2021_2022学年新教材高中数学1.2.1空间中的点直线与空间向量(word含解析)

空间中的点、直线与空间向量
(建议用时：40分钟)
基础练
一、选择题
1．已知点A(2，3，4)，B(1，2，1)，＝3，且O为坐标原点，则C点的坐标为(　　)
A．(6，8，9)　　　　　 B．(6，9，12)
C．(7，11，13) D．(－7，－11，－13)
2．设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1，2，－2)，b＝(－2，3，m)，若l1⊥l2，则实数m等于(　　)
A．1　　　　B．2　　C．3　　　　D．4
3．一质点从(1，1，1)出发，做匀速直线运动，每秒的速度为v＝(1，2，3)，2秒后质点所处的位置为(　　)
A．(3，5，7) B．(2，4，6)
C．(3，5，8) D．(5，3，7)
4．设向量a＝(2，2，0)，b＝，(0°＜α＜180°)，若a⊥b，则角α＝(　　)
A．30°　　　B．60°　　C．120°　　　D．150°
5．在棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E，F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于(　　)
A． B．
C． D．
二、填空题
6．已知点A(1，1，－4)，B(2，－4，2)，C为线段AB上的一点，且＝，则C点坐标为________．
7．已知A(0，y，3)，B(－1，－2，z)，若直线l的方向向量v＝(2，1，3)与直线AB的方向向量平行，则实数y＋z等于________．
8．长方体ABCD A1B1C1D1的底面是边长为1的正方形，高为2，M，N分别是四边形BB1C1C和正方形A1B1C1D1的中心，则向量与的夹角的余弦值是________．
三、解答题
9．如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点．
求证：MN∥平面A1BD．
10．如图，在直三棱柱ABC A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M是A1B1的中点．
(1)求cos〈，〉的值；
(2)求证：A1B⊥C1M．
能力练
1．(多选题)已知空间向量a，b，a⊥b，a＝(1，3，5)，则b的坐标可以是(　　)
A．(5，0，－1) B．
C．(5，－3，－1) D．(8，－1，－1)
2．在正方体ABCD A1B1C1D1中，动点M在线段A1C上(包括A1，C两端点)，E，F分别为DD1，AD的中点．若异面直线EF与BM所成的角为θ，则θ的取值范围为(　　)
A． B．
C． D．
3．如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，则|－|＝________，·＝________．
4．如图，在四棱锥A EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF∥BC，BC＝4，EF＝2a，∠EBC＝∠FCB＝60°，O为EF的中点．若BE⊥平面AOC，则a的值为________．
拓展
如图所示，已知平行六面体ABCD A1B1C1D1的底面为正方形，O1，O分别为上、下底面的中心，且A1O⊥平面ABCD．
(1)求证：CO1⊥平面ABCD；
(2)若点E，F分别在棱AA1，BC上，且AE＝2EA1，问点F在何处时，EF⊥AD
参考答案：
基础练
一、选择题
1．已知点A(2，3，4)，B(1，2，1)，＝3，且O为坐标原点，则C点的坐标为(　　)
A．(6，8，9)　　　　　 B．(6，9，12)
C．(7，11，13) D．(－7，－11，－13)
C　[设C(x，y，z)，则＝(x－1，y－2，z－1)，＝(2，3，4)，∴3＝(6，9，12)，
由＝3，
得∴∴C(7，11，13)．]
2．设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1，2，－2)，b＝(－2，3，m)，若l1⊥l2，则实数m等于(　　)
A．1　　　　B．2　　C．3　　　　D．4
B　[因为l1⊥l2，所以a⊥b，则a·b＝－2＋6－2m＝4－2m＝0，解得m＝2，故选B．]
3．一质点从(1，1，1)出发，做匀速直线运动，每秒的速度为v＝(1，2，3)，2秒后质点所处的位置为(　　)
A．(3，5，7) B．(2，4，6)
C．(3，5，8) D．(5，3，7)
A　[2秒后质点所处的位置为(1，1，1)＋2v＝(1，1，1)＋2(1，2，3)＝(3，5，7)．故选A．]
4．设向量a＝(2，2，0)，b＝，(0°＜α＜180°)，若a⊥b，则角α＝(　　)
A．30°　　　B．60°　　C．120°　　　D．150°
B　[∵向量a＝(2，2，0)，b＝，(0°＜α＜180°)，a⊥b，
∴a·b＝2cos α－1＝0，∴cos α＝，
∵0°＜α＜180°，
∴α＝60°．故选B．]
5．在棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E，F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于(　　)
A． B．
C． D．
A　[以D为坐标原点，，，的方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，则F(1，0，0)，D1(0，0，2)，O(1，1，0)，E(0，2，1)，则＝(－1，1，1)，＝(－1，0，2)，
∴||＝，||＝，·＝3，
∴cos〈，〉＝＝＝．]
二、填空题
6．已知点A(1，1，－4)，B(2，－4，2)，C为线段AB上的一点，且＝，则C点坐标为________．
　[设C(x，y，z)，＝(x－1，y－1，z＋4)，＝(1，－5，6)，
由＝得
∴∴C．]
7．已知A(0，y，3)，B(－1，－2，z)，若直线l的方向向量v＝(2，1，3)与直线AB的方向向量平行，则实数y＋z等于________．
0　[由题意，得＝(－1，－2－y，z－3)，则＝＝，解得y＝－，z＝，所以y＋z＝0．]
