2021_2022学年新教材高中数学2.6.2双曲线的几何性质（Word含答案解析）

双曲线的几何性质
(建议用时：40分钟)
基础练
一、选择题
1．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为(　　)
A．　　　B．5　　　　C．　　　　D．2
2．某双曲线的一条渐近线方程为y＝x，且焦点为(0，)，则该双曲线的方程是(　　)
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
3．如图，双曲线C：－＝1的左焦点为F1，双曲线上的点P1与P2关于y轴对称，则|P2F1|－|P1F1|的值是(　　)
A．3 B．4
C．6 D．8
4．若双曲线－＝1的渐近线的方程为y＝±x，则双曲线焦点F到渐近线的距离为(　　)
A．　　B．　　C．2　　D．2
5．(多选题)已知在等边三角形ABC中，D，E分别是CA，CB的中点，以A，B为焦点且过D，E的椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则下列关于e1，e2的关系式正确的是(　　)
A．e2＋e1＝2 B．e2－e1＝2
C．e1e2＝2 D．＝2＋
二、填空题
6．已知点(2，3)在双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)上，C的焦距为4，则它的离心率为________．
7．与椭圆＋＝1共焦点，离心率之和为的双曲线标准方程为________．
8．已知双曲线C：－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则|MN|＝________．
三、解答题
9．已知双曲线的一条渐近线为x＋y＝0，且与椭圆x2＋4y2＝64有相同的焦距，求双曲线的标准方程．
10．已知P是以F1，F2为焦点的双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)上的一点，且·＝0，||＝2||．
(1)求双曲线的离心率e；
(2)过点P作直线分别与双曲线的两渐近线相交于P1，P2两点，若·＝－(O为坐标原点)，2＋＝0，求双曲线的标准方程．
能力练
1．(多选题)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)，右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，若∠MAN＝60°，则有(　　)
A．渐近线方程为y＝±x
B．离心率e＝
C．离心率e＝
D．渐近线方程为y＝±x
2．设F1，F2分别是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P满足|PF2|＝|F1F2|，且cos∠PF1F2＝，则双曲线的渐近线方程为(　　)
A．3x±4y＝0 B．4x±3y＝0
C．3x±5y＝0 D．5x±4y＝0
3．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过F作垂直于x轴的直线与双曲线C交于M，N两点，与双曲线的渐近线交于P，Q两点．若＞，记过第一、三象限的双曲线C的渐近线为l1，则l1的倾斜角的取值范围为________，离心率的取值范围为________．
4．双曲线－＝1(a>1，b>1)的焦距为2c，直线l过点(a，0)和(0，b)，且点(1，0)到直线l的距离与点(－1，0)到直线l的距离之和s≥c，则双曲线的离心率e的取值范围为________．
拓展
已知双曲线C的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，离心率e＝，顶点到渐近线的距离为．
(1)求双曲线C的方程；
(2)如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若＝λ，λ∈，求△AOB的面积的取值范围．
参考答案：
基础练
一、选择题
1．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为(　　)
A．　　　B．5　　　　C．　　　　D．2
A　[由题意得b＝2a，又a2＋b2＝c2，
∴5a2＝c2．
∴e2＝＝5，∴e＝．]
2．某双曲线的一条渐近线方程为y＝x，且焦点为(0，)，则该双曲线的方程是(　　)
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
D　[因为双曲线的一条渐近线方程为y＝x，且焦点为(0，)，
所以可设双曲线的方程为－＝λ(λ>0)，则9λ＋4λ＝26，λ＝2，
所以该双曲线方程为－＝1．故选D．]
3．如图，双曲线C：－＝1的左焦点为F1，双曲线上的点P1与P2关于y轴对称，则|P2F1|－|P1F1|的值是(　　)
A．3 B．4
C．6 D．8
C　[设F2为右焦点，连接P2F2(图略)，由双曲线的对称性，知|P1F1|＝|P2F2|，∴|P2F1|－|P1F1|＝|P2F1|－|P2F2|＝2×3＝6．]
4．若双曲线－＝1的渐近线的方程为y＝±x，则双曲线焦点F到渐近线的距离为(　　)
A．　　B．　　C．2　　D．2
A　[∵a＝3，b＝，∴＝，∴m＝5，
∴c＝＝，
∴一个焦点的坐标为(，0)，到渐近线的距离d＝＝．]
5．(多选题)已知在等边三角形ABC中，D，E分别是CA，CB的中点，以A，B为焦点且过D，E的椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则下列关于e1，e2的关系式正确的是(　　)
A．e2＋e1＝2 B．e2－e1＝2
C．e1e2＝2 D．＝2＋
BCD　[设△ABC的边长为2．由题意，可求得椭圆的离心率e1＝－1，双曲线的离心率e2＝＋1，所以e1＋e2＝2，e1e2＝2，e2－e1＝2，＝2＋．故选BCD．]
二、填空题
6．已知点(2，3)在双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)上，C的焦距为4，则它的离心率为________．
2　[根据点(2，3)在双曲线上，可以很容易建立一个关于a，b的等式，即－＝1，考虑到焦距为4，可得到一个关于c的等式，2c＝4，即c＝2．再加上a2＋b2＝c2，可以解出a＝1，b＝，c＝2，所以离心率e＝2．]
7．与椭圆＋＝1共焦点，离心率之和为的双曲线标准方程为________．
