号沿东北方向航行，能知道“海天”
号沿哪个方向航行吗？
分析：
1.求“海天”号的航向就是求 的角度.
∠2
2.已知∠1的角度，则求出∠RPQ的
角度即可.
3.根据已知条件可求出三边，利用勾股定理的逆定理判断∠RPQ是否为直角.
解：根据题意，
PQ=16×1.5=24,
PR=12×1.5=18,QR=30.
因为242+182=302，
即PQ2+PR2=QR2，所以∠QPR=90°.
∠1=45°.因此∠2=45°，即“海天”号沿西北方向航行.
练习
A,B,C三地的两两距离如图所示，A地在B地的正东方向，C地在B地的什么方向？
解：∵AB2+BC2＝122+52
=144+25=169，
AC2=132=169，所以AB2+BC2=AC2，
∴△ABC为直角三角形，且∠B=90°，由于A地在B地的正东方向，所以C地在B地的正北方向.
2.写出下列命题的逆命题，并断定其逆命题的真假性.
(1)如果两个角是直角，那么它们相等.
(2)在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
(3)如果 ，那么a≥0.
解：(1)如果两个角相等，那么这两个角是直角.假
命题.
(2)在角的内部，角的平分线上的点到两边的距离相等.真命题.
(3)如果a≥0，那么 .真命题.
综合应用
解：由题意得：(a+b)(a-b)(a2+b2-c2)=0，∴a-b=0或a2+b2-c2=0.
5.已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足
，试判断△ABC的形状.
当a=b时，△ABC为等腰三角形;
当a≠b时，△ABC为直角三角形.
误 区 诊 断
在△ABC中，a:b:c=9:15:12，试判断△ABC是直角三角形.
错解：依题意，设 a=9k,b=15k,c=12k(k>0)，
∵ a2+b2=(9k)2+(15k)2=306k2,c2=(12k)2=144k2,
∴ a2+b2≠c2，△ABC不是直角三角形.
误 区
不能正确理解勾股定理的逆定理
错因分析：错在没有弄清楚哪条边是最长边的情况下就盲目地运用勾股定理的逆定理，从而导致错误.
正解：依题意知b是最长边，
设a=9k，b=15k，c=12k(k>0)，
∵ a2+c2=(9k)2+(12k)2=225k2,b2=(15k)2=225k2,
∴ a2+c2 = b2，△ABC是直角三角形.
一个零件的形状如图所示，工人师傅量得这个零件各边尺寸如下(单位：dm)：AB=3，AD=4，BC=12，CD=13.且∠DAB=90°.你能求出这个零件的面积吗？
解：如图，连接BD.在Rt△ABD中，
在△BCD中，
BD2+BC2=52+122=132=CD2.
∴△BCD为直角三角形，∠DBC=90°.
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。
课后作业
教学反思
本课时的教学目标是在掌握了勾股定理的基础上，让学生从三边的关系来判定一个三角形是否为直角三角形，即“勾股定理的逆定理.”让学生了解互逆命题，互逆定理的概念以及它们之间的联系与区别，能够理解勾股定理及其逆定理的区别与联系，掌握它
们的应用范围.让学生通过合作、交流、反思感悟的过程，激发学生探究新知的兴趣，感受探索，合作的乐趣，并从中获得成功的体验，真正体现学生是学习的主人.
习题17.2
复习巩固
（1）（2）（3）是；（4）不是.
1.判断由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形:
（1）a=7,b=24,c=25;（2）a= ,b=4,c=5;
（3）a= ,b=1,c= ;（4）a=40,b=50,c=60.
2.下列各命题都成立，写出它们的逆命题.这些逆命题成立吗？
（1）同旁内角互补，两直线平行；
（2）如果两个角是直角，那么它们相等；
（3）全等三角形的对应边相等；
（4）如果两个实数相等，那么它们的平方相等.
解：（1）这个命题的逆命题是“两直线平行，同旁内角互补”；成立.
（2）这个命题的逆命题是“如果两个角相等，那么它们都是直角”，不成立.
（3）这个命题的逆命题是“对应边相等的三角形全等”；成立.
（4）这个命题的逆命题是“如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等”；不成立.
3.小明向东走80 m后，沿另一方向又走了60 m，再沿第三个方向走100 m回到原地.小明向东走80m后是向哪个方向走的？
解:小明的行走路线恰好构成三角形.因为602+802=
3600+6400=10000=1002，所以这个三角形是直角三角形，
因为小明向东走80m，因此小明又向北或南走60m.
4.在△ABC中，AB=13，BC=10，BC边上的中线AD=12.求AC.
综合应用
因为BD2+AD2=52+122=25+144=169，AB2=132=169，
所以BD2+AD2=AB2，所以△ABD是直角三角形且∠ADB=90°.因此△ADC中，∠ADC=90°，由勾股定理得：AC2=AD2+CD2=52+122=132，所以AC=13.
解：在△ABD中，BD= BC=5，AD=12，AB=13，
5.如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，∠B=90°.求四边形ABCD的面积.
解：如图，连接BD.在Rt△ABD中，
在△BCD中，
BD2+BC2=52+122=132=CD2.
∴△BCD为直角三角形，∠DBC=90°.
6.如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，
且CF= CD.求证∠AEF=90°.
证明：设CF=x，则EC=BE=2x，DF=3x，AD=AB=4x.
由勾股定理得：EF2=EC2+FC2=5x2，AE2=AB2+BE2=20x2，
AF2=AD2+DF2=25x2，
∴EF2+AE2=25x2=AF2.
由勾股定理的逆定理知，∠AEF=90°.
7.我们知道3,4,5是一组勾股数，那么3k,4k,5k（k是正
整数）也是一组勾股数吗？一般地，如果a,b,c是一组勾股数，那么ak,bk,ck（k是正整数）也是一组勾股数吗？
解：（1）3k,4k,5k也是一组勾股数.
拓广探索
因为（3k）2+（4k）2=9k2+16k2=25k2,（5k）2=25k2,
所以（3k）2+（4k）2=（5k）2.
（2）如果a,b,c是一组勾股数，那么ak,bk,ck也是一组勾股数.
因为a,b,c是勾股数，则a2+b2=c2
（ak）2+（bk）2=a2k2+b2k2=（a2+b2）k2=c2k2,（ck）2=c2k2
故（ak）2+（bk）2=（ck）2,所以ak,bk,ck也是一组勾股数.