2021_2022学年新教材高中数学2.6.1双曲线的标准方程（Word含答案解析）
文档属性
| 名称 | 2021_2022学年新教材高中数学2.6.1双曲线的标准方程（Word含答案解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 238.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-10-10 20:46:08 | ||
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文档简介
双曲线的标准方程
(建议用时：40分钟)
基础练
一、选择题
1．双曲线＋＝1的焦距为( )
A．2 B． C．5 D．10
2．双曲线－＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为( )
A．22或2 B．7 C．22 D．5
3．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a＝( )
A．－1 B．1 C．±1 D．2
4．已知双曲线－＝1(m＞n＞0)和椭圆＋＝1有相同的焦点，则＋的最小值为( )
A．2 B．4 C．6 D．9
5．已知点M(－3，0)，N(3，0)，B(1，0)，动圆C与直线MN切于点B，过M，N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为( )
A．x2－＝1(x＞1) B．x2－＝1(x＞0)
C．x2－＝1(x＞0) D．x2－＝1(x＞1)
二、填空题
6．已知点F1，F2分别是双曲线－＝1(a＞0)的左、右焦点，P是该双曲线上的一点，且|PF1|＝2|PF2|＝16，则△PF1F2的周长是________．
7．P为双曲线x2－＝1右支上一点，M，N分别是圆(x＋4)2＋y2＝4和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为________．
8．已知定点A的坐标为(1，4)，点F是双曲线－＝1的左焦点，点P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．
三、解答题
9．根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)经过点P(4，－2)和点Q(2，2)；
(2)c＝，经过点(－5，2)，焦点在x轴上．
10．已知动圆M与圆C1：(x＋3)2＋y2＝9外切且与圆C2：(x－3)2＋y2＝1内切，求动圆圆心M的轨迹方程．
能力练
1．(多选题)已知F1，F2分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0且a≠b)的左、右焦点，P为双曲线右支上异于顶点的任意一点，O为坐标原点，则下列为真命题的是( )
A．△PF1F2的内切圆的圆心必在直线x＝a上
B．△PF1F2的内切圆的圆心必在直线x＝b上
C．△PF1F2的内切圆的圆心必在直线OP上
D．△PF1F2的内切圆必经过点(a，0)
2．设F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于( )
A．4 B．8 C．24 D．48
3．椭圆＋＝1与双曲线y2－＝1有公共点P，则P与椭圆两焦点连线构成三角形的周长为________，P与双曲线两焦点连线构成三角形的面积为________．
4．从双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F引圆x2＋y2＝a2的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于点P，若M是线段PF的中点，O为原点，则|MO|－|MT|的值是________．
拓展
某校兴趣小组运用计算机对轮船由海上行驶入内陆海湾进行了一次模拟试验．如图，内陆海湾的入口处有暗礁，其中线段AA1，B1B，CC1，D1D关于坐标轴或原点对称，线段B1B的方程为y＝x，x∈[a，b]，过O有一条航道．有一艘正在海面上航行的轮船准备进入内陆海湾，在点M处测得该船发出的汽笛声的时刻总比在点N处晚1 s(设海面上声速为a m/s)．若该船沿着当前的航线航行(不考虑轮船的体积)．
(1)兴趣小组观察到轮船当前航线所在的曲线方程是什么？
(2)这艘船能否由海上安全驶入内陆海湾？请说明理由．
参考答案：
基础练
一、选择题
1．双曲线＋＝1的焦距为( )
A．2 B． C．5 D．10
A [∵m－5＜0，∴0＜m＜5，方程化为标准方程为－＝1，
