2021_2022学年新教材高中数学综合测评 （Word含答案解析）
文档属性
| 名称 | 2021_2022学年新教材高中数学综合测评 （Word含答案解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 503.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-10-10 21:28:12 | ||
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文档简介
综合测评
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若向量a＝(1，0，z)与向量b＝(2，1，2)的夹角的余弦值为，则z＝( )
A．0 B．1 C．－1 D．2
2．已知四面体ABCD的所有棱长都是2，点E，F分别是AD，DC的中点，则·＝( )
A．1 B．－1 C． D．－
3．若A(－2，3)，B(3，－2)，C三点共线，则m的值为( )
A． B．－ C．－2 D．2
4．若P(2，－1)为圆C：(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是( )
A．2x－y－5＝0 B．2x＋y－3＝0
C．x＋y－1＝0 D．x－y－3＝0
5．双曲线－＝1(mn≠0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则mn的值为( )
A． B． C． D．
6．阿基米德出生于希腊西西里岛叙拉古，享有“力学之父”的美称，和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积等于圆周率、椭圆的半长轴长、椭圆的半短轴长三者的乘积．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的面积为8π，直线l过椭圆C的两个顶点，且椭圆的中心到直线l的距离为，则椭圆C的方程为( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋y2＝1 D．＋＝1
7．如图所示，在长方体ABCD A1B1C1D1中，B1C和C1D与底面所成的角分别为60°和45°，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为( )
A． B．
C． D．
8．在棱长为a的正方体ABCD A1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离是 ( )
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．已知直线l1：x＋my－1＝0，l2：(m－2)x＋3y＋3＝0，则下列说法正确的是( )
A．若l1∥l2，则m＝－1或m＝3
B．若l1∥l2，则m＝3
C．若l1⊥l2，则m＝－
D．若l1⊥l2，则m＝
10．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－4x＝0．若直线y＝k(x＋1)上存在一点P，使过P点所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取值可以是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
11．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A BD C，则下列结论正确的是( )
A．AC⊥BD
B．△ACD是等边三角形
C．AB与平面BCD所成的角为90°
D．AB与CD所成的角为60°
12．设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点．若∠ABD＝90°，且△ABF的面积为9，则( )
A．|BF|＝3 B．△ABF是等边三角形
C．点F到准线的距离为3 D．抛物线C的方程为y2＝6x
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
13．经过两条直线2x＋y＋2＝0和3x＋4y－2＝0的交点，且垂直于直线3x－2y＋4＝0的直线方程为________．
14．从原点向圆x2＋y2－12y＋27＝0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为________．
15．已知三棱锥A BCD的所有棱长均相等，E为DC的中点，若点P为AC的中点，则直线PE与平面BCD所成角的正弦值为________，若点Q在棱AC所在直线上运动，则直线QE与平面BCD所成角正弦值的最大值为____________
____________________________________________________________________．
(本题第一空2分，第二空3分)
16．已知点F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，|F1F2|＝4，点Q(2，)在椭圆C上，P是椭圆C上的动点，则·的最大值为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)如图，
已知点A(2，3)，B(4，1)，△ABC是以AB为底边的等腰三角形，点C在直线l：x－2y＋2＝0上．
(1)求AB边上的高CE所在直线的方程；
(2)求△ABC的面积．
18．(本小题满分12分)如图所示，
平行四边形ABCD的对角线AC与BD交于E点，定点A，C的坐标分别是A(－2，3)，C(2，1)．
