2021_2022学年新教材高中数学2.3.1圆的标准方程(word含解析)

圆的标准方程
(建议用时：40分钟)
基础练
一、选择题
1．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的标准方程为(　　)
A．x2＋(y＋2)2＝1　　　 B．x2＋(y－2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1
2．已知点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－1，1) B．(0，1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．{1，－1}
3．圆的一条直径的两个端点是(2，0)，(2，－2)，则此圆的方程为(　　)
A．(x－2)2＋(y－1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 D．(x＋2)2＋(y＋1)2＝1
4．已知圆心在x轴上的圆经过A(3，1)，B(1，5)两点，则圆C的方程为(　　)
A．(x＋4)2＋y2＝50 B．(x＋4)2＋y2＝25
C．(x－4)2＋y2＝50 D．(x－4)2＋y2＝25
5．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心， 为半径的圆的方程为(　　)
A．(x－1)2＋(y＋2)2＝5
B．(x＋1)2＋(y＋2)2＝5
C．(x＋1)2＋(y－2)2＝5
D．(x－1)2＋(y－2)2＝5
二、填空题
6．圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心到直线y＝x＋3的距离为_______．
7．若点P在圆(x－1)2＋y2＝1上运动，Q(m，－m－1)，则PQ的最小值为________．
8．若点P(5a＋1，12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的外部，则a的取值范围为________．
三、解答题
9．已知圆C过点A(4，7)，B(－3，6)，且圆心C在直线l：2x＋y－5＝0上，求圆C的方程．
10．求圆＋(y＋1)2＝关于直线x－y＋1＝0对称的圆的方程．
能力练
1．(多选题)若直线mx＋2ny－4＝0始终平分圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的周长，则mn的取值可能是(　　)
A．　　　B．－　　　C．　　　D．2
2．点M，N在圆＋(y＋1)2＝－3上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的半径是(　　)
A．2　　B．　　C．1　　D．3
3．已知两点A(－1，0)，B(0，2)，点P是圆(x－1)2＋y2＝1上任意一点，△PAB面积的最大值是________，最小值是________．
4．如图所示，某隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形的三边构成．已知隧道总宽度AD为6 m，行车道总宽度BC为2 m，侧墙高EA，FD为2 m，弧顶高MN为5 m．以EF所在直线为x轴，MN所在直线为y轴，1 m为单位长度建立平面直角坐标系．
(1)求圆弧所在的圆的标准方程；
(2)为保证安全，要求隧道顶部与行驶车辆顶部(设为平顶)在竖直方向上的高度之差至少为0.5 m，问车辆通过隧道的限制高度是多少？
拓展
已知动点P，M，N分别在x轴、圆O1：(x－1)2＋(y－2)2＝1和圆O2：(x－3)2＋(y－4)2＝3上，则|PM|＋|PN|的最小值为________．
参考答案：
基础练
一、选择题
1．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的标准方程为(　　)
A．x2＋(y＋2)2＝1　　　 B．x2＋(y－2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1
B　[设圆心坐标为(0，b)，由半径为1，可得圆的标准方程为x2＋(y－b)2＝1．又圆过点(1，2)，所以1＋(2－b)2＝1，解得b＝2，故圆的标准方程为x2＋(y－2)2＝1，故选B．]
2．已知点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－1，1) B．(0，1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．{1，－1}
A　[由于(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，
所以点(1，1)到圆心(a，－a)的距离d＜2，
即＜2，整理得－1＜a＜1．
故选A．]
3．圆的一条直径的两个端点是(2，0)，(2，－2)，则此圆的方程为(　　)
A．(x－2)2＋(y－1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 D．(x＋2)2＋(y＋1)2＝1
B　[圆心坐标为，即(2，－1)，半径r＝＝1，
∴圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝1．]
4．已知圆心在x轴上的圆经过A(3，1)，B(1，5)两点，则圆C的方程为(　　)
A．(x＋4)2＋y2＝50 B．(x＋4)2＋y2＝25
C．(x－4)2＋y2＝50 D．(x－4)2＋y2＝25
A　[设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－0)2＝r2．
圆C经过A(3，1)，B(1，5)两点，则有(3－a)2＋1＝(1－a)2＋25，
解得a＝－4，即圆心C为(－4，0)，则圆的半径r＝|CA|＝＝，
则圆C的方程为(x＋4)2＋y2＝50．]
5．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心， 为半径的圆的方程为(　　)
A．(x－1)2＋(y＋2)2＝5
B．(x＋1)2＋(y＋2)2＝5
C．(x＋1)2＋(y－2)2＝5
