2021_2022学年新教材高中数学2.8直线与圆锥曲线的位置关系（Word含答案解析）
文档属性
| 名称 | 2021_2022学年新教材高中数学2.8直线与圆锥曲线的位置关系（Word含答案解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 315.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-10-10 20:46:58 | ||
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文档简介
直线与圆锥曲线的位置关系
(建议用时：40分钟)
基础练
一、选择题
1．已知双曲线－＝1的右焦点为F，过点F作一条直线与其中一条渐近线垂直，垂足为A，O为坐标原点，则S△OAF＝( )
A．3 B．3 C．2 D．
2．直线y＝x－3与抛物线y2＝4x交于A，B两点，过两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，则梯形APQB的面积为( )
A．48 B．56 C．64 D．72
3．过椭圆x2＋2y2＝4的左焦点F作倾斜角为的弦AB，则弦AB的长为( )
A． B． C． D．
4．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且|AK|＝|AF|，则△AFK的面积为( )
A．4 B．8 C．16 D．32
5．如果AB是椭圆＋＝1的任意一条与x轴不垂直的弦，O为椭圆的中心，e为椭圆的离心率，M为AB的中点，则kAB·kOM的值为( )
A．e－1 B．1－e
C．e2－1 D．1－e2
二、填空题
6．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝________．
7．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为________．
8．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为________．
三、解答题
9．已知抛物线y2＝－x与直线y＝k(x＋1)相交于A，B两点．
(1)求证：OA⊥OB；
(2)当△OAB的面积等于时，求k的值．
10．已知椭圆C：＋y2＝1(a＞1)的上顶点为A，右焦点为F，直线AF与圆M：(x－3)2＋(y－1)2＝3相切．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若不过点A的动直线l与椭圆C交于P，Q两点，且·＝0，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标．
能力练
1．已知椭圆C：＋y2＝1的左、右顶点分别为A，B，点P是椭圆C上异于A，B的任意一点，直线AP，PB分别交直线x＝4于M，N两点，则|MN|的最小值为( )
A．2 B．2 C．4 D．4
2．(多选题)已知抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，以线段AB为直径的圆交x轴于M，N两点，设线段AB的中点为Q．若抛物线C上存在一点E(t，2)到焦点F的距离等于3．则下列说法正确的是( )
A．抛物线的方程是x2＝2y
B．抛物线的准线是y＝－1
C．sin∠QMN的最小值是
D．线段AB的最小值是6
3．椭圆＋＝1(a＞b＞0)第一象限上一点与中心、右焦点构成一个正三角形，则此椭圆的离心率e＝________，若此三角形的面积是4，则b2＝________．
4．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且斜率大于0的直线l交抛物线于点A，B(点A在第一象限)，交其准线于点C，若|BC|＝3|BF|，则直线AB的斜率为________．
拓展
如图，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，直线l与x轴交于点E，与椭圆C交于A，B两点．当直线l垂直于x轴且点E为椭圆C的右焦点时，弦AB的长为．
(1)求椭圆C的方程．
(2)若点E的坐标为，点A在第一象限且横坐标为，过点A与原点O的直线交椭圆C于另一点P，求△PAB的面积．
(3)是否存在点E，使得＋为定值？若存在，请指出点E的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由．
参考答案：
基础练
一、选择题
