沪教版2022届高考数学一轮复习讲义专题16：圆锥曲线复习与检测（Word含答案解析）

学习目标
1.理解曲线的方程与方程的曲线的意义，
2.利用代数方法判断定点是否在曲线上及求曲线的交点。
3.掌握圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义和求这些曲线方程的基本方法。
4.求曲线的交点之间的距离及交点的中点坐标。
知识梳理
重点1
名 称 椭圆 双曲线
图 象
定 义 平面内到两定点的距离的和为常数（大于）的动点的轨迹叫椭圆即 当2﹥2时，轨迹是椭圆， 当2＝2时，轨迹是一条线段 当2﹤2时，轨迹不存在 平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线. 即 当2﹤2时，轨迹是双曲线 当2＝2时，轨迹是两条射线 当2﹥2时，轨迹不存在
标准方 程 焦点在轴上时： 焦点在轴上时： 注：根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上 焦点在轴上时： 焦点在轴上时：
常数的关 系 ，， 最大， ， 最大，
渐近线 焦点在轴上时： 焦点在轴上时：
重点2
椭圆的性质：椭圆方程
（1）范围：，椭圆落在组成的矩形中。
（2）对称性：图象关于y轴对称，图象关于x轴对称，图象关于原点对称。
（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点
椭圆共有四个顶点：，。
叫椭圆的长轴，长为2a，叫椭圆的短轴，长为2b。
(4)点是椭圆上任一点，是椭圆的一个焦点，则，.
(5)点是椭圆上任一点，当点在短轴端点位置时，取最大值.
重点3
点与椭圆位置关系
点与椭圆位置关系：（1）点在椭圆内 （2）点在椭圆上 （3）点在椭圆外
重点4
直线与椭圆位置关系
（1）直线与椭圆的位置关系及判定方法
位置关系 公共点 判定方法
相交 有两个公共点 直线与椭圆方程首先应消去一个未知数得一元二次方程的根的判别式
相切 有且只有一个公共点
相离 无公共点
（2）弦长公式：设直线交椭圆于
则，或
例题分析
例1．关于曲线，给出下列四个命题：
①曲线关于轴对称；②曲线关于直线对称；
③点（）可能在曲线上；④曲线围成的面积小于；
上述命题中，真命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【详解】
解：对①，将方程中的换成，则原方程不变，
故曲线关于轴对称，故①正确；
对②，将方程中的换成，换成，
所得方程为，与原方程不同，故②错误；
对③，,，
即，
，
故无解，
即点（）不可能在曲线上，故③错误；
对④，在曲线上任取一点，
，
，
故，
即点在圆外，
又圆的面积为：，
故曲线围成的面积大于，故④错误；
综上所述：①正确.
故选：A.
例2．下面是对曲线的一些结论，正确的结论是（ ）
①的取值范围是；
②曲线是中心对称图形；
③曲线上除点，外的其余所有点都在椭圆的内部；
④过曲线上任一点作轴的垂线，垂线段中点的轨迹所围成图形的面积不大于；
A．①②④ B．②③④ C．①② D．①③④
【答案】C
【详解】
，可知，即，，，，①正确；
将方程中的换成，换成方程不变，故②正确；
，令，则，当时，，点在椭圆的外部，故③错误；
过曲线上任一点作轴的垂线，垂线段中点的轨迹为，即，
在上任取一点，
，
，，即在外，
围成图形的面积大于，故④错误.
故选：C
跟踪练习
1．已知两定点 ，动点满足，则点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．双曲线的两条渐近线的夹角的大小等于（ ）
A． B． C． D．
3．设A、B为圆上的两动点，且∠AOB=120 ，P为直线l：3x – 4y – 15=0上一动点，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．点在直线上，若存在过的直线交抛物线于、两点，且，则称点为“友善点”，那么下列结论中正确的是（ ）
A．直线上的所有点都是“友善点”
B．直线上仅有有限个点是“友善点”
C．直线上的所有点都不是“友善点”
D．直线上有无穷多个点（不是所有的点）是“友善点”
5．以圆的圆心为焦点的抛物线标准方程为（ ）
A． B． C． D．
6．平面内有两个定点和一动点，设命题甲：是定值，命题乙：点的轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知常数，抛物线的焦点为F.
