2021_2022学年新教材高中数学1.1.3空间向量的坐标与空间直角坐标系（Word含答案解析）

空间向量的坐标与空间直角坐标系
(建议用时：40分钟)
基础练
一、选择题
1．已知a＝(1，－2，1)，a－b＝(－1，2，－1)，则b＝(　　)
A．(2，－4，2)　　　 B．(－2，4，－2)
C．(－2，0，－2) D．(2，1，－3)
2．与A(3，4，5)，B(－2，3，0)两点距离相等的点M(x，y，z)满足的条件是(　　)
A．10x＋2y＋10z－37＝0 B．5x－y＋5z－37＝0
C．10x－y＋10z＋37＝0 D．10x－2y＋10z＋37＝0
3．已知A(x，2，－1)，B(2，y，1)，C(0，4，－3)三点共线，则x＋y＝(　　)
A．1　　　　B．－1　　 C．0　　　　D．2
4．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1，2)，且a与b的夹角的余弦值为，则λ＝(　　)
A．2 B．－2
C．－2或 D．2或－
5．已知点A(1，a，－5)，B(2a，－7，－2)，则|AB|的最小值为(　　)
A．3　　　B．3　　C．2　　　D．2
二、填空题
6．已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b与a互相垂直，则k＝________．
7．已知2a＋b＝(0，－5，10)，c＝(1，－2，－2)，a·c＝4，|b|＝12，则〈b，c〉＝________．
8．在空间直角坐标系中，以O(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，2)为一个三棱锥的顶点，则此三棱锥的表面积为________．
三、解答题
9．已知A(1，0，0)，B(0，－1，1)，O(0，0，0)，＋λ与的夹角为120°，求λ的值．
10．(1)已知向量a＝(2，4，5)，b＝(3，x，y)，若a∥b，求x，y的值．
(2)求与向量(－3，－4，5)共线的单位向量．
能力练
1．定义a b＝|a|2－a·b，若向量a＝(1，－2，2)，向量b为单位向量，则a b的取值范围是(　　)
A．[0，6] B．[6，12]
C．[0，6) D．(－1，5)
2．已知向量a＝(1，2，3)，b＝(－2，－4，－6)，|c|＝，若(a＋b)·c＝7，则a与c的夹角为(　　)
A．30°　　　　B．60°　　C．120°　　　　D．150°
3．已知点A(1，2，3)，B(2，1，2)，P(1，1，2)，O(0，0，0)，点Q在直线OP上运动，·的最小值为________，此时点Q的坐标为________．
4．给定三个向量v1＝(1，0，1)，v2＝(1，1，0)，v3＝(1，1，k2＋k－1)，其中k是一个实数．若存在非零向量同时垂直于这三个向量，则k的值为________．
拓展
在正三棱柱ABC A1B1C1中，平面ABC和平面A1B1C1为正三角形，所有的棱长都是2，M是BC边的中点，则在棱CC1上是否存在点N，使得异面直线AB1和MN所夹的角等于45°？
参考答案：
基础练
一、选择题
1．已知a＝(1，－2，1)，a－b＝(－1，2，－1)，则b＝(　　)
A．(2，－4，2)　　　 B．(－2，4，－2)
C．(－2，0，－2) D．(2，1，－3)
A　[b＝a－(a－b)＝(1，－2，1)－(－1，2，－1)＝(2，－4，2)．]
2．与A(3，4，5)，B(－2，3，0)两点距离相等的点M(x，y，z)满足的条件是(　　)
A．10x＋2y＋10z－37＝0 B．5x－y＋5z－37＝0
C．10x－y＋10z＋37＝0 D．10x－2y＋10z＋37＝0
A　[由|MA|＝|MB|，得(x－3)2＋(y－4)2＋(z－5)2＝(x＋2)2＋(y－3)2＋z2，化简得10x＋2y＋10z－37＝0，故选A．]
3．已知A(x，2，－1)，B(2，y，1)，C(0，4，－3)三点共线，则x＋y＝(　　)
A．1　　　　B．－1　　 C．0　　　　D．2
A　[＝(2－x，y－2，2)，＝(－2，4－y，－4)，故＝＝，解得x＝1，y＝0，故x＋y＝1，故选A．]
4．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1，2)，且a与b的夹角的余弦值为，则λ＝(　　)
A．2 B．－2
C．－2或 D．2或－
C　[由cos〈a，b〉＝＝＝，
解得λ＝－2或λ＝．]
5．已知点A(1，a，－5)，B(2a，－7，－2)，则|AB|的最小值为(　　)
A．3　　　B．3　　C．2　　　D．2
B　[||＝
＝
＝，
当a＝－1时，||min＝＝3．]
二、填空题