1．已知双曲线－＝1的右焦点为F，过点F作一条直线与其中一条渐近线垂直，垂足为A，O为坐标原点，则S△OAF＝( )
A．3 B．3 C．2 D．
D [双曲线－＝1的右焦点为F(3，0)，F到渐近线x＋2y＝0的距离|FA|＝＝．
则|AO|＝＝＝2．
则S△OAF＝|FA|·|OA|＝××2＝．]
2．直线y＝x－3与抛物线y2＝4x交于A，B两点，过两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，则梯形APQB的面积为( )
A．48 B．56 C．64 D．72
A [由消去y得，
x2－10x＋9＝0，∴x＝1或9，
∴或
∴|AP|＝10，|BQ|＝2或|BQ|＝10，|AP|＝2，
∴|PQ|＝8，梯形APQB的面积为48，故选A．]
3．过椭圆x2＋2y2＝4的左焦点F作倾斜角为的弦AB，则弦AB的长为( )
A． B． C． D．
B [椭圆的方程可化为＋＝1，
∴F(－，0)．
又∵直线AB的斜率为，
∴直线AB的方程为y＝x＋．
由得7x2＋12x＋8＝0．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1·x2＝，
∴|AB|＝＝．]
4．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且|AK|＝|AF|，则△AFK的面积为( )
A．4 B．8 C．16 D．32
B [因为抛物线C：y2＝8x的焦点为F(2，0)，
准线为x＝－2，
所以K(－2，0)，
设A(x0，y0)，如图所示，过点A向准线作垂线，垂足为B，
则B(－2，y0)．
因为|AK|＝|AF|，
又|AF|＝|AB|＝x0－(－2)＝x0＋2，
所以由|BK|2＝|AK|2－|AB|2，
得y＝(x0＋2)2，
即8x0＝(x0＋2)2，
解得x0＝2，y0＝±4，
所以S△AFK的面积为|KF|·|y0|＝×4×4＝8．]
5．如果AB是椭圆＋＝1的任意一条与x轴不垂直的弦，O为椭圆的中心，e为椭圆的离心率，M为AB的中点，则kAB·kOM的值为( )
A．e－1 B．1－e
C．e2－1 D．1－e2
C [设A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点M(x0，y0)，＋＝1，＋＝1，作差得
＝，
所以kAB·kOM＝·＝＝＝e2－1．]
二、填空题
6．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝________．
0或1 [当k＝0时，直线与抛物线有唯一交点，
当k≠0时，联立方程消y得：
k2x2＋4(k－2)x＋4＝0，
由题意Δ＝16(k－2)2－16k2＝0，
∴k＝1．]
7．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为________．
6 [由＋＝1可得F(－1，0)．
设P(x，y)，－2≤x≤2，则·＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，
当且仅当x＝2时，·取得最大值6．]
8．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为________．
[设双曲线方程为－＝1(a＞0，b>0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为y＝x，
而kBF＝－．
∴·＝－1，整理得b2＝ac．
∴c2－a2－ac＝0．两边同除以a2，得e2－e－1＝0，
解得e＝或e＝(舍去)．]
三、解答题
9．已知抛物线y2＝－x与直线y＝k(x＋1)相交于A，B两点．
(1)求证：OA⊥OB；
(2)当△OAB的面积等于时，求k的值．
[解] (1)证明：如图所示，显然k≠0，由消去x得，ky2＋y－k＝0．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得y1·y2＝－1，y1＋y2＝－．
∵A，B在抛物线y2＝－x上，
∴y＝－x1，y＝－x2，∴y·y＝x1x2．
∵kOA·kOB＝·＝＝＝－1，∴OA⊥OB．
(2)设直线与x轴交于点N，显然k≠0．
令y＝0，得x＝－1，即N(－1，0)．
∵S△OAB＝S△OAN＋S△OBN
＝|ON||y1|＋|ON||y2|
＝|ON|·|y1－y2|，
∴S△OAB＝·1·
＝．
∵S△OAB＝，
∴＝，解得k＝±．