(1)求以线段AC为直径的圆E的方程；
(2)若B点的坐标为(－2，－2)，求直线BC截圆E所得的弦长．
19．(本小题满分12分)在①(＋)⊥(－)，②||＝，③0问题：如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系Dxyz．已知点D1的坐标为(0，0，2)，E为棱D1C1上的动点，F为棱B1C1上的动点，________，试问是否存在点E，F满足·＝0？若存在，求·的值；若不存在，请说明理由．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
20．(本小题满分12分)已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(－，0)，(，0)，离心率是，直线y＝t与椭圆C交于不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆P，圆心为P．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标．
21．(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥DC，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M为PC的中点，PA＝PD＝2，BC＝AD＝1，CD＝．
(1)求证：PQ⊥AB；
(2)求二面角P QB M的余弦值．
22．(本小题满分12分)已知圆C：x2＋y2＋2x－2y＋1＝0和抛物线E：y2＝2px(p＞0)，圆心C到抛物线焦点F的距离为．
(1)求抛物线E的方程；
(2)不过原点的动直线l交抛物线E于A，B两点，且满足OA⊥OB．
①求证：直线l过定点；
②设点M为圆C上任意一动点，求当动点M到直线l的距离最大时直线l的方程．
参考答案：
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若向量a＝(1，0，z)与向量b＝(2，1，2)的夹角的余弦值为，则z＝( )
A．0 B．1 C．－1 D．2
A [由题意可知cos〈a，b〉＝＝＝，解得z＝0，故选A．]
2．已知四面体ABCD的所有棱长都是2，点E，F分别是AD，DC的中点，则·＝( )
A．1 B．－1 C． D．－
B [
如图所示，＝，所以·＝·(－)＝－×2×2×cos 60°＝－1，故选B．]
3．若A(－2，3)，B(3，－2)，C三点共线，则m的值为( )
A． B．－ C．－2 D．2
A [由＝，解得m＝．]
4．若P(2，－1)为圆C：(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是( )
A．2x－y－5＝0 B．2x＋y－3＝0
C．x＋y－1＝0 D．x－y－3＝0
D [圆心C(1，0)，kPC＝＝－1，
则kAB＝1，AB的方程为y＋1＝x－2，
即x－y－3＝0，故选D．]
5．双曲线－＝1(mn≠0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则mn的值为( )
A． B． C． D．
A [抛物线y2＝4x的焦点为(1，0)，
故双曲线的一个焦点是(1，0)，
所以m＋n＝1，且＝2，解得m＝，n＝，
故mn＝．]
6．阿基米德出生于希腊西西里岛叙拉古，享有“力学之父”的美称，和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积等于圆周率、椭圆的半长轴长、椭圆的半短轴长三者的乘积．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的面积为8π，直线l过椭圆C的两个顶点，且椭圆的中心到直线l的距离为，则椭圆C的方程为( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋y2＝1 D．＋＝1
D [依题意，8π＝ab·π，故ab＝8． ①
不妨设直线l：＋＝1，即bx＋ay－ab＝0，
则椭圆的中心到直线l的距离为＝，解得a2＋b2＝34， ②
联立①②，解得a＝4，b＝，故椭圆C的方程为＋＝1．故选D．]
7．如图所示，在长方体ABCD A1B1C1D1中，B1C和C1D与底面所成的角分别为60°和45°，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为( )
A． B．
C． D．
A [∵B1B⊥平面ABCD，
∴∠BCB1是B1C与底面所成角，
∴∠BCB1＝60°．
∵C1C⊥底面ABCD，
∴∠CDC1是C1D与底面所成的角，
∴∠CDC1＝45°．
连接A1D，A1C1(图略)，则A1D∥B1C．
∴∠A1DC1或其补角为异面直线B1C与C1D所成的角．
不妨设BC＝1，则CB1＝DA1＝2，
BB1＝CC1＝＝CD，
∴C1D＝，A1C1＝2．
在等腰△A1C1D中，cos∠A1DC1＝＝．]
8．在棱长为a的正方体ABCD A1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离是 ( )
A． B． C． D．
A [建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，M，
B(a，a，0)，A1(a，0，a)，
∴＝，
＝(a，a，0)，＝(a，0，a)．
设平面MBD的法向量为n＝(x，y，z)，
则令x＝1，则可得n＝(1，－1，－2)．
∴d＝＝＝a．]
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．已知直线l1：x＋my－1＝0，l2：(m－2)x＋3y＋3＝0，则下列说法正确的是( )
