2021_2022学年新教材高中数学2.2.3两条直线的位置关系(word含解析)

两条直线的位置关系
(建议用时：40分钟)
基础练
一、选择题
1．直线l1：2x＋3y－2＝0，l2：2x＋3y＋2＝0的位置关系是(　　)
A．垂直　　　B．平行　　　C．相交　　　D．重合
2．已知M(0，2)，N(－2，2)，则直线MN与直线x＝0的位置关系是(　　)
A．平行　　B．垂直　　C．重合　　D．相交
3．已知直线2ax＋y－1＝0与直线(a－1)x＋ay＋1＝0垂直，则实数a的值等于(　　)
A．　　B．　　C．0或　　D．0或
4．直线x＋a2y＋6＝0和直线(a－2)x＋3ay＋2a＝0没有公共点，则a的值是(　　)
A．0或3 B．－1或3
C．0或－1或3 D．0或－1
5．直线l过点(－1，2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程为(　　)
A．2x－3y＋5＝0 B．3x＋2y－1＝0
C．3x＋2y＋7＝0 D．2x－3y＋8＝0
二、填空题
6．过点(1，0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是________．
7．已知直线mx＋4y－2＝0与2x－5y＋n＝0互相垂直，垂足为(1，p)，则m＋n－p＝________．
8．已知直线l的倾斜角为135°，直线l1经过点A(3，2)，B(a，－1)，且直线l1与l垂直，直线l2：2x＋by＋1＝0与直线l1平行，则a＋b＝________．
三、解答题
9．已知A(1，－1)，B(2，2)，C(3，0)三点，求点D的坐标，使CD⊥AB，且BC∥AD．
10．已知在?ABCD中，A(1，2)，B(5，0)，C(3，4)．
(1)求点D的坐标；
(2)试判定?ABCD是否为菱形？
能力练
1．(多选题)下列说法错误的是(　　)
A．若直线l1与l2倾斜角相等，则l1∥l2
B．若直线l1⊥l2，则k1k2＝－1
C．若直线的斜率不存在，则这条直线一定平行于y轴
D．若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行
2．若直线l：y＝kx－与直线x＋y－3＝0相交，且交点在第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是 (　　)
A．(0°，60°) B．(30°，60°)
C．(30°，90°) D．(60°，90°)
3．设点P(2，5)关于直线x＋y＝1的对称点为Q，则Q点的坐标为________，过Q且与直线x＋y－3＝0垂直的直线方程为________．
4．已知两点A(2，0)，B(3，4)，直线l过点B，且交y轴于点C(0，y)，O是坐标原点，有O，A，B，C四点共圆，那么y的值是________．
拓展
一个矩形花园里要铺两条笔直的小路，已知矩形花园长AD＝5 m，宽AB＝3 m，其中一条小路定为AC，另一条小路过点D，问如何在BC上找到一点M，使得两条小路AC与DM相互垂直？
参考答案：
基础练
一、选择题
1．直线l1：2x＋3y－2＝0，l2：2x＋3y＋2＝0的位置关系是(　　)
A．垂直　　　B．平行　　　C．相交　　　D．重合
B　[∵A1B2－A2B1＝0且B1C2≠B2C1，∴l1∥l2．]
2．已知M(0，2)，N(－2，2)，则直线MN与直线x＝0的位置关系是(　　)
A．平行　　B．垂直　　C．重合　　D．相交
B　[直线MN的斜率为kMN＝0，x＝0的倾斜角为90°，所以直线x＝0与直线MN垂直．]
3．已知直线2ax＋y－1＝0与直线(a－1)x＋ay＋1＝0垂直，则实数a的值等于(　　)
A．　　B．　　C．0或　　D．0或
C　[由已知，得2a(a－1)＋a＝0，∴a＝0或a＝．]
4．直线x＋a2y＋6＝0和直线(a－2)x＋3ay＋2a＝0没有公共点，则a的值是(　　)
A．0或3 B．－1或3
C．0或－1或3 D．0或－1
D　[两直线无公共点，即两直线平行，
∴1×3a－a2(a－2)＝0，
∴a＝0或－1或3，经检验知a＝3时两直线重合．∴a＝0或－1．]
5．直线l过点(－1，2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程为(　　)
A．2x－3y＋5＝0 B．3x＋2y－1＝0
C．3x＋2y＋7＝0 D．2x－3y＋8＝0
B　[与2x－3y＋4＝0垂直的直线方程为3x＋2y＋m＝0，将(－1，2)代入直线方程得m＝－1．]
二、填空题
6．过点(1，0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是________．
x－2y－1＝0　[与直线x－2y－2＝0平行的直线方程设为x－2y＋C＝0，将点(1，0)代入得C＝－1，故直线方程为x－2y－1＝0．]
