2021_2022学年新教材高中数学2.2.1直线的倾斜角与斜率（Word含答案解析）

直线的倾斜角与斜率
(建议用时：40分钟)
基础练
一、选择题
1．若直线经过O(0，0)，A(1，)两点，则直线OA的倾斜角为(　　)
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．
2．已知直线l经过A(1，2)，B(3，5)，则直线l的一个方向向量为(　　)
A．(2，3)　　B．(3，2)　　C．(1，5)　　D．(－3，2)
3．如图，已知直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　　)
A．k1＜k2＜k3
B．k3＜k1＜k2
C．k3＜k2＜k1
D．k1＜k3＜k2
4．一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为 (　　)
A．α
B．180°－α
C．180°－α或90°－α
D．90°＋α或90°－α
5．在平面直角坐标系中，正△ABC的BC边所在直线的斜率是0，则AC，AB边所在直线的斜率之和为(　　)
A．－2　　B．0　　C．　　D．2
二、填空题
6．a，b，c是两两不等的实数，则经过P(b，b＋c)，C(a，c＋a)两点直线的倾斜角为________．
7．若向量a＝(2，1)是直线l1的一个方向向量，向量b＝(－1，3)是直线l2的一个法向量，则直线l1与l2的夹角的余弦值为________．
8．已知直线l上的两个点M(1，2)，N(5，4)，则直线l的一个法向量为________．
三、解答题
9．已知点A(1，2)，在坐标轴上求一点P，使直线PA的倾斜角为60°．
10．已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点．
(1)求直线l的斜率k的取值范围；
(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．
能力练
1．(多选题)直线l过原点(0，0)且不过第三象限，那么l的倾斜角α可能是(　　)
A．0°　　B．120°　　C．90°　　D．60°
2．已知直线l1的斜率为1，l2的斜率为a，其中a为实数，当两直线的夹角在(0°，15°)内变动时，则a的取值范围是(　　)
A．(0，1) B．
C．∪(1，) D．(1，)
3．已知函数f(x)＝log2 020(x＋1)，且a＞b＞c＞0，则，，的大小关系为________．
4．已知过点(－，1)和点(0，b)的直线的倾斜角为α，α满足30°≤α≤
60°，则b的取值范围为________．
拓展
已知实数x，y满足y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)，试求的取值范围．
参考答案：
基础练
一、选择题
1．若直线经过O(0，0)，A(1，)两点，则直线OA的倾斜角为(　　)
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．
B　[由斜率与倾斜角的关系，设直线OA的倾斜角为α，α∈[0，π)，则tan α＝＝，∴α＝．]
2．已知直线l经过A(1，2)，B(3，5)，则直线l的一个方向向量为(　　)
A．(2，3)　　B．(3，2)　　C．(1，5)　　D．(－3，2)
A　[∵直线经过A(1，2)，B(3，5)，∴＝(3－1，5－2)＝(2，3)，∴直线l的一个方向向量为(2，3)．]
3．如图，已知直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　　)
A．k1＜k2＜k3
B．k3＜k1＜k2
C．k3＜k2＜k1
D．k1＜k3＜k2
D　[由题图知直线l1的倾斜角为钝角，∴k1＜0．又直线l2，l3的倾斜角为锐角，且l2的倾斜角较大，∴0＜k3＜k2，∴k1＜k3＜k2．]
4．一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为 (　　)
A．α
B．180°－α
C．180°－α或90°－α
D．90°＋α或90°－α
D　[如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α．故选D．
]
5．在平面直角坐标系中，正△ABC的BC边所在直线的斜率是0，则AC，AB边所在直线的斜率之和为(　　)
A．－2　　B．0　　C．　　D．2
B　[由BC边所在直线的斜率是0，知直线BC与x轴平行或重合，所以直线AC，AB的倾斜角互为补角，根据直线斜率的定义，知直线AC，AB的斜率之和为0．故选B．]
二、填空题
6．a，b，c是两两不等的实数，则经过P(b，b＋c)，C(a，c＋a)两点直线的倾斜角为________．
45°　[由题意知，b≠a，
所以k＝＝1，
故倾斜角为45°．]
7．若向量a＝(2，1)是直线l1的一个方向向量，向量b＝(－1，3)是直线l2的一个法向量，则直线l1与l2的夹角的余弦值为________．
　[∵b＝(－1，3)是直线l2的一个法向量，∴c＝(3，1)是直线l2的一个方向向量．由cos〈a，c〉＝＝＝，得直线l1与l2的夹角的余弦值为．]
8．已知直线l上的两个点M(1，2)，N(5，4)，则直线l的一个法向量为________．
(2，－4)(答案不唯一)　[∵直线l经过M(1，2)，N(5，4)，∴＝(4，2)，∴是直线l的一个方向向量，又直线的法向量与方向向量互相垂直，所以直线l的一个法向量为(2，－4)．]
三、解答题
9．已知点A(1，2)，在坐标轴上求一点P，使直线PA的倾斜角为60°．
[解]　(1)当点P在x轴上时，设点P(a，0)，
∵A(1，2)，∴kPA＝＝．
又∵直线PA的倾斜角为60°，
∴tan 60°＝，解得a＝1－．
∴点P的坐标为．
(2)当点P在y轴上时，设点P(0，b)．
同理可得b＝2－，
∴点P的坐标为(0，2－)．
10．已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点．
(1)求直线l的斜率k的取值范围；
(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．
[解]　如图所示，由题意可知kPA＝＝－1，kPB＝＝1．
(1)要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k≤－1或k≥1．
(2)由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°．
能力练
1．(多选题)直线l过原点(0，0)且不过第三象限，那么l的倾斜角α可能是(　　)
A．0°　　B．120°　　C．90°　　D．60°
ABC　[当直线与x轴重合时α＝0°，与y轴重合时α＝90°，又直线l不经过第三象限，∴斜率k＜0，由斜率与倾斜角的关系知90°＜α＜180°，故B也正确．]
2．已知直线l1的斜率为1，l2的斜率为a，其中a为实数，当两直线的夹角在(0°，15°)内变动时，则a的取值范围是(　　)
A．(0，1) B．
C．∪(1，) D．(1，)
C　[∵l1的倾斜角为45°，∴l2的倾斜角的取值范围为(30°，45°)∪(45°，60°)，∴a的取值范围为∪(1，)，故选C．]
3．已知函数f(x)＝log2 020(x＋1)，且a＞b＞c＞0，则，，的大小关系为________．
＜＜　[作出函数f(x)＝log2 020(x＋1)的大致图像，如图所示，可知当x＞0时，曲线上各点与原点连线的斜率随x的增大而减小，因为a＞b＞c＞0，所以＜＜．]
4．已知过点(－，1)和点(0，b)的直线的倾斜角为α，α满足30°≤α≤
60°，则b的取值范围为________．
[2，4]　[因为30°≤α≤60°，∴≤tan α≤，
∴≤k≤．
又k＝，所以≤≤，解得2≤b≤4．]
拓展
已知实数x，y满足y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)，试求的取值范围．
[解]　由的几何意义可知，它表示经过定点P(－2，－3)与函数y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)的图像上任意一点(x，y)的直线的斜率k．
如图所示，可知kPA≤k≤kPB．由已知可得A(1，1)，B(－1，5)，所以kPA＝，kPB＝8．数形结合可知，的最大值为8，最小值为，则的取值范围为．
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