沪教版2022届高考数学一轮复习讲义专题18：空间直线与平面复习与检测（Word含答案解析）

学习目标
1.掌握画空间图形的基本技能，培养空间想象能力，
2.理解异面直线所成角的概念，
3.会画简单图形中的异面直线所成角的大小。
知识梳理
重点1
直线的对称式（点向式）方程
空间给定了一点与一个非零向量,那么通过点且与向量平行的直线就被唯一确定,向量叫直线的方向向量.
任何一个与直线平行的非零向量都可以作为直线的方向向量.
重点2
直线一般方程与标准方程的互化
标准方程化为一般方程.(方向数不全为零)
一般方程化为标准方程
一般方程
确定直线的两平面法向量的向量积为直线的一个方向 向量.
（2）取方程组的一组特解得直线上一点化得直线标准方程:
重点3
空间平面的一般方程
一个平面I是由垂直它的非零向量n和平面上的一个点M唯一决定的。设n=（A,B,C）（不为零向量）表示垂直I的方向，称n为I的法向量
由于n为平面I的法向量，M0(x0,y0,z0)为I上一点，则对于空间中任意一点M（x,y,z），M在I上当且仅当
或 （3.1.2—1）
用坐标来表示，化为
令，则得到平面的方程
（3.1.2—2）
这样，任何一张平面都可以用一个三元一次方程来表示。反之，对于任何一个三元一次方程
不全为0，
不妨设，则该方程又可写成
作过点，垂直于方向的平面，则这个平面的方程就是所给出的方程，即一个三元一次方程表示一个平面。由此可以看出，经由坐标系，空间中的平面与一个四元数组相对应。但是，这种对应不是一对一的，对于所有的，对应同一平面。由（3.1.2—2）表示的方程称为平面的一般方程。
重点4
空间中直线与平面的位置关系
已知直线和平面的方程为
现在我们来讨论，，在上的充要条件。
因为直线的方向向量与直线平行，平面的法向量与平面垂直，所以有
如果时，和又有公共点，则就整个落在上了.因此有
在上
空间直线与平面的交角
设直线和平面的交角为.当时，；当时，；其他情况下，等于与它在上的射影直线所交的锐角.
设是的方向向量与的法向量之间的夹角，则有
或
或
因此在这两种情况下，都有.
已知直线和平面的方程为
设和的交角为，则
例题分析
例1．如图，矩形中，已知为的中点．将沿着向上翻折至得到四棱锥．平面与平面所成锐二面角为，直线与平面所成角为，则下列说法错误的是（ ）
A．若为中点，则无论翻折到哪个位置都有平面平面
B．若为中点，则无论翻折到哪个位置都有平面
C．
D．存在某一翻折位置，使
【答案】C
【详解】
若为中点，连接交于点，则面，又面，所以平面平面，故A正确；
取中点，则，，又，
所以四边形PECQ是平行四边形，又平面，平面，所以平面，故B正确；
过作平面，则在上，所以平面与平面所成锐二面角为（或其补角），
，故C错误；
若，又，则，故D正确，
故选：C．
例2．如图，在正方体中，M、N分别为，的中点，则异面直线与所成角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
如图，在正方体中，连接交于，
连接，M、N分别为，的中点，所以，
所以异面直线与所成角即与所成角，
易知，
故选：C.
跟踪练习
1．已知直线l平行于平面，平面垂直于平面，则以下关于直线l与平面β的位置关系的表述，正确的是（ ）
A．l与垂直 B．l与无公共点
C．l与至少有一个公共点 D．在内，l与平行，l与相交都有可能
2．设正四棱柱的底面边长为1，高为2，平面经过顶点，且与棱所在直线所成的角都相等，则满足条件的平面共有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图，面，为矩形，连接 ，下面各组向量中，数量积不一定为零的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
4．下列命题为真命题的是（ ）
A．若直线l与平面α上的两条直线垂直，则直线l与平面α垂直
B．若两条直线同时垂直于一个平面，则这两条直线平行
C．若两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面垂直
D．若直线l上的不同两点到平面α的距离相等，则直线l与平面α平行
5．设直线l与平面平行，直线m在平面上，那么（ ）
A．直线l平行于直线m B．直线l与直线m异面
C．直线l与直线m没有公共点 D．直线l与直线m不垂直
6．已知空间直线和平面，则“直线在平面外”是“直线∥平面”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．非充分非必要条件
7．如图，已知四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，M是的中点.