7．已知直线mx＋4y－2＝0与2x－5y＋n＝0互相垂直，垂足为(1，p)，则m＋n－p＝________．
0　[由两条直线垂直，得k1·k2＝－1，
即－×＝－1，
∴m＝10，直线为10x＋4y－2＝0，
又∵垂足为(1，p)，故p＝－2，
∴垂足为(1，－2)，代入2x－5y＋n＝0，得n＝－12，
故m＋n－p＝10＋(－12)－(－2)＝0．]
8．已知直线l的倾斜角为135°，直线l1经过点A(3，2)，B(a，－1)，且直线l1与l垂直，直线l2：2x＋by＋1＝0与直线l1平行，则a＋b＝________．
－2　[依题意，知直线l的斜率k＝tan 135°＝－1，则直线l1的斜率为1，于是有＝1，所以a＝0．又直线l2与l1平行，所以1＝－，即b＝－2，所以a＋b＝－2．]
三、解答题
9．已知A(1，－1)，B(2，2)，C(3，0)三点，求点D的坐标，使CD⊥AB，且BC∥AD．
[解]　设点D的坐标为(x，y)，由题意知直线CD，AD的斜率都存在．
因为kAB＝＝3，kCD＝且CD⊥AB，
所以kAB·kCD＝－1，即3×＝－1．①
因为kBC＝＝－2，kAD＝且BC∥AD，
所以kBC＝kAD，即－2＝．②
由①②可得，x＝0，y＝1，所以点D的坐标为(0，1)．
10．已知在?ABCD中，A(1，2)，B(5，0)，C(3，4)．
(1)求点D的坐标；
(2)试判定?ABCD是否为菱形？
[解]　(1)设点D坐标为(a，b)，因为四边形ABCD为平行四边形，所以kAB＝kCD，kAD＝kBC，
所以解得所以D(－1，6)．
(2)因为kAC＝＝1，kBD＝＝－1，
所以kAC·kBD＝－1，所以AC⊥BD，所以?ABCD为菱形．
能力练
1．(多选题)下列说法错误的是(　　)
A．若直线l1与l2倾斜角相等，则l1∥l2
B．若直线l1⊥l2，则k1k2＝－1
C．若直线的斜率不存在，则这条直线一定平行于y轴
D．若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行
ABC　[直线l1与直线l2的倾斜角相等，l1与l2可能平行也可能重合，故A错；l1⊥l2，它们中可能有斜率不存在的情况，故k1k2＝－1错误；若直线的斜率不存在，这条直线可能平行于y轴或与y轴重合，故C错；两直线斜率不相等，它们一定不平行，故D正确．]
2．若直线l：y＝kx－与直线x＋y－3＝0相交，且交点在第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是 (　　)
A．(0°，60°) B．(30°，60°)
C．(30°，90°) D．(60°，90°)
C　[联立方程得交点，由交点在第一象限知解得k> ，即tan α>，α是锐角，故30°<α<90° ，故选C．]
3．设点P(2，5)关于直线x＋y＝1的对称点为Q，则Q点的坐标为________，过Q且与直线x＋y－3＝0垂直的直线方程为________．
(－4，－1)　x－y＋3＝0　[设Q(a，b)，则解得a＝－4，b＝－1．
即对称点坐标为Q(－4，－1)，设与直线x＋y－3＝0垂直的直线方程为x－y＋C＝0，将(－4，－1)代入上式得C＝3，所以直线方程为x－y＋3＝0．]
4．已知两点A(2，0)，B(3，4)，直线l过点B，且交y轴于点C(0，y)，O是坐标原点，有O，A，B，C四点共圆，那么y的值是________．
　[由于O，A，B，C四点共圆，CO⊥OA，所以AB⊥BC，∴kAB·kBC＝－1，
即×＝－1，解得y＝．]
拓展
一个矩形花园里要铺两条笔直的小路，已知矩形花园长AD＝5 m，宽AB＝3 m，其中一条小路定为AC，另一条小路过点D，问如何在BC上找到一点M，使得两条小路AC与DM相互垂直？
[解]　法一：如图所示，以点B为坐标原点，BC，BA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，由AD＝5 m，AB＝3 m，可得C(5，0)，D(5，3)，A(0，3)．
直线AC的方程为＋＝1，即3x＋5y－15＝0，设与直线AC垂直的直线的方程为5x－3y＋t＝0，把D(5，3)代入得t＝－25＋9＝－16，即过点D(5，3)且与直线AC垂直的直线的方程为5x－3y－16＝0．
令y＝0，得x＝＝3.2，即BM＝3.2 m时，两条小路AC与DM相互垂直．
法二：如图所示，以点B为坐标原点，BC，BA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，由AD＝5 m，AB＝3 m，可得C(5，0)，D(5，3)，A(0，3)，设点M的坐标为(x，0)，∵AC⊥DM，
∴kAC·kDM＝－1．
∴×＝－1，即x＝3.2，
即BM＝3.2 m时，两条小路AC与DM相互垂直．