2021_2022学年新教材高中数学2.2.4点到直线的距离(word含解析)

点到直线的距离
(建议用时：40分钟)
基础练
一、选择题
1．点P在x轴上，且到直线3x－4y＋6＝0的距离为6，则点P的坐标为(　　)
A．(8，0)　　　　　　 B．(－12，0)
C．(8，0)或(－12，0) D．(－8，0)或(12，0)
2．已知直线l1：2x＋y＋n＝0，l2：4x＋my－4＝0互相平行，且l1，l2之间的距离为，则m＋n＝(　　)
A．－3或3 B．－2或4
C．－1或5 D．－2或2
3．若点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O为原点，则|OP|的最小值为(　　)
A．　　　B．2　　C．　　　D．2
4．直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是(　　)
A．3x－2y－6＝0 B．2x＋3y＋7＝0
C．3x－2y－12＝0 D．2x＋3y＋8＝0
5．已知点A(0，2)，B(2，0)，若点C在函数y＝x2的图像上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为(　　)
A．4　　　　B．3　　　　C．2　　　　D．1
二、填空题
6．P，Q分别为3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上一点，则|PQ|的最小值为________．
7．过点A(－3，1)的直线中，与原点距离最远的直线方程为________．
8．已知x＋y－3＝0，则的最小值为________．
三、解答题
9．已知直线l1和l2的方程分别为7x＋8y＋9＝0，7x＋8y－3＝0，直线l平行于l1，直线l与l1的距离为d1，与l2的距离为d2，且＝，求直线l的方程．
10．已知直线l1：ax＋3y＋1＝0，l2：x＋(a－2)y＋a＝0．
(1)若l1⊥l2，求实数a的值；
(2)当l1∥l2时，求直线l1与l2之间的距离．
能力练
1．(多选题)两平行线分别经过点A(5，0)，B(0，12)，它们之间的距离可能是(　　)
A．2　　　　B．10　　　　C．13　　　　D．15
2．已知点A在直线x＋2y－1＝0上，点B在直线x＋2y＋3＝0上，线段AB的中点为P(x0，y0)，且满足y0>x0＋2，则的取值范围为(　　)
A． B．
C． D．
3．点(5，2)到直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5的距离的最大值为________．
4．已知点P(a，b)在线段AB上运动，其中A(1，0)，B(0，1)．则(a＋2)2＋(b＋2)2的取值范围是________．
拓展
已知三条直线l1：2x－y＋a＝0(a＞0)，l2：－4x＋2y＋1＝0，l3：x＋y－1＝0，且l1与l2之间的距离为．
(1)求a的值；
(2)是否存在一点P，使得点P同时满足下列三个条件：
①P是第一象限的点；②点P到l1的距离是点P到l2的距离的；③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是∶．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案：
基础练
一、选择题
1．点P在x轴上，且到直线3x－4y＋6＝0的距离为6，则点P的坐标为(　　)
A．(8，0)　　　　　　 B．(－12，0)
C．(8，0)或(－12，0) D．(－8，0)或(12，0)
C　[设点P的坐标为(x，0)，则根据点到直线的距离公式可得＝6，
解得x＝8或x＝－12．
所以点P的坐标为(8，0)或(－12，0)．]
2．已知直线l1：2x＋y＋n＝0，l2：4x＋my－4＝0互相平行，且l1，l2之间的距离为，则m＋n＝(　　)
A．－3或3 B．－2或4
C．－1或5 D．－2或2
A　[由2m－4＝0，解得m＝2．满足l1∥l2．
l2的方程为2x＋y－2＝0，有＝，
则|n＋2|＝3，
解得n＝1或－5，
故m＋n＝±3．]
3．若点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O为原点，则|OP|的最小值为(　　)
A．　　　B．2　　C．　　　D．2
B　[|OP|的最小值即为点O到直线x＋y－4＝0的距离，由点到直线的距离公式得d＝＝2．]
4．直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是(　　)
A．3x－2y－6＝0 B．2x＋3y＋7＝0
C．3x－2y－12＝0 D．2x＋3y＋8＝0
D　[设所求直线的方程为2x＋3y＋C＝0，由题意知＝，
∴c＝8或c＝－6(舍去)，故所求直线的方程为2x＋3y＋8＝0．]
5．已知点A(0，2)，B(2，0)，若点C在函数y＝x2的图像上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为(　　)
A．4　　　　B．3　　　　C．2　　　　D．1
A　[由题意可得|AB|＝2，直线AB的方程为x＋y－2＝0．
因为△ABC的面积为2，所以AB边上的高h满足方程×2h＝2，得h＝．
设点C(t，t2)，则由点到直线的距离公式得＝，即|t2＋t－2|＝2，则t2＋t－4＝0或t2＋t＝0，这两个方程共有4个不相等的实数根，故满足题意的点C有4个．]
二、填空题
