2021_2022学年新教材高中数学2.3.3直线与圆的位置关系(word含解析)

直线与圆的位置关系
(建议用时：40分钟)
基础练
一、选择题
1．对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是(　　)
A．相离　　　　　　 B．相切
C．相交但直线不过圆心 D．相交且直线过圆心
2．直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是(　　)
A．－2或12 B．2或－12
C．－2或－12 D．2或12
3．如果直线ax＋by＝4与圆x2＋y2＝4有两个不同的交点，则点P(a，b)与圆的位置关系是(　　)
A．P在圆外 B．P在圆上
C．P在圆内 D．不能确定
4．直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a＜3)相交于A，B两点，若弦AB的中点C(－2，3)，则直线l的方程为(　　)
A．x－y＋5＝0 B．x＋y－1＝0
C．x－y－5＝0 D．x＋y－3＝0
5．圆(x＋1)2＋y2＝2上的点到直线y＝x＋3的距离的最大值为(　　)
A．1　　　B．2　　C．　　　D．2
二、填空题
6．若直线x－2y－3＝0与圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝9交于E，F两点，则△ECF的面积为________．
7．直线l：y＝x＋b与曲线C：y＝有两个公共点，则b的取值范围是________．
8．已知M(x，y)是圆x2＋y2＝1上任意一点，则的取值范围是________．
三、解答题
9．已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0．
(1)当a为何值时，直线l与圆C相切？
(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且AB＝2时，求直线l的方程．
10．已知以点A(－1，2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，过点B(－2，0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点．
(1)求圆A的方程；
(2)当|MN|＝2时，求直线l的方程．
能力练
1．已知点M(a，b)(ab≠0)是圆O：x2＋y2＝r2(r＞0)内一点，直线g是以M为中点的弦所在的直线，直线l的方程为ax＋by＋r2＝0，则(　　)
A．l∥g，且l与圆O相离 B．l⊥g，则l与圆O相切
C．l∥g，且l与圆O相交 D．l⊥g，且l与圆O相离
2．(多选题)已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，且|＋|＝|－|(其中O为坐标原点)，则实数a的值可能为(　　)
A．－2　　　B．－　　C．2　　　D．
3．已知直线l：2mx－y－8m－3＝0，则直线过定点_________，该直线被圆C：x2＋y2－6x＋12y＋20＝0截得的最短弦长为________．
4．圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为的点有_______个．
拓展
已知圆M：x2＋(y－4)2＝4，P是直线l：x－2y＝0上的动点，过点P作圆M的切线PA，切点为A．
(1)当切线PA的长度为2时，求点P的坐标．
(2)若△PAM的外接圆为圆N，试问：当点P运动时，圆N是否过定点？若过定点，求出所有的定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
参考答案：
基础练
一、选择题
1．对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是(　　)
A．相离　　　　　　 B．相切
C．相交但直线不过圆心 D．相交且直线过圆心
C　[易知直线过定点(0，1)且点(0，1)在圆内，但是直线不过圆心(0，0)．]
2．直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是(　　)
A．－2或12 B．2或－12
C．－2或－12 D．2或12
D　[由圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0知圆心坐标为(1，1)，半径为1，所以＝1，
解得b＝2或b＝12．]
3．如果直线ax＋by＝4与圆x2＋y2＝4有两个不同的交点，则点P(a，b)与圆的位置关系是(　　)
A．P在圆外 B．P在圆上
C．P在圆内 D．不能确定
A　[直线ax＋by＝4与圆x2＋y2＝4的圆心之间的距离为d＝．
又直线与圆有两个不同的交点，
∴d＜r，即＜2，∴a2＋b2＞4，∴点P(a，b)在圆外．]
4．直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a＜3)相交于A，B两点，若弦AB的中点C(－2，3)，则直线l的方程为(　　)
A．x－y＋5＝0 B．x＋y－1＝0
C．x－y－5＝0 D．x＋y－3＝0
A　[由圆的一般方程可得圆心O(－1，2)，由圆的性质易知O(－1，2)，C(－2，3)的连线与弦AB垂直，故有kAB×kOC＝－1 kAB＝1，故直线AB的方程为y－3＝x＋2，即x－y＋5＝0．]
5．圆(x＋1)2＋y2＝2上的点到直线y＝x＋3的距离的最大值为(　　)
A．1　　　B．2　　C．　　　D．2
D　[由题意可知圆心坐标为(－1，0)，故圆上的点到直线y＝x＋3的最大距离d＝＋＝2，故选D．]
二、填空题
6．若直线x－2y－3＝0与圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝9交于E，F两点，则△ECF的面积为________．
2　[圆心C(2，－3)到直线x－2y－3＝0的距离为d＝＝，又知圆C的半径长为3，∴|EF|＝2＝4，∴S△ECF＝·|EF|·d＝×4×＝2．]