A．若l1∥l2，则m＝－1或m＝3
B．若l1∥l2，则m＝3
C．若l1⊥l2，则m＝－
D．若l1⊥l2，则m＝
BD [直线l1∥l2，则3－m(m－2)＝0，解得m＝3或m＝－1，但m＝－1时，两直线方程分别为x－y－1＝0，－3x＋3y＋3＝0即x－y－1＝0，两直线重合，只有m＝3时两直线平行，A错，B正确；l1⊥l2，则m－2＋3m＝0，m＝，C错，D正确．故选BD．]
10．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－4x＝0．若直线y＝k(x＋1)上存在一点P，使过P点所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取值可以是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
AB [圆C的方程为x2＋y2－4x＝0，则圆心为C(2，0)，半径r＝2．
设两个切点分别为A，B，则由题意可得四边形PACB为正方形，故有PC＝r＝2，
∴圆心到直线y＝k(x＋1)的距离小于或等于PC，
即≤2，解得k2≤8，可得－2≤k≤2，
∴结合选项，实数k的取值可以是1，2．]
11．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A BD C，则下列结论正确的是( )
A．AC⊥BD
B．△ACD是等边三角形
C．AB与平面BCD所成的角为90°
D．AB与CD所成的角为60°
ABD [如图，取BD的中点O，连接AO，CO，AC，则AO⊥BD，CO⊥BD，
又AO∩CO＝O，∴BD⊥平面AOC，又AC 平面AOC，∴AC⊥BD，A正确；∵AC＝AO＝AD＝CD，∴△ACD是等边三角形，B正确；易知AO⊥平面BCD，∴∠ABD是AB与平面BCD所成的角，为45°，C错误；∵＝＋＋，不妨设AB＝1，则＝(＋＋)2＝＋＋＋2·＋2·＋2·，∴1＝1＋2＋1＋2×＋2×＋2cos〈，〉，∴cos〈，〉＝，∴AB与CD所成的角为60°，D正确．故选ABD．]
12．设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点．若∠ABD＝90°，且△ABF的面积为9，则( )
A．|BF|＝3 B．△ABF是等边三角形
C．点F到准线的距离为3 D．抛物线C的方程为y2＝6x
BCD [因为|FA|为半径的圆交l于B，D两点，所以FA＝FB，若∠ABD＝90°，可得FA＝AB，所以可得△ABF为等边三角形，所以B正确；过F作FC⊥AB交AB于C，则C为AB的中点，C的横坐标为，B的横坐标为－，所以A的横坐标为，代入抛物线可得y2＝3p2，|yA|＝p，△ABF的面积为9，即(xA－xB)·|yA|＝××p＝9，解得p＝3，
所以抛物线的方程为y2＝6x，所以D正确；
焦点坐标为，所以焦点到准线的距离为×2＝3，所以C正确；
此时A点的横坐标为，所以BF＝AF＝AB＝＋＝6，所以A不正确．]
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
13．经过两条直线2x＋y＋2＝0和3x＋4y－2＝0的交点，且垂直于直线3x－2y＋4＝0的直线方程为________．
2x＋3y－2＝0 [由方程组得交点A(－2，2)，因为所求直线垂直于直线3x－2y＋4＝0，故所求直线的斜率k＝－，由点斜式得所求直线方程为y－2＝－(x＋2)，即2x＋3y－2＝0．]
14．从原点向圆x2＋y2－12y＋27＝0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为________．
2π [(数形结合法)如图，
圆x2＋y2－12y＋27＝0可化为x2＋(y－6)2＝9，圆心坐标为(0，6)，半径为3．
在Rt△OBC中可得∠OCB＝，
∴∠ACB＝，∴所求劣弧长为2π．]
15．已知三棱锥A BCD的所有棱长均相等，E为DC的中点，若点P为AC的中点，则直线PE与平面BCD所成角的正弦值为________，若点Q在棱AC所在直线上运动，则直线QE与平面BCD所成角正弦值的最大值为____________
____________________________________________________________________．
(本题第一空2分，第二空3分)
[连接BE，AE，过A作AO⊥底面BCD，垂足为O，连接OD，则∠ADO是直线PE与平面BCD所成角(图略)，
因三棱锥A BCD的所有棱长均相等，设棱长为2，
则DO＝BO＝BE＝＝，
AO＝＝，
∴sin∠ADO＝＝＝．
∴直线PE与平面BCD所成角的正弦值为．
当Q与A重合时，直线QE与平面BCD所成角正弦值取最大值，此时直线QE与平面BCD所成角为∠AEO，AE＝＝，
∴直线QE与平面BCD所成角正弦值的最大值为sin∠AEO＝＝＝．]
16．已知点F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，|F1F2|＝4，点Q(2，)在椭圆C上，P是椭圆C上的动点，则·的最大值为________．
[由题意可得c＝2，＋＝1，a2＝b2＋c2，解得a2＝8，b2＝4，
所以椭圆C的方程为＋＝1，
可得F1(－2，0)，
设P(x，y)，由＋＝1，可得x2＝8－2y2，
则·＝(2－x，－y)(－2－x，－y)＝x2－4＋y2－y＝－y2－y＋4＝－＋＋4，当且仅当y＝－∈[－2，2]时，
·取得最大值为．]
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)如图，
已知点A(2，3)，B(4，1)，△ABC是以AB为底边的等腰三角形，点C在直线l：x－2y＋2＝0上．
