2021_2022学年新教材高中数学1.2.4二面角（Word含答案解析）

二面角
(建议用时：40分钟)
基础练
一、选择题
1．在长方体ABCD A1B1C1D1中，已知AB＝BC＝AA1，E为CC1的中点，则二面角E BD C的平面角的大小为(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
2．过正方形ABCD的顶点A作线段AP垂直于平面ABCD，且AP＝AB，则平面ABP与平面CDP所成的锐二面角的大小为(　　)
A．　　　 B．
C． D．以上都不正确
3．在边长为a的正三角形ABC中，AD⊥BC于点D，将△ABD沿AD翻折后，BC＝a，此时二面角B AD C的大小为(　　)
A．30°　　　 B．45°　　C．60°　　　D．90°
4．已知二面角α l β的大小为60°，b和c是两条异面直线，且b⊥α，c⊥β，则b与c所成的角的大小为(　　)
A．120°　　　B．90°　　C．60°　　　D．30°
5．如图，将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折成大小等于θ的二面角B′ AC D，M，N分别为AC，B′D的中点，若θ∈，则线段MN长度的取值范围为(　　)
A． B．
C． D．[1，]
二、填空题
6．如图所示，已知正三棱柱ABC A′B′C′的底面边长为2，高为4，D是棱AA′的中点，E在棱BB′上，且EB＝BB′，则截面CDE与底面A′B′C′所成二面角的大小为________．
7．若P是△ABC所在平面外一点，且△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，PA＝，则二面角P BC A的大小为________．
8．如图，在边长为2的正方体中，M为棱AB的中点，则二面角B1 CM B的正切值是________．
三、解答题
9．如图所示，ABCD是正方形，V是平面ABCD外一点，且VA＝VB＝VC＝AB，求二面角A VB C的余弦值．
10．如图所示，在梯形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝6，BC＝2AB＝4，E，F分别在线段BC，AD上(异于端点)，EF∥AB．将四边形ABEF沿EF折起，连接AD，AC，BC．
(1)若BE＝3，在线段AD上取一点P，使AP＝PD，求证：CP∥平面ABEF；
(2)若平面ABEF⊥平面EFDC，且线段FA，FC，FD的长满足FC2＝FA·FD，求平面EAC和平面ACF夹角的大小．
能力练
1．(多选题)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC＝1，AB＝2，∠ACB＝90°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF＝1．点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为θ(θ≤90°)，则cos θ的取值可能为(　　)
A．　　　B．　　C．　　　D．
2．已知边长为2的正方形纸片ABCD，现将其沿着对角线AC翻折，使得二面角B AC D的大小等于45°，则四面体ABCD的体积为(　　)
A．1　　　　B．　　C．　　　D．
3．在四棱锥P ABCD中，PD⊥AC，AB⊥平面PAD，底面ABCD为正方形，且CD＋PD＝3．若四棱锥P ABCD的每个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积的最小值为________；当四棱锥P ABCD的体积取得最大值时，二面角A PC D的正切值为________．
4．如图所示，甲站在水库地面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处，从A，B到直线l(水库地面与水坝斜面的交线)的距离AC和BD分别为a和b，CD的长为c，AB的长为d，则水库地面与水坝斜面所成二面角的余弦值为________．
拓展
如图，正三棱柱ABC A1B1C1中，D，E，M分别是线段BC，CC1，AB的中点，AA1＝2AB＝4．
(1)求证：DE∥平面A1MC；
(2)在线段AA1上是否存在一点P，使得二面角A1 BC P的余弦值为？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由．
参考答案：
基础练
一、选择题
