2.1.1等式性质与不等式性质(共22张PPT)

(共22张PPT)
§2.1　等式性质与不等式性质(1)
第二章　一元二次函数、方程和不等式
1.会用作差法比较两实数的大小；
2.掌握一个基本不等式及证明；
3.会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系；
学习目标：
不等式表示不等关系
【问题1】你能用不等式或不等式组表示下列不等关系吗？
(2)某品牌牛奶质量检查规定：脂肪含量f应不少于2.5%，
蛋白质含量p应不少于2.3%；
(1)某路段限速40km/h;
(3)三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
(4)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
【练习】用不等式或不等式组表示下面的不等关系.
解　0(2)a与b的和是非负实数；
解　a＋b≥0；
(1)某高速公路规定通过车辆的车货总高度h(单位：m)从地面算起不能超过4 m；
(3)如图，在一个面积小于350m2的矩形地基中心位置上建造一个仓库，仓
库的四周建成绿地，仓库的长L(单位：m)大于宽W(单位：m)的4倍.
【启示】以上我们根据实际问题所蕴含的不等关系抽象出了不
等式(组），接着就可以用不等式研究相应的问题了。
不等式表示不等关系
不等式表示不等关系
【问题3】　在初中，我们知道由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系，具体是如何规定的呢？
提示　设a，b是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A，B.那么，
当点A在点B的左边时，ab.
依据 a>b __________
a=b ___________
a结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的　与　的大小
a－b>0
a－b=0
a－b<0
差
0
不等式最基本的性质
例1　比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小.
解　(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＝x2＋x＋1
∴(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)>0，
∴2x2＋5x＋3>x2＋4x＋2.
反思感悟　作差法比较两个实数大小的基本步骤
跟踪训练2　比较(x＋3)(x＋7)和(x＋4)(x＋6)的大小.
解　因为(x＋3)(x＋7)－(x＋4)(x＋6)
＝(x2＋10x＋21)－(x2＋10x＋24)＝－3<0，
所以(x＋3)(x＋7)<(x＋4)(x＋6).
【问题4】如图是由在北京召开第24届国际数学家大会的会标抽象出来的图形，你能比较
大正方形ABCD与四个相同的直角三角形的面积之和的大小吗？从中你能得出哪
个不等式？它们之间有可能相等吗？如果相等，则应该满足什么条件呢？
提示　正方形的边长为 .
这样，4个直角三角形的面积和为2ab，正方形的面积为a2＋b2，
由于正方形ABCD的面积大于4个直角三角形的面积和，我们就得到了一个不等式a2＋b2>2ab.
当直角三角形变为等腰直角三角形，
即a＝b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有a2＋b2＝2ab.
于是就有a2＋b2≥2ab.
证明a2＋b2－2ab＝(a－b)2.
因为 a，b∈R，(a－b)2≥0，
当且仅当a＝b时，等号成立，
所以a2＋b2－2ab≥0.
因此，由两个实数大小比较的基本事实，得a2＋b2≥2ab，
当且仅当a＝b时，等号成立.
设a,b是任意实数，则a2＋b2≥2ab，
当且仅当a＝b时，等号成立.
一个重要不等式
例2　已知a>0，b>0.
(1)求证：a2＋3b2≥2b(a＋b)；
证明　①∵a2＋3b2－2b(a＋b)＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2≥0，
当且仅当a＝b时，等号成立，
∴a2＋3b2≥2b(a＋b).
②∵a2＋b2≥2ab,当且仅当a＝b时，等号成立，
∴a2＋b2+2b2≥2ab+2b2＝2b(a＋b)
例2　已知a>0，b>0.
(1)求证：a2＋3b2≥2b(a＋b)；
(2)求证：a3＋b3≥ab2＋a2b.
证明　因为a3＋b3－(ab2＋a2b)＝a3＋b3－ab2－a2b＝a3－ab2＋b3－a2b
＝a(a2－b2)＋b(b2－a2)＝(a2－b2)(a－b)＝(a＋b)(a－b)2，
因为a>0，b>0，所以(a＋b)(a－b)2≥0，
当且仅当a＝b时，等号成立，
所以a3＋b3－(ab2＋a2b)≥0，所以a3＋b3≥ab2＋a2b.
【反思1】比较两个数的大小关系，最基本的方法是利用作差法，通过因式分解或配方
的方法，把“差”转化成几个因式乘积的形式， 通过逻辑推理得到每一个因
式的符号，从而判定两个数的大小关系，通过逻辑推理进行证明.
【反思2】也可以考虑用重要不等式.
跟踪训练3　已知a>0，求证：a＋ ≥2.
证明　方法一　利用a2＋b2≥2ab.
当且仅当a＝1时，等号成立.
1.知识清单：
(1)用不等式(组)表示不等关系.
(2)作差法比较大小.
(3)重要不等式.
2.方法归纳：作差法.
3.常见误区：实际问题中变量的实际意义.
课堂小结
作业：
课本p40 练习 2. 3
课本p42 习题2-1 2. 3