(1)求AB边上的高CE所在直线的方程；
(2)求△ABC的面积．
[解] (1)由题意可知，E为AB的中点，
∴E(3，2)，且kCE＝－＝1，
∴CE所在直线方程为y－2＝x－3，即x－y－1＝0．
(2)由得C(4，3)，
∴|AC|＝|BC|＝2，AC⊥BC，
∴S△ABC＝|AC|·|BC|＝2．
18．(本小题满分12分)如图所示，
平行四边形ABCD的对角线AC与BD交于E点，定点A，C的坐标分别是A(－2，3)，C(2，1)．
(1)求以线段AC为直径的圆E的方程；
(2)若B点的坐标为(－2，－2)，求直线BC截圆E所得的弦长．
[解] (1)AC的中点E(0，2)即为圆心，
半径r＝|AC|＝＝，
所以圆E的方程为x2＋(y－2)2＝5．
(2)直线BC的斜率k＝＝，
其方程为y－1＝(x－2)，即3x－4y－2＝0．
点E到直线BC的距离为d＝＝2，所以BC截圆E所得的弦长为2＝2．
19．(本小题满分12分)在①(＋)⊥(－)，②||＝，③0问题：如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系Dxyz．已知点D1的坐标为(0，0，2)，E为棱D1C1上的动点，F为棱B1C1上的动点，________，试问是否存在点E，F满足·＝0？若存在，求·的值；若不存在，请说明理由．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
[解] 由题意，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2．
则A(2，0，0)，B(2，2，0)，A1(2，0，2)，D(0，0，0)，C(0，2，0)，
设E(0，a，2)(0≤a≤2)，F(b，2，2)(0≤b≤2)，
则＝(b，2－a，0)，＝(－2，2，－2)，＝(－2，a，2)，＝(b－2，0，2)，
所以·＝4－2(a＋b)，·＝8－2b．
选择①，因为(＋)⊥(－)，所以(＋)·(－)＝2－2＝0，即2＝2，
即0＋(a－0)2＋(2－0)2＝(b－0)2＋(2－2)2＋(2－0)2，所以a＝b．
因为·＝4－2×(a＋b)＝0，所以a＝b＝1，
故存在点E(0，1，2)，F(1，2，2)，满足·＝0，且·＝8－2b＝6．
选择②，||＝，即＝，a＝，
因为·＝4－2(a＋b)＝0，所以b＝，
故存在点E，F，
满足·＝0，且·＝8－2b＝5．
选择③，＝(b，2－a，0)，＝(2，2，0)，
因为0＜cos〈，〉<1，所以与不共线，
所以b≠2－a，即a＋b≠2，则·＝4－2(a＋b)≠0，
故不存在点E，F满足·＝0．
20．(本小题满分12分)已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(－，0)，(，0)，离心率是，直线y＝t与椭圆C交于不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆P，圆心为P．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标．
[解] (1)因为＝，且c＝，
所以a＝，b＝＝1，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1．
(2)由题意知P(0，t)(－1＜t＜1)．
由得x＝±，
所以圆P的半径为．
当圆P与x轴相切时，
|t|＝，解得t＝±．
所以点P的坐标是．
21．(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥DC，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M为PC的中点，PA＝PD＝2，BC＝AD＝1，CD＝．
(1)求证：PQ⊥AB；
(2)求二面角P QB M的余弦值．
[解] (1)证明：在△PAD中，PA＝PD，Q为AD的中点，所以PQ⊥AD．
因为平面PAD⊥底面ABCD，且平面PAD∩底面ABCD＝AD，所以PQ⊥底面ABCD．
又AB 平面ABCD，所以PQ⊥AB．
(2)在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝AD，Q为AD的中点，
所以四边形BCDQ为平行四边形．
因为AD⊥DC，所以AD⊥QB．
由(1)，可知PQ⊥平面ABCD，故以Q为坐标原点，建立空间直角坐标系Qxyz如图所示，则Q(0，0，0)，A(1，0，0)，P(0，0，)，C(－1，，0)，B(0，，0)，＝(0，，0)．
因为AQ⊥PQ，AQ⊥BQ，所以AQ⊥平面PQB，
即为平面PQB的一个法向量，且＝(1，0，0)．
因为M是棱PC的中点，所以点M的坐标为，所以＝．
设平面MQB的法向量为m＝(x，y，z)，
则即
令z＝1，得x＝，y＝0，所以m＝(，0，1)，
所以cos〈，m〉＝＝．
由题意知，二面角P QB M为锐角，
所以二面角P QB M的余弦值为．
22．(本小题满分12分)已知圆C：x2＋y2＋2x－2y＋1＝0和抛物线E：y2＝2px(p＞0)，圆心C到抛物线焦点F的距离为．
(1)求抛物线E的方程；
(2)不过原点的动直线l交抛物线E于A，B两点，且满足OA⊥OB．
①求证：直线l过定点；
②设点M为圆C上任意一动点，求当动点M到直线l的距离最大时直线l的方程．
[解] (1)圆C：x2＋y2＋2x－2y＋1＝0，
可得圆心C(－1，1)，半径r＝1，
抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点F，准线方程为x＝－，圆心C到抛物线焦点F的距离为，
即有＝，
解得p＝6，即抛物线方程为y2＝12x．
(2)①证明：设直线l的方程为x＝my＋t，A(x1，y1)，