6．已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b与a互相垂直，则k＝________．
　[根据题意得ka＋b＝k(1，1，0)＋(－1，0，2)＝(k－1，k，2)．
∵(ka＋b)⊥a，∴(ka＋b)·a＝0．
∴(k－1)×1＋k×1＋0×2＝0，解得k＝．]
7．已知2a＋b＝(0，－5，10)，c＝(1，－2，－2)，a·c＝4，|b|＝12，则〈b，c〉＝________．
　[(2a＋b)·c＝2a·c＋b·c＝－10，
又a·c＝4，∴b·c＝－18，又|c|＝3，|b|＝12，
∴cos〈b，c〉＝＝－，
∵〈b，c〉∈[0，π]，∴〈b，c〉＝．]
8．在空间直角坐标系中，以O(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，2)为一个三棱锥的顶点，则此三棱锥的表面积为________．
6＋2　[S△AOC＝S△BOC＝S△AOB＝×2×2＝2，
S△ABC＝×|AB|2＝×8＝2，
故三棱锥的表面积S＝6＋2．]
三、解答题
9．已知A(1，0，0)，B(0，－1，1)，O(0，0，0)，＋λ与的夹角为120°，求λ的值．
[解]　∵＝(1，0，0)，＝(0，－1，1)，
∴＋λ＝(1，－λ，λ)，
∴(＋λ)·＝λ＋λ＝2λ，
又|＋λ|＝＝，
||＝，
∴cos 120°＝＝－，
∴λ2＝．又＜0，即λ＜0，∴λ＝－．
10．(1)已知向量a＝(2，4，5)，b＝(3，x，y)，若a∥b，求x，y的值．
(2)求与向量(－3，－4，5)共线的单位向量．
[解]　(1)因为a∥b，所以存在实数λ，使a＝λb，
所以(2，4，5)＝λ(3，x，y)，
所以所以
(2)向量(－3，－4，5)的模为＝5，
所以与向量(－3，－4，5)共线的单位向量为±·(－3，－4，5)＝±(－3，－4，5)，
即和．
能力练
1．定义a b＝|a|2－a·b，若向量a＝(1，－2，2)，向量b为单位向量，则a b的取值范围是(　　)
A．[0，6] B．[6，12]
C．[0，6) D．(－1，5)
B　[由题意知|a|＝3，|b|＝1， 设a与b的夹角为θ，则a b＝|a|2－a·b＝|a|2－|a||b|cos θ＝9－3cos θ．又θ∈[0，π]，∴cos θ∈[－1，1]，∴a b∈[6，12]．故选B．]
2．已知向量a＝(1，2，3)，b＝(－2，－4，－6)，|c|＝，若(a＋b)·c＝7，则a与c的夹角为(　　)
A．30°　　　　B．60°　　C．120°　　　　D．150°
C　[a＋b＝(－1，－2，－3)＝－a，故(a＋b)·c＝－a·c＝7，得a·c＝－7，而|a|＝＝，所以cos〈a，c〉＝＝－，〈a，c〉＝120°．]
3．已知点A(1，2，3)，B(2，1，2)，P(1，1，2)，O(0，0，0)，点Q在直线OP上运动，·的最小值为________，此时点Q的坐标为________．
－　　[设＝λ＝(λ，λ，2λ)，
故Q(λ，λ，2λ)，
∴＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，
∴·＝6λ2－16λ＋10＝6－，
∴·的最小值为－，此时λ＝，Q点的坐标为．]
4．给定三个向量v1＝(1，0，1)，v2＝(1，1，0)，v3＝(1，1，k2＋k－1)，其中k是一个实数．若存在非零向量同时垂直于这三个向量，则k的值为________．
　[设非零向量u＝(x，y，z)，由题可知u与v1，v2，v3都垂直，则
即则代入x＋y＋(k2＋k－1)z＝0，得－z＋z＋(k2＋k－1)z＝0，
即(k2＋k－1)z＝0．
若(k2＋k－1)z＝0有解，则必有k2＋k－1＝0，解得k＝．]
拓展
在正三棱柱ABC A1B1C1中，平面ABC和平面A1B1C1为正三角形，所有的棱长都是2，M是BC边的中点，则在棱CC1上是否存在点N，使得异面直线AB1和MN所夹的角等于45°？
[解]　以A点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz．由题意知A(0，0，0)，C(0，2，0)，B(，1，0)，
B1(，1，2)，M．
又点N在CC1上，
可设N(0，2，m)(0≤m≤2)，
则＝(，1，2)，＝，
所以||＝2，||＝，·＝2m－1．
如果异面直线AB1和MN所夹的角等于45°，那么向量和的夹角等于45°或135°．
又cos〈，〉＝＝．
所以＝±，解得m＝－，这与0≤m≤2矛盾．
所以在CC1上不存在点N，使得异面直线AB1和MN所夹的角等于45°．
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