2021_2022学年新教材高中数学1.2.3直线与平面的夹角（Word含答案解析）

直线与平面的夹角
(建议用时：40分钟)
基础练
一、选择题
1．在正方体ABCD A1B1C1D1中，直线AD与平面A1BC1所成角的正弦值为(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
2．OA，OB，OC是由点O出发的三条射线，两两夹角为60°，则OC与平面OAB所成角的余弦值为(　　)
A．　　　B．　　C．　　　D．
3．如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，若该长方体的体积为8，则直线AC1与平面BB1C1C所成的角为(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．120°
4．如图，长方体ABCD A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝3，E为线段AB上一点，且AE＝AB，则DC1与平面D1EC所成角的正弦值为(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
5．如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则AA1与平面AB1C1所成的角为(　　)
A．　　　 B．
C．　　　 D．
二、填空题
6．等腰Rt△ABC的斜边AB在平面α内，若AC与α成30°角，则斜边上的中线CM与平面α所成的角为________．
7．如图，在四棱柱ABCD A1B1C1D1中，平面A1B1CD⊥平面ABCD，且四边形ABCD和四边形A1B1CD都是正方形，则直线BD1与平面A1B1CD所成角的正切值是________．
8．已知三棱柱ABC A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于________．
三、解答题
9．如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E，F分别是PC，AD中点．
(1)求证：DE∥平面PFB；
(2)求PB与平面PCD所成角的正切值．
10．在如图所示的多面体ABCDE中，AB∥DE，AB⊥AD，△ACD是正三角形，AD＝DE＝2AB＝2，EC＝2，F是CD的中点．
(1)求证：AF∥平面BCE；
(2)求直线AD与平面BCE所成角的正弦值．
能力练
1．(多选题)已知四棱锥P ABCD的四条侧棱都相等，底面是边长为2的正方形，若其五个顶点都在一个表面积为的球面上，则PA与底面ABCD所成角的正弦值为(　　)
A．　　　　B．　　C．　　　　D．
2．在圆柱OO1中，O是上底面圆心，AB是下底面圆的直径，点C在下底面圆周上，若△OAB是正三角形，O1C⊥AB，则OC与平面OAB所成角为(　　)
A．150°　　　B．30°　　C．45°　　　D．60°
3．在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则直线CD1与C1F所成角的余弦值为________，直线CD1与平面A1C1FE所成角的正弦值为________．
4．在空间四边形PABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝2，PA＝4，则PC和平面PAB所成角的正切值为________．
拓展
已知几何体EFG ABCD，如图所示，其中四边形ABCD、四边形CDGF、四边形ADGE均为正方形，且边长为1，点M在棱DG上．
(1)求证：BM⊥EF．
(2)是否存在点M，使得直线MB与平面BEF所成的角为45°？若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由．
参考答案：
基础练
一、选择题
1．在正方体ABCD A1B1C1D1中，直线AD与平面A1BC1所成角的正弦值为(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
C　[如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则平面A1BC1的一个法向量为n＝(1，1，1)，＝(1，0，0)，
设直线AD与平面A1BC1所成角为θ，
∴sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝＝．]
2．OA，OB，OC是由点O出发的三条射线，两两夹角为60°，则OC与平面OAB所成角的余弦值为(　　)
A．　　　B．　　C．　　　D．
B　[设OC与平面OAB所成的角为θ，则cos 60°＝cos θ·cos 30°，∴cos θ＝．]
3．如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，若该长方体的体积为8，则直线AC1与平面BB1C1C所成的角为(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．120°
A　[∵在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，该长方体的体积为8，