10．已知椭圆C：＋y2＝1(a＞1)的上顶点为A，右焦点为F，直线AF与圆M：(x－3)2＋(y－1)2＝3相切．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若不过点A的动直线l与椭圆C交于P，Q两点，且·＝0，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标．
[解] (1)圆M的圆心为(3，1)，半径r＝．
由题意知A(0，1)，F(c，0)，
直线AF的方程为＋y＝1，即x＋cy－c＝0．
由直线AF与圆M相切，得＝，
解得c2＝2，所以a2＝c2＋1＝3，
故椭圆C的方程为＋y2＝1．
(2)法一：由·＝0知AP⊥AQ，从而直线AP与坐标轴不垂直，故可设直线AP的方程为y＝kx＋1(k≠0)，则直线AQ的方程为y＝－x＋1．
由消去y并整理得(1＋3k2)x2＋6kx＝0，
解得x＝0或x＝，
故点P的坐标为，
同理，得点Q的坐标为．
所以直线l的斜率为＝，
所以直线l的方程为y＝＋，
即y＝x－．
所以直线l过定点．
法二：由·＝0知AP⊥AQ，从而直线PQ与x轴不垂直，故可设直线l的方程为y＝kx＋t(t≠1)，
由消去y并整理得(1＋3k2)x2＋6ktx＋3(t2－1)＝0．
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则 (*)
由Δ＝(6kt)2－4(1＋3k2)×3(t2－1)＞0，
得3k2＞t2－1．
由·＝0，
得·＝(x1，y1－1)·(x2，y2－1)＝(1＋k2)x1x2＋k(t－1)(x1＋x2)＋(t－1)2＝0，将(*)代入，得t＝－．
所以直线l过定点．
能力练
1．已知椭圆C：＋y2＝1的左、右顶点分别为A，B，点P是椭圆C上异于A，B的任意一点，直线AP，PB分别交直线x＝4于M，N两点，则|MN|的最小值为( )
A．2 B．2 C．4 D．4
B [依题意可知，直线AP，PB的斜率存在且不为零．根据椭圆的几何性质可知A(－2，0)，B(2，0)．
设直线AP的方程为y＝k(x＋2)，令x＝4，得yM＝6k．
由消去y，得(1＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－4＝0，
解得xA＝－2，xP＝，故yP＝k(xP＋2)＝．
所以kPB＝＝－．故直线PB的方程为y＝－·(x－2)，令x＝4，得yN＝－．
所以|MN|＝|yM－yN|＝＝|6k|＋≥2＝2，
当且仅当|6k|＝，即|k|＝时，等号成立．
故|MN|的最小值为2．]
2．(多选题)已知抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，以线段AB为直径的圆交x轴于M，N两点，设线段AB的中点为Q．若抛物线C上存在一点E(t，2)到焦点F的距离等于3．则下列说法正确的是( )
A．抛物线的方程是x2＝2y
B．抛物线的准线是y＝－1
C．sin∠QMN的最小值是
D．线段AB的最小值是6
BC [抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，
得抛物线的准线方程为y＝－，
点E(t，2)到焦点F的距离等于3，
可得2＋＝3，解得p＝2，
则抛物线C的方程为x2＝4y，所以A不正确；
抛物线的准线方程：y＝－1，所以B正确；
由题知直线l的斜率存在，F(0，1)，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
直线l的方程为y＝kx＋1，
由消去y得x2－4kx－4＝0，
所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，
所以y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝4k2＋2，
所以AB的中点Q的坐标为(2k，2k2＋1)，
|AB|＝y1＋y2＋p＝4k2＋2＋2＝4k2＋4，
所以圆Q的半径为r＝2k2＋2，
在等腰△QMN中，
sin∠QMN＝＝＝1－≥1－＝，
当且仅当k＝0时取等号．
所以sin∠QMN的最小值为．所以C正确；
线段AB的最小值是：y1＋y2＋2＝4k2＋4≥4．
所以D不正确．]
3．椭圆＋＝1(a＞b＞0)第一象限上一点与中心、右焦点构成一个正三角形，则此椭圆的离心率e＝________，若此三角形的面积是4，则b2＝________．
－1 8 [如图，由△OPF为正三角形，可得P，代入椭圆方程，可得＋＝1，又b2＝a2－c2，得(a2－c2)c2＋3a2c2＝4a2(a2－c2)，
