2022届高考数学一轮复习 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 第4讲　不等式的性质、一元二次不等式（Word含答案解析）

2022届高考数学一轮复习 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式
第4讲　不等式的性质、一元二次不等式
一、 单项选择题
1. (2020·萍乡期末)不等式(2＋x)(1－x)≥0的解集为(　　)
A. [－2,1] B. [－1,2]
C. (－∞，－2]∪[1，＋∞) D. (－∞，－1]∪[2，＋∞)
2. 若aA. |a|>|b| B. >
C. > D. a2>b2
3. 已知<<0，则下列选项中错误的是(　　)
A. |b|>|a|　 B. ac>bc
C. >0　 D. ln >0
4. 若关于x的不等式2x2－8x－4＋a≤0在1≤x≤3时有解，则实数a的取值范围是(　　)
A. {a|a≤12} B. {a|a≥12}
C. {a|a≤10} D. {a|a≥10}
5. 若不等式ax2＋bx＋c＞0的解为m＜x＜n(其中m＜0＜n)，则不等式cx2－bx＋a＞0的解为(　　)
A. x＞－m或x＜－n B. －n＜x＜－m
C. x>－或x<－ D. －二、 多项选择题
6. (2020·唐山期末)设a，b为正实数，下列命题中的真命题有(　　)
A. 若a2－b2＝1，则a－b＜1
B. 若－＝1，则a－b＜1
C. 若|－|＝1，则|a－b|＜1
D. 若|a3－b3|＝1，则|a－b|＜1
7. 关于x的不等式(1－a)(x－a)＜0，有(　　)
A. 当a＜－1时，不等式的解集为
B. 当a＝－1时，不等式的解集为R
C. 当0＜a＜1时，不等式的解集为(－∞，a)∪
D. 当a＞1时，不等式的解集为∪(a，＋∞)
三、 填空题
8. 不等式－x2＋9x＞0的解集是________．
9. 已知1＜a＜3，－4＜b＜2，那么a－|b|的取值范围是________．
10. 在R上定义运算?：x?y＝x(1－y)，若不等式(x－a)?(x＋a)<1对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为________．
11. 设关于x的不等式ax2＋8(a＋1)x＋7a＋16≥0(a∈Z)只有有限个整数解，且0是其中一个解，则全部不等式的整数解的和为________．
四、 解答题
12. (1) 若bc－ad≥0，bd>0，求证：≤；
(2) 已知c>a>b>0，求证：>.
13. 已知函数f(x)＝mx2－mx－1.
(1) 若对于x∈[1,3]，f(x)<5－m恒成立，求实数m的取值范围；
(2) 若对于x∈[1,3]，f(x)<5－m无解，求实数m的取值范围；
(3) 若存在x∈[1,3]，使得f(x)<5－m成立，求实数m的取值范围．
14. 已知函数f(x)＝x2＋4.
(1) 设g(x)＝，根据函数单调性的定义证明g(x)在区间[2，＋∞)上单调递增；
(2) 当a>0时，解关于x的不等式f(x)>(1－a)x2＋2(a＋1)x.
第4讲　不等式的性质、一元二次不等式
1. A
2. B　【解析】 由不等式的性质可得|a|>|b|，a2>b2，>成立．假设>成立，则－＝＝>0，又a3. D　【解析】 <<0，当c<0时，>>0，即b>a>0，所以|b|>|a|，ac>bc，>0成立，即A，B，C成立；此时0<<1，所以ln <0，D错误．同理，当c>0时，A，B，C也正确，D错误．
4. A　【解析】 原不等式2x2－8x－4＋a≤0化为a≤－2x2＋8x＋4，设函数y＝－2x2＋8x＋4，其中1≤x≤3，函数对应图象的对称轴方程为x＝2，则当x＝2时，函数y＝－2x2＋8x＋4取得最大值为12，所以a≤12.
5. C　【解析】 不等式ax2＋bx＋c＞0的解为m＜x＜n，所以a＜0，且所以b＝－a(m＋n)，c＝amn，所以不等式cx2－bx＋a＞0，可化为amnx2＋a(m＋n)x＋a＞0.又a＜0，所以mnx2＋(m＋n)x＋1＜0，即(mx＋1)(nx＋1)＜0.又m＜0＜n，所以不等式化为>0，且－>－，所以解得x>－或x<－，故选C.