∴c2＝m＋5－m＝5，∴2c＝2．]
2．双曲线－＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为( )
A．22或2 B．7 C．22 D．5
A [∵a2＝25，∴a＝5．由双曲线定义得||PF1|－|PF2||＝10，由题意知|PF1|＝12，∴|PF1|－|PF2|＝±10，∴|PF2|＝22或2．]
3．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a＝( )
A．－1 B．1 C．±1 D．2
B [由双曲线－＝1知：a>0且双曲线的焦点为(±，0)，而其与椭圆＋＝1有相同焦点，
∴a2<4且4－a2＝a＋2，解得a＝1，故选B．]
4．已知双曲线－＝1(m＞n＞0)和椭圆＋＝1有相同的焦点，则＋的最小值为( )
A．2 B．4 C．6 D．9
D [椭圆＋＝1是焦点在x轴上的椭圆，
且c2＝5－4＝1．
双曲线－＝1(m＞n＞0)和椭圆有相同的焦点．
∴m＋n＝1(m＞n＞0)，∴＋＝(m＋n)＝5＋＋≥5＋2＝9．
当且仅当＝，即m＝，n＝时取等号，∴＋的最小值为9．]
5．已知点M(－3，0)，N(3，0)，B(1，0)，动圆C与直线MN切于点B，过M，N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为( )
A．x2－＝1(x＞1) B．x2－＝1(x＞0)
C．x2－＝1(x＞0) D．x2－＝1(x＞1)
A [设过点P的两切线分别与圆切于S，T，则|PM|－|PN|＝(|PS|＋|SM|)－(|PT|＋|TN|)＝|SM|－|TN|＝|BM|－|BN|＝2＝2a，所以曲线为双曲线的右支且不能与x轴相交，a＝1，c＝3，所以b2＝8，
故P点的轨迹方程为x2－＝1(x>1)．]
二、填空题
6．已知点F1，F2分别是双曲线－＝1(a＞0)的左、右焦点，P是该双曲线上的一点，且|PF1|＝2|PF2|＝16，则△PF1F2的周长是________．
34 [因为|PF1|＝2|PF2|＝16，
所以|PF1|－|PF2|＝16－8＝8＝2a，
所以a＝4，又b2＝9，所以c2＝25，所以2c＝10．
△PF1F2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝16＋8＋10＝34．]
7．P为双曲线x2－＝1右支上一点，M，N分别是圆(x＋4)2＋y2＝4和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为________．
5 [双曲线的两个焦点F1(－4，0)，F2(4，0)分别为两圆的圆心，且两圆的半径分别为r1＝2，r2＝1，易知|PM|max＝|PF1|＋2，|PN|min＝|PF2|－1，故|PM|－|PN|的最大值为|PF1|＋2－(|PF2|－1)＝|PF1|－|PF2|＋3＝2＋3＝5．]
8．已知定点A的坐标为(1，4)，点F是双曲线－＝1的左焦点，点P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．
9 [由双曲线的方程可知a＝2，设右焦点为F1，则F1(4，0)．|PF|－|PF1|＝2a＝4，即|PF|＝|PF1|＋4，所以|PF|＋|PA|＝|PF1|＋|PA|＋4≥|AF1|＋4，当且仅当A，P，F1三点共线时取等号，此时|AF1|＝＝5，所以|PF|＋|PA|≥|AF1|＋4＝9，即|PF|＋|PA|的最小值为9．]
三、解答题
9．根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)经过点P(4，－2)和点Q(2，2)；
(2)c＝，经过点(－5，2)，焦点在x轴上．
[解] (1)设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)．
∵点P(4，－2)和点Q(2，2)在双曲线上，
∴解得
∴双曲线的标准方程为－＝1．
(2)法一：依题意可设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
依题设有解得
∴所求双曲线的标准方程为－y2＝1．
法二：∵焦点在x轴上，c＝，
∴设所求双曲线方程为－＝1(其中0＜λ＜6)．
∵双曲线经过点(－5，2)，
∴－＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)．
∴所求双曲线的标准方程是－y2＝1．
10．已知动圆M与圆C1：(x＋3)2＋y2＝9外切且与圆C2：(x－3)2＋y2＝1内切，求动圆圆心M的轨迹方程．