解得e＝＝－1，若S△OPF＝×c×c＝4，则c＝4，
a2＝＝＝16＋8，则b2＝a2－c2＝8．]
4．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且斜率大于0的直线l交抛物线于点A，B(点A在第一象限)，交其准线于点C，若|BC|＝3|BF|，则直线AB的斜率为________．
2 [如图，作BD⊥l于D(l是准线)，则|BD|＝|BF|，由题意|BC|＝3|BD|，∴|CD|＝2|BD|，tan∠CBD＝＝2，由BD⊥l知BD∥x轴，∠CBD与直线AB倾斜角相等，∴AB的斜率为2．
]
拓展
如图，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，直线l与x轴交于点E，与椭圆C交于A，B两点．当直线l垂直于x轴且点E为椭圆C的右焦点时，弦AB的长为．
(1)求椭圆C的方程．
(2)若点E的坐标为，点A在第一象限且横坐标为，过点A与原点O的直线交椭圆C于另一点P，求△PAB的面积．
(3)是否存在点E，使得＋为定值？若存在，请指出点E的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由．
[解] (1)设A(xA，yA)，B(xB，yB)．
由＝，设a＝3k(k＞0)，则c＝k，b2＝3k2，
所以椭圆C的方程为＋＝1．
当直线l垂直于x轴且点E为椭圆C的右焦点时，xA＝xB＝k，
将x＝k代入椭圆方程，解得y＝±k，
于是2k＝，即k＝，所以椭圆C的方程为＋＝1．
(2)将x＝代入＋＝1，解得y＝±1．
因为点A在第一象限，所以A(，1)，
由点E的坐标为，得kAB＝，
则直线AB的方程为y＝，
联立直线AB与椭圆C的方程，解得B．
又PA过原点O，则P(－，－1)，|PA|＝4，直线PA的方程为x－y＝0，
所以点B到直线PA的距离h＝＝，
所以S△PAB＝×4×＝．
(3)假设存在点E，使得＋为定值，设E(x0，0)．
当直线AB与x轴重合时，有＋＝＋＝，
当直线AB与x轴垂直时，有＋＝＝，
由＝，解得x0＝±，＝2，
所以若存在点E，此时点E的坐标为(±，0)，＋为定值2．
根据对称性，只需考虑直线AB过点E(，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为x＝my＋．
由得(m2＋3)y2＋2my－3＝0，
所以y1＋y2＝，y1y2＝．
又＝＝＝，
＝＝＝，
所以＋＝＋
＝＝＝2．
综上所述，存在点E(±，0)，使得＋为定值2．
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(建议用时：40分钟)
基础练
一、选择题
1．已知双曲线－＝1的右焦点为F，过点F作一条直线与其中一条渐近线垂直，垂足为A，O为坐标原点，则S△OAF＝( )
A．3 B．3 C．2 D．
2．直线y＝x－3与抛物线y2＝4x交于A，B两点，过两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，则梯形APQB的面积为( )
A．48 B．56 C．64 D．72
3．过椭圆x2＋2y2＝4的左焦点F作倾斜角为的弦AB，则弦AB的长为( )
A． B． C． D．
4．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且|AK|＝|AF|，则△AFK的面积为( )
A．4 B．8 C．16 D．32
5．如果AB是椭圆＋＝1的任意一条与x轴不垂直的弦，O为椭圆的中心，e为椭圆的离心率，M为AB的中点，则kAB·kOM的值为( )
A．e－1 B．1－e
C．e2－1 D．1－e2
二、填空题
6．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝________．
7．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为________．
8．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为________．
三、解答题
9．已知抛物线y2＝－x与直线y＝k(x＋1)相交于A，B两点．
(1)求证：OA⊥OB；
(2)当△OAB的面积等于时，求k的值．
10．已知椭圆C：＋y2＝1(a＞1)的上顶点为A，右焦点为F，直线AF与圆M：(x－3)2＋(y－1)2＝3相切．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若不过点A的动直线l与椭圆C交于P，Q两点，且·＝0，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标．