6. AD　【解析】 若a2－b2＝1，则a2－1＝b2，即(a＋1)(a－1)＝b2，因为a＋1＞a－1，所以a－1＜b＜a＋1，即a－b＜1，A正确．若－＝1，可取a＝7，b＝，则a－b＞1，所以B错误．若|－|＝1，则可取a＝9，b＝4，而|a－b|＝5＞1，所以C错误．由|a3－b3|＝1，若a＞b＞0，则a3－b3＝1，即(a－1)·(a2＋a＋1)＝b3，因为a2＋1＋a＞b2，所以a－1＜b，即a－b＜1；若0＜a＜b，则b3－a3＝1，即(b－1)(b2＋1＋b)＝a3，因为b2＋1＋b＞a2，所以b－1＜a，即b－a＜1，所以|a－b|＜1，所以D正确．故选AD.
7. AD　【解析】 当a＜－1时，1－a＞0，且a＜，则不等式可化为(x－a)＜0，不等式的解集为，故A正确；当a＝－1时，不等式可化为2(x＋1)2＜0，不等式的解集为 ，故B错误；当0＜a＜1时，1－a＞0，且a＜，则不等式可化为(x－a)＜0，不等式的解集为，故C错误；当a＞1时，1－a＜0，且a＞，则不等式可化为(x－a)＞0，不等式的解集为∪(a，＋∞)，故D正确．
8. {x|0＜x＜9}　9. (－3,3)
10. 　【解析】 由题意，可知不等式(x－a)?(x＋a)<1对任意实数x都成立，又由(x－a)?(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)，即x2－x－a2＋a＋1>0对任意实数x都成立，所以Δ＝1－4(－a2＋a＋1)<0，即4a2－4a－3<0，解得－11. －10　【解析】 设y＝ax2＋8(a＋1)x＋7a＋16，其图象为抛物线．对于任意一个给定的a值其抛物线只有在开口向下的情况下才能满足y≥0时整数解只有有限个，所以a＜0.因为0为其中的一个解可以求得a≥－，又a∈Z，所以a＝－2，－1，则不等式为－2x2－8x＋2≥0和－x2＋9≥0，可分别求得－－2≤x≤－2和－3≤x≤3.因为x为整数，所以x＝－4，－3，－2，－1,0和x＝－3，－2，－1,0,1,2,3，所以全部不等式的整数解的和为－10.
12. 【解答】 (1) 因为bc≥ad，bd>0，所以≥，
所以＋1≥＋1，所以≤.
(2) 因为c>a>b>0，所以c－a>0，c－b>0.
因为a>b>0，所以<.
因为c>0，所以<，所以<，
又c－a>0，c－b>0，所以>.
13. 【解答】 (1) 要使f(x)<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立，
即m2＋m－6<0在x∈[1,3]上恒成立．
方法一：令g(x)＝m2＋m－6，x∈[1,3]．
当m>0时，g(x)在[1,3]上是增函数，
所以g(x)max＝g(3)，即7m－6<0，
所以m<，所以0当m＝0时，－6<0恒成立；
当m<0时，g(x)在[1,3]上是减函数，
所以g(x)max＝g(1)，即m－6<0，
所以m<6，所以m<0.
综上所述，m的取值范围是.
方法二：因为x2－x＋1＝2＋>0，
又因为m(x2－x＋1)－6<0，所以m<.
因为函数y＝＝在[1,3]上的最小值为，所以只需m<即可，
所以m的取值范围是.
(2) 若f(x)<5－m无解，即f(x)≥5－m恒成立，
即m≥恒成立，
又当x∈[1,3]时，max＝6，得m≥6，
即m的取值范围为[6，＋∞)．
(3) 由题意知f(x)<5－m有解，
即m<有解，则m又x∈[1,3]，得m<6，即m的取值范围为(－∞，6)．
14. 【解答】 (1) 由题意得，g(x)＝x＋，
x1，x2∈[2，＋∞)，且x1则g(x1)－g(x2)＝－＝(x1－x2)＋＝.
由x2>x1≥2，得x1－x2<0，x1x2－4>0，于是g(x1)－g(x2)<0，即g(x1)所以函数g(x)在区间[2，＋∞)上单调递增．
(2) 原不等式可化为ax2－2(a＋1)x＋4>0.
因为a>0，故(x－2)>0.
当<2，即a>1时，得x<或x>2；
当＝2，即a＝1时，得(x－2)2>0，所以x≠2；
当>2，即0.
综上所述，当01时，不等式的解集为∪(2，＋∞)．