2021_2022学年新教材高中数学2.3.4圆与圆的位置关系（word含解析）

圆与圆的位置关系
(建议用时：40分钟)
基础练
一、选择题
1．圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2－2x＋4y－4＝0的位置关系为(　　)
A．相离　　　B．相交 　　　C．相切　　　D．内含
2．圆x2＋4x＋y2＝0与圆(x－2)2＋(y－3)2＝r2有三条公切线，则半径r＝(　　)
A．5　　B．4　　C．3　　D．2
3．若圆C：x2＋(y－4)2＝18与圆D：(x－1)2＋(y－1)2＝r2的公共弦长为6，则圆D的半径为(　　)
A．5　　B．2　　C．2　　D．2
4．半径为5且与圆x2＋y2－6x＋8y＝0相切于原点的圆的方程为(　　)
A．x2＋y2－6x－8y＝0
B．x2＋y2＋6x－8y＝0
C．x2＋y2＋6x＋8y＝0
D．x2＋y2－6x－8y＝0或x2＋y2－6x＋8y＝0
5．已知半径为1 cm的两圆外切，半径为2 cm且和这两圆都相切的圆共有(　　)
A．3个　　B．4个　　C．2个　　D．5个
二、填空题
6．已知圆C的圆心为(2，1)，若圆C与圆M：x2＋y2－3x＝0的公共弦所在直线过点(5，－2)，则圆C的方程为________．
7．已知点P在圆x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是________．
8．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．
三、解答题
9．求圆心在直线x－y－4＝0上，且经过两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0交点的圆的方程．
10．求与圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4相切于点A(4，－1)且半径为1的圆的方程．
能力练
1．(多选题)已知圆C：(x－4)2＋(y－3)2＝4和两点A(0，－a)，B(0，a)(a＞0)．若圆C上有且只有一点P，使得∠APB＝90°，则a的值可能为(　　)
A．3　　B．5　　C．7　　D．9
2．设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4，1)，则两圆心的距离|C1C2|＝(　　)
A．4　　B．4　　C．8　　D．8
3．在直角坐标系xOy中，点A(x1，y1)和点B(x2，y2)是单位圆x2＋y2＝1上两点，|AB|＝1，则∠AOB＝_____________，|y1＋2|＋|y2＋2|的最大值为________．
4．与直线x＋y－2＝0和圆x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是________．
拓展
在平面直角坐标系xOy中，已知圆M：(x－3)2＋(y－4)2＝4及其上一点A．
(1)求|OA|的最大值；
(2)设A(3，2)，点T在x轴上．若圆M上存在两点P和Q，使得＋＝，求点T的横坐标的取值范围．
参考答案：
基础练
一、选择题
1．圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2－2x＋4y－4＝0的位置关系为(　　)
A．相离　　　B．相交 　　　C．相切　　　D．内含
B　[圆x2＋y2＝4的圆心坐标为(0，0)，半径为2，圆x2＋y2－2x＋4y－4＝0，即(x－1)2＋(y＋2)2＝9，圆心坐标为(1，－2)，半径为3，两圆的圆心距为＝，半径和为5，半径差的绝对值为1，∵1＜＜5，∴两圆相交．]
2．圆x2＋4x＋y2＝0与圆(x－2)2＋(y－3)2＝r2有三条公切线，则半径r＝(　　)
A．5　　B．4　　C．3　　D．2
C　[两圆的圆心分别为(－2，0)，(2，3)，半径分别为2，r，由于两圆有三条公切线，所以两圆相外切，∴＝2＋r，即5＝2＋r，∴r＝3．]
3．若圆C：x2＋(y－4)2＝18与圆D：(x－1)2＋(y－1)2＝r2的公共弦长为6，则圆D的半径为(　　)
A．5　　B．2　　C．2　　D．2
D　[两圆方程相减得2x－6y＝4－r2，又由圆C的方程为x2＋(y－4)2＝18，其圆心为(0，4)，半径r＝3，两圆的公共弦长为6，则点(0，4)在直线2x－6y＝4－r2上，则有2×0－6×4＝4－r2，r2＝28，r＝2．]
4．半径为5且与圆x2＋y2－6x＋8y＝0相切于原点的圆的方程为(　　)
A．x2＋y2－6x－8y＝0
B．x2＋y2＋6x－8y＝0
C．x2＋y2＋6x＋8y＝0
D．x2＋y2－6x－8y＝0或x2＋y2－6x＋8y＝0
B　[已知圆的圆心为(3，－4)，半径为5，所求圆的半径也为5，由两圆相切于原点，知所求圆的圆心与已知圆的圆心关于原点对称，即为(－3，4)，可知选B．]
5．已知半径为1 cm的两圆外切，半径为2 cm且和这两圆都相切的圆共有(　　)
A．3个　　B．4个　　C．2个　　D．5个
D　[要全面分析所有的情况，包括都外切，都内切，一内切一外切．这样的圆共有5个，如图，它们是圆A、圆B、圆C、圆D、圆E．]
二、填空题
6．已知圆C的圆心为(2，1)，若圆C与圆M：x2＋y2－3x＝0的公共弦所在直线过点(5，－2)，则圆C的方程为________．
(x－2)2＋(y－1)2＝4　[设圆C的半径为r，则圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r2，即x2＋y2－4x－2y＋5－r2＝0．将圆C与圆M的方程相减得公共弦所在直线的方程为x＋2y－5＋r2＝0．因为该直线过点(5，－2)，所以r2＝4．
故圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4．]
7．已知点P在圆x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是________．
3－5　[两圆的圆心和半径分别为C1(4，2)，r1＝3，
C2(－2，－1)，r2＝2，|C1C2|＝3，|C1C2|＞r1＋r2，∴两圆外离．
∴|PQ|min＝|C1C2|－r1－r2＝3－3－2＝3－5．]
8．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．
