2021_2022学年新教材高中数学1.2.2空间中的平面与空间向量(word含解析)

空间中的平面与空间向量
(建议用时：40分钟)
基础练
一、选择题
1．设A是空间一定点，n为空间内任一非零向量，满足条件·n＝0的点M构成的图形是(　　)
A．圆　　　B．直线　　　C．平面　　　D．线段
2．在菱形ABCD中，若是平面ABCD的法向量，则以下等式中可能不成立的是(　　)
A．⊥ B．⊥
C．⊥ D．⊥
3．设μ＝(2，2，－1)是平面α的法向量，a＝(－3，4，2)是直线l的方向向量，则直线l与平面α的位置关系是(　　)
A．平行或直线在平面内 B．垂直
C．相交但不垂直 D．不能确定
4．平面α经过三点O(0，0，0)，A(2，2，0)，B(0，0，2)，则平面α的法向量可以是(　　)
A．(1，0，1) B．(1，0，－1)
C．(0，1，1) D．(－1，1，0)
5．(多选题)已知平面α内有一点M(1，－1，2)，平面α的一个法向量为n＝(6，－3，6)，则下列点中，在平面α内的是(　　)
A．(2，3，3) B．(1，1，3)
C． D．(2，2，3)
二、填空题
6．已知直线l∥平面α，且直线l的方向向量为(2，m，1)，平面α的法向量为，则m＝________．
7．在平面ABC中，A(0，1，1)，B(1，2，1)，C(－1，0，－1)，若a＝(－1，y，z)，且a为平面ABC的一个法向量，则y＋z＝________．
8．如图所示，四棱锥P ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝1，若E，F分别为PB，AD的中点，则直线EF与平面PBC的位置关系是________．
三、解答题
9．如图所示，已知四棱锥P ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD．求证：PA⊥BD．
10．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：AM⊥平面BDF．
能力练
1．(多选题)给出下列命题，其中为真命题的是(　　)
A．直线l的方向向量为a＝(1，－1，2)，直线m的方向向量b＝，则l与m垂直
B．直线l的方向向量a＝(0，1，－1)，平面α的法向量n＝(1，－1，－1)，则l⊥α
C．平面α，β的法向量分别为n1＝(0，1，3)，n2＝(1，0，2)，则α∥β
D．平面α经过三点A(1，0，－1)，B(0，1，0)，C(－1，2，0)，向量n＝(1，u，t)是平面α的法向量，则u＋t＝1
2．(多选题)在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则以下结论不正确的是(　　)
A．EF至多与A1D，AC中的一个垂直
B．EF⊥A1D，EF⊥AC
C．EF与BD1相交
D．EF与BD1异面
3．设u，v分别是平面α，β的法向量，u＝(－2，2，5)，当v＝(3，－2，2)时，α与β的位置关系为____________；当v＝(4，－4，－10)时，α与β的位置关系为____________．
4．如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点．若在棱AA1上取一点P，使得DP∥平面B1AE，此时AP的长为________．
拓展
《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD＝CD，E为PC中点，点F在PB上，且PB⊥平面DEF，连接BD，BE．
(1)证明：DE⊥平面PBC；
(2)试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角；若不是，说明理由．
参考答案：
基础练
一、选择题
1．设A是空间一定点，n为空间内任一非零向量，满足条件·n＝0的点M构成的图形是(　　)
A．圆　　　B．直线　　　C．平面　　　D．线段
C　[M构成的图形经过点A，且是以n为法向量的平面．]
2．在菱形ABCD中，若是平面ABCD的法向量，则以下等式中可能不成立的是(　　)
A．⊥ B．⊥
C．⊥ D．⊥
D　[由题意知PA⊥平面ABCD，所以与平面上的线AB，CD都垂直，A，B正确．又因为菱形的对角线互相垂直，又AC为PC在平面ABCD内的射影且AC⊥BD，由三垂线定理的逆定理知PC⊥BD，故C正确．]