（1）证明：；
（2）求点B到平面的距离.
8．已知如图①，在菱形中，且为的中点，将沿折起使，得到如图②所示的四棱锥，在四棱锥中求解下列问题：
（1）求证：平面；
（2）若为的中点，求直线与平面所成的角.
9．如图，已知正三棱柱的体积为，底面边长为3，求异面直线与所成的角的大小.
10．如图，在几何体中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，．
（1）求证：平面；
（2）若PC与平面所成的角为，求点A到平面的距离．试卷第1页，总3页
试卷第15页，总15页
参考答案
1．D
【详解】
因平面垂直于平面，令，当时满足条件，从而选项A，B都不正确；
过直线a作平面，与平面，平面都不重合，直线l在内与a平行时满足条件，此时，即C选项不正确；
在平面内作一直线b与直线a相交，直线l与b平行时满足条件，此时l与相交，选项D正确.
故选：D
2．D
【详解】
解：第一类：
①在平面的一边在另一边，有一个平面符合条件；
②在平面的一边在另一边，有一个平面符合条件；
③在平面的一边在另一边，有一个平面符合条件；
第二类：
都在平面的同侧，有一个平面符合条件．
综上所述，满足条件的平面共有4个．
故选：D．
3．A
【详解】
由面，为矩形，
A：面，则，而与不一定垂直，不一定有面，故不一定与垂直，所以与数量积不一定为0，符合题意；
B：由A知，又且，则面，又面，所以，即与数量积为0，不合题意；
C：由上易知，又 且，则面，又面，所以，即与数量积为0，不合题意；
D：由上知，而，所以，即与数量积为0，不合题意；
故选：A.
4．B
【详解】
A. 若直线l与平面α上的两条直线垂直，当平面内两条直线平行时，直线l与平面α不一定垂直，A错；
B. 若两条直线同时垂直于一个平面，则这两条直线平行，这是线面垂直的性质定理，B正确；
C. 若两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面垂直，这两个平面可以相交，也可以平行，C错；
D. 若直线l上的不同两点到平面α的距离相等，直线l与平面α可能相交也可能平行，D错．
故选：B．
5．C
【详解】
若直线l与平面平行，直线m在平面上，
则直线l平行于直线m或直线l与直线m异面，所以直线l与直线m没有公共点
故选：C
6．B
【详解】
直线在平面外，包括直线与平面平行和相交，不充分，但直线∥平面，一定有直线在平面外，必要的，因此是必要不充分条件．
故选：B．
7．（1）证明见解析；（2）.
【详解】
（1）底面是边长为2的正方形，，M是的中点，
∴，
∵∴平面
∴，，
∴平面，∴.
（2）∵平面∴，
过于点，，
，
(设B到面的距离为h)，
∴.
8．（1）证明见解析；（2）.
【详解】
（1）在图①中，连接，如图所示.
因为四边形为菱形，，所以是等边三角形.
因为为的中点，所以
又，所以.
在图②中，，所以，即.
因为所以
又均在平面内，所以平面
（2）由（1）知，
因为在平面内，所以平面
以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则
设平面的一个法向量为.
因为，
由得
令，得，又
设直线与平面所成的角为，则.
故，
所以直线与平面所成的角为.
9．异面直线与与所成的角的大小为
【详解】
设正三棱柱的高为h，则，
由，得.
因为，所以与所成的角等于与所成的角.
连接，在中，
，
由，
得
故异面直线与与所成的角的大小为.
10．（1）证明见解析；（2）点A到平面PCD的距离为．
【详解】
（1）连接AC,∵AB=BC=1,∠ABC为直角，∴AC=,∠BAC=,
又∵∠BAD=，∴∠CAD=,
又∵AD=2,
∴ACD为等腰直角三角形，∴AC⊥BC,
又∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥CD，
又∵PA∩AC=A,PA,AC 平面PAC，
∴CD⊥平面PAC;
（2）∵PA⊥平面ABCD,∴∠PCA是PC与平面ABCD所成的角，
故由已知得∠PCA=,
在PAC中，过A作AH⊥PC,垂足为H,
则A到斜边PC的距离AH=ACsin,
∵CD⊥平面PAC,CD 平面PCD,∴平面PAC⊥平面PCD,
又∵平面PAC∩平面PCD=PC,
AH⊥PC,AH 平面PAC,
∴AH⊥平面PCD,
即AH就是A到平面PCD的距离，
∴A到平面PCD的距离为.