B(x2，y2)，则
整理得：y2－12my－12t＝0，
所以y1＋y2＝12m，y1y2＝－12t．
由于OA⊥OB，则x1x2＋y1y2＝0．
即(m2＋1)y1y2＋mt(y1＋y2)＋t2＝0．
整理得t2－12t＝0，由于t≠0，解得t＝12．
故直线的方程为x＝my＋12，
直线经过定点P(12，0)．
②当CP⊥l且动点M经过PC的延长线时，动点M到动直线l的距离取得最大值．
kMP＝kCP＝－，则m＝．
此时直线l的方程为x＝y＋12，
即13x－y－156＝0．
PAGE
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若向量a＝(1，0，z)与向量b＝(2，1，2)的夹角的余弦值为，则z＝( )
A．0 B．1 C．－1 D．2
2．已知四面体ABCD的所有棱长都是2，点E，F分别是AD，DC的中点，则·＝( )
A．1 B．－1 C． D．－
3．若A(－2，3)，B(3，－2)，C三点共线，则m的值为( )
A． B．－ C．－2 D．2
4．若P(2，－1)为圆C：(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是( )
A．2x－y－5＝0 B．2x＋y－3＝0
C．x＋y－1＝0 D．x－y－3＝0
5．双曲线－＝1(mn≠0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则mn的值为( )
A． B． C． D．
6．阿基米德出生于希腊西西里岛叙拉古，享有“力学之父”的美称，和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积等于圆周率、椭圆的半长轴长、椭圆的半短轴长三者的乘积．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的面积为8π，直线l过椭圆C的两个顶点，且椭圆的中心到直线l的距离为，则椭圆C的方程为( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋y2＝1 D．＋＝1
7．如图所示，在长方体ABCD A1B1C1D1中，B1C和C1D与底面所成的角分别为60°和45°，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为( )
A． B．
C． D．
8．在棱长为a的正方体ABCD A1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离是 ( )
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．已知直线l1：x＋my－1＝0，l2：(m－2)x＋3y＋3＝0，则下列说法正确的是( )
A．若l1∥l2，则m＝－1或m＝3
B．若l1∥l2，则m＝3
C．若l1⊥l2，则m＝－
D．若l1⊥l2，则m＝
10．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－4x＝0．若直线y＝k(x＋1)上存在一点P，使过P点所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取值可以是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
11．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A BD C，则下列结论正确的是( )
A．AC⊥BD
B．△ACD是等边三角形
C．AB与平面BCD所成的角为90°
D．AB与CD所成的角为60°
12．设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点．若∠ABD＝90°，且△ABF的面积为9，则( )
A．|BF|＝3 B．△ABF是等边三角形
C．点F到准线的距离为3 D．抛物线C的方程为y2＝6x
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
13．经过两条直线2x＋y＋2＝0和3x＋4y－2＝0的交点，且垂直于直线3x－2y＋4＝0的直线方程为________．
14．从原点向圆x2＋y2－12y＋27＝0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为________．
15．已知三棱锥A BCD的所有棱长均相等，E为DC的中点，若点P为AC的中点，则直线PE与平面BCD所成角的正弦值为________，若点Q在棱AC所在直线上运动，则直线QE与平面BCD所成角正弦值的最大值为____________
____________________________________________________________________．
(本题第一空2分，第二空3分)
16．已知点F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，|F1F2|＝4，点Q(2，)在椭圆C上，P是椭圆C上的动点，则·的最大值为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)如图，
已知点A(2，3)，B(4，1)，△ABC是以AB为底边的等腰三角形，点C在直线l：x－2y＋2＝0上．
(1)求AB边上的高CE所在直线的方程；
(2)求△ABC的面积．
18．(本小题满分12分)如图所示，
平行四边形ABCD的对角线AC与BD交于E点，定点A，C的坐标分别是A(－2，3)，C(2，1)．
(1)求以线段AC为直径的圆E的方程；