（1）若直线被截得的弦长为4，求的值：
（2）设E为点F关于原点O的对称点，P为上的动点，求的取值范围；
（3）设，直线、均过点F，且，与相交于A、B两点，与相交于C、D两点，若，求四边形ACBD的面积.
8．设，平面直角坐标系内的直线，，分别与曲线，交于相异的两点A B.
（1）若，求直线的斜率；
（2）证明：直线过定点M，并求出M的坐标；
（3）是否存在k，使得在数值上等于的倍？若存在，求出所有满足条件的k，否则，证明你的结论.
9．已知椭圆，过动点的直线l交x轴于点N，交C于点A、P（P在第一象限），且M是线段的中点，过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长交C于点B.
（1）求椭圆C的焦距和短轴长；
（2）设直线的斜率为k，的斜率为，证明：为定值；
（3）求直线倾斜角最小时的斜率.
10．已知点F为抛物线的焦点，点，点A为抛物线C上的动点，直线(t为常数)截以为直径的圆所得的弦长为定值.
（1）求焦点F的坐标；
（2）求实数t的值；
（3）若点，过点A的直线交抛物线于另一点B，的中垂线过点D，求m的值和的面积.试卷第1页，总3页
试卷第14页，总14页
参考答案
1．D
【详解】
， ，
，
故选：D.
2．B
【详解】
双曲线的两条渐近线的方程为，
由直线的斜率为，可得倾斜角为，
的斜率为，可得倾斜角为，
所以两条渐近线的夹角的大小为，
故选：B.
3．C
【详解】
设是中点，因为，所以，即在以原点为圆心，为半径的圆上，
，，
又，所以，所以．
故选：C．
4．A
【详解】
设，
因为，
所以 ，
因为A，B都在抛物线上，
所以 ，
消去n得 ，
因为，
所以方程恒有实数解，
故选：A
5．C
【详解】
的圆心，
圆心为焦点的抛物线标准方程为．
故选：C．
6．B
【详解】
解：若点的轨迹是以为焦点的椭圆，则根据椭圆的定义可知动点到两定点的距离之和 ，且为常数）成立是定值．
若动点到两定点的距离之和 ，且为常数），当，此时的轨迹不是椭圆．
甲是乙的必要不充分条件．
故选：．
7．（1）；（2）；（3）.
【详解】
（1）时，，，所以，；
（2）设，则，，则，
，
时，，
时，，当且仅当时等号成立，
所以；
（3）由题意，直线、的斜率都存在且不为0，设直线斜率为，直线方程为，代入抛物线方程得，
设，则，，
，
，，（必异号），
设，由即得，，化简得，
又，所以，，，所以，
由，解得，或．
时，，用代替得，
所以．
8．（1）；（2）证明见解析，；（3）存在，证明见解析.
【详解】
（1）若，则，与曲线交于A B.
联立，得，同理可得，
所以直线的斜率；
（2）联立，可得，同理可得，
所以，
所以直线的方程为，
化简整理得，
当时，恒为0，
所以直线过定点M，M的坐标为；
（3）设原点到直线的距离为，
则，
若存在k，使得在数值上等于的倍，则有,
即，化简得，
所以有，解得（舍）或.
故存在满足条件.
9．（1），；（2）证明见解析；（3）.
【详解】
（1）因为椭圆C的标准方程为，可得，
所以椭圆C的焦距为，短轴长为.
（2）设，由可得，
则直线斜率，的率，所以，
故为定值.
（3）设，直线的方程为，直线的方程为，
联立方程，整理得，
由根与系数关系可得，即，则，
同理
所以，
，
所以，由，可得，
所以，当且仅当，取得等号，此时，，
直线倾斜角为锐角，由直线斜率意义知，斜率为正的直线斜率最小，倾斜角最小，
所以直线倾斜角最小时的斜率为.
10．（1）；（2）；（3），面积为.
【详解】
解：（1）∵， ∴；
（2）设点，的中点为，直径，
设截得得弦为，圆心C到弦的距离为d，
则，
得与无关，所以，
（3）设，，线段的中点为G，
联立，
∵，∴， ∴，
∵，，，
∴，
∴， 符合，
∵，点E到的距离为，
∴．