沪教版2022届高考数学一轮复习讲义专题05：任意角的三角比复习与检测（Word含答案解析）

学习目标
1.正角、负角、零角、象限角、终边在坐标轴上的角
2.与某个角有重合终边（包括这个角本身）的角的集合，弧度制，
3.角度与弧度的互化，圆的弧长公式，扇形的面积公式。
4.任意角的六个三角比（正弦、余弦、正切、余切、正割、余割）的定义及它们在各象限的符号。
知识梳理
重点1
任意角的三角比定义
设是一个任意角，在的终边上任取一点（除原点），
则与原点的距离，
比值叫做的正弦 记作：
比值叫做的余弦 记作：
比值叫做的正切 记作：
比值叫做的余切 记作：
比值叫做的正割 记作：
比值叫做的余割 记作：
重点2
三角比的衍生
(1) 当角的终边在纵轴上时，即时，终边上任意一点的横坐标都为0，所以、无意义；
(2) 当角的终边在横轴上时，即时，终边上任意一点的纵坐标都为0，所以、无意义.
从而有： .
重点3
三角比的一种几何表示
（一）单位圆和有向线段
(1) 单位圆：半径等于单位长度1的圆叫做单位圆.
(2) 有向线段（非严格定义）：带有方向的线段叫做有向线段.
设任意角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点，过作轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，设它与角的终边（当在第一、四象限角时）或其反向延长线（当为第二、三象限角时）相交于.
规定：当与轴同向时为正值，当与轴反向时为负值；
当与轴同向时为正值，当与轴反向时为负值；
当与轴同向时为正值，当与轴反向时为负值；
根据上面规定，则,
例题分析
例1．我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长度等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即.若对同一“表高”两次测量，“晷影长”分别是“表高”的倍和倍（所成角记、），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
由题意知，，所以.
故选：D.
例2．在平面直角坐标系xOy中，角θ以Ox为始边，终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
设点，因为，所以.
故选：C.
跟踪练习
1．的值是
A． B． C． D．
2．（ ）
A．0 B． C． D．
3．若是第四象限角，则的值是（ ）
A． B． C． D．
4．已知中已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知则的值是（ ）
A． B． C． D．
6．已知，，则分别为
A． B．
C． D．
7．已知，
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值．
8．在中，已知，证明.
9．已知．
（1）求值：；
（2）求值：．
10．化简求值
（1）tan 10°tan 20°＋ (tan 10°＋tan 20°).
（2）tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°.试卷第1页，总3页
试卷第6页，总7页
参考答案
1．D
【解析】
2．C
【详解】
，故选C.
3．D
【详解】
由于是第四象限角，所以，所以，所以，故选D.
4．A
【详解】
因为中已知，
所以，
，故选A.
5．A
【详解】
由，可得，
所以.
所以.
故选A.
6．B
【详解】
依题意，所以.由得，解得或.当时，；当时，，故选B.
7．（Ⅰ）；（Ⅱ）
【详解】
（Ⅰ），解得，
（Ⅱ）原式.
8．证明见解析
【详解】
因为，又，所以，
从而，故.
由两角和的正切公式，得，
所以，
即.
9．（1）；（2）．
【详解】
（1），
，
原式=.
（2）
.
10．（1）1；（2）
【详解】
（1）
（2）
.