(2)若B点的坐标为(－2，－2)，求直线BC截圆E所得的弦长．
19．(本小题满分12分)在①(＋)⊥(－)，②||＝，③0
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
20．(本小题满分12分)已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(－，0)，(，0)，离心率是，直线y＝t与椭圆C交于不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆P，圆心为P．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标．
21．(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥DC，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M为PC的中点，PA＝PD＝2，BC＝AD＝1，CD＝．
(1)求证：PQ⊥AB；
(2)求二面角P QB M的余弦值．
22．(本小题满分12分)已知圆C：x2＋y2＋2x－2y＋1＝0和抛物线E：y2＝2px(p＞0)，圆心C到抛物线焦点F的距离为．
(1)求抛物线E的方程；
(2)不过原点的动直线l交抛物线E于A，B两点，且满足OA⊥OB．
①求证：直线l过定点；
②设点M为圆C上任意一动点，求当动点M到直线l的距离最大时直线l的方程．
参考答案：
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若向量a＝(1，0，z)与向量b＝(2，1，2)的夹角的余弦值为，则z＝( )
A．0 B．1 C．－1 D．2
A [由题意可知cos〈a，b〉＝＝＝，解得z＝0，故选A．]
2．已知四面体ABCD的所有棱长都是2，点E，F分别是AD，DC的中点，则·＝( )
A．1 B．－1 C． D．－
B [
如图所示，＝，所以·＝·(－)＝－×2×2×cos 60°＝－1，故选B．]
3．若A(－2，3)，B(3，－2)，C三点共线，则m的值为( )
A． B．－ C．－2 D．2
A [由＝，解得m＝．]
4．若P(2，－1)为圆C：(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是( )
A．2x－y－5＝0 B．2x＋y－3＝0
C．x＋y－1＝0 D．x－y－3＝0
D [圆心C(1，0)，kPC＝＝－1，
则kAB＝1，AB的方程为y＋1＝x－2，
即x－y－3＝0，故选D．]
5．双曲线－＝1(mn≠0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则mn的值为( )
A． B． C． D．
A [抛物线y2＝4x的焦点为(1，0)，
故双曲线的一个焦点是(1，0)，
所以m＋n＝1，且＝2，解得m＝，n＝，
故mn＝．]
6．阿基米德出生于希腊西西里岛叙拉古，享有“力学之父”的美称，和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积等于圆周率、椭圆的半长轴长、椭圆的半短轴长三者的乘积．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的面积为8π，直线l过椭圆C的两个顶点，且椭圆的中心到直线l的距离为，则椭圆C的方程为( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋y2＝1 D．＋＝1
D [依题意，8π＝ab·π，故ab＝8． ①
不妨设直线l：＋＝1，即bx＋ay－ab＝0，
则椭圆的中心到直线l的距离为＝，解得a2＋b2＝34， ②
联立①②，解得a＝4，b＝，故椭圆C的方程为＋＝1．故选D．]
7．如图所示，在长方体ABCD A1B1C1D1中，B1C和C1D与底面所成的角分别为60°和45°，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为( )
A． B．
C． D．
A [∵B1B⊥平面ABCD，
∴∠BCB1是B1C与底面所成角，
∴∠BCB1＝60°．
∵C1C⊥底面ABCD，
∴∠CDC1是C1D与底面所成的角，
∴∠CDC1＝45°．
连接A1D，A1C1(图略)，则A1D∥B1C．
∴∠A1DC1或其补角为异面直线B1C与C1D所成的角．
不妨设BC＝1，则CB1＝DA1＝2，
BB1＝CC1＝＝CD，
∴C1D＝，A1C1＝2．
在等腰△A1C1D中，cos∠A1DC1＝＝．]
8．在棱长为a的正方体ABCD A1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离是 ( )
A． B． C． D．
A [建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，M，
B(a，a，0)，A1(a，0，a)，
∴＝，
＝(a，a，0)，＝(a，0，a)．
设平面MBD的法向量为n＝(x，y，z)，
则令x＝1，则可得n＝(1，－1，－2)．
∴d＝＝＝a．]
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．已知直线l1：x＋my－1＝0，l2：(m－2)x＋3y＋3＝0，则下列说法正确的是( )
A．若l1∥l2，则m＝－1或m＝3
B．若l1∥l2，则m＝3
C．若l1⊥l2，则m＝－
D．若l1⊥l2，则m＝
BD [直线l1∥l2，则3－m(m－2)＝0，解得m＝3或m＝－1，但m＝－1时，两直线方程分别为x－y－1＝0，－3x＋3y＋3＝0即x－y－1＝0，两直线重合，只有m＝3时两直线平行，A错，B正确；l1⊥l2，则m－2＋3m＝0，m＝，C错，D正确．故选BD．]