能力练
1．已知椭圆C：＋y2＝1的左、右顶点分别为A，B，点P是椭圆C上异于A，B的任意一点，直线AP，PB分别交直线x＝4于M，N两点，则|MN|的最小值为( )
A．2 B．2 C．4 D．4
2．(多选题)已知抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，以线段AB为直径的圆交x轴于M，N两点，设线段AB的中点为Q．若抛物线C上存在一点E(t，2)到焦点F的距离等于3．则下列说法正确的是( )
A．抛物线的方程是x2＝2y
B．抛物线的准线是y＝－1
C．sin∠QMN的最小值是
D．线段AB的最小值是6
3．椭圆＋＝1(a＞b＞0)第一象限上一点与中心、右焦点构成一个正三角形，则此椭圆的离心率e＝________，若此三角形的面积是4，则b2＝________．
4．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且斜率大于0的直线l交抛物线于点A，B(点A在第一象限)，交其准线于点C，若|BC|＝3|BF|，则直线AB的斜率为________．
拓展
如图，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，直线l与x轴交于点E，与椭圆C交于A，B两点．当直线l垂直于x轴且点E为椭圆C的右焦点时，弦AB的长为．
(1)求椭圆C的方程．
(2)若点E的坐标为，点A在第一象限且横坐标为，过点A与原点O的直线交椭圆C于另一点P，求△PAB的面积．
(3)是否存在点E，使得＋为定值？若存在，请指出点E的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由．
参考答案：
基础练
一、选择题
1．已知双曲线－＝1的右焦点为F，过点F作一条直线与其中一条渐近线垂直，垂足为A，O为坐标原点，则S△OAF＝( )
A．3 B．3 C．2 D．
D [双曲线－＝1的右焦点为F(3，0)，F到渐近线x＋2y＝0的距离|FA|＝＝．
则|AO|＝＝＝2．
则S△OAF＝|FA|·|OA|＝××2＝．]
2．直线y＝x－3与抛物线y2＝4x交于A，B两点，过两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，则梯形APQB的面积为( )
A．48 B．56 C．64 D．72
A [由消去y得，
x2－10x＋9＝0，∴x＝1或9，
∴或
∴|AP|＝10，|BQ|＝2或|BQ|＝10，|AP|＝2，
∴|PQ|＝8，梯形APQB的面积为48，故选A．]
3．过椭圆x2＋2y2＝4的左焦点F作倾斜角为的弦AB，则弦AB的长为( )
A． B． C． D．
B [椭圆的方程可化为＋＝1，
∴F(－，0)．
又∵直线AB的斜率为，
∴直线AB的方程为y＝x＋．
由得7x2＋12x＋8＝0．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1·x2＝，
∴|AB|＝＝．]
4．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且|AK|＝|AF|，则△AFK的面积为( )
A．4 B．8 C．16 D．32
B [因为抛物线C：y2＝8x的焦点为F(2，0)，
准线为x＝－2，
所以K(－2，0)，
设A(x0，y0)，如图所示，过点A向准线作垂线，垂足为B，
则B(－2，y0)．
因为|AK|＝|AF|，
又|AF|＝|AB|＝x0－(－2)＝x0＋2，
所以由|BK|2＝|AK|2－|AB|2，
得y＝(x0＋2)2，
即8x0＝(x0＋2)2，
解得x0＝2，y0＝±4，
所以S△AFK的面积为|KF|·|y0|＝×4×4＝8．]
5．如果AB是椭圆＋＝1的任意一条与x轴不垂直的弦，O为椭圆的中心，e为椭圆的离心率，M为AB的中点，则kAB·kOM的值为( )
A．e－1 B．1－e
C．e2－1 D．1－e2
C [设A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点M(x0，y0)，＋＝1，＋＝1，作差得
＝，
所以kAB·kOM＝·＝＝＝e2－1．]
二、填空题
6．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝________．
0或1 [当k＝0时，直线与抛物线有唯一交点，