∴2×2×AA1＝8，解得AA1＝2，
以D为坐标原点，DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
A(2，0，0)，C1(0，2，2)，＝(－2，2，2)，
平面BB1C1C的一个法向量n＝(0，1，0)，
设直线AC1与平面BB1C1C所成的角为θ，
sin θ＝＝，∴θ＝30°，
∴直线AC1与平面BB1C1C所成的角为30°．故选A．]
4．如图，长方体ABCD A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝3，E为线段AB上一点，且AE＝AB，则DC1与平面D1EC所成角的正弦值为(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
A　[以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系(图略)，则C(0，3，0)，E(1，1，0)，D1(0，0，1)，C1(0，3，1)，D(0，0，0)，所以＝(0，3，1)，＝(1，1，－1)，＝(0，3，－1)．设平面D1EC的法向量为n＝(x，y，z)，则即取y＝1，可得平面D1EC的一个法向量为n＝(2，1，3)，所以DC1与平面D1EC所成角的正弦值为＝＝．故选A．]
5．如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则AA1与平面AB1C1所成的角为(　　)
A．　　　 B．
C．　　　 D．
A　[以C为原点，在平面ABC中过C作BC的垂线为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，
则A(，1，0)，A1(，1，3)，B1(0，2，3)，C1(0，0，3)，
＝(0，0，3)，＝(－，1，3)，＝(－，－1，3)，
设平面AB1C1的法向量n＝(x，y，z)，
则
取x＝，得n＝(，0，1)，
设AA1与平面AB1C1所成的角为θ，
则sin θ＝＝，∴θ＝．
∴AA1与平面AB1C1所成的角为．故选A．]
二、填空题
6．等腰Rt△ABC的斜边AB在平面α内，若AC与α成30°角，则斜边上的中线CM与平面α所成的角为________．
45°　[作CO⊥α，O为垂足，连接AO，MO，则∠CAO＝30°，∠CMO为CM与α所成的角．在Rt△AOC中，设CO＝1，则AC＝2．在等腰Rt△ABC中，由AC＝2得CM＝．在Rt△CMO中，sin∠CMO＝＝＝．
∴∠CMO＝45°．]
7．如图，在四棱柱ABCD A1B1C1D1中，平面A1B1CD⊥平面ABCD，且四边形ABCD和四边形A1B1CD都是正方形，则直线BD1与平面A1B1CD所成角的正切值是________．
　[以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DA1为z轴，建立空间直角坐标系，设AB＝1，则B(1，1，0)，D1(－1，0，1)，
＝(－2，－1，1)，平面A1B1CD的法向量n＝(1，0，0)，
设直线BD1与平面A1B1CD所成角为θ，
则sin θ＝＝，
∴cos θ＝＝，
∴直线BD1与平面A1B1CD所成角的正切值是tan θ＝＝．]
8．已知三棱柱ABC A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于________．
　[如图，设A1在平面ABC内的射影为O，以O为坐标原点，OA，OA1分别为x轴、z轴，过O作OA的垂线为y轴，建立空间直角坐标系，如图．设△ABC边长为1，则A，
B1，
所以＝．
平面ABC的法向量n＝(0，0，1)，
则AB1与底面ABC所成角α的正弦值为
sin α＝|cos〈，n〉|＝＝．]
三、解答题
9．如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E，F分别是PC，AD中点．
(1)求证：DE∥平面PFB；
(2)求PB与平面PCD所成角的正切值．
[解]　(1)证明：取PB的中点M，连接EM，FM．
∵E，M分别是PC，PB的中点，
∴EM∥BC，EM＝BC，
∵四边形ABCD是正方形，
F是AD的中点，
∴DF∥BC，DF＝BC，
∴四边形DEMF是平行四边形，∴DE∥FM，
又DE 平面PFB，FM 平面PFB，
∴DE∥平面PFB．
(2)∵PD⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，
∴PD⊥BC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC⊥CD，
又PD 平面PCD，CD 平面PCD，PD∩CD＝D，
∴BC⊥平面PCD．
∴∠BPC为直线PB与平面PCD所成的角，
∵PD＝DC＝BC，
∴PC＝CD＝BC，
∴tan∠BPC＝＝．
10．在如图所示的多面体ABCDE中，AB∥DE，AB⊥AD，△ACD是正三角形，AD＝DE＝2AB＝2，EC＝2，F是CD的中点．
(1)求证：AF∥平面BCE；
(2)求直线AD与平面BCE所成角的正弦值．
