2021_2022学年新教材高中数学2.1坐标法（Word含答案解析）

坐标法
(建议用时：40分钟)
基础练
一、选择题
1．在数轴上存在一点P，它到点A(－9)的距离是它到点B(－3)的距离的2倍，则P的坐标为(　　)
A．2　　　B．－3　　　C．5　　　D．3或－5
2．已知线段AB的中点在坐标原点，且A(x，2)，B(3，y)，则x＋y等于(　　)
A．5　　　　　B．－1　　　　　C．1　　　 　　D．－5
3．△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－4，－4)，B(2，2)，C(4，－2)，则AB边上的中线长为(　　)
A．　　B．　　C．　　D．
4．已知A(3，1)，B(2，4)，C(1，5)，且点A关于点B的对称点为D，则|CD|＝(　　)
A．2　　　　B．4　　　　C．　　　　D．
5．已知A(x，5)关于C(1，y)的对称点是B(－2，－3)，则P(x，y)到原点的距离为(　　)
A．4　　B．　　C．　　D．
二、填空题
6．在数轴上从点A(－3)引一线段到B(4)，再延长同样的长度到C，则点C的坐标为________．
7．在数轴上有一点P，它到以点A(－10)，B(－4)为端点的线段中点的距离为2，则点P的坐标为________．
8．在△ABC中，设A(3，7)，B(－2，5)，若AC，BC的中点都在坐标轴上，则C点坐标为________．
三、解答题
9．已知A(1，2)，B(4，－2)，试问在x轴上能否找到一点P，使∠APB为直角？
10．用坐标法证明：如果四边形ABCD是长方形，而对任一点M，等式|AM|2＋|CM|2＝|BM|2＋|DM|2成立．
能力练
1．(多选题)已知数轴上点A，B，C的坐标分别为－1，1，5，则下列结论正确的是(　　)
A．的坐标为2　　　 B．＝－3
C．的坐标为4 D．＝2
2．在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则＝(　　)
A．2　　　　　B．4　　 C．5　　　　D．10
3．已知点A(1，3)，B(3，1)，C(0，0)，则AB边上的中线长CM＝________，△ABC的面积为________．
4．函数f(x)＝＋的最小值为________．
拓展
某山区居民的居住区域大致呈如图所示的形状，近似由一个正方形和两个等腰直角三角形组成，若AB＝60 km，AE＝CD＝30 km，为了解决当地居民看电视难的问题，准备建一个电视转播台，理想方案是转播台距A，B，C，D，E五个顶点的距离平方和最小，图中P1，P2，P3，P4是AC的五等分点，则转播台应建在何处？
参考答案：
基础练
一、选择题
1．在数轴上存在一点P，它到点A(－9)的距离是它到点B(－3)的距离的2倍，则P的坐标为(　　)
A．2　　　B．－3　　　C．5　　　D．3或－5
D　[设所求点P的坐标为x，则|x－(－9)|＝2|x－(－3)|，所以x＝3或x＝－5，所以P(3)或P(－5)．]
2．已知线段AB的中点在坐标原点，且A(x，2)，B(3，y)，则x＋y等于(　　)
A．5　　　　　B．－1　　　　　C．1　　　 　　D．－5
D　[易知x＝－3，y＝－2．∴x＋y＝－5．]
3．△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－4，－4)，B(2，2)，C(4，－2)，则AB边上的中线长为(　　)
A．　　B．　　C．　　D．
A　[边AB的中点D的坐标为D(－1，－1)，∴|CD|＝＝．]
4．已知A(3，1)，B(2，4)，C(1，5)，且点A关于点B的对称点为D，则|CD|＝(　　)
A．2　　　　B．4　　　　C．　　　　D．
A　[由题意，设D(x，y)，则
∴∴D(1，7)．
∴|CD|＝＝2，故选A．]
5．已知A(x，5)关于C(1，y)的对称点是B(－2，－3)，则P(x，y)到原点的距离为(　　)
A．4　　B．　　C．　　D．
D　[由题意知点C是线段AB的中点，
则∴∴|OP|2＝17，∴|OP|＝．]
二、填空题
6．在数轴上从点A(－3)引一线段到B(4)，再延长同样的长度到C，则点C的坐标为________．
11　[∵d(A，B)＝4－(－3)＝7＝d(B，C)＝x－4，
∴x＝11．]
7．在数轴上有一点P，它到以点A(－10)，B(－4)为端点的线段中点的距离为2，则点P的坐标为________．
－9或－5　[设点P坐标为x，AB的中点为C，则C点坐标为＝－7，∵d(P，C)＝2，∴|PC|＝|x＋7|＝2，解得x＝－9或x＝－5，故点P的坐标为－9或－5．]