D．(x－1)2＋(y－2)2＝5
C　[直线方程变为(x＋1)a－x－y＋1＝0．
由得∴C(－1，2)，∴所求圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5．]
二、填空题
6．圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心到直线y＝x＋3的距离为_______．
　[因为圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心为(－1，0)，所以圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心到直线y＝x＋3的距离为d＝＝．]
7．若点P在圆(x－1)2＋y2＝1上运动，Q(m，－m－1)，则PQ的最小值为________．
－1　[由Q(m，－m－1)，设x＝m，y＝－m－1，得y＝－x－1，
即点Q在直线x＋y＋1＝0上，由点P在圆(x－1)2＋y2＝1上运动，
则PQ的最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径，
即－1＝－1．]
8．若点P(5a＋1，12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的外部，则a的取值范围为________．
∪　[∵点P在圆外，∴(5a＋1－1)2＋(12a)2>1，169a2>1，a2>，∴|a|>，即a>或a<－．]
三、解答题
9．已知圆C过点A(4，7)，B(－3，6)，且圆心C在直线l：2x＋y－5＝0上，求圆C的方程．
[解]　法一：设圆心C的坐标为(a，b)，圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，
根据题意得，
解得
故圆C的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝25．
法二：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，∵C∈l，
∴2a＋b－5＝0，则b＝5－2a，
∴圆心为C(a，5－2a)．
由圆的定义得|AC|＝|BC|，
即＝．
解得a＝1，从而b＝3，即圆心为C(1，3)，半径r＝|CA|＝＝5．
故圆C的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝25．
10．求圆＋(y＋1)2＝关于直线x－y＋1＝0对称的圆的方程．
[解]　圆＋(y＋1)2＝的圆心为M，半径r＝．
设所求圆的圆心为(m，n)，
∵它与关于直线x－y＋1＝0对称，
∴解得
∴所求圆的圆心坐标为，半径r＝．
∴对称圆的方程是(x＋2)2＋＝．
能力练
1．(多选题)若直线mx＋2ny－4＝0始终平分圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的周长，则mn的取值可能是(　　)
A．　　　B．－　　　C．　　　D．2
ABC　[可知直线mx＋2ny－4＝0过圆心(2，1)，
有2m＋2n－4＝0，即n＝2－m，则mn＝m·(2－m)＝－m2＋2m＝－(m－1)2＋1≤1．]
2．点M，N在圆＋(y＋1)2＝－3上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的半径是(　　)
A．2　　B．　　C．1　　D．3
C　[由题意知，直线x－y＋1＝0过圆心，即－＋1＋1＝0．
∴k＝4，r＝＝1．]
3．已知两点A(－1，0)，B(0，2)，点P是圆(x－1)2＋y2＝1上任意一点，△PAB面积的最大值是________，最小值是________．
2＋　2－　[点A(－1，0)，B(0，2)所在的直线方程为2x－y＋2＝0，圆(x－1)2＋y2＝1的圆心到直线的距离为＝，又|AB|＝，所以△PAB面积的最大值为××＝2＋，最小值为××＝2－．]
4．如图所示，某隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形的三边构成．已知隧道总宽度AD为6 m，行车道总宽度BC为2 m，侧墙高EA，FD为2 m，弧顶高MN为5 m．以EF所在直线为x轴，MN所在直线为y轴，1 m为单位长度建立平面直角坐标系．
(1)求圆弧所在的圆的标准方程；
(2)为保证安全，要求隧道顶部与行驶车辆顶部(设为平顶)在竖直方向上的高度之差至少为0.5 m，问车辆通过隧道的限制高度是多少？
[解]　(1)法一：由题意，有E(－3，0)，F(3，0)，M(0，3)．
∵所求圆的圆心在y轴上，
∴设圆的方程为(x－0)2＋(y－b)2＝r2(b∈R，r＞0)，
∵F(3，0)，M(0，3)都在圆上，
∴
解得
∴圆的标准方程是x2＋(y＋3)2＝36．
法二：设所求圆的圆心为G，半径为r(r＞0)，则点G在y轴上，
在Rt△GOE中，|OE|＝3，
|GE|＝r，|OG|＝r－3，
由勾股定理，得r2＝(3)2＋(r－3)2，解得r＝6，
则圆心G的坐标为(0，－3)，
∴圆的标准方程是x2＋(y＋3)2＝36．
(2)设限高为h，作CP⊥AD，交圆弧于点P(图略)，
则|CP|＝h＋0.5．
将点P的横坐标x＝代入圆的方程，得()2＋(y＋3)2＝36，得y＝2或y＝－8(舍去)．
∴h＝|CP|－0.5＝(2＋2)－0.5＝3.5(m)．
故车辆通过隧道的限制高度为3.5 m．
拓展
已知动点P，M，N分别在x轴、圆O1：(x－1)2＋(y－2)2＝1和圆O2：(x－3)2＋(y－4)2＝3上，则|PM|＋|PN|的最小值为________．
2－1－　[两圆的圆心均在第一象限，其中O1(1，2)，半径r1＝1，O2(3，4)，半径r2＝．因为(|PM|＋|PN|)min＝|PO1|＋|PO2|－r1－r2，所以可先求出|PO1|＋|PO2|的最小值，如图，作O1关于x轴的对称点O′1(1，－2)，连接O2O′1，与x轴交于点P，此时|PO1|＋|PO2|取得最小值，且|PO1|＋|PO2|＝|O′1O2|＝＝2，所以(|PM|＋|PN|)min＝2－1－．
]
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