沪教版2022届高考数学一轮复习讲义专题06：正弦定理、余弦定理和解斜三角形复习与检测（Word含答案解析）

学习目标
1.掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形.
2.正余弦定理及三角形面积公式．
3.掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形.
知识梳理
重点1
正弦定理：
1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即 （其中R是三角形外接圆的半径）
2.变形：1）．
2）化边为角：；
3）化边为角：
4）化角为边：
5）化角为边：
利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：
　　　 ①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；
例：已知角B,C,a，
解法：由A+B+C=180o ，求角A,由正弦定理 求出b与c
　　　 ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。
例：已知边a,b,A,
解法：由正弦定理求出角B,由A+B+C=180o 求出角C，再使用正弦定理求出c边
4.△ABC中，已知锐角A，边b，则
①时，B无解；
②或时，B有一个解；
③时，B有两个解。
如：①已知,求(有一个解)
②已知,求(有两个解)
注意：由正弦定理求角时，注意解的个数。
重点2
三角形面积
1.
2. ,其中是三角形内切圆半径.
3. , 其中,
4. ,R为外接圆半径
5.,R为外接圆半径
重点3
余弦定理
1.余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即
2.变形：
注意整体代入，如：
利用余弦定理判断三角形形状：
设、、是的角、、的对边，则：
①若，，所以为锐角
②若
③若， 所以为钝角，则是钝角三角形
例题分析
例1．在中，角A，B，C所以对的边分别为a，b，c，若，的面积为，，则（ ）
A．3 B．或 C． D．或3
【答案】D
【详解】
由得，
所以，，又，所以，
，，
时，，
时，，
故选：D．
例2．在中，角，，所对的边分别为，，，，，若满足条件的三角形有且只有一个，则边的取值不可能为（ ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】B
【详解】
由已知，到直线的距离为，所以当或时，即或时，满足条件的三角形有且只有一个.
所以对于A，符合，故三角形有一解；
对于B：当b=4时，符合，故三角形有两解；
对于C：符合，故三角形有一解；
对于D：符合，故三角形有一解.
故选：B.
跟踪练习
1．的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c若, 则c等于（ ）
A．1 B． C． D．2
2．已知的内角，，的对边分别为，，，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．在中，，，，则的面积为（ ）
A． B．2 C．4 D．
4．岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼，江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一，世称“天下第一楼”.其地处岳阳古城西门城墙之上，紧靠洞庭湖畔，下瞰洞庭，前望君山.始建于东汉建安二十年(215年)，历代屡加重修，现存建筑沿袭清光绪六年(1880年)重建时的形制与格局.因北宋滕宗谅重修岳阳楼，邀好友范仲淹作《岳阳楼记》使得岳阳楼著称于世.自古有"洞庭天下水，岳阳天下楼"之美誉.小李为测量岳阳楼的高度选取了与底部水平的直线，如图，测得，，米，则岳阳楼的高度约为(，)（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
5．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则c的值等于（ ）
A． B． C． D．
6．已知四边形ABCD是圆内接四边形，，则ABCD的周长取最大值时，四边形ABCD的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．在梯形中，，．对角线，交于点，且有，，．
（1）用关于的函数分别表示，；
（2）若，，，求的值和的面积．
8．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.
在中，角，，的对边分别为，，，且___________，.
（1）求角的大小；
（2）若，求的面积.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
9．在平面四边形中，，，，内角与互补，若平分，求的长.
10．在中，角所对的边分别是，已知．
（1）求角的值；
（2）若的面积，求的值试卷第1页，总3页
试卷第12页，总12页
参考答案
1．D
【详解】
由已知得，根据正弦定理： ，故.
故选：D.
2．A
【详解】
解： 因为，所以由正弦定理可得，
因为为角形内角，所以，
所以，即，可得，
因为，所以．
故选：A
3．A
【详解】
因为，，，
由余弦定理得，
所以，所以.
又因为，，所以，
所以.
故选：A.
4．B
【详解】
Rt△ADC中，，则，Rt△BDC中，，则，
由AC-BC=AB得，约为米.
故选：B
5．A
【详解】
，
∴，又，则，
∴，，又，故，
∴.
故选：A.
6．A
【详解】
△ABD中，因AB2+BD2=25=AD2，则，，
而四边形ABCD是圆内接四边形，如图：
则，，，
在中，由余弦定理得，
，即，当且仅当时取“＝”，
而，所以时，四边形ABCD的周长取最大值，
四边形ABCD的面积.
故选：A
7．（1），；（2）；．
【详解】
解（1）如图，过点作交的延长线于，
则，，，
在三角形中，由正弦定理得，，
所以，
所以，，
所以，．
（2）因为，，
所以；
因为，，
代入余弦定理有，即，
解得或，
当，此时，与矛盾，
所以，
所以．
由于与等底等高，故
所以.
8．条件选择见解析；（1）；（2）.
【详解】
（1）若选择条件①：
因为，
所以，
由正弦定理得，
即，
因为，所以，
所以，所以.
若选择条件②：
由得，
由余弦定理得，所以.
所以，
所以，因为，所以.
若选择条件③：
由题意，
因为，
所以. 解得(舍)或，
因为，所以.
（2）因为，所以，
所以.
因为，，，
由正弦定理得，所以，
所以的面积.
9．10.
【详解】
在中，由余弦定理得，
由可得，，
由正弦定理得，，
又内角与互补，所以，
因为平分，所以，
所以由正弦定理得，．
10．（1）；（2）．
【详解】
（1）因为，由正弦定理得，
，
又是三角形内角，，所以，；
（2），，
，，
又， ，
所以．