3．设μ＝(2，2，－1)是平面α的法向量，a＝(－3，4，2)是直线l的方向向量，则直线l与平面α的位置关系是(　　)
A．平行或直线在平面内 B．垂直
C．相交但不垂直 D．不能确定
A　[∵μ＝(2，2，－1)是平面α的法向量，
a＝(－3，4，2)是直线l的方向向量，
μ·a＝－6＋8－2＝0，
∴直线l与平面α的位置关系是平行或直线在平面内．]
4．平面α经过三点O(0，0，0)，A(2，2，0)，B(0，0，2)，则平面α的法向量可以是(　　)
A．(1，0，1) B．(1，0，－1)
C．(0，1，1) D．(－1，1，0)
D　[∵平面α经过三点O(0，0，0)，A(2，2，0)，B(0，0，2)，
∴＝(2，2，0)，＝(0，0，2)，
设平面α的一个法向量n＝(x，y，z)，
则取x＝－1，得＝(－1，1，0)，
∴平面α的法向量可以是(－1，1，0)．]
5．(多选题)已知平面α内有一点M(1，－1，2)，平面α的一个法向量为n＝(6，－3，6)，则下列点中，在平面α内的是(　　)
A．(2，3，3) B．(1，1，3)
C． D．(2，2，3)
AB　[设平面α内一点P(x，y，z)，则＝(x－1，y＋1，z－2)．
∵n＝(6，－3，6)是平面α的法向量，
∴n⊥，即n·＝6(x－1)－3(y＋1)＋6(z－2)＝6x－3y＋6z－21＝0．
把各选项代入上式可知A、B适合．]
二、填空题
6．已知直线l∥平面α，且直线l的方向向量为(2，m，1)，平面α的法向量为，则m＝________．
－8　[∵直线l∥平面α，∴直线l的方向向量与平面α的法向量垂直，即2×1＋m×＋1×2＝0，∴m＝－8．]
7．在平面ABC中，A(0，1，1)，B(1，2，1)，C(－1，0，－1)，若a＝(－1，y，z)，且a为平面ABC的一个法向量，则y＋z＝________．
1　[＝(1，1，0)，＝(－1，－1，－2)，
∵a＝(－1，y，z)为平面ABC的一个法向量，
∴a·＝0，a·＝0，
∴－1＋y＝0，1－y－2z＝0，
联立解得y＝1，z＝0，∴y＋z＝1．]
8．如图所示，四棱锥P ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝1，若E，F分别为PB，AD的中点，则直线EF与平面PBC的位置关系是________．
垂直　[以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(图略)，则E，
F，
∴＝．
平面PBC的一个法向量n＝(0，1，1)，
∵＝－n，∴∥n，∴EF⊥平面PBC．]
三、解答题
9．如图所示，已知四棱锥P ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD．求证：PA⊥BD．
[证明]　如图，取BC的中点O，连接AO交BD于点E，连接PO．
因为PB＝PC，所以PO⊥BC．
又平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD＝BC，
所以PO⊥平面ABCD，所以AP在平面ABCD内的射影为AO．
在直角梯形ABCD中，
由于AB＝BC＝2CD，
易知Rt△ABO≌Rt△BCD，
所以∠BEO＝∠OAB＋∠DBA＝∠DBC＋∠DBA＝90°，即AO⊥BD．
由三垂线定理，得PA⊥BD．
10．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：AM⊥平面BDF．
[证明]　以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(，，0)，B(0，，0)，D(，0，0)，F(，，1)，
M．
所以＝，
＝(0，，1)，＝(，－，0)．
设n＝(x，y，z)是平面BDF的一个法向量，
则n⊥，n⊥，
所以
取y＝1，得x＝1，z＝－，
则n＝(1，1，－)．
因为＝，
所以n＝－，得n与共线．
所以AM⊥平面BDF．
能力练
1．(多选题)给出下列命题，其中为真命题的是(　　)
A．直线l的方向向量为a＝(1，－1，2)，直线m的方向向量b＝，则l与m垂直
B．直线l的方向向量a＝(0，1，－1)，平面α的法向量n＝(1，－1，－1)，则l⊥α