6．P，Q分别为3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上一点，则|PQ|的最小值为________．
　[|PQ|的最小值即为两平行直线的距离d＝＝．]
7．过点A(－3，1)的直线中，与原点距离最远的直线方程为________．
3x－y＋10＝0　[设原点为O，则所求直线过点A(－3，1)且与OA垂直，又kOA＝－，∴所求直线的斜率为3，故其方程为y－1＝3(x＋3)，即3x－y＋10＝0．]
8．已知x＋y－3＝0，则的最小值为________．
　[设P(x，y)，A(2，－1)，
则点P在直线x＋y－3＝0上，
且＝|PA|．
|PA|的最小值为点A(2，－1)到直线x＋y－3＝0的距离d＝＝．]
三、解答题
9．已知直线l1和l2的方程分别为7x＋8y＋9＝0，7x＋8y－3＝0，直线l平行于l1，直线l与l1的距离为d1，与l2的距离为d2，且＝，求直线l的方程．
[解]　由题意知l1∥l2，故l1∥l2∥l．
设l的方程为7x＋8y＋C＝0，
则2·＝，
解得c＝21或c＝5．
∴直线l的方程为7x＋8y＋21＝0或7x＋8y＋5＝0．
10．已知直线l1：ax＋3y＋1＝0，l2：x＋(a－2)y＋a＝0．
(1)若l1⊥l2，求实数a的值；
(2)当l1∥l2时，求直线l1与l2之间的距离．
[解]　(1)由l1⊥l2知，a＋3(a－2)＝0，解得a＝．
(2)当l1∥l2时，有解得a＝3．
l1：3x＋3y＋1＝0，l2：x＋y＋3＝0，即3x＋3y＋9＝0，则直线l1与l2之间的距离d＝＝．
能力练
1．(多选题)两平行线分别经过点A(5，0)，B(0，12)，它们之间的距离可能是(　　)
A．2　　　　B．10　　　　C．13　　　　D．15
ABC　[当两平行线与AB垂直时，两平行线间的距离最大，为|AB|＝13，所以0＜d≤13．]
2．已知点A在直线x＋2y－1＝0上，点B在直线x＋2y＋3＝0上，线段AB的中点为P(x0，y0)，且满足y0>x0＋2，则的取值范围为(　　)
A． B．
C． D．
A　[设A(x1，y1)，＝k，则y0＝kx0，∵AB的中点为P(x0，y0)， ∴B(2x0－x1，2y0－y1)，∵A，B分别在直线x＋2y－1＝0和x＋2y＋3＝0上，
∴x1＋2y1－1＝0，2x0－x1＋2(2y0－y1)＋3＝0，
∴2x0＋4y0＋2＝0，即x0＋2y0＋1＝0．
∵y0＝kx0，∴x0＋2kx0＋1＝0，即 x0＝－，
又y0>x0＋2，∴kx0>x0＋2，即(k－1)x0>2，
所以(k－1)>2，即 <0，解得－3．点(5，2)到直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5的距离的最大值为________．
2　[化直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5为m(x＋2y－1)－x－y＋5＝0．
联立解得
∴直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5过定点(9，－4)，
∴点(5，2)到直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5的距离的最大值为＝2．]
4．已知点P(a，b)在线段AB上运动，其中A(1，0)，B(0，1)．则(a＋2)2＋(b＋2)2的取值范围是________．
　[由(a＋2)2＋(b＋2)2联想两点间的距离公式，设Q(－2，－2)，又P(a，b)，
则|PQ|＝，
于是问题转化为求|PQ|2的最大值、最小值．
如图所示，当P与A或B重合时，|PQ|取得最大值，即
＝，
当PQ⊥AB时，|PQ|取得最小值，此时|PQ|为Q点到直线AB的距离，由A，B两点坐标可得直线AB的方程为x＋y－1＝0．
则Q点到直线AB的距离
d＝＝＝，
∴≤(a＋2)2＋(b＋2)2≤13．]
拓展
已知三条直线l1：2x－y＋a＝0(a＞0)，l2：－4x＋2y＋1＝0，l3：x＋y－1＝0，且l1与l2之间的距离为．
(1)求a的值；
(2)是否存在一点P，使得点P同时满足下列三个条件：
①P是第一象限的点；②点P到l1的距离是点P到l2的距离的；③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是∶．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
[解]　(1)直线l2可化为2x－y－＝0，则l1∥l2，所以l1与l2之间的距离d＝＝，则＝，又a＞0，故a＝3．
(2)假设存在这样的点P(x0，y0)同时满足条件①②③．
若点P满足条件②，则点P在与l1，l2平行的直线l′：2x－y＋C＝0(C≠3且C≠－)上，且＝·，解得C＝或C＝．
所以l′：2x－y＋＝0或2x－y＋＝0．
若点P满足条件③，由点到直线的距离公式有＝·，即|2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|，
所以x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0．
由条件①，点P在第一象限，所以3x0＋2＝0不合题意，舍去．
联立方程得解得不合题意，舍去．
联立方程得解得满足题意．
故存在点P同时满足题中三个条件．
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