　[圆C：(x－4)2＋y2＝1，如图，要满足直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，只需保证圆心C到y＝kx－2的距离小于或等于2，
即≤2，解得0≤k≤．∴kmax＝．]
三、解答题
9．求圆心在直线x－y－4＝0上，且经过两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0交点的圆的方程．
[解]　法一：由
得到两圆公共弦为y＝x，
由解得或
∴两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点分别为A(－1，－1)，B(3，3)，
线段AB的垂直平分线方程为y－1＝－(x－1)．
由得
∴所求圆的圆心为(3，－1)，
半径为＝4．
∴所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16．
法二：由法一知两圆交点为A(－1，－1)，B(3，3)．
设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由得
∴所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16．
10．求与圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4相切于点A(4，－1)且半径为1的圆的方程．
[解]　设所求圆的圆心为P(a，b)，则
＝1． ①
(1)若两圆外切，
则有＝1＋2＝3， ②
联立①②，解得a＝5，b＝－1，所以，所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1；
(2)若两圆内切，
则有＝|2－1|＝1， ③
联立①③，解得a＝3，b＝－1，所以，所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝1．
综上所述，所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1或(x－3)2＋(y＋1)2＝1．
能力练
1．(多选题)已知圆C：(x－4)2＋(y－3)2＝4和两点A(0，－a)，B(0，a)(a＞0)．若圆C上有且只有一点P，使得∠APB＝90°，则a的值可能为(　　)
A．3　　B．5　　C．7　　D．9
AC　[根据题意，圆C：(x－4)2＋(y－3)2＝4，其圆心为(4，3)，半径r＝2；两点A(0，－a)，B(0，a)(a＞0)，以AB为直径的圆的方程为x2＋y2＝a2，则该圆圆心为O(0，0)，半径R＝a．若点P满足∠APB＝90°，则点P在圆x2＋y2＝a2上．
又由圆C上有且只有一点P，使得∠APB＝90°，得圆C与圆x2＋y2＝a2相切，则有|OC|2＝(0－4)2＋(0－3)2＝25＝(2－a)2或|OC|2＝(0－4)2＋(0－3)2＝25＝(2＋a)2，解得a＝7或a＝3．故选AC．]
2．设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4，1)，则两圆心的距离|C1C2|＝(　　)
A．4　　B．4　　C．8　　D．8
C　[∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4，1)，∴两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等．设两圆的圆心分别为(a，a)，(b，b)，则有(4－a)2＋(1－a)2＝a2，(4－b)2＋(1－b)2＝b2，即a，b为方程(4－x)2＋(1－x)2＝x2的两个根，
整理得x2－10x＋17＝0，
∴a＋b＝10，ab＝17．
∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝100－4×17＝32，
∴|C1C2|＝＝＝8．]
3．在直角坐标系xOy中，点A(x1，y1)和点B(x2，y2)是单位圆x2＋y2＝1上两点，|AB|＝1，则∠AOB＝_____________，|y1＋2|＋|y2＋2|的最大值为________．
　4＋　[由|AB|＝1，单位圆的半径为1，则△AOB为正三角形，故∠AOB＝，设A(cos α，sin α)，知B，则|y1＋2|＋|y2＋2|＝4＋sin α＋sin＝4＋sin，
故|y1＋2|＋|y2＋2|的最大值为4＋．]
4．与直线x＋y－2＝0和圆x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是________．
(x－2)2＋(y－2)2＝2　[ 圆的方程化为(x－6)2＋(y－6)2＝18，其圆心C1(6，6)到直线x＋y－2＝0的距离为d＝＝5．过点C1且垂直于x＋y－2＝0的直线为y－6＝x－6，即y＝x，所以所求的最小圆的圆心C2在直线y＝x上，如图所示，
圆心C2到直线x＋y－2＝0的距离为＝，则圆C2的半径长为．设圆心C2的坐标为(x0，y0)，则＝，y0＝x0，解得x0＝2(x0＝0舍去)，所以圆心坐标为(2，2)，
所以所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2．]
拓展
在平面直角坐标系xOy中，已知圆M：(x－3)2＋(y－4)2＝4及其上一点A．
(1)求|OA|的最大值；
(2)设A(3，2)，点T在x轴上．若圆M上存在两点P和Q，使得＋＝，求点T的横坐标的取值范围．
[解]　(1)圆M：(x－3)2＋(y－4)2＝4的圆心为M(3，4)，半径r＝2．
根据平面几何知识得|OA|的最大值为|OM|＋r＝＋2＝7．
(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，T(t，0)．
因为＋＝，所以(3－t，2)＋(x1－t，y1)＝(x2－t，y2)，
即　①
因为点Q在圆M上，所以(x2－3)2＋(y2－4)2＝4．　②
将①代入②，得(x1－t)2＋(y1－2)2＝4．
于是点P(x1，y1)既在圆M上，又在圆(x－t)2＋(y－2)2＝4上，
从而圆M：(x－3)2＋(y－4)2＝4与圆(x－t)2＋(y－2)2＝4有公共点．
所以2－2≤≤2＋2，解得3－2≤t≤3＋2，即点T的横坐标的取值范围为[3－2，3＋2]．
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