[解] 设动圆M的半径为r．
因为动圆M与圆C1外切且与圆C2内切，
所以|MC1|＝r＋3，|MC2|＝r－1．
相减得|MC1|－|MC2|＝4．
又因为C1(－3，0)，C2(3，0)，
并且|C1C2|＝6＞4，
所以点M的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线的右支，
且有a＝2，c＝3．所以b2＝5，
所求的轨迹方程为－＝1(x≥2)．
能力练
1．(多选题)已知F1，F2分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0且a≠b)的左、右焦点，P为双曲线右支上异于顶点的任意一点，O为坐标原点，则下列为真命题的是( )
A．△PF1F2的内切圆的圆心必在直线x＝a上
B．△PF1F2的内切圆的圆心必在直线x＝b上
C．△PF1F2的内切圆的圆心必在直线OP上
D．△PF1F2的内切圆必经过点(a，0)
AD [设△PF1F2的内切圆分别与PF1，PF2切于点A，B，与F1F2切于点M，则|PA|＝|PB|，|F1A|＝|F1M|，[JP2]|F2B|＝|F2M|．又点P在双曲线的右支上，所以|PF1|－|PF2|＝2a，故|F1M|－|F2M|＝2a，而|F1M|＋|F2M|[JP2]＝2c，设点M的坐标为(x，0)(x＞0)，则由|F1M|－|F2M|＝2a，可得(x＋c)－(c－x)＝2a，解得x＝a，显然内切圆的圆心与点M的连线垂直于x轴，故AD为真命题．]
2．设F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于( )
A．4 B．8 C．24 D．48
C [由可解得
又由|F1F2|＝10可得△PF1F2是直角三角形，
则S＝|PF1|·|PF2|＝24．]
3．椭圆＋＝1与双曲线y2－＝1有公共点P，则P与椭圆两焦点连线构成三角形的周长为________，P与双曲线两焦点连线构成三角形的面积为________．
24 24 [由已知椭圆与双曲线具有共同的焦点F1(0，5)，F2(0，－5)，
由椭圆与双曲线的定义可得
所以或
又|F1F2|＝10，∴△PF1F2为直角三角形，∠F1PF2＝90°，所以周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝14＋10＝24，S＝|PF1|·|PF2|＝24．]
4．从双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F引圆x2＋y2＝a2的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于点P，若M是线段PF的中点，O为原点，则|MO|－|MT|的值是________．
b－a [如图所示，设双曲线的右焦点为F1，连接PF1，
则|PF|－|PF1|＝2a，
在Rt△FTO中，|OF|＝c，
|OT|＝a，所以|FT|＝＝＝b，又M是线段PF的中点，
O为FF1的中点，
所以|PF|＝2|MF|＝2(|MT|＋b)，
所以|MO|＝|PF1|＝(|PF|－2a)
＝(2|MT|＋2b－2a)＝|MT|＋b－a，
即|MO|－|MT|＝b－a．]
拓展
某校兴趣小组运用计算机对轮船由海上行驶入内陆海湾进行了一次模拟试验．如图，内陆海湾的入口处有暗礁，其中线段AA1，B1B，CC1，D1D关于坐标轴或原点对称，线段B1B的方程为y＝x，x∈[a，b]，过O有一条航道．有一艘正在海面上航行的轮船准备进入内陆海湾，在点M处测得该船发出的汽笛声的时刻总比在点N处晚1 s(设海面上声速为a m/s)．若该船沿着当前的航线航行(不考虑轮船的体积)．
(1)兴趣小组观察到轮船当前航线所在的曲线方程是什么？
(2)这艘船能否由海上安全驶入内陆海湾？请说明理由．
[解] (1)设轮船所在的位置为P，
由题意可得|PM|－|PN|＝a．
∵a＜|MN|＝a，∴点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支．
设所求双曲线方程为－＝1(m＞0，n＞0)，
则m＝a，n＝＝a．
故兴趣小组观察到轮船当前航线所在的曲线方程是4x2－y2＝a2(x≥a)．
(2)这艘船能由海上安全驶入内陆海湾．
设直线l的方程为y＝y0(0≤y0≤b)．
当0≤y0≤a时，设l与双曲线右支、直线x＝a分别交于点Q1，S1，
则Q1，S1(a，y0)．
∵≤＜a，∴点Q1在点S1的左侧，
∴船不可能进入暗礁区．
当a＜y0≤b时，设l与双曲线右支、直线y＝x分别交于点Q2，S2，