10．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－4x＝0．若直线y＝k(x＋1)上存在一点P，使过P点所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取值可以是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
AB [圆C的方程为x2＋y2－4x＝0，则圆心为C(2，0)，半径r＝2．
设两个切点分别为A，B，则由题意可得四边形PACB为正方形，故有PC＝r＝2，
∴圆心到直线y＝k(x＋1)的距离小于或等于PC，
即≤2，解得k2≤8，可得－2≤k≤2，
∴结合选项，实数k的取值可以是1，2．]
11．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A BD C，则下列结论正确的是( )
A．AC⊥BD
B．△ACD是等边三角形
C．AB与平面BCD所成的角为90°
D．AB与CD所成的角为60°
ABD [如图，取BD的中点O，连接AO，CO，AC，则AO⊥BD，CO⊥BD，
又AO∩CO＝O，∴BD⊥平面AOC，又AC 平面AOC，∴AC⊥BD，A正确；∵AC＝AO＝AD＝CD，∴△ACD是等边三角形，B正确；易知AO⊥平面BCD，∴∠ABD是AB与平面BCD所成的角，为45°，C错误；∵＝＋＋，不妨设AB＝1，则＝(＋＋)2＝＋＋＋2·＋2·＋2·，∴1＝1＋2＋1＋2×＋2×＋2cos〈，〉，∴cos〈，〉＝，∴AB与CD所成的角为60°，D正确．故选ABD．]
12．设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点．若∠ABD＝90°，且△ABF的面积为9，则( )
A．|BF|＝3 B．△ABF是等边三角形
C．点F到准线的距离为3 D．抛物线C的方程为y2＝6x
BCD [因为|FA|为半径的圆交l于B，D两点，所以FA＝FB，若∠ABD＝90°，可得FA＝AB，所以可得△ABF为等边三角形，所以B正确；过F作FC⊥AB交AB于C，则C为AB的中点，C的横坐标为，B的横坐标为－，所以A的横坐标为，代入抛物线可得y2＝3p2，|yA|＝p，△ABF的面积为9，即(xA－xB)·|yA|＝××p＝9，解得p＝3，
所以抛物线的方程为y2＝6x，所以D正确；
焦点坐标为，所以焦点到准线的距离为×2＝3，所以C正确；
此时A点的横坐标为，所以BF＝AF＝AB＝＋＝6，所以A不正确．]
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
13．经过两条直线2x＋y＋2＝0和3x＋4y－2＝0的交点，且垂直于直线3x－2y＋4＝0的直线方程为________．
2x＋3y－2＝0 [由方程组得交点A(－2，2)，因为所求直线垂直于直线3x－2y＋4＝0，故所求直线的斜率k＝－，由点斜式得所求直线方程为y－2＝－(x＋2)，即2x＋3y－2＝0．]
14．从原点向圆x2＋y2－12y＋27＝0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为________．
2π [(数形结合法)如图，
圆x2＋y2－12y＋27＝0可化为x2＋(y－6)2＝9，圆心坐标为(0，6)，半径为3．
在Rt△OBC中可得∠OCB＝，
∴∠ACB＝，∴所求劣弧长为2π．]
15．已知三棱锥A BCD的所有棱长均相等，E为DC的中点，若点P为AC的中点，则直线PE与平面BCD所成角的正弦值为________，若点Q在棱AC所在直线上运动，则直线QE与平面BCD所成角正弦值的最大值为____________
____________________________________________________________________．
(本题第一空2分，第二空3分)
[连接BE，AE，过A作AO⊥底面BCD，垂足为O，连接OD，则∠ADO是直线PE与平面BCD所成角(图略)，
因三棱锥A BCD的所有棱长均相等，设棱长为2，
则DO＝BO＝BE＝＝，
AO＝＝，
∴sin∠ADO＝＝＝．
∴直线PE与平面BCD所成角的正弦值为．
当Q与A重合时，直线QE与平面BCD所成角正弦值取最大值，此时直线QE与平面BCD所成角为∠AEO，AE＝＝，
∴直线QE与平面BCD所成角正弦值的最大值为sin∠AEO＝＝＝．]
16．已知点F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，|F1F2|＝4，点Q(2，)在椭圆C上，P是椭圆C上的动点，则·的最大值为________．
[由题意可得c＝2，＋＝1，a2＝b2＋c2，解得a2＝8，b2＝4，
所以椭圆C的方程为＋＝1，
可得F1(－2，0)，
设P(x，y)，由＋＝1，可得x2＝8－2y2，
则·＝(2－x，－y)(－2－x，－y)＝x2－4＋y2－y＝－y2－y＋4＝－＋＋4，当且仅当y＝－∈[－2，2]时，
·取得最大值为．]
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)如图，
已知点A(2，3)，B(4，1)，△ABC是以AB为底边的等腰三角形，点C在直线l：x－2y＋2＝0上．
(1)求AB边上的高CE所在直线的方程；
(2)求△ABC的面积．
[解] (1)由题意可知，E为AB的中点，
∴E(3，2)，且kCE＝－＝1，
∴CE所在直线方程为y－2＝x－3，即x－y－1＝0．
(2)由得C(4，3)，
∴|AC|＝|BC|＝2，AC⊥BC，
∴S△ABC＝|AC|·|BC|＝2．
