沪教版2022届高考数学一轮复习讲义专题13：矩阵和行列式初步复习与检测（Word含答案解析）

学习目标
1.理解矩阵的意义，
2.会进行矩阵的数乘、加法、乘法运算。
3.掌握行列式的意义，理解二元、三元线性方程组的矩阵表示形式，
4.掌握二阶、三阶行列式的对角线展开法则，
5.掌握三阶行列式按照某一行（列）的代数余子式展开的方法，
6.会运用行列式解二元、三元线性方程组
知识梳理
重点1
矩阵：个实数排成行列的矩形数表
叫做矩阵。记作，叫做矩阵的维数。
矩形数表叫做矩阵，矩阵中的每个数叫做矩阵的元素。
重点2
线性方程组的系数矩阵、方程组的增广矩阵、行向量、列向量、单位矩阵。
线性方程组矩阵的三种变换：
①互换矩阵的两行；
②把某一行同乘（除）以一个非零的数；
③某一行乘以一个数加到另一行。
重点3
矩阵运算：加法、减法及乘法
（1）矩阵的和（差）：记作：A+B （A-B）.
运算律：加法交换律：A+B=B+A；加法结合律：（A+B）+C=A+（B+C）
（2）矩阵与实数的积：设为任意实数，把矩阵A的所有元素与相乘得到的矩阵叫做矩阵A与实数的乘积矩阵，记作：A.
运算律：分配律：；；
结合律：；
（3）矩阵的乘积：设A是阶矩阵，B是阶矩阵，设C为矩阵。如果矩阵C中第i行第j列元素是矩阵A第i个行向量与矩阵B的第j个列向量的数量积，那么C矩阵叫做A与B的乘积，记作：Cm×n=Am×k Bk×n.
运算律：分配律：，；
结合律：，；
注意：矩阵的乘积不满足交换律，即.
重点4
二阶行列式的有关概念及二元一次方程组的解法：
设二元一次方程组（*）（其中是未知数，是未知数的系数且不全为零，是常数项）
用加减消元法解方程组（*）:
当时，方程组（*）有唯一解：，
引入记号 表示算式，即 ．
从而引出行列式的相关概念，包括行列式、二阶行列式、行列式的展开式、行列式的值、行列式的元素、对角线法则等。
记 ， ， ，则：
①当 =时，方程组（*）有唯一解，
可用二阶行列式表示为.
②当D=0时，方程组（*）无穷组解；
③当D=0时，或，方程组（*）无解。
系数行列式也为二元一次方程组解的判别式。
例题分析
例1．关于x、y的方程组有无穷多组解，则下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
解：x、y的方程组有无穷多组解，
，
对选项A：成立，故选项A正确；
对选项B：
成立，故选项B正确；
对选项C：
成立，故选项C正确；
对选项D：，
，所以选项D不一定成立，故选项D错误；
故选：D.
例2．关于、的二元一次方程组的增广矩阵为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
关于的二元一次方程组的增广矩阵为，
故选：C
跟踪练习
1．在平面直角坐标系中，点，将向量绕点按逆时针方向旋转后得到向量，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．以下向量中，可以作为直线的一个方向向量是（ ）
A． B． C． D．
3．能成为以行列形式表示的直线方程 的一个方向向量的是（ ）
A． B． C． D．
4．方程5的解集是（ ）
A．{2} B．{2，﹣2} C．{1，﹣1} D．{i，﹣i}
5．关于、的二元一次方程组，其中行列式为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，，则与相等的是（ ）
A． B． C． D．
7．在直角坐标系中，已知椭圆，矩阵阵，，求在矩阵作用下变换所得到的图形的面积.
8．已知矩阵，其中，若点在矩阵A的变换下得到．
（1）求实数的值；
（2）矩阵A的特征值和特征向量．
9．选考部分
（1）如图，向量被矩阵M作用后分别变成，
（Ⅰ）求矩阵M；（Ⅱ）并求在M作用后的函数解析式；
（2）已知在直角坐标系x0y内，直线l的参数方程为．以Ox为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.若C与L的交点为P，求点P与点A（-2,0）的距离|PA|．
10．已知矩阵=，求的特征值，及对应的特征向量．试卷第1页，总3页
试卷第9页，总9页
参考答案
1．D
【详解】
由，得，
将向量绕点按逆时针方向旋转后得到向量，
，
又，，
.
故选：D.
2．D
【详解】
由直线可得：，则直线的一个方向向量为：
故选：D
3．A
【分析】
，由此即可求出答案．
【详解】
解：∵，
∴以行列形式表示的直线方程的一个方向向量是或，
故选：A．
4．B
【详解】
，解得.
故选：B.
5．C
【详解】
关于、的二元一次方程组，
其中行列式为.
故选:C
6．C
【详解】
，
A中行列式值为，不相等，
B中行列式值为，不相等，
C中行列式值为，相等，
D中行列式值为，不相等．
故选：C.
7．.
【详解】
，
设为椭圆上任一点，它在的作用下所对应的点为，
则，
∴，即，
代入得，
∴.
8．（1）
（2）特征值 3，-1 特征向量 ,
【详解】
（1）由 ，得，得；
（2）由（1）知,则矩阵A的特征多项式为，令，得矩阵A的特征值为-1或3，当时，特征向量为，当时，特征向量为.
9．（1）（Ⅰ）;（Ⅱ）;（2）
【详解】
（1）待定系数设M=求得，再坐标转移法得
（2）解1(几何意义)：曲线C化为直角坐标为：，将代入C得：，所以|PA|=
解2(不用几何意义)都化为直角坐标方程的普通方程后，求出交点，再用两点间距离公式．
10．矩阵的特征值为1=3，2=．
属于特征值3的一个特征向量=；
属于特征值的一个特征向量=
【详解】
矩阵的特征多项式为
==
令=0，得到矩阵的特征值为1=3，2=．
当1=3时，由=3，得，
∴，取，得到属于特征值3的一个特征向量=；
当2=时，由=，得，
取，则，得到属于特征值的一个特征向量=