当k≠0时，联立方程消y得：
k2x2＋4(k－2)x＋4＝0，
由题意Δ＝16(k－2)2－16k2＝0，
∴k＝1．]
7．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为________．
6 [由＋＝1可得F(－1，0)．
设P(x，y)，－2≤x≤2，则·＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，
当且仅当x＝2时，·取得最大值6．]
8．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为________．
[设双曲线方程为－＝1(a＞0，b>0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为y＝x，
而kBF＝－．
∴·＝－1，整理得b2＝ac．
∴c2－a2－ac＝0．两边同除以a2，得e2－e－1＝0，
解得e＝或e＝(舍去)．]
三、解答题
9．已知抛物线y2＝－x与直线y＝k(x＋1)相交于A，B两点．
(1)求证：OA⊥OB；
(2)当△OAB的面积等于时，求k的值．
[解] (1)证明：如图所示，显然k≠0，由消去x得，ky2＋y－k＝0．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得y1·y2＝－1，y1＋y2＝－．
∵A，B在抛物线y2＝－x上，
∴y＝－x1，y＝－x2，∴y·y＝x1x2．
∵kOA·kOB＝·＝＝＝－1，∴OA⊥OB．
(2)设直线与x轴交于点N，显然k≠0．
令y＝0，得x＝－1，即N(－1，0)．
∵S△OAB＝S△OAN＋S△OBN
＝|ON||y1|＋|ON||y2|
＝|ON|·|y1－y2|，
∴S△OAB＝·1·
＝．
∵S△OAB＝，
∴＝，解得k＝±．
10．已知椭圆C：＋y2＝1(a＞1)的上顶点为A，右焦点为F，直线AF与圆M：(x－3)2＋(y－1)2＝3相切．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若不过点A的动直线l与椭圆C交于P，Q两点，且·＝0，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标．
[解] (1)圆M的圆心为(3，1)，半径r＝．
由题意知A(0，1)，F(c，0)，
直线AF的方程为＋y＝1，即x＋cy－c＝0．
由直线AF与圆M相切，得＝，
解得c2＝2，所以a2＝c2＋1＝3，
故椭圆C的方程为＋y2＝1．
(2)法一：由·＝0知AP⊥AQ，从而直线AP与坐标轴不垂直，故可设直线AP的方程为y＝kx＋1(k≠0)，则直线AQ的方程为y＝－x＋1．
由消去y并整理得(1＋3k2)x2＋6kx＝0，
解得x＝0或x＝，
故点P的坐标为，
同理，得点Q的坐标为．
所以直线l的斜率为＝，
所以直线l的方程为y＝＋，
即y＝x－．
所以直线l过定点．
法二：由·＝0知AP⊥AQ，从而直线PQ与x轴不垂直，故可设直线l的方程为y＝kx＋t(t≠1)，
由消去y并整理得(1＋3k2)x2＋6ktx＋3(t2－1)＝0．
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则 (*)
由Δ＝(6kt)2－4(1＋3k2)×3(t2－1)＞0，
得3k2＞t2－1．
由·＝0，
得·＝(x1，y1－1)·(x2，y2－1)＝(1＋k2)x1x2＋k(t－1)(x1＋x2)＋(t－1)2＝0，将(*)代入，得t＝－．
所以直线l过定点．
能力练
1．已知椭圆C：＋y2＝1的左、右顶点分别为A，B，点P是椭圆C上异于A，B的任意一点，直线AP，PB分别交直线x＝4于M，N两点，则|MN|的最小值为( )
A．2 B．2 C．4 D．4
B [依题意可知，直线AP，PB的斜率存在且不为零．根据椭圆的几何性质可知A(－2，0)，B(2，0)．
设直线AP的方程为y＝k(x＋2)，令x＝4，得yM＝6k．
由消去y，得(1＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－4＝0，
解得xA＝－2，xP＝，故yP＝k(xP＋2)＝．
所以kPB＝＝－．故直线PB的方程为y＝－·(x－2)，令x＝4，得yN＝－．
所以|MN|＝|yM－yN|＝＝|6k|＋≥2＝2，
当且仅当|6k|＝，即|k|＝时，等号成立．
故|MN|的最小值为2．]