18．(本小题满分12分)如图所示，
平行四边形ABCD的对角线AC与BD交于E点，定点A，C的坐标分别是A(－2，3)，C(2，1)．
(1)求以线段AC为直径的圆E的方程；
(2)若B点的坐标为(－2，－2)，求直线BC截圆E所得的弦长．
[解] (1)AC的中点E(0，2)即为圆心，
半径r＝|AC|＝＝，
所以圆E的方程为x2＋(y－2)2＝5．
(2)直线BC的斜率k＝＝，
其方程为y－1＝(x－2)，即3x－4y－2＝0．
点E到直线BC的距离为d＝＝2，所以BC截圆E所得的弦长为2＝2．
19．(本小题满分12分)在①(＋)⊥(－)，②||＝，③0
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
[解] 由题意，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2．
则A(2，0，0)，B(2，2，0)，A1(2，0，2)，D(0，0，0)，C(0，2，0)，
设E(0，a，2)(0≤a≤2)，F(b，2，2)(0≤b≤2)，
则＝(b，2－a，0)，＝(－2，2，－2)，＝(－2，a，2)，＝(b－2，0，2)，
所以·＝4－2(a＋b)，·＝8－2b．
选择①，因为(＋)⊥(－)，所以(＋)·(－)＝2－2＝0，即2＝2，
即0＋(a－0)2＋(2－0)2＝(b－0)2＋(2－2)2＋(2－0)2，所以a＝b．
因为·＝4－2×(a＋b)＝0，所以a＝b＝1，
故存在点E(0，1，2)，F(1，2，2)，满足·＝0，且·＝8－2b＝6．
选择②，||＝，即＝，a＝，
因为·＝4－2(a＋b)＝0，所以b＝，
故存在点E，F，
满足·＝0，且·＝8－2b＝5．
选择③，＝(b，2－a，0)，＝(2，2，0)，
因为0＜cos〈，〉<1，所以与不共线，
所以b≠2－a，即a＋b≠2，则·＝4－2(a＋b)≠0，
故不存在点E，F满足·＝0．
20．(本小题满分12分)已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(－，0)，(，0)，离心率是，直线y＝t与椭圆C交于不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆P，圆心为P．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标．
[解] (1)因为＝，且c＝，
所以a＝，b＝＝1，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1．
(2)由题意知P(0，t)(－1＜t＜1)．
由得x＝±，
所以圆P的半径为．
当圆P与x轴相切时，
|t|＝，解得t＝±．
所以点P的坐标是．
21．(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥DC，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M为PC的中点，PA＝PD＝2，BC＝AD＝1，CD＝．
(1)求证：PQ⊥AB；
(2)求二面角P QB M的余弦值．
[解] (1)证明：在△PAD中，PA＝PD，Q为AD的中点，所以PQ⊥AD．
因为平面PAD⊥底面ABCD，且平面PAD∩底面ABCD＝AD，所以PQ⊥底面ABCD．
又AB 平面ABCD，所以PQ⊥AB．
(2)在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝AD，Q为AD的中点，
所以四边形BCDQ为平行四边形．
因为AD⊥DC，所以AD⊥QB．
由(1)，可知PQ⊥平面ABCD，故以Q为坐标原点，建立空间直角坐标系Qxyz如图所示，则Q(0，0，0)，A(1，0，0)，P(0，0，)，C(－1，，0)，B(0，，0)，＝(0，，0)．
因为AQ⊥PQ，AQ⊥BQ，所以AQ⊥平面PQB，
即为平面PQB的一个法向量，且＝(1，0，0)．
因为M是棱PC的中点，所以点M的坐标为，所以＝．
设平面MQB的法向量为m＝(x，y，z)，
则即
令z＝1，得x＝，y＝0，所以m＝(，0，1)，
所以cos〈，m〉＝＝．
由题意知，二面角P QB M为锐角，
所以二面角P QB M的余弦值为．
22．(本小题满分12分)已知圆C：x2＋y2＋2x－2y＋1＝0和抛物线E：y2＝2px(p＞0)，圆心C到抛物线焦点F的距离为．
(1)求抛物线E的方程；
(2)不过原点的动直线l交抛物线E于A，B两点，且满足OA⊥OB．
①求证：直线l过定点；
②设点M为圆C上任意一动点，求当动点M到直线l的距离最大时直线l的方程．
[解] (1)圆C：x2＋y2＋2x－2y＋1＝0，
可得圆心C(－1，1)，半径r＝1，
抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点F，准线方程为x＝－，圆心C到抛物线焦点F的距离为，
即有＝，
解得p＝6，即抛物线方程为y2＝12x．
(2)①证明：设直线l的方程为x＝my＋t，A(x1，y1)，
B(x2，y2)，则
整理得：y2－12my－12t＝0，
所以y1＋y2＝12m，y1y2＝－12t．
由于OA⊥OB，则x1x2＋y1y2＝0．
即(m2＋1)y1y2＋mt(y1＋y2)＋t2＝0．
整理得t2－12t＝0，由于t≠0，解得t＝12．
故直线的方程为x＝my＋12，
直线经过定点P(12，0)．
②当CP⊥l且动点M经过PC的延长线时，动点M到动直线l的距离取得最大值．
kMP＝kCP＝－，则m＝．
此时直线l的方程为x＝y＋12，
即13x－y－156＝0．
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