1．在长方体ABCD A1B1C1D1中，已知AB＝BC＝AA1，E为CC1的中点，则二面角E BD C的平面角的大小为(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
B　[如图，连接AC，BD，相交于点O，
∵AB＝BC，
∴OC⊥BD，
而△BCE≌△DCE，
∴BE＝DE，
则OE⊥BD，
∴∠EOC为二面角E BD C的平面角，
设AB＝BC＝2，则OC＝AC＝，
AA1＝2，则CE＝CC1＝AA1＝．
∴∠EOC＝．
即二面角E BD C的平面角的大小为．]
2．过正方形ABCD的顶点A作线段AP垂直于平面ABCD，且AP＝AB，则平面ABP与平面CDP所成的锐二面角的大小为(　　)
A．　　　 B．
C． D．以上都不正确
A　[设AP＝AB＝1，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，则P(0，0，1)，D(0，1，0)，C(1，1，0)，＝(1，1，－1)，＝(0，1，－1)．
设平面PCD的法向量m＝(x，y，z)，
则
取y＝1，得m＝(0，1，1)，
平面ABP的法向量n＝(0，1，0)，
设平面ABP与平面CDP所成的角为θ，
则cos θ＝＝＝，∴θ＝．]
3．在边长为a的正三角形ABC中，AD⊥BC于点D，将△ABD沿AD翻折后，BC＝a，此时二面角B AD C的大小为(　　)
A．30°　　　 B．45°　　C．60°　　　D．90°
C　[分析知∠BDC就是二面角B AD C的平面角．∵在△BCD中，BC＝BD＝CD＝a，∴△BCD为正三角形，∴∠BDC＝60°．]
4．已知二面角α l β的大小为60°，b和c是两条异面直线，且b⊥α，c⊥β，则b与c所成的角的大小为(　　)
A．120°　　　B．90°　　C．60°　　　D．30°
C　[设直线b，c的方向向量分别为b，c，b⊥α，c⊥β，所以b，c分别是平面α，β的法向量，二面角α l β的大小为60°，b，c的夹角为60°或120°，因为异面直线所成角为锐角或直角，所以b与c所成的角为60°．]
5．如图，将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折成大小等于θ的二面角B′ AC D，M，N分别为AC，B′D的中点，若θ∈，则线段MN长度的取值范围为(　　)
A． B．
C． D．[1，]
A　[连接B′M，DM，得AC⊥B′M，AC⊥DM，
∴∠DMB′是二面角B′ AC D的平面角，且B′M＝DM＝，
在等腰△DMB′中，MN⊥B′D，
且∠DMN＝∠DMB′＝θ，θ∈，
则MN＝DMcosθ∈．
∴线段MN长度的取值范围为．]
二、填空题
6．如图所示，已知正三棱柱ABC A′B′C′的底面边长为2，高为4，D是棱AA′的中点，E在棱BB′上，且EB＝BB′，则截面CDE与底面A′B′C′所成二面角的大小为________．
45°　[∵AA′＝BB′＝4，D是棱AA′的中点，BE＝BB′，∴AD＝2，BE＝1，ED＝．在△EDC中，EC＝，ED＝，CD＝2，易得S△DCE＝，而S△A′B′C′＝，设截面CDE与底面A′B′C′所成的角为θ，则cos θ＝＝＝，∴θ＝45°．]
7．若P是△ABC所在平面外一点，且△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，PA＝，则二面角P BC A的大小为________．
90°　[取BC的中点O，连接PO，AO(图略)，则∠POA就是二面角P BC A的平面角．又PO＝AO＝，PA＝，所以∠POA＝90°．]
8．如图，在边长为2的正方体中，M为棱AB的中点，则二面角B1 CM B的正切值是________．
　[以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
则B(2，2，0)，B1(2，2，2)，C(0，2，0)，M(2，1，0)，＝(2，－1，0)，＝(2，0，2)，
设平面CMB1的法向量m＝(x，y，z)，
则
取x＝1，得m＝(1，2，－1)，
平面CBM的法向量n＝(0，0，1)，
设二面角B1 CM B的平面角为θ，
则cos θ＝＝＝，
∴tan θ＝．∴二面角B1 CM B的正切值为．]
三、解答题
9．如图所示，ABCD是正方形，V是平面ABCD外一点，且VA＝VB＝VC＝AB，求二面角A VB C的余弦值．
[解]　取VB的中点为E，
连接AE，CE．