则Q2，S2(y0，y0)．
∵(y＋a2)－y＝－＜0，∴＜y0，
∴点Q2在点S2的左侧，∴船不可能进入暗礁区．
综上，在x轴上方，船不可能进入暗礁区，由对称性可知，船能由海上安全驶入内陆海湾．
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(建议用时：40分钟)
基础练
一、选择题
1．双曲线＋＝1的焦距为( )
A．2 B． C．5 D．10
2．双曲线－＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为( )
A．22或2 B．7 C．22 D．5
3．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a＝( )
A．－1 B．1 C．±1 D．2
4．已知双曲线－＝1(m＞n＞0)和椭圆＋＝1有相同的焦点，则＋的最小值为( )
A．2 B．4 C．6 D．9
5．已知点M(－3，0)，N(3，0)，B(1，0)，动圆C与直线MN切于点B，过M，N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为( )
A．x2－＝1(x＞1) B．x2－＝1(x＞0)
C．x2－＝1(x＞0) D．x2－＝1(x＞1)
二、填空题
6．已知点F1，F2分别是双曲线－＝1(a＞0)的左、右焦点，P是该双曲线上的一点，且|PF1|＝2|PF2|＝16，则△PF1F2的周长是________．
7．P为双曲线x2－＝1右支上一点，M，N分别是圆(x＋4)2＋y2＝4和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为________．
8．已知定点A的坐标为(1，4)，点F是双曲线－＝1的左焦点，点P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．
三、解答题
9．根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)经过点P(4，－2)和点Q(2，2)；
(2)c＝，经过点(－5，2)，焦点在x轴上．
10．已知动圆M与圆C1：(x＋3)2＋y2＝9外切且与圆C2：(x－3)2＋y2＝1内切，求动圆圆心M的轨迹方程．
能力练
1．(多选题)已知F1，F2分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0且a≠b)的左、右焦点，P为双曲线右支上异于顶点的任意一点，O为坐标原点，则下列为真命题的是( )
A．△PF1F2的内切圆的圆心必在直线x＝a上
B．△PF1F2的内切圆的圆心必在直线x＝b上
C．△PF1F2的内切圆的圆心必在直线OP上
D．△PF1F2的内切圆必经过点(a，0)
2．设F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于( )
A．4 B．8 C．24 D．48
3．椭圆＋＝1与双曲线y2－＝1有公共点P，则P与椭圆两焦点连线构成三角形的周长为________，P与双曲线两焦点连线构成三角形的面积为________．
4．从双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F引圆x2＋y2＝a2的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于点P，若M是线段PF的中点，O为原点，则|MO|－|MT|的值是________．
拓展
某校兴趣小组运用计算机对轮船由海上行驶入内陆海湾进行了一次模拟试验．如图，内陆海湾的入口处有暗礁，其中线段AA1，B1B，CC1，D1D关于坐标轴或原点对称，线段B1B的方程为y＝x，x∈[a，b]，过O有一条航道．有一艘正在海面上航行的轮船准备进入内陆海湾，在点M处测得该船发出的汽笛声的时刻总比在点N处晚1 s(设海面上声速为a m/s)．若该船沿着当前的航线航行(不考虑轮船的体积)．
(1)兴趣小组观察到轮船当前航线所在的曲线方程是什么？
(2)这艘船能否由海上安全驶入内陆海湾？请说明理由．
参考答案：
基础练
一、选择题
1．双曲线＋＝1的焦距为( )
A．2 B． C．5 D．10
A [∵m－5＜0，∴0＜m＜5，方程化为标准方程为－＝1，
∴c2＝m＋5－m＝5，∴2c＝2．]
2．双曲线－＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为( )
A．22或2 B．7 C．22 D．5