[解]　(1)证明：以A为原点，在平面ACD中，过A作AD的垂线为x轴，AD为y轴，AB为z轴，建立空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，C(，1，0)，
D(0，2，0)，F，
B(0，0，1)，E(0，2，2)，
＝，＝(，1，－1)，＝(0，2，1)，
设平面BCE的法向量n＝(x，y，z)，
则
取y＝1，得n＝(－，1，－2)，
∵·n＝0，AF 平面BCE，
∴AF∥平面BCE．
(2)＝(0，2，0)，平面BCE的法向量n＝(－，1，－2)，
设直线AD与平面BCE所成角为θ，
则sin θ＝＝＝．
∴直线AD与平面BCE所成角的正弦值为．
能力练
1．(多选题)已知四棱锥P ABCD的四条侧棱都相等，底面是边长为2的正方形，若其五个顶点都在一个表面积为的球面上，则PA与底面ABCD所成角的正弦值为(　　)
A．　　　　B．　　C．　　　　D．
BC　[由已知可得，四棱锥P ABCD为正四棱锥，
∵正四棱锥外接球的表面积为，
∴正四棱锥外接球的半径R＝．
如图，
连接AC，BD交于E，设球心为O，连接PO，BO，
则E在PO(或其延长线)上，PO＝BO＝R，
∴BE＝BD＝×2＝，
又R＝，OE＝＝＝．
∴PE＝R－OE＝－＝或PE＝R＋OE＝＋＝4．
当PE＝时，PA＝＝，
PA与底面ABCD所成角的正弦值为＝；
当PE＝4时，PA＝＝3，
PA与底面ABCD所成角的正弦值为＝．
∴PA与底面ABCD所成角的正弦值为或．]
2．在圆柱OO1中，O是上底面圆心，AB是下底面圆的直径，点C在下底面圆周上，若△OAB是正三角形，O1C⊥AB，则OC与平面OAB所成角为(　　)
A．150°　　　B．30°　　C．45°　　　D．60°
B　[设AB＝2a，则OA＝2a，O1A＝O1B＝O1C＝a，
∴OO1＝＝a，OC＝＝2a，
∵CO1⊥AB，CO1⊥OO1，AB∩OO1＝O1，
∴CO1⊥平面AOB，
∴∠COO1是OC与平面OAB所成角，
sin∠COO1＝＝，∴∠COO1＝30°，
∴OC与平面OAB所成角为30°．]
3．在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则直线CD1与C1F所成角的余弦值为________，直线CD1与平面A1C1FE所成角的正弦值为________．
　　[以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
设AB＝2，则C(0，2，0)，D1(0，0，2)，A1(2，0，2)，C1(0，2，2)，E(2，1，0)，F(1，2，0)，
∴＝(0，－2，2)，＝(－1，1，0)，＝(0，－1，2)，＝(1，0，－2)，
cos〈，〉＝
＝＝＝．
设平面A1C1FE的法向量n＝(x，y，z)，
则取z＝1，得n＝(2，2，1)，
设直线CD1与平面A1C1FE所成角为θ，
则sin θ＝＝＝．
∴直线CD1与平面A1C1FE所成角的正弦值为．]
4．在空间四边形PABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝2，PA＝4，则PC和平面PAB所成角的正切值为________．
　[取AB的中点为O，连接CO，PO，
∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥OC，
∵AC＝BC，O是AB的中点，
∴AB⊥OC，
又PA∩AB＝A，
∴CO⊥平面PAB，
则∠CPO为PC和平面PAB所成的角．∵AC＝BC＝2，AC⊥BC，
∴AB＝2，CO＝AB＝，
∴PO＝＝3，
∴tan∠CPO＝＝，
∴PC和平面PAB所成角的正切值为．]
拓展
已知几何体EFG ABCD，如图所示，其中四边形ABCD、四边形CDGF、四边形ADGE均为正方形，且边长为1，点M在棱DG上．
(1)求证：BM⊥EF．
(2)是否存在点M，使得直线MB与平面BEF所成的角为45°？若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由．
[解]　(1)证明：∵四边形ABCD、四边形CDGF、四边形ADGE均为正方形，
∴GD⊥DA，GD⊥DC．
又DA∩DC＝D，∴GD⊥平面ABCD．
以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，
则B(1，1，0)，E(1，0，1)，F(0，1，1)．
点M在棱DG上，故可设M(0，0，t)(0≤t≤1)．
∵＝(1，1，－t)，＝(－1，1，0)，
∴·＝0，∴BM⊥EF．
(2)假设存在点M，使得直线MB与平面BEF所成的角为45°．
设平面BEF的法向量为n＝(x，y，z)，
∵＝(0，－1，1)，＝(－1，0，1)，
∴∴
令z＝1，得x＝y＝1，∴n＝(1，1，1)为平面BEF的一个法向量，
∴cos〈n，〉＝＝．
∵直线MB与平面BEF所成的角为45°，
∴sin 45°＝|cos〈n，〉|，∴＝，
解得t＝－4±3．
又0≤t≤1，∴t＝3－4，∴存在点M(0，0，3－4)．
∴当点M在DG上，且DM＝3－4时，直线MB与平面BEF所成的角为45°．
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