∵VA＝VB＝VC＝AB，ABCD为正方形，
∴AE⊥VB，CE⊥VB．
∴∠AEC是二面角A VB C的平面角．
设AB＝a，连接AC，在△AEC中，AE＝EC＝a，AC＝a，由余弦定理可知：
cos∠AEC＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)a))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)a))－ \r(2)a 2,2×\f(\r(3),2)a×\f(\r(3),2)a)＝－，
∴所求二面角A VB C的余弦值为－．
10．如图所示，在梯形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝6，BC＝2AB＝4，E，F分别在线段BC，AD上(异于端点)，EF∥AB．将四边形ABEF沿EF折起，连接AD，AC，BC．
(1)若BE＝3，在线段AD上取一点P，使AP＝PD，求证：CP∥平面ABEF；
(2)若平面ABEF⊥平面EFDC，且线段FA，FC，FD的长满足FC2＝FA·FD，求平面EAC和平面ACF夹角的大小．
[解]　(1)证明：在梯形ABCD中，AD∥BC，EF∥AB，BE＝3，
∴AF＝3．
又AD＝6，BC＝4，∴EC＝1，FD＝3，
在线段AF上取点Q，使AQ＝QF，连接PQ，QE，
∵AP＝PD，∴PQDF，
∵CEDF，∴CEPQ，
∴四边形ECPQ为平行四边形，∴CP∥EQ，
∵CP 平面ABEF，EQ 平面ABEF，
∴CP∥平面ABEF．
(2)在梯形ABCD中，AB⊥AD，AB∥EF，∴EF⊥AF，EF⊥FD，∵平面ABEF⊥平面EFDC，平面ABEF∩平面EFDC＝EF，AF 平面ABEF，∴AF⊥平面EFDC．
设FA＝x(0＜x＜4)，∵EF＝AB＝2，
∴FD＝6－x，EC＝4－x，∴FC＝，
∵FC2＝FA·FD，即4＋(4－x)2＝x(6－x)，
化简得x2－7x＋10＝0，∴x＝2或x＝5(舍去)．
以点F为坐标原点，FE，FD，FA所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则F(0，0，0)，E(2，0，0)，C(2，2，0)，A(0，0，2)，
∴＝(0，2，0)，＝(－2，0，2)，
设n1＝(x1，y1，z1)是平面EAC的法向量，
则即
取z1＝1，则x1＝1，y1＝0，
∴平面EAC的一个法向量为n1＝(1，0，1)．
又＝(2，2，0)，＝(0，0，2)，
设n2＝(x2，y2，z2)是平面ACF的法向量，
则
即
取x2＝1，则y2＝－1，z2＝0，
∴平面ACF的一个法向量为n2＝(1，－1，0)．
∴cos〈n1，n2〉＝＝＝．
∵平面EAC和平面ACF的夹角为锐角，
∴平面EAC和平面ACF的夹角为60°．
能力练
1．(多选题)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC＝1，AB＝2，∠ACB＝90°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF＝1．点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为θ(θ≤90°)，则cos θ的取值可能为(　　)
A．　　　B．　　C．　　　D．
BC　[∵平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD＝AC，CF 平面ACFE，CF⊥AC，∴CF⊥平面ABCD．以点C为坐标原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)，令FM＝λ(0≤λ≤)，则C(0，0，0)，A(，0，0)，B(0，1，0)，M(λ，0，1)，故＝(－，1，0)，＝(λ，－1，1)．设n1＝(x，y，z)为平面MAB的法向量，
由得
取x＝1，则n1＝(1，，－λ)．
∵n2＝(1，0，0)是平面FCB的一个法向量，
∴cos θ＝＝
＝．
∵0≤λ≤，∴当λ＝0时，cos θ取得最小值；当λ＝时，cos θ取得最大值，∴cos θ∈．故选BC．]
2．已知边长为2的正方形纸片ABCD，现将其沿着对角线AC翻折，使得二面角B AC D的大小等于45°，则四面体ABCD的体积为(　　)
A．1　　　　B．　　C．　　　D．
B　[如图，连接AC，BD，设AC与BD相交于点E，则BE⊥AC，DE⊥AC，