7．直线l：y＝x＋b与曲线C：y＝有两个公共点，则b的取值范围是________．
[1，)　[曲线C的方程可化为x2＋y2＝1(y≥0)，易知曲线的图像为以(0，0)为圆心，1为半径的圆的上半部分，如图所示，直线y＝x＋b是平行于y＝x的直线，由图知直线夹在l1与l2之间，含l2，不含l1，故1≤b＜．
]
8．已知M(x，y)是圆x2＋y2＝1上任意一点，则的取值范围是________．
　[设＝k，则直线y＝k(x＋2)与圆x2＋y2＝1有公共点，
∴≤1，
即3k2≤1，
∴－≤k≤．]
三、解答题
9．已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0．
(1)当a为何值时，直线l与圆C相切？
(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且AB＝2时，求直线l的方程．
[解]　圆C方程可化为x2＋(y－4)2＝4，此圆的圆心为(0，4)，半径为2．
(1)若直线l与圆C相切，则有＝2，解得a＝－，即当a＝－时，直线l与圆C相切．
(2)过圆心C作CD⊥AB(图略)，则根据题意和圆的性质，得
解得a＝－7或a＝－1，
故所求方程为：7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0．
10．已知以点A(－1，2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，过点B(－2，0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点．
(1)求圆A的方程；
(2)当|MN|＝2时，求直线l的方程．
[解]　(1)设圆A的半径为r，
∵圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，
∴r＝＝2，
∴圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20．
(2)当直线l与x轴垂直时，
则直线l的方程x＝－2，
此时有|MN|＝2，即x＝－2符合题意．
当直线l与x轴不垂直时，设直线l的斜率为k，
则直线l的方程为y＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＝0，
∵Q是MN的中点，∴AQ⊥MN，
∴|AQ|2＋＝r2，
又∵|MN|＝2，r＝2，∴|AQ|＝＝1，
解方程|AQ|＝＝1，得k＝，
∴此时直线l的方程为y－0＝(x＋2)，
即3x－4y＋6＝0．
综上所述，直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0．
能力练
1．已知点M(a，b)(ab≠0)是圆O：x2＋y2＝r2(r＞0)内一点，直线g是以M为中点的弦所在的直线，直线l的方程为ax＋by＋r2＝0，则(　　)
A．l∥g，且l与圆O相离 B．l⊥g，则l与圆O相切
C．l∥g，且l与圆O相交 D．l⊥g，且l与圆O相离
A　[∵点M在圆内，∴a2＋b2＜r2．∵圆心O(0，0)到直线l的距离d＝＞r，∴直线l与圆O相离．又直线g的方程为y－b＝－(x－a)，即ax＋by－a2－b2＝0，∴l∥g．]
2．(多选题)已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，且|＋|＝|－|(其中O为坐标原点)，则实数a的值可能为(　　)
A．－2　　　B．－　　C．2　　　D．
AC　[由题可知OA⊥OB，OA＝OB，∴△AOB为等腰直角三角形．又圆心坐标为(0，0)，半径r＝2，∴|AB|＝r＝2，∴圆心(0，0)到直线x＋y＝a的距离d＝|AB|＝＝，解得a＝±2．故选AC．]
3．已知直线l：2mx－y－8m－3＝0，则直线过定点_________，该直线被圆C：x2＋y2－6x＋12y＋20＝0截得的最短弦长为________．
(4，－3)　2　[将直线l变形得2m(x－4)＝y＋3，即直线l恒过定点P(4，－3)，圆的方程可化为(x－3)2＋(y＋6)2＝25．
如图，当圆心C(3，－6)到直线l的距离最大时，线段AB的长度最短．
此时PC⊥l，又kPC＝＝3，
所以直线l的斜率为－，
则2m＝－，所以m＝－．
在Rt△APC中，|PC|＝，|AC|＝r＝5．
所以|AB|＝2＝2．
故当m＝－时，l被C截得的弦长最短，最短弦长为2．]
4．圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为的点有_______个．
3　[圆的方程可化为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，
所以弦心距为d＝＝．
又圆的半径为2，所以到直线x＋y＋1＝0的距离为的点有3个．]
拓展
已知圆M：x2＋(y－4)2＝4，P是直线l：x－2y＝0上的动点，过点P作圆M的切线PA，切点为A．
(1)当切线PA的长度为2时，求点P的坐标．
(2)若△PAM的外接圆为圆N，试问：当点P运动时，圆N是否过定点？若过定点，求出所有的定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
[解]　(1)由题可知，圆M的圆心为M(0，4)，半径r＝2．
设P(2b，b)，因为PA是圆M的一条切线，所以∠MAP＝90°．
在Rt△MAP中，|MP|2＝|AM|2＋|AP|2，故|MP|＝＝4．
又|MP|＝＝，
所以＝4，解得b＝0或b＝．
所以点P的坐标为(0，0)或．
(2)设点P的坐标为(2b，b)．
因为∠MAP＝90°，所以△PAM的外接圆是以MP为直径，以MP的中点坐标为圆心的圆，
所以圆N的方程为(x－b)2＋＝，即(2x＋y－4)b－(x2＋y2－4y)＝0．
由解得或
所以圆N过定点(0，4)和．
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