－＝1　[椭圆的焦点是(0，4)，(0，－4)，
∴c＝4，e＝，
∴双曲线的离心率等于－＝2，
∴＝2，∴a＝2．
∴b2＝42－22＝12．
∴双曲线的标准方程为－＝1．]
8．已知双曲线C：－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则|MN|＝________．
3　[因为双曲线－y2＝1的渐近线方程为y＝±x，所以渐近线夹角为60°．不妨设过点F的直线与直线y＝x交于点M，由△OMN为直角三角形，不妨设∠OMN＝90°，则∠MFO＝60°，又直线MN过点F(2，0)，所以直线MN的方程为y＝－(x－2)，
由得所以M，
所以|OM|＝＝，
所以|MN|＝|OM|＝3．]
三、解答题
9．已知双曲线的一条渐近线为x＋y＝0，且与椭圆x2＋4y2＝64有相同的焦距，求双曲线的标准方程．
[解]　椭圆方程为＋＝1，
∴椭圆的焦距为8．
①当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
∴解得
∴双曲线的标准方程为－＝1．
②当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
∴解得
∴双曲线的标准方程为－＝1．
由①②可知，双曲线的标准方程为－＝1或－＝1．
10．已知P是以F1，F2为焦点的双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)上的一点，且·＝0，||＝2||．
(1)求双曲线的离心率e；
(2)过点P作直线分别与双曲线的两渐近线相交于P1，P2两点，若·＝－(O为坐标原点)，2＋＝0，求双曲线的标准方程．
[解]　(1)不妨设点P在第一象限．
∵||＝2||，||－||＝2a，
∴||＝4a，||＝2a．
∵·＝0，∴(4a)2＋(2a)2＝(2c)2，
∴e＝＝．
(2)由(1)知双曲线的方程为－＝1，则渐近线的方程为y＝±2x．
不妨设P1(x1，2x1)，P2(x2，－2x2)，P(x，y)，
∵·＝－3x1x2＝－，∴x1x2＝．
∵2＋＝0，∴
∵点P在双曲线上，∴－＝1，
化简，得x1x2＝，
∴＝，∴a2＝2，
∴双曲线的标准方程为－＝1．
能力练
1．(多选题)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)，右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，若∠MAN＝60°，则有(　　)
A．渐近线方程为y＝±x
B．离心率e＝
C．离心率e＝
D．渐近线方程为y＝±x
AC　[由已知，可令M，N所在的渐近线方程为y＝x，由∠MAN＝60°，知△MAN为等边三角形，则A(a，0)到渐近线y＝x的距离为b，所以＝b，即＝，故双曲线的离心率e＝＝．由＝，可得＝＝＝，故渐近线方程为y＝±x．]
2．设F1，F2分别是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P满足|PF2|＝|F1F2|，且cos∠PF1F2＝，则双曲线的渐近线方程为(　　)
A．3x±4y＝0 B．4x±3y＝0
C．3x±5y＝0 D．5x±4y＝0
B　[作F2Q⊥PF1于Q，
因为|F1F2|＝|PF2|，
所以Q为PF1的中点，
由双曲线的定义知
|PF1|－|PF2|＝2a，
所以|PF1|＝2a＋2c，
故|F1Q|＝a＋c，
因为cos∠PF1F2＝，
所以＝cos∠PF1F2，
即＝，得3c＝5a，
所以3＝5a，得＝，
故双曲线的渐近线方程为y＝±x，
即4x±3y＝0．]
3．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过F作垂直于x轴的直线与双曲线C交于M，N两点，与双曲线的渐近线交于P，Q两点．若＞，记过第一、三象限的双曲线C的渐近线为l1，则l1的倾斜角的取值范围为________，离心率的取值范围为________．
　(1，)　[如图，在双曲线C：－＝1中，取x＝c，可得y＝±，
∴|MN|＝．
分别在双曲线的渐近线y＝x与y＝－x上取x＝c，求得|PQ|＝．
由＞，得＞，即c2＞2b2，
∴a2＋b2＞2b2，∴0＜＜1，
∴l1的倾斜角的取值范围为，
e2＝＋1＜2，∴e的取值范围为(1，)．]
4．双曲线－＝1(a>1，b>1)的焦距为2c，直线l过点(a，0)和(0，b)，且点(1，0)到直线l的距离与点(－1，0)到直线l的距离之和s≥c，则双曲线的离心率e的取值范围为________．
　[直线l的方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0．
由点到直线的距离公式，且a>1，b>1，得到点(1，0)到直线l的距离d1＝，点(－1，0)到直线l的距离d2＝，s＝d1＋d2＝＝．由s≥c，得≥c，即5a≥2c2．于是得5≥2e2，即4e4－25e2＋25≤0．解不等式，得≤e2≤5，由于e>1，因此e的取值范围是≤e≤．]
拓展
已知双曲线C的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，离心率e＝，顶点到渐近线的距离为．
(1)求双曲线C的方程；
(2)如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若＝λ，λ∈，求△AOB的面积的取值范围．
[解]　(1)由题意，知双曲线C的顶点(0，a)到渐近线ax±by＝0的距离为，即＝，所以＝．
由得
所以双曲线C的方程为－x2＝1．
(2)由(1)，知双曲线C的两条渐近线方程为y＝±2x．
设A(m，2m)，B(－n，2n)，m＞0，n＞0．
由＝λ，得点P的坐标为．
将点P的坐标代入－x2＝1，化简得
mn＝＝＋．
令∠AOB＝2θ，则tan＝2，所以tan θ＝，sin 2θ＝．
又|OA|＝m，|OB|＝n，
所以S△AOB＝|OA||OB|sin 2θ
＝2mn＝＋1．
记S(λ)＝＋1，λ∈，
由对勾函数的单调性，可知S(λ)在上是减函数，在(1，2]上是增函数，且在λ＝1处取得最小值．
又S＝，S(2)＝，S(1)＝2．
∴当λ＝1时，△AOB的面积取得最小值2，
当λ＝时，△AOB的面积取得最大值．
∴△AOB面积的取值范围是．
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