A [∵a2＝25，∴a＝5．由双曲线定义得||PF1|－|PF2||＝10，由题意知|PF1|＝12，∴|PF1|－|PF2|＝±10，∴|PF2|＝22或2．]
3．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a＝( )
A．－1 B．1 C．±1 D．2
B [由双曲线－＝1知：a>0且双曲线的焦点为(±，0)，而其与椭圆＋＝1有相同焦点，
∴a2<4且4－a2＝a＋2，解得a＝1，故选B．]
4．已知双曲线－＝1(m＞n＞0)和椭圆＋＝1有相同的焦点，则＋的最小值为( )
A．2 B．4 C．6 D．9
D [椭圆＋＝1是焦点在x轴上的椭圆，
且c2＝5－4＝1．
双曲线－＝1(m＞n＞0)和椭圆有相同的焦点．
∴m＋n＝1(m＞n＞0)，∴＋＝(m＋n)＝5＋＋≥5＋2＝9．
当且仅当＝，即m＝，n＝时取等号，∴＋的最小值为9．]
5．已知点M(－3，0)，N(3，0)，B(1，0)，动圆C与直线MN切于点B，过M，N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为( )
A．x2－＝1(x＞1) B．x2－＝1(x＞0)
C．x2－＝1(x＞0) D．x2－＝1(x＞1)
A [设过点P的两切线分别与圆切于S，T，则|PM|－|PN|＝(|PS|＋|SM|)－(|PT|＋|TN|)＝|SM|－|TN|＝|BM|－|BN|＝2＝2a，所以曲线为双曲线的右支且不能与x轴相交，a＝1，c＝3，所以b2＝8，
故P点的轨迹方程为x2－＝1(x>1)．]
二、填空题
6．已知点F1，F2分别是双曲线－＝1(a＞0)的左、右焦点，P是该双曲线上的一点，且|PF1|＝2|PF2|＝16，则△PF1F2的周长是________．
34 [因为|PF1|＝2|PF2|＝16，
所以|PF1|－|PF2|＝16－8＝8＝2a，
所以a＝4，又b2＝9，所以c2＝25，所以2c＝10．
△PF1F2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝16＋8＋10＝34．]
7．P为双曲线x2－＝1右支上一点，M，N分别是圆(x＋4)2＋y2＝4和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为________．
5 [双曲线的两个焦点F1(－4，0)，F2(4，0)分别为两圆的圆心，且两圆的半径分别为r1＝2，r2＝1，易知|PM|max＝|PF1|＋2，|PN|min＝|PF2|－1，故|PM|－|PN|的最大值为|PF1|＋2－(|PF2|－1)＝|PF1|－|PF2|＋3＝2＋3＝5．]
8．已知定点A的坐标为(1，4)，点F是双曲线－＝1的左焦点，点P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．
9 [由双曲线的方程可知a＝2，设右焦点为F1，则F1(4，0)．|PF|－|PF1|＝2a＝4，即|PF|＝|PF1|＋4，所以|PF|＋|PA|＝|PF1|＋|PA|＋4≥|AF1|＋4，当且仅当A，P，F1三点共线时取等号，此时|AF1|＝＝5，所以|PF|＋|PA|≥|AF1|＋4＝9，即|PF|＋|PA|的最小值为9．]
三、解答题
9．根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)经过点P(4，－2)和点Q(2，2)；
(2)c＝，经过点(－5，2)，焦点在x轴上．
[解] (1)设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)．
∵点P(4，－2)和点Q(2，2)在双曲线上，
∴解得
∴双曲线的标准方程为－＝1．
(2)法一：依题意可设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
依题设有解得
∴所求双曲线的标准方程为－y2＝1．
法二：∵焦点在x轴上，c＝，
∴设所求双曲线方程为－＝1(其中0＜λ＜6)．
∵双曲线经过点(－5，2)，
∴－＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)．
∴所求双曲线的标准方程是－y2＝1．
10．已知动圆M与圆C1：(x＋3)2＋y2＝9外切且与圆C2：(x－3)2＋y2＝1内切，求动圆圆心M的轨迹方程．
[解] 设动圆M的半径为r．
因为动圆M与圆C1外切且与圆C2内切，
所以|MC1|＝r＋3，|MC2|＝r－1．
相减得|MC1|－|MC2|＝4．
又因为C1(－3，0)，C2(3，0)，
并且|C1C2|＝6＞4，