∴∠BED为二面角B AC D的平面角，大小等于45°，且AC⊥平面BED，
在平面BED中，过B作BO⊥平面ACD，则O在DE上，
∵原正方形的边长为2，
∴S△ACD＝×2×2＝2，BE＝，则BO＝1．
∴四面体ABCD的体积为×2×1＝．]
3．在四棱锥P ABCD中，PD⊥AC，AB⊥平面PAD，底面ABCD为正方形，且CD＋PD＝3．若四棱锥P ABCD的每个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积的最小值为________；当四棱锥P ABCD的体积取得最大值时，二面角A PC D的正切值为________．
6π　　[设CD＝x(0＜x＜3)，则PD＝3－x，
因为AB⊥平面PAD，所以AB⊥PD，
又PD⊥AC，所以PD⊥平面ABCD，
则四棱锥P ABCD可补形为一个长方体，球O的球心为PB的中点，
从而球O的表面积为：4π＝
3π[(x－1)2＋2]≥6π．
四棱锥的体积为V＝×(3－x)x2(0＜x＜3)，
则V′＝－x2＋2x，当0＜x＜2时，V′＞0，当2＜x＜3时，
V′＜0，所以Vmax＝V(2)，此时AD＝CD＝2，PD＝1，
过D作DH⊥PC于H，
连接AH，则∠AHD为二面角A PC D的平面角．
∵DH＝＝，
∴tan∠AHD＝＝．]
4．如图所示，甲站在水库地面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处，从A，B到直线l(水库地面与水坝斜面的交线)的距离AC和BD分别为a和b，CD的长为c，AB的长为d，则水库地面与水坝斜面所成二面角的余弦值为________．
　[法一：化为向量问题：根据向量的加法法则，＝＋＋．
进行向量运算：d2＝2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·)＝a2＋c2＋b2＋2·＝a2＋c2＋b2－2·，
所以·＝．
设向量与的夹角为θ，则θ就是水库地面与水坝斜面所成二面角的大小，因此cos θ＝＝．
故水库地面与水坝斜面所成二面角的余弦值为．
法二：如图，过D作DE∥AC，且DE＝AC，连接AE，BE，由二面角的平面角的定义知∠BDE即所求二面角的平面角．
在△BDE中，BE2＝d2－c2，由余弦定理得cos∠BDE＝＝．
拓展
如图，正三棱柱ABC A1B1C1中，D，E，M分别是线段BC，CC1，AB的中点，AA1＝2AB＝4．
(1)求证：DE∥平面A1MC；
(2)在线段AA1上是否存在一点P，使得二面角A1 BC P的余弦值为？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由．
[解]　(1)证明：如图，连接AC1，设O为A1C，AC1的交点，
由题意可知O为AC1的中点，连接OM，OE，MD，
则＝，＝，∴＝，
∴四边形MDEO为平行四边形，即DE∥MO．
又DE 平面A1MC，MO 平面A1MC，∴DE∥平面A1MC．
(2)法一：假设存在点P，如图，连接A1D，PB，PC，PD，由题意易得△A1BC，△PBC为等腰三角形，A1D，PD为底边BC上的高，则∠A1DP为二面角A1 BC P的平面角．
设PA＝a(0≤a＜4)，则PA1＝4－a，PB2＝PA2＋AB2＝a2＋4，
又PB2＝PD2＋BD2＝PD2＋1，∴PD2＝a2＋3．
又A1C2＝A1C＋CC＝A1D2＋CD2，∴A1D2＝19，
则cos∠A1DP＝＝，解得a＝1．
故存在点P，使得二面角A1 BC P的余弦值为，此时PA＝1．
法二：建立如图所示的空间直角坐标系，设PA＝a(0≤a＜4)，则D(0，0，0)，A(，0，0)，P(，0，a)，A1(，0，4)，B(0，1，0)，则＝(，0，a)，＝(－，1，－a)，
设平面PBC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则
解得取x1＝a，则n1＝(a，0，－)．
同理，＝(－，0，－4)，＝(－，1，－4)，
设平面BCA1的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
则解得取x2＝4，则n2＝(4，0，－)．
由图易得所求二面角为锐角，设为θ，
则cos θ＝＝＝，解得a＝1．
故存在点P，使得二面角A1 BC P的余弦值为，此时PA＝1．
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