8．在△ABC中，设A(3，7)，B(－2，5)，若AC，BC的中点都在坐标轴上，则C点坐标为________．
(2，－7)或(－3，－5)　[设C(a，b)，则AC的中点为，BC的中点为，若AC的中点在x轴上，BC的中点在y轴上，则若AC的中点在y轴上，BC的中点在x轴上，则]
三、解答题
9．已知A(1，2)，B(4，－2)，试问在x轴上能否找到一点P，使∠APB为直角？
[解]　假设在x轴上能找到点P(x，0)，使∠APB为直角，由勾股定理可得
|AP|2＋|BP|2＝|AB|2，
即(x－1)2＋4＋(x－4)2＋4＝25，
化简得x2－5x＝0，
解得x＝0或x＝5．
所以在x轴上存在点P(0，0)或P(5，0)，使∠APB为直角．
10．用坐标法证明：如果四边形ABCD是长方形，而对任一点M，等式|AM|2＋|CM|2＝|BM|2＋|DM|2成立．
[证明]　取长方形ABCD的两条互相垂直的边AB，AD所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示．设长方形ABCD的四个顶点为A(0，0)，B(a，0)，C(a，b)，D(0，b)．
在平面上任取一点M(m，n)，则|AM|2＋|CM|2＝m2＋n2＋(m－a)2＋(n－b)2，
|BM|2＋|DM|2＝(m－a)2＋n2＋m2＋(n－b)2，
所以|AM|2＋|CM|2＝|BM|2＋|DM|2．
能力练
1．(多选题)已知数轴上点A，B，C的坐标分别为－1，1，5，则下列结论正确的是(　　)
A．的坐标为2　　　 B．＝－3
C．的坐标为4 D．＝2
ABD　[易知向量的坐标为1－(－1)＝2，A正确；向量的坐标为－1－5＝－6，－3的坐标为－3×2＝－6，所以＝－3，B正确；向量的坐标为1－5＝－4，C错误；向量的坐标为5－1＝4，2的坐标为2×2＝4，所以＝2，D正确．故选ABD．]
2．在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则＝(　　)
A．2　　　　　B．4　　 C．5　　　　D．10
D　[如图，以C为原点，CB，CA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系．设A(0，a)，B(b，0)，
则D，P，
由两点间的距离公式可得|PA|2＝＋，|PB|2＝＋，|PC|2＝＋．
所以＝＝10．]
3．已知点A(1，3)，B(3，1)，C(0，0)，则AB边上的中线长CM＝________，△ABC的面积为________．
2　4　[设AB的中点M的坐标为(x，y)，则即M的坐标为(2，2)，
∴|CM|＝＝2，
又|AB|＝＝2，
|AC|＝＝，|BC|＝＝．
∵M(2，2)为AB的中点，|CM|＝2，
∴S△ABC＝|CM|·|AB|＝×2×2＝4．]
4．函数f(x)＝＋的最小值为________．
4　[如图所示，∵f(x)＝＋＝＋，
∴可设A(6，1)，B(2，3)，P(x，0)，则f(x)＝|PA|＋|PB|．
∴要求f(x)的最小值，只需在x轴上找一点P，使|PA|＋|PB|最小．
设点B关于x轴的对称点为B′，则点B′的坐标为(2，－3)．
∴|PA|＋|PB|＝|PA|＋|PB′|≥|AB′|，当B′，P，A三点共线时取等号．
∵|AB′|＝＝4，
∴|PA|＋|PB|的最小值为4，即f(x)的最小值为4．]
拓展
某山区居民的居住区域大致呈如图所示的形状，近似由一个正方形和两个等腰直角三角形组成，若AB＝60 km，AE＝CD＝30 km，为了解决当地居民看电视难的问题，准备建一个电视转播台，理想方案是转播台距A，B，C，D，E五个顶点的距离平方和最小，图中P1，P2，P3，P4是AC的五等分点，则转播台应建在何处？
[解]　以A为坐标原点，边AB所在直线为x轴，边AE所在直线为y轴建立平面直角坐标系(图略)，
则A(0，0)，B(60，0)，C(30，30)，D(30，60)，E(0，30)．
设点P(x，y)，令函数f(x，y)＝|AP|2＋|BP|2＋|CP|2＋|DP|2＋|EP|2＝x2＋y2＋(x－60)2＋y2＋(x－30)2＋(y－30)2＋(x－30)2＋(y－60)2＋x2＋(y－30)2＝5x2＋5y2－240x－240y＋10 800＝5(x－24)2＋5(y－24)2＋5 040．当x＝y＝24时，f(x，y)有最小值，此时点P的坐标为(24，24)，与点P1重合，故转播台应建在P1处．
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