2．(多选题)已知抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，以线段AB为直径的圆交x轴于M，N两点，设线段AB的中点为Q．若抛物线C上存在一点E(t，2)到焦点F的距离等于3．则下列说法正确的是( )
A．抛物线的方程是x2＝2y
B．抛物线的准线是y＝－1
C．sin∠QMN的最小值是
D．线段AB的最小值是6
BC [抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，
得抛物线的准线方程为y＝－，
点E(t，2)到焦点F的距离等于3，
可得2＋＝3，解得p＝2，
则抛物线C的方程为x2＝4y，所以A不正确；
抛物线的准线方程：y＝－1，所以B正确；
由题知直线l的斜率存在，F(0，1)，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
直线l的方程为y＝kx＋1，
由消去y得x2－4kx－4＝0，
所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，
所以y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝4k2＋2，
所以AB的中点Q的坐标为(2k，2k2＋1)，
|AB|＝y1＋y2＋p＝4k2＋2＋2＝4k2＋4，
所以圆Q的半径为r＝2k2＋2，
在等腰△QMN中，
sin∠QMN＝＝＝1－≥1－＝，
当且仅当k＝0时取等号．
所以sin∠QMN的最小值为．所以C正确；
线段AB的最小值是：y1＋y2＋2＝4k2＋4≥4．
所以D不正确．]
3．椭圆＋＝1(a＞b＞0)第一象限上一点与中心、右焦点构成一个正三角形，则此椭圆的离心率e＝________，若此三角形的面积是4，则b2＝________．
－1 8 [如图，由△OPF为正三角形，可得P，代入椭圆方程，可得＋＝1，又b2＝a2－c2，得(a2－c2)c2＋3a2c2＝4a2(a2－c2)，
解得e＝＝－1，若S△OPF＝×c×c＝4，则c＝4，
a2＝＝＝16＋8，则b2＝a2－c2＝8．]
4．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且斜率大于0的直线l交抛物线于点A，B(点A在第一象限)，交其准线于点C，若|BC|＝3|BF|，则直线AB的斜率为________．
2 [如图，作BD⊥l于D(l是准线)，则|BD|＝|BF|，由题意|BC|＝3|BD|，∴|CD|＝2|BD|，tan∠CBD＝＝2，由BD⊥l知BD∥x轴，∠CBD与直线AB倾斜角相等，∴AB的斜率为2．
]
拓展
如图，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，直线l与x轴交于点E，与椭圆C交于A，B两点．当直线l垂直于x轴且点E为椭圆C的右焦点时，弦AB的长为．
(1)求椭圆C的方程．
(2)若点E的坐标为，点A在第一象限且横坐标为，过点A与原点O的直线交椭圆C于另一点P，求△PAB的面积．
(3)是否存在点E，使得＋为定值？若存在，请指出点E的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由．
[解] (1)设A(xA，yA)，B(xB，yB)．
由＝，设a＝3k(k＞0)，则c＝k，b2＝3k2，
所以椭圆C的方程为＋＝1．
当直线l垂直于x轴且点E为椭圆C的右焦点时，xA＝xB＝k，
将x＝k代入椭圆方程，解得y＝±k，
于是2k＝，即k＝，所以椭圆C的方程为＋＝1．
(2)将x＝代入＋＝1，解得y＝±1．
因为点A在第一象限，所以A(，1)，
由点E的坐标为，得kAB＝，
则直线AB的方程为y＝，
联立直线AB与椭圆C的方程，解得B．
又PA过原点O，则P(－，－1)，|PA|＝4，直线PA的方程为x－y＝0，
所以点B到直线PA的距离h＝＝，
所以S△PAB＝×4×＝．
(3)假设存在点E，使得＋为定值，设E(x0，0)．
当直线AB与x轴重合时，有＋＝＋＝，
当直线AB与x轴垂直时，有＋＝＝，
由＝，解得x0＝±，＝2，
所以若存在点E，此时点E的坐标为(±，0)，＋为定值2．
根据对称性，只需考虑直线AB过点E(，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为x＝my＋．
由得(m2＋3)y2＋2my－3＝0，
所以y1＋y2＝，y1y2＝．
又＝＝＝，
＝＝＝，
所以＋＝＋
＝＝＝2．
综上所述，存在点E(±，0)，使得＋为定值2．
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