C．平面α，β的法向量分别为n1＝(0，1，3)，n2＝(1，0，2)，则α∥β
D．平面α经过三点A(1，0，－1)，B(0，1，0)，C(－1，2，0)，向量n＝(1，u，t)是平面α的法向量，则u＋t＝1
AD　[对于A，∵a＝(1，－1，2)，b＝，
∴a·b＝1×2－1×1＋2×＝0，
∴a⊥b，∴直线l与m垂直，A正确；
对于B，a＝(0，1，－1)，n＝(1，－1，－1)，
∴a·n＝0×1＋1×(－1)＋(－1)×(－1)＝0，
∴a⊥n，∴l∥α或l α，B错误；
对于C，∵n1＝(0，1，3)，n2＝(1，0，2)，
∴n1与n2不共线，
∴α∥β不成立，C错误；
对于D，∵A(1，0，－1)，B(0，1，0)，C(－1，2，0)，
∴＝(－1，1，1)，＝(－1，1，0)，
∵向量n＝(1，u，t)是平面α的法向量，
∴即
则u＋t＝1，D正确．故选A，D．]
2．(多选题)在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则以下结论不正确的是(　　)
A．EF至多与A1D，AC中的一个垂直
B．EF⊥A1D，EF⊥AC
C．EF与BD1相交
D．EF与BD1异面
ACD　[以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，设正方体的棱长为1，则A1(1，0，1)，D(0，0，0)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E，
F，B(1，1，0)，D1(0，0，1)，
∴＝(－1，0，－1)，＝(－1，1，0)，＝，＝(－1，－1，1)，
∴＝－，·＝0，·＝0，
从而EF∥BD1，EF⊥A1D，EF⊥AC．]
3．设u，v分别是平面α，β的法向量，u＝(－2，2，5)，当v＝(3，－2，2)时，α与β的位置关系为____________；当v＝(4，－4，－10)时，α与β的位置关系为____________．
α⊥β　α∥β　[∵u，v分别为平面α，β的法向量且u＝(－2，2，5)，
当v＝(3，－2，2)时，u·v＝－6－4＋10＝0，
∴u⊥v，即α⊥β；
当v＝(4，－4，－10)时，v＝－2u，∴u∥v，即α∥β．]
4．如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点．若在棱AA1上取一点P，使得DP∥平面B1AE，此时AP的长为________．
　[以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图所示)．
设AB＝a，则A(0，0，0)，D(0，1，0)，E，B1(a，0，1)，故＝(a，0，1)，＝．再设P(0，0，z0)，
则＝(0，－1，z0)．设平面B1AE的法向量为n＝(x，y，z)，
则∴
取x＝1，得n＝．
要使DP∥平面B1AE，只要n⊥，则有－az0＝0，
解得z0＝．
又DP 平面B1AE，
∴存在点P，使得DP∥平面B1AE，此时AP＝．]
拓展
《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD＝CD，E为PC中点，点F在PB上，且PB⊥平面DEF，连接BD，BE．
(1)证明：DE⊥平面PBC；
(2)试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角；若不是，说明理由．
[解]　(1)证明：因为PD⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，所以可建立以D为坐标原点的空间直角坐标系，如图所示．
不妨令AD＝a，DP＝CD＝b，则D(0，0，0)，B(a，b，0)，C(0，b，0)，P(0，0，b)，E，＝，＝(a，b，－b)，＝(0，b，－b)．
设平面PBC的一个法向量为n＝(x，y，z)，则即解得令z＝1，则n＝(0，1，1)，所以＝n，所以∥n，则DE⊥平面PBC．
(2)四面体DBEF是鳖臑．因为＝，＝，所以·＝0，所以∠BED＝．由(1)知DE⊥平面PBC，因为EF 平面PBE，所以∠FED＝．因为PB⊥平面DEF，所以∠BFE＝∠BFD＝，所以四面体DBEF是鳖臑．
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