所以点M的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线的右支，
且有a＝2，c＝3．所以b2＝5，
所求的轨迹方程为－＝1(x≥2)．
能力练
1．(多选题)已知F1，F2分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0且a≠b)的左、右焦点，P为双曲线右支上异于顶点的任意一点，O为坐标原点，则下列为真命题的是( )
A．△PF1F2的内切圆的圆心必在直线x＝a上
B．△PF1F2的内切圆的圆心必在直线x＝b上
C．△PF1F2的内切圆的圆心必在直线OP上
D．△PF1F2的内切圆必经过点(a，0)
AD [设△PF1F2的内切圆分别与PF1，PF2切于点A，B，与F1F2切于点M，则|PA|＝|PB|，|F1A|＝|F1M|，[JP2]|F2B|＝|F2M|．又点P在双曲线的右支上，所以|PF1|－|PF2|＝2a，故|F1M|－|F2M|＝2a，而|F1M|＋|F2M|[JP2]＝2c，设点M的坐标为(x，0)(x＞0)，则由|F1M|－|F2M|＝2a，可得(x＋c)－(c－x)＝2a，解得x＝a，显然内切圆的圆心与点M的连线垂直于x轴，故AD为真命题．]
2．设F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于( )
A．4 B．8 C．24 D．48
C [由可解得
又由|F1F2|＝10可得△PF1F2是直角三角形，
则S＝|PF1|·|PF2|＝24．]
3．椭圆＋＝1与双曲线y2－＝1有公共点P，则P与椭圆两焦点连线构成三角形的周长为________，P与双曲线两焦点连线构成三角形的面积为________．
24 24 [由已知椭圆与双曲线具有共同的焦点F1(0，5)，F2(0，－5)，
由椭圆与双曲线的定义可得
所以或
又|F1F2|＝10，∴△PF1F2为直角三角形，∠F1PF2＝90°，所以周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝14＋10＝24，S＝|PF1|·|PF2|＝24．]
4．从双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F引圆x2＋y2＝a2的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于点P，若M是线段PF的中点，O为原点，则|MO|－|MT|的值是________．
b－a [如图所示，设双曲线的右焦点为F1，连接PF1，
则|PF|－|PF1|＝2a，
在Rt△FTO中，|OF|＝c，
|OT|＝a，所以|FT|＝＝＝b，又M是线段PF的中点，
O为FF1的中点，
所以|PF|＝2|MF|＝2(|MT|＋b)，
所以|MO|＝|PF1|＝(|PF|－2a)
＝(2|MT|＋2b－2a)＝|MT|＋b－a，
即|MO|－|MT|＝b－a．]
拓展
某校兴趣小组运用计算机对轮船由海上行驶入内陆海湾进行了一次模拟试验．如图，内陆海湾的入口处有暗礁，其中线段AA1，B1B，CC1，D1D关于坐标轴或原点对称，线段B1B的方程为y＝x，x∈[a，b]，过O有一条航道．有一艘正在海面上航行的轮船准备进入内陆海湾，在点M处测得该船发出的汽笛声的时刻总比在点N处晚1 s(设海面上声速为a m/s)．若该船沿着当前的航线航行(不考虑轮船的体积)．
(1)兴趣小组观察到轮船当前航线所在的曲线方程是什么？
(2)这艘船能否由海上安全驶入内陆海湾？请说明理由．
[解] (1)设轮船所在的位置为P，
由题意可得|PM|－|PN|＝a．
∵a＜|MN|＝a，∴点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支．
设所求双曲线方程为－＝1(m＞0，n＞0)，
则m＝a，n＝＝a．
故兴趣小组观察到轮船当前航线所在的曲线方程是4x2－y2＝a2(x≥a)．
(2)这艘船能由海上安全驶入内陆海湾．
设直线l的方程为y＝y0(0≤y0≤b)．
当0≤y0≤a时，设l与双曲线右支、直线x＝a分别交于点Q1，S1，
则Q1，S1(a，y0)．
∵≤＜a，∴点Q1在点S1的左侧，
∴船不可能进入暗礁区．
当a＜y0≤b时，设l与双曲线右支、直线y＝x分别交于点Q2，S2，
则Q2，S2(y0，y0)．
∵(y＋a2)－y＝－＜0，∴＜y0，
∴点Q2在点S2的左侧，∴船不可能进入暗礁区．
综上，在x轴上方，船不可能进入暗礁区，由对称性可知，船能由海上安全驶入内陆海湾．
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