8．长方体ABCD A1B1C1D1的底面是边长为1的正方形，高为2，M，N分别是四边形BB1C1C和正方形A1B1C1D1的中心，则向量与的夹角的余弦值是________．
　[以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则B(1，1，0)，M，
D(0，0，0)，N，
＝，＝，
设向量与的夹角为θ，
则cos θ＝
＝＝．
故向量与的夹角的余弦值为．]
三、解答题
9．如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点．
求证：MN∥平面A1BD．
[证明]　如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，
可求得M，N，
D(0，0，0)，A1(1，0，1)，
于是＝，
＝(1，0，1)．
所以＝2，∴∥，
∴DA1∥MN．
而MN 平面A1BD，DA1 平面A1BD，
∴MN∥平面A1BD．
10．如图，在直三棱柱ABC A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M是A1B1的中点．
(1)求cos〈，〉的值；
(2)求证：A1B⊥C1M．
[解]　(1)以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则A1(1，0，2)，B(0，1，0)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)，
＝(1，－1，2)，
＝(0，1，2)，
∴cos〈，〉＝
＝＝．
(2)证明：A1(1，0，2)，B(0，1，0)，C1(0，0，2)，M，＝(－1，1，－2)，＝，
∴·＝0，
∴A1B⊥C1M．
能力练
1．(多选题)已知空间向量a，b，a⊥b，a＝(1，3，5)，则b的坐标可以是(　　)
A．(5，0，－1) B．
C．(5，－3，－1) D．(8，－1，－1)
ABD　[a＝(1，3，5)，a⊥b，∴a·b＝0．
在A中，a·b＝(1，3，5)·(5，0，－1)＝1×5＋3×0＋5×(－1)＝0，A正确．
在B中，a·b＝(1，3，5)·＝1×(－2)＋3×3＋5×＝0，B正确．
在C中，a·b＝(1，3，5)·(5，－3，－1)＝1×5＋3×(－3)＋5×(－1)＝－9≠0，C错误．
在D中，a·b＝(1，3，5)·(8，－1，－1)＝1×8＋3×(－1)＋5×(－1)＝0，D正确．]
2．在正方体ABCD A1B1C1D1中，动点M在线段A1C上(包括A1，C两端点)，E，F分别为DD1，AD的中点．若异面直线EF与BM所成的角为θ，则θ的取值范围为(　　)
A． B．
C． D．
A　[以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系(图略)，设DA＝2，则F(1，0，0)，E(0，0，1)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，A1(2，0，2)，所以＝(1，0，－1)，＝(－2，0，0)，＝(2，－2，2)．设＝λ(0≤λ≤1)，则＝(2λ，－2λ，2λ)，＝＋＝(2λ－2，－2λ，2λ)，则cos θ＝|cos〈，〉|，即cos θ＝＝＝(0≤λ≤1)，当λ＝时，cos θ取到最大值，当λ＝1时，cos θ取到最小值．又θ∈，所以θ的取值范围为，故选A．]
3．如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，则|－|＝________，·＝________．
　1　[以D为原点建立空间直角坐标系如图所示，则C(0，2，0)，C1(0，2，1)，B(1，2，0)，D1(0，0，1)，A1(1，0，1)．
所以＝(0，0，1)，＝(－1，－2，1)，＝(1，－2，1)，所以|－|＝|(1，2，0)|＝＝，
·＝(0，0，1)·(1，－2，1)＝1．
]
4．如图，在四棱锥A EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF∥BC，BC＝4，EF＝2a，∠EBC＝∠FCB＝60°，O为EF的中点．若BE⊥平面AOC，则a的值为________．
　[因为△AEF是等边三角形，O为EF的中点，所以AO⊥EF．
又平面AEF⊥平面EFCB，AO 平面AEF，所以AO⊥平面EFCB．
取BC的中点G，连接OG．由题设知EFCB是等腰梯形，0＜a＜2，
所以OG⊥EF，则OA，OG，OE两两垂直．
以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示．
则O(0，0，0)，E(a，0，0)，B(2，(2－a)，0)，C(－2，(2－a)，0)，
＝(a－2，(a－2)，0)，＝(－2，(2－a)，0)．
因为BE⊥平面AOC，所以BE⊥OC，即·＝0．
所以·＝－2(a－2)－3(a－2)2＝0，解得a＝(a＝2舍去)．]
拓展
如图所示，已知平行六面体ABCD A1B1C1D1的底面为正方形，O1，O分别为上、下底面的中心，且A1O⊥平面ABCD．
(1)求证：CO1⊥平面ABCD；
(2)若点E，F分别在棱AA1，BC上，且AE＝2EA1，问点F在何处时，EF⊥AD
[解]　(1)∵O为下底面中心，底面ABCD为正方形，且A1O⊥平面ABCD，∴以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，设底面正方形的边长为a，OA1＝h，则A，A1(0，0，h)，C，B，O1，∴＝(0，0，h)，＝，＝．
∵·＝0，·＝0，∴CO1⊥OA，CO1⊥OB．又OA∩OB＝O，∴CO1⊥平面ABCD．
(2)由(1)及AE＝2EA1，得E，D．
设＝λ(0≤λ≤1)，则F，
∴＝，
＝．
由EF⊥AD，得·＝0，
即λa2＋a2－a2＋λa2＋0＝0，
∴λ－＝0，∴λ＝，
∴BF＝BC，
即点F在BC靠近点B的三